BAB 1 LINGKARAN. Contoh: Tentukan titik pusat lingkaran dan jari-jari pada persamaan x 2 + y 2 + 8x - 10y + 5 = 0! Jawab: Pusat P(-4,5) y P(a,b)

BAB 1 LINGKARAN I. Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu disebut pusat lingkaran sedangkan jarak merupakan jari jari lingkaran. Sehingga unsur utama lingkaran adalah titik pusat dan jari-jari lingkaran.

II. Persamaan Umum Lingkaran 1. (x - a)² + (y - b)² = r²

Persamaan lingkaran di atas memiliki titik pusat (a, b) dan jari-jari = r Contoh:

Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat (1, 2) dan jari-jari 3 ! Jawab:

(x - 1)² + (y - 2)² = 9 2. x² + y² + Ax + By + C = 0

Persamaan lingkaran di atas memiliki titik pusat (−¹

2𝐴, −¹

2𝐵) dan r =

√¹

4(𝐴²+ 𝐵²) − 𝐶 Contoh:

Tentukan titik pusat lingkaran dan jari-jari pada persamaan x² + y² + 8x - 10y + 5 = 0 !

Jawab:

Pusat P(-4,5) Jari-jari = √¹

4(8²+ (−10)²) − 5 = 6

III. Hubungan Jari-jari dan Garis Singgung Lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan:

1. Menyinggung sumbu koordinat

P(a,b) y

P(a,b)

x

Menyinggung sumbu x r = |yp|

Menyinggung sumbu y r = |xp|

2. Menyinggung garis Ax + By + C = 0

IV. Hubungan Dua Lingkaran 1. Tidak berpotongan

2. Bersinggungan luar

3. Berpotongan di 2 titik

4. Bersinggungan dalam

5. Sepusat (konsntris)

P(a,b)

Ax + By +C = 0

P1 P2

r2

r1

P1 P2

r2

r1

P1 P2

r2

r1

r2

r1

P1 P2

P1 P2

3. Melalui titik (c,d)

P(a,b)

Q(c,d)

r = √(𝑎 − 𝑐)²+ (𝑏 − 𝑑)²

|P1 P2| > r1 + r2

|P1 P2| = r1 + r2

|P1 P2| < r1 + r2

|P1 P2| = r1 - r2

|P1 P2| = 0 r = |𝐴 .𝑎 + 𝐵 .𝑏 + 𝐶

√𝐴²+𝐵² |

V. Persamaan Garis Singgung Lingkaran 1. Jika diketahui titik singgungnya

Persamaan garis singgung lingkaran yang menyinggung di titik P(x1, y1) diperoleh dengan cara mengubah persamaan lingkaran menjadi persamaan garis.

2. Garis singgung melalui titik diluar lingkaran

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung x² + y² = 25 yang ditarik dari titik T(7,-1) ! Jawab:

Persamaan garis polar:

Sehingga diperoleh titik singgung A(3, -4) dan B(4, 3) Persamaan garis singgung di A(3, -4) → 3x - 4y = 25 Persamaan garis singgung di B(4, 3) → 4x + 3y = 25 3. Persamaan garis singgung bergradien m

Diketahui persamaan lingkaran (x - a)² + (y - b)² = r². Persamaan garis singgung lingkaran yang bergradien m adalah (𝑦 − 𝑏) = m (x − a) ± r√𝑚²+ 1

Contoh:

x² + y² + Ax + By + C = 0

P(x1, y1 )

A

B

T (x1, y1) Garis AB = garis polar

Pgs: 𝑥₁x + 𝑦₁ y + ^𝐴

2(𝑥₁+ x) + ^𝐵

2(𝑦₁+ y) + C = 0

Pgs: 𝑥₁x + 𝑦₁ y + ^𝐴

2(𝑥₁+ x) + ^𝐵

2(𝑦₁+ y) + C = 0

T (x1, y1)

x² + y² = 25 x² + (7x - 25)² = 25 50x² - 350x + 600 = 25 x² - 7x + 12 = 0 (x - 3) (x - 4) = 0 x = 3 atau x = 4 x1x + y1y = 25

7x - y = 25 y = 7x - 25

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x - 2)² + (y + 3)² = 20 yang bergradien 2 !

Jawab:

(x - 2)² + (y + 3)² = 20 → r = √20 diketahui m adalah 2

Persamaan garis singgung: 𝑦 + 3 = 2(x − 2) ± √20 ∙ √2²+ 1 → 𝑦 = 2𝑥 − 7 ± 10

VI. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Kedudukan garis terhadap lingkaran dapat ditentukan dengan membandingkan jarak pusat lingkaran dengan jari-jari lingkaran (r) ke garis (d), atau dengan memperhatikan nilai diskriminan (D). Nilai D diperoleh dari persamaan kuadrat hasil mensubstitusikan persamaan garis ke persamaan lingkaran.

VII. Panjang Garis Singgung yang Ditarik dari Suatu titik di Luar Lingkaran

Diketahui lingkaran dengan persamaan 𝑥²+ 𝑦²+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 dan titik T(𝑥₁, 𝑦₁) di luar lingkaran.

Panjang ruas garis singgung AT =

√𝑥₁²+ 𝑦₁²+ 𝐴𝑥₁+ 𝐵𝑦₁+ 𝐶

VIII. Irisan Dua Lingkaran

1. Garis singgung persekutuan luar dan garis singgung persekutuan dalam

Panjang garis singgung persekutuan luar = AB = √(𝑀𝑁)²− (𝑅 − 𝑟)² Menyinggung

D = 0 atau d = r Memotong di dua titik

berbeda D > 0 atau d < r

Tidak memotong dan tidak menyinggung

D < 0 atau d > r

Panjang garis singgung persekutuan dalam = AB = √(𝑀𝑁)²− (𝑅 + 𝑟)² Contoh:

Tentukan panjang garis singgung persekutuan antara lingkaran 𝑥²+ 𝑦²− 2𝑥 + 6𝑦 + 1 = 0 dan lingkaran 𝑥²+ 𝑦²+ 4𝑥 − 6𝑦 − 12 = 0 !

Jawab:

𝑥²+ 𝑦²− 2𝑥 + 6𝑦 + 1 = 0 → Pusat P1 = (1, −3) dan R1 = √1 + 9 − 1 = 3 𝑥²+ 𝑦²+ 4𝑥 − 6𝑦 − 12 = 0 → Pusat P2 = (−2, 3) dan R2 = √4 + 9 + 12 = 5

|𝑃₁𝑃₂| = √(−2 − 1)²+ (3 + 3)²= √45 = 3√5, R1 + R2 = 8

Karena |𝑃₁𝑃₂| < R1 + R2 maka kedua lingkaran berpotongan di dua titik, sehingga panjang garis singgung persekutuan luar = √(|𝑃₁𝑃₂|)²− (𝑅₂− 𝑅₁)² = √45 − 4 =

√41

2. Kedudukan titik terhadap lingkaran

Diketahui persamaan lingkaran L: 𝑥²+ 𝑦²+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 dan titik T(𝑥₁, 𝑦₁).

Kedudukan titik T terhadap lingkaran L adalah:

a) Di dalam lingkaran jika 𝑥₁²+ 𝑦₁² + 𝐴𝑥₁+ 𝐵𝑦₁+ 𝐶 < 0 b) Pada lingkaran jika 𝑥₁²+ 𝑦₁²+ 𝐴𝑥₁+ 𝐵𝑦₁+ 𝐶 = 0 c) Di luar lingkaran jika 𝑥₁²+ 𝑦₁²+ 𝐴𝑥₁+ 𝐵𝑦₁+ 𝐶 > 0

Nilai 𝑥₁²+ 𝑦₁²+ 𝐴𝑥₁+ 𝐵𝑦₁ + 𝐶 disebut kuasa titik T(𝑥₁, 𝑦₁) terhadap lingkaran 𝑥²+ 𝑦²+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0.

Contoh:

Diketahui titik T(3,2) dan lingkaran 𝑥²+ 𝑦² − 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0.

Jawab:

Nilai kuasa titik T: K = 3²+ 2²− 2 ∙ 3 + 2 − 1 = 8. Karena K > 0 maka T berada di luar lingkaran.

3. Perpotongan dua lingkaran

L1: 𝑥²+ 𝑦²+ 𝐴₁𝑥 + 𝐵₁𝑦 + 𝐶₁ = 0 L2: 𝑥²+ 𝑦²+ 𝐴₂𝑥 + 𝐵₂𝑦 + 𝐶₂ = 0

Koordinat titik potong L2 dan L1 adalah akar persekutuan dari dua persamaan lingkaran.

a) Jika terdapat dua pasang harga x dan y, maka kedua lingkaran berpotongan pada dua titik berbeda.

b) Jika terdapat satu pasang harga x dan y, maka kedua lingkaran bersinggungan, baik bersinggungan di dalam maupun di luar.

i) Bersinggungan dalam → jarak kedua pusat = |𝑅₁− 𝑅₂| ii) Bersinggungan luar → jarak kedua pusat = |𝑅₁+ 𝑅₂|

c) Jika tidak terdapat nilai x dan y, maka kedua lingkaran tidak berpotongan.

Contoh:

Selidiki hubungan dua lingkaran 𝑥²+ 𝑦²− 24𝑥 + 71 = 0 dan 𝑥²+ 𝑦²− 25 = 0.

Jika kedua lingkaran berpotongan, tentukan titik potong kedua lingkaran!

Jawab:

𝑥²+ 𝑦²− 24𝑥 + 71 = 0 → pusat 𝑃₁ = (12,0), 𝑅₁ = √144 + 0 − 71 = √73 𝑥²+ 𝑦² = 25 → pusat 𝑃₂ = (0,0), 𝑅₂ = 5

|𝑃₁𝑃₂| = 12, 𝑅₁ + 𝑅₂ = √73 + 5, karena |𝑃₁𝑃₂| < 𝑅₁+ 𝑅₂ maka kedua lingkaran berpotongan di dua titik.

𝑥²+ 𝑦²− 24𝑥 + 71 = 0 𝑥²+ 𝑦²− 25 = 0

−24𝑥 + 96 = 0 → 𝑥 = 4 → 16 + 𝑦²− 25 = 0 → 𝑦² = 9 → 𝑦 = −3 atau 𝑦 = 3

Titik potong kedua lingkaran adalah (4, −3) dan (4,3).

4. Persamaan garis kuasa dua lingkaran

Garis kuasa dua lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa yang sama terhadap kedua lingkaran tersebut.

a) Jika kedua lingkaran berpotongan, maka garis kuasa kedua lingkaran merupakan tali busur kedua lingkaran.

b) Jika kedua lingkaran bersinggungan luar, maka garis kuasa kedua lingkaran merupakan garis singgung persekutuan.

c) Jika kedua lingkaran tidak berpotongan, maka garis kuasa kedua lingkaran merupakan garis yang tegak lurus pada garis hubung kedua pusat lingkaran (garis sentral).

Garis kuasa antara L1 dan L2 diperoleh dari: L1 - L2 = 0 Contoh:

Tentukan garis kuasa antara lingkaran L1: 𝑥²+ 𝑦² = 25 dan L2: 𝑥²+ 𝑦²− 6𝑥 − 8𝑦 − 11 = 0 !

Jawab:

𝑥²+ 𝑦² = 25 𝑥²+ 𝑦²− 6𝑥 − 8𝑦 − 11 = 0

6𝑥 + 8𝑦 + 11 = 25 → 6𝑥 + 8𝑦 − 14 = 0 5. Bundel lingkaran

Bundel lingkaran adalah kumpulan lingkaran (banyaknya tak berhingga) yang masing-masing lingkaran melalui titik potong dua lingkaran tertentu.

Jika: L1: 𝑥²+ 𝑦²+ 𝐴₁𝑥 + 𝐵₁𝑦 + 𝐶₁= 0 L2: 𝑥²+ 𝑦²+ 𝐴₂𝑥 + 𝐵₂𝑦 + 𝐶₂ = 0 Maka persamaan bundel lingkaran:

L1 + λ L2 = 0 atau L1 + λ (L2 - L1) = 0, dengan λ adalah parameter yang merupakan bilangan real. Untuk setiap λ terdapat satu persamaan lingkaran yang merupakan anggota dari bundel lingkaran tersebut.

Contoh:

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik asal O(0, 0) dan melalui titik-titik potong lingkaran 𝑥²+ 𝑦²− 6𝑥 − 8𝑦 − 11 = 0 dan 𝑥²+ 𝑦²− 4𝑥 − 6𝑦 − 22 = 0

!

Jawab:

L1: 𝑥²+ 𝑦²− 6𝑥 − 8𝑦 − 11 = 0 L2: 𝑥²+ 𝑦²− 4𝑥 − 6𝑦 − 22 = 0 L1 - L2: −2𝑥 − 2𝑦 + 11 = 0

Persamaan lingkaran berbentuk: L1 + λ (L2 - L1) = 0 𝑥²+ 𝑦²− 6𝑥 − 8𝑦 − 11 + λ(−2𝑥 − 2𝑦 + 11) = 0 Melalui (0, 0) → −11 + λ (11) = 0 → λ = 1

Persamaan lingkaran yang dimaksud:

𝑥²+ 𝑦²− 6𝑥 − 8𝑦 − 11 + 1(−2𝑥 − 2𝑦 + 11) = 0 𝑥²+ 𝑦²− 8𝑥 − 10𝑦 = 0

IX. Tambahan Teori Seputar Garis

1. Persamaan garis melalui titik (𝑥₁, 𝑦₁) dan mempunyai gradien m

T (x, y) m

𝑦 − 𝑦₁ = 𝑚(𝑥 − 𝑥₁)

2. Jarak titik ke garis

3. Jarak antara dua garis yang sejajar

4. Gradien garis yang membentuk sudut α dengan sumbu x positif

5. Dua garis sejajar → 𝒎_𝟏= 𝒎_𝟐

6. Dua garis saling tegak lurus → 𝒎_𝟏∙ 𝒎_𝟐 = −𝟏

P (a, b) d

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

𝑑 = |𝐴 ∙ 𝑎 + 𝐵 ∙ 𝑏 + 𝐶

√𝐴²+ 𝐵² |

d

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶₁= 0

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶₂= 0 𝑑 = | 𝐶₂− 𝐶₁

√𝐴²+ 𝐵²|

α

𝑚 = tan 𝛼

X⁺

BAB 2 POLINOMIAL I. Pengertian Suku Banyak

Sistem persamaan polinomial (suku banyak) adalah sistem persamaan dengan pangkat tertingginya lebih besar dari 2 ( > 2). Bentuk umum dari polinomial adalah sebagai berikut:

Dimana :

 Derajat (n) adalah pangkat tertinggi dalam suatu suku banyak.

 Variabel (x) adalah bilangan yang dimisalkan dengan huruf misalnya x.

 Koefisien (a) adalah bilangan yang mengikuti variabel.

Contoh persamaan dari sistem polinomial adalah 2x3+5x2+6x=8 = 0.

II. Operasi pada Suku Banyak

Suatu persamaan polinomial memiliki operasi dasar yang sama dengan sistem persamaan kuadrat yaitu : operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian suku banyak. Teorema nya adalah sebagai berikut : jika f(x) dan g(x) berturut-turut adalah suku banyak berderajat m dan n, maka :

 f(x) ± g(x) adalah suku banyak berderajat maksimum m atau n.

 f(x) x g(x) adalah suku banyak berderajat (m + n).

Contohnya : 1. Penjumlahan

2. Pengurangan

III. Kesamaan Suku Banyak

Misalkan terdapat suku banyak yaitu :

Dan suku banyak yang lain adalah :

Jika f(x) ≡ g(x) maka haruslah an= bn, an-1= bn-1, ……… a1= b1 f(x) ≡ g(x) disebut dengan kesamaan polinomial.

Dua buah sistem persamaan polinomial dikatakan memiliki kesamaan jika keduanya :

 Memiliki derajat yang sama.

 Memiliki variabel dan koefisien seletak yang sama antara polinomial ruas kiri dengan kanan.

Pada kesamaan polinomial tidak berlaku pindah ruas atau kali silang seperti yang terjadi pada operasi aljabar.

IV. Pembagian Suku Banyak

Suatu fungsi suku banyak dapat dilakukan operasi pembagian terhadap fungsi lainnya.

Ada dua cara yang dapat dilakukan yaitu pembagian suku banyak dengan cara bersusun dan dengan metode horner (bagan).

1. Pembagian suku banyak dengan strategi pembagian bersusun

Misalkan suku banyak fx= a2x²+a1x+ a0 dibagi dengan (x-k) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa S, sehingga diperoleh hubungan :

Untuk menentukan hasil bagi H(x) dan sisa S digunakan pembagian suku banyak dengan cara pembagian bersusun berikut ini :

Jadi, Hasil bagi H(x) = a2x + a2k + a1 (pada bagian atas) dan sisa S (pada bagian bawah)

= a0+ a1k + a2k²

2. Pembagian suku banyak menggunakan metode horner

Aturan penggunaan metode horner pada operasi pembagian adalah sebagai berikut :

1. Letakkan seluruh koefisien dari derajat tertinggi sampai nol di bagian atas (selalu dimulai dari pangkat tertinggi dan berurutan). Apabila terdapat suku banyak yang tidak ada contohnya 2x⁴ + 3x²-5x-9 = 0. Maka koefisien untuk pangkat x³ dapat ditulis 0.

2. Letakkan faktor pengali di samping kiri.

3. Baris bawah bagian kiri adalah hasil bagi, sedangkan bagian kanan adalah sisa.

Atau dapat ditulis sebagai berikut :

Proses pembagian menggunakan metode horner dapat dijelaskan seperti dibawah ini :

Jadi, hasil bagi H(x) = a2x+a2k+ a1 dan sisa S = a2k²+a1k+ a0

Contoh soal :

a. Metode pembagian bersusun

b. Metode horner

Dari persamaan diatas, hasil bagi dan sisa yang diperoleh adalah sama yaitu 2x⁴+x³+2x²-2x-7/2 dan sisanya = -5/2

V. Teorema Sisa (Dalil Sisa)

Teorema ini digunakan untuk menentukan nilai sisa pembagian suatu suku banyak tanpa mengetahui suku banyak dan/atau hasil baginya. Bentuk umum dari teorema sisa

adalah adalah sebagai berikut : Misalkan suku banyak f(x) dibagi dengan P(x) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa S(x), maka akan diperoleh hubungan :

Jika F(x) suku banyak berderajat n dan P(x) adalah pembagi berderajat m, dengan m ≤ n, maka diperoleh :

1. H(x) adalah hasil bagi berderajat (n-m).

2. S(x) adalah sisa pembagian berderajat maksimum (m-1).

Syarat pembagi menggunakan teorema sisa terdapat dengan dua cara yaitu : a. Pembagian dengan (x-k)

Teorema Sisa bagian 1: “ jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan (x-k) maka sisanya S=f(k), sisa f(k) adalah nilai suku banyak x=k yang dapat ditentukan dengan strategi substitusi atau strategi skema (bagan) ”.

b. Pembagian dengan (ax+b)

Contoh soal : Teorema Sisa (Dalil Sisa)

1. Carilah sisa pembagi suku banyak 8x³-2x²+5 dengan (x+2) Pembahasan :

a. Menggunakan substitusi

b. Menggunakan skema (bagan) dengan pembagian (x-k)

Jadi, sisanya S = f(-2) = -67 menggunakan teorema sisa.

VI. Teorema Faktor

Teorema faktor dapat digunakan untuk menentukan faktor lain atau akar-akar rasional dari sistem persamaan suku banyak menggunakan metode horner. Pada teorema faktor menjelaskan 2 konsep yaitu :

1. Jika P(x) habis dibagi q(x) atau mempunyai sisa nol, maka q(x) adalah faktor dari P(x)

2. Jika P(x) = f(x). g(x) maka f(x) dan g(x) adalah faktor dari P(x).

Contoh soal teorema faktor

1. Jika salah satu akar dari f(x) = x⁴+ mx³-6x²+7x-6 adalah 2, tentukan akar linear lainnya!

Pembahasan :

Langkah pertama : carilah terlebih dahulu nilai m dengan substitusi polinomial f(2) = 0, karena nilai 2 termasuk akar dari f(x), maka diperoleh :

Kemudian gunakan metode horner untuk menentukan faktor atau akarainnya, yaitu :

Sehinga faktor (x) yang lain adalah (x-2), (x+3), dan (x2-x+1). Oleh sebab itu, faktor lain dari akar linearnya adalah -3.