Ukuran
Ukuran Disparitas Data
Disparitas Data
Sesi
Sesi 88--99
Himawan Arif S., SE., Msi STIE Bank BPD Jateng Jl. Pemuda 4 A Semarang
STATISTIKA DESKRIPTIF
STATISTIKA DESKRIPTIF
2
Ukuran Disparitas
• Suatu ukuran baik parameter atau statistik untuk mengetahui seberapa besar
penyimpangan data dengan nilai rata-rata hitungnya.
• Ukuran Disparitas membantu mengetahui sejauh mana suatu nilai menyebar dari nilai tengahnya, semakin kecil semakin besar.
3
RANGE
Definisi:
Nilai terbesar dikurang nilai terkecil. Merupakan ukuran penyebaran yang sangat kasar, sebab hanya bersangkutan dengan bilangan terbesar dan terkecil. Contoh:
Usia dari lima sampel mahasiswa di perguruan tinggi :
21, 25, 19, 20, 22
R = 25-19 =6
Interval
Kelas Frekuensi 9-21
22-34 35-47 48-60
2 4 8 6 Σf = 20
Nilai Range
R = 60-9 =51 4
DEVIASI RATA-RATA
Definisi:
Rata-rata hitung dari nilai mutlak deviasi antara nilai data pengamatan dengan rata-rata hitungnya.
Rumus:
a. Data tidak berkelompok
MD = (|X – X|)/n
Keterangan :
Contoh:
Penjualan kedaraan roda dua selama lima bulan pertama Tahun 2000 yaitu :
2 4 6 8 10
Rata-rata = 30 / 5 = 10
Berdasarkan nilai rata-rata tersebut, maka deviasi rata-rata dapat dihitung sebagai berikut :
2,4
5
12
MD
5
4
2
0
2
4
MD
Ddata
Ddata yang
yang dikelompokkan
dikelompokkan
Untuk
Untuk data yang data yang dikelompokkandikelompokkan, , deviasideviasi ratarata--rata rata diperoleh
diperoleh dengandengan rumusrumus sebagaisebagai berikutberikut::
Rumus Rumus ::
Keterangan
Keterangan :: ffii = = frekuensifrekuensi kelaskelas keke ii ((ii = 1….k)= 1….k) xxii = = NilaiNilai tengahtengah kelaskelas keke ii X
X = rata= rata--rata rata N
N = = banyaknyabanyaknya datadata |….|
|….| = = nilainilai absolutabsolut
f X X Σ MAD N 1 i f 7DEVIASI RATA-RATA
IntervalKelas Frekuensi Midpoint (xi) 9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 2 6 10 8 4
Σf = 30 Σfxi
VARIANS
VARIANS
Rata-rata kuadrat selisih dari semua nilai data terhadap nilai rata-rata hitung.
n -1 n X -X n S atau 1 -n X -XS 2 2 2
2
2
Data tidak berkelompok :
Data berkelompok :
f n 1 -n n fX -fX n S atau 1 -f X -X fS 2 2 2
STANDAR DEVIASI
STANDAR DEVIASI
Akar pangkat dua dari Variansi. Disebut juga Simpangan Baku.
n -1 n X -X n S atau 1 -n X -XS 2 2
2
Data tidak berkelompok :
Data berkelompok :
f n 1 -n n 2 fX -fX2 n S atau 1 - f X -X f S 2 Varians & Deviasi Standar
Varians: penyebaran berdasarkan jumlah kuadrat simpangan bilangan-bilangan terhadap rata-ratanya ; melihat ketidaksamaan sekelompok data
s2=nΣ
i=1 (Xi – X)2
n-1
Deviasi Standar: penyebaran berdasarkan akar dari varians ; menunjukkan keragaman kelompok data
s =
√
nΣ i=1(Xi – X)2
n-1
Nilai X X -X (X–X)2
100 45 2025 90 35 1225 80 25 625 70 15 225 60 5 25 50 -5 25 40 -15 225 30 -25 625 20 -35 1225 10 -45 2025 Jumlah 8250
Nilai X X -X (X –X)2
100 45 2025 100 45 2025 100 45 2025 90 35 1225 80 25 625 30 -25 625 20 -35 1225 10 -45 2025 10 -45 2025 10 -45 2025 Jumlah 15850
Kelompok A Kelompok B
s =
√
82509 = 30.28 s =√
158509 = 41.97Kesimpulan :
Kelompok A : rata-rata = 55 ; DR = 25 ; s = 30.28 Kelompok B : rata-rata = 55 ; DR = 39 ; s = 41.97 Maka data kelompok B lebih tersebar daripada kelompok A
CONTOH Data
CONTOH Data KelompokKelompok
11
Interval
Kelas Frekuensi (xi) (xi-x) (Xi-X)2
9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 2 6 10 8 4
Σf = 30 Σfxi
12
THEOREMA CHEBYSHEV
• Untuk suatu kelompok data dari sampel
atau populasi, minimum proporsi nilai-nilai
yang terletak dalam k standar deviasi dari
rata-rata hitungnya adalah
sekurang-kurangnya 1-1/k
213
HUKUM EMPIRIK
Untuk distribusi simetris, dengan distribusi frekuensi berbentuk lonceng diperkirakan:
• 68% data berada pada kisaran rata-rata hitung + satu kali standar deviasi, (X1s)
• 95% data berada pada kisaran rata-rata hitung + dua kali standar deviasi, (X2s)
• semua data atau 99,7% akan berada pada kisaran rata-rata hitung + tiga kali standar deviasi, (X3s)
14
DIAGRAM POLIGON HUKUM EMPIRIK
-3s -2s 1s X 1s 2s 3s
68%
99,7% 95%
Ukuran
Ukuran Penyebaran
Penyebaran Relatif
Relatif
Mengubah ukuran penyebaran menjadi
persentase atau ukuran relatif
Penggunaan ukuran relatif memberikan
manfaat :
◦Data mempunyai satuan penguikuran yang berbeda
◦Data mempunyai satuan ukuran yang sama
Ukuran Penyebaran Relatif
Ukuran Penyebaran Relatif
Koefisien range
Koefisien deviasi rata-rata
Koefisien Range
Koefisien Range
Pengukuran penyebaran dengan
menggunakan range secara relatif
Rumusan :
KR = ( (la – Lb) / (La + Lb) ) x 100 %
La : Batas atas data atau kelas tertinggi Lb : Batas bawah data atau kelas terendah
Contoh Koefisien Range
Contoh Koefisien Range
Kelas Interval Kelas f
1 16 24 10 2 25 33 18 3 34 42 14
4 43 51 4
5 52 60 2
6 61 69 2
La : Kelas tertinggi = 69 Lb : Kelas terendah = 16
KR :
= (La – Lb) / (La + Lb) = (69 – 16 ) / (69 + 16) = 53 / 85
= 0.6235 x 100 % = 62.35 %
Koefisien Deviasi Rata
Koefisien Deviasi Rata -- Rata
Rata
Koefisien deviasi rata – rata
◦Ukuran penyebaran dengan menggunakan deviasi rata relatif terhadap nilai rata-ratanya atau persentase dari deviasi rata-rata terhadap nilai rata-ratanya
Rumus :
KMD = [ MD / x ] x 100%
MD = Deviasi rata - rata X = Nilai rata – rata data
Contoh Kasus
Contoh Kasus
Data dikelompokan : ◦ MD = 8.8416
◦ X = 33.68
Koefisien deviasi rata – rata : KMD = [ 8.8416 / 33.68 ] x 100 %
Koefisien Standar Deviasi
Koefisien Standar Deviasi
Koefisien standar deviasi
◦Ukuran penyebaran yang menggunakan standar deviasi relatif terhadap nilai rata-rata yang dinyatakan sebagai persentase
Rumus
KSD = [ s / x ] x 100 %
S = Standar deviasi X = Nilai rata – rata data
Contoh Kasus
Contoh Kasus
Data dikelompokan
◦ Standar deviasi = 11.2439
◦ Rata – Rata hitung (x) = 33.68
◦ Nilai koefisien stnadar deviasi KSD = [ s / x ] x 100 %
= [ 11.2439 / 33.68 ] x 100% = 0.3338 x 100 %
= 33.38 %
23
THEOREMA CHEBYSHEV
• Untuk suatu kelompok data dari sampel
atau populasi, minimum proporsi nilai-nilai
yang terletak dalam k standar deviasi dari
rata-rata hitungnya adalah
sekurang-kurangnya 1-1/k
2• k merupakan konstanta yang nilainya lebih
dari 1.
24
HUKUM EMPIRIK
Untuk distribusi simetris, dengan distribusi frekuensi berbentuk lonceng diperkirakan:
• 68% data berada pada kisaran rata-rata hitung + satu kali standar deviasi, (X1s)
• 95% data berada pada kisaran rata-rata hitung + dua kali standar deviasi, (X2s)
25
DIAGRAM POLIGON HUKUM EMPIRIK
-3s -2s 1s X 1s 2s 3s
68%
99,7% 95%
Ukuran Kecondongan
Ukuran Kecondongan -- Skewness
Skewness
Ukuran kecondongan – kemencengan
◦ Kurva tidak simetris
Pada kurva distribusi frekuensi diketahui
dari posisi modus, rata-rata dan media
Pendekatan : Jika
◦ Rata-rata = median = modus : Simetris ◦ Rata-rata < median < modus : Menceng ke kiri ◦ Rata-rata > median > modus : Menceng ke kanan
Koefisien Skewness
Koefisien Skewness
Sk = [µ - Mo ] /
atau = 3.[µ - Md] /
µ = Nilai rata – rata hitung Mo = Nilai modus
Md = Nilai median = Standar deviasi Contoh kasus data dikelompokan
µ = 33.68 Mo = 18 Md = 32
= 11.2439
Sk = [33.68- 18 ] / 11.2439 Sk = 15.68 / 11.2439 Sk = 1.394
Sk = {3. [ 33.68 – 32]} 11.2439 Sk = 5.04 / 11.2439 Sk = 0.4482
Ukuran
Ukuran Keruncingan
Keruncingan (Kurtosis)
(Kurtosis)
Keruncingan disebut juga ketinggian kurva
Pada distribusi frekuensi di bagi dalam tiga
bagian :
◦ Leptokurtis = Sangat runcing
◦ Mesokurtis = Keruncingan sedang
Koefisien
Koefisien Keruncingan
Keruncingan (Kurtosis)
(Kurtosis)
Bentuk kurva keruncingan (kurtosis)
◦ Mesokurtik 4= 3
◦ Leptokurtik 4> 3
◦ Platikurtik 4< 3
Koefisien kurtosis (data tidak dikelompokan)
4=
1/n
∑(xi - X)
4S
44 = Koefisien Kurtosis
X = Nilai rata – rata hitung Xi = Nilai pengamatan n = jumlah data s = Standar deviasi
Koefisien Kurtosis
Koefisien Kurtosis
Koefisien kurtosis (data dikelompokan)
4=
1/n
∑ f. (Xi - X)
4s
44 = Koefisien Kurtosis X = Nilai rata – rata hitung Xi = Nilai tengah kelas n = jumlah frekuensi s = Standar deviasi
TUGAS STATISTIKA DESKRIPTIF , 23
TUGAS STATISTIKA DESKRIPTIF , 23 JuniJuni 20152015
Kelas f
11-20 4
21-30 6
31-40 12
41-50 8
51-60 2
32
2. Berikut Data Hiptetis
65 80 75 73 68 70 60 55
1. Berikut data dari nilai statistika 8 mahasiswa
Dari data di atas hitunglah a. Skewness
b. Kurtosis
Dari data di samping hitunglah a. Skewness
b. Kurtosis
Jawab
Jawab No.1
No.1
No Xi xi-X (xi-X)2 (xi-X)4
1 65 -1.9 3.61 13.03
2 80 13.1 171.61 29449.99
3 75 8.1 65.61 4304.67
4 73 6.1 37.21 1384.58
5 68 1.1 1.21 1.46
6 76 9.1 82.81 6857.49
7 80 13.1 171.61 29449.99
8 54 -12.9 166.41 27692.29
9 50 -16.9 285.61 81573.07
10 48 -18.9 357.21 127599
Jumlah 669 1342.9 308325.6
X = 669/10
= 66.9 S=v 1342.9/9 =12.21 S4 = 226.5
Kelas f xi fi.xi xi-x (xi-X)2 fi(xi-X)2 (xi-X)4 f(xi-X)4
11-20 4 15.5 62 -20.5 420.25 1681 176610.1 706440.3 21-30 10 25.5 255 -10.5 110.25 1102.5 12155.06 121550.6 31-40 12 35.5 426 -0.5 0.25 3 0.0625 0.75 41-50 8 45.5 364 9.5 90.25 722 8145.063 65160.5 51-60 6 55.5 333 19.5 380.25 2281.5 144590.1 867540.4 Jml 40 1440 5790 341500.3 1760693
Jawab
Jawab no. 2
no. 2
X = 1440/40 =36
S = V5790/(40-1) = 12.18 S4 = 22040.8
Kutosis =
1/40 (1760693/22040.8)