http://www.dianadipamungkas.wordpress.com
STRUKTUR ALJABAR II STRUKTUR ALJABAR II STRUKTUR ALJABAR II STRUKTUR ALJABAR II
Materi : 1. Ring
2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field
http://www.dianadipamungkas.wordpress.com
RING (GELANGGANG) RING (GELANGGANG) RING (GELANGGANG) RING (GELANGGANG)
Definisi:
Ring adalah himpunan G yang tidak kosong dan berlaku dua oprasi biner (penjumlahan dan perkalian), yang memenuhi aksioma, antara lain:
1. Tertutup terhadap penjumlahan
a, b G ׀c G a + b = c 2. Assosiatif terhadap penjumlahan
a, b, c G a b c a b c
3. Terdapat elemen identitas terhadap oprasi penjumlahan
0 G a G 0 + a = a + 0 = a
4. Setiap elemen anggota G mempunyai elemen invers terhadap oprasi penjumlahan
a G a G (-a) + a = a + (-a) = 0 5. Komutatif terhadap penjumlahan
a, b G a + b = b + a
6. Tertutup terhadap oprasi perkalian
a, b G ׀c G a b = c 7. Assosiatif terhadap oprasi perkalian
a, b, c G a b c a b c 8. Distributif perkalian terhadap penjumlahan
a, b, c G a (b + c) = (a b) + (a c) → distribusi kiri (b + c) a = (b a) + (c a) → distribusi kanan Contoh1:
Selidiki apakah I6 = {0,1, 2, 3, 4, 5} terhadap oprasi “ + ” dan “” merupakan ring
http://www.dianadipamungkas.wordpress.com Jawab:
+ 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4 1) Tertutup terhadap penjumlahan
(2,3 I6) ׀ 5 I 2 + 3 = 5 I6 2) Assosiatif terhadap penjumlahan
2, 4, 5 I 2 4 5 2 4 5
0 + 5 = 2 + 3
5 = 5
3) Terdapat elemen identitas terhadap penjumlahan
0 I 3 I 0 + 3 = 3 + 0 = 3
4) Setiap anggota elemen I6 mempunyai elemen invers terhadap oprasi penjumlahan
4 I 2 I 2 + 4 = 4 + 2 = 0 5) Komutatif terhadap penjumlahan
1, 4 I 1 + 4 = 4 + 1 = 5 6) Tertutup terhadap perkalian
3, 2 I ׀0 I 2 3 = 0 7) Assosiatif terhadap perkalian
2, 4, 5 I 2 4 5 2 4 5 2 5 = 2 2
4 = 4
8) Distributif perkalian terhadap penjumlahan
2, 3, 4 I 2 (3 + 4) = (2 3) + (2 4) 2 1 = 0 + 2
2 = 2
0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 2 0 2 4 0 2 4 3 0 3 0 3 0 3 4 0 4 2 0 4 2 5 0 5 4 3 2 1
http://www.dianadipamungkas.wordpress.com Contoh2:
Selidiki apakah himpunan bilangan kompleks terhadap oprasi “+” dan “” suatu ring Jawab:
K = {a + bi
׀
a,bє
R, R himpunan bilangan riil dan i=√1 } 1) Tertutup terhadap oprasi penjumlahan “+”Missal: K a bi K a bi
є
K K K = (a bi) + (a bi)= a a + (b b)i
є
K K tertutup terhadap oprasi penjumlahan 2) Assosiatif terhadap oprasi penjumlahanMissal: K a bi K a bi K a bi
є
K(K K) + K = K+ (K K)
{(a bi) + (a bi)} + (a bi) = (a bi) + {(a bi) + (a bi)}
(a a a) + (b b b) i = (a a a) + (b b b) i K assosiatif terhadap oprasi penjumlahan
3) Terdapat elemen identitas terhadap oprasi penjumlahan K a bi
є
K0 K a bi
є
K 0 + (a bi) = (a bi) + 0 = a bi K mempunyai elemen identitas terhadap operasi penjumlahan “+”4) Setiap elemen anggota K mempunyai elemen invers terhadap oprasi penjumlahan (a bi
є
K) ( a biє
K)a bi + (a bi) = (a bi) + (a bi ) = 0
Setiap elemen anggota K mempunyai elemen invers terhadap oprasi penjumlahan 5) Komutatif terhadap oprasi penjumlahan
K a bi
K a bi
є
K , makaa bi) + (a bi = (a bi + a bi)
a a) + (b b) i = a a) + (b b)i
http://www.dianadipamungkas.wordpress.com 6) Tertutup terhadap oprasi perkalian “”
Missal: K a bi K a bi
є
K K K = (a bi a bi)= aa bb + (ab ab)i
є
K K tertutup terhadap oprasi perkalian7) Assosiatif terhadap oprasi perkalian “”
Missal: K a bi K a bi K a bi
є
K(K K) K = K (K K)
{(a bi) (a bi)} (a bi) = (a bi) {(a bi) (a bi)}
K assosiatif terhadap oprasi perkalian 8) Distributif perkalian terhadap penjumlahan
Missal: K a bi K a bi K a bi
є
K(a bi) {(a bi)} (a bi)} = (a bi) (a bi) (a bi) (a bi) K distributif perkalian terhadap penjumlahan
KARAKTERISTIK RING KARAKTERISTIK RING KARAKTERISTIK RING KARAKTERISTIK RING
Definisi:
Jika R suatu Ring atau (R ; + ; ) ring untuk elemen sembarang a є R. jika dapat ditemukn bilangan bulat positif terkecil n sehingga n.a=0 elemn nol(0) dari ring R, maka karakteristik dari ring R adalah n. Jika n tidak dapat ditemukan, maka karakteristik dari ring R adalah nol(0) atau tidak terhingga
Contoh
Berapa karakteristik dari ring R bilangan bulat modulo.5 Jawab
5 0 = 0 5 2 = 0 5 4 = 0 5 1 = 0 5 3 = 0
Jadi karakteristik dari I5 adalah 5
http://www.dianadipamungkas.wordpress.com
PEMBAGI NOL PEMBAGI NOL PEMBAGI NOL PEMBAGI NOL
Definisi:
Suatu elemen a є ring R disebut pembagi nol bila hanya terdapat elemen b ≠ 0 єR a . b = b . a = 0
PEMBAGI NOL SEJATI PEMBAGI NOL SEJATI PEMBAGI NOL SEJATI PEMBAGI NOL SEJATI
Definisi:
Jika a є ring R suatu pembagi nol (a ≠ 0) dan b ≠ 0 є Ring, maka a disebut pembagi nol sejati (PNS). Jadi a ≠ 0 dan b ≠ 0 → a. b = 0
Contoh
1. Bilangan bulat modulo 6 I6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Jawab:
2 x 3 = 3 x 2 = 0 (mod 6)
Jadi bilang bulat modulo 6 memuat PNS 2. Bilangan bulat modulo 5
I5 = {0, 1, 2, 3, 4}
Jawab:
I5 tidak memuat pembagi nol sejati karena tidak ada anggota I5 yang dikalikan hasilnya nol(0)
MACAM MACAM MACAM
MACAM----MACAM RING MACAM RING MACAM RING MACAM RING
1. Ring Unit Definisi:
Suatu ring (R ; + ; ) disebut ring unit bila hanya bila R juga memenuhi sifat terdapat elemen satuan terhadap perkalian “”
( z R)(a R) z . a = a . z = a
http://www.dianadipamungkas.wordpress.com 2. Ring Unit Komutatif
Definisi:
Suatu ring (R ; + ; ) disebut ring bila R juga bersifat komutatif perkalian maka R disebut ring unit komutatif
a, b R a . b = b . a Contoh:
1) Selidiki apakah R’ = {x + y√3
׀
x, yє
Riil} suatu ring unit komutatif terhadap oprasi penjumlahan “+” dan perkalian “x”Jawab:
Akan dibuktikan R’ = {x + y√3
׀
x, yє
Riil} suatu ring unit komutatif• Terdapat elemen satuan terhadap oprasi perkalian
Missal elemen satuan dari R’ adalah (x + y√3)
є
R dengan x, yє R
iil, maka(x + y√3) (a + b√3) = (a + b√3) (x + y√3) = (a + b√3)
• Mempunyai elemen satuan o Elemen satuan kiri
(x + y√3) (a + b√3) = (a + b√3) (xa + 3yb) + (xb+ ya) √3 = (a + b√3)
xa + 3yb = a → ax + 3by = a
xb + ya = b → bx + ay = b
x $% 3&& %$
$% 3&
& %$
%%223&3&22
= 1
y '% %& &'
$% 3&
& %$
%&%&
%23&2
=
)*+,( * 0Jadi elemen satuan kiri dari R’ adalah 1 + 0√3 o Elemen satuan kanan
(a + b√3) (x + y√3) = (a + b√3) (ax + 3by) + (ay + bx) √3 = (a + b√3)
ax + 3by = a → ax + 3by = a
bx + ay = b → bx + ay = b
http://www.dianadipamungkas.wordpress.com x $% 3&& %$
$% 3&
& %$
%%223&3&22
= 1
y '% %& &'
$% 3&
& %$
%&%&
%23&2
=
)*+,( * 0Jadi elemen satuan kiri dari R’ adalah 1 + 0√3
• Komutatif terhadap perkalian
(x + y√3) (a + b√3) = (a + b√3) (x + y√3) (xa + 3yb) + (ya + xb) √3 = (xa + 3yb) + (xb+ ya) √3
R’ komutatif, karena perkalian bilangan Riil bersifat komutatif 2) Selidiki apakah M = -. x y 0
y x 0
0 0 01 ׀ x, y Riil
Suatu ring unit yang komutatif terhadap oprasi penjumlahan dan perkalian Jawab:
Akan dibuktikan M adalah Ring unit yang komutatif
• Terdapat elemen satuan terhadap oprasi perkalian “”
Misal elemen satuan dari M adalah . x y 0
y x 0 0 0 01 M dengan x, y R, maka
. x y 0
y x 0
0 0 01 . a b 0
b a 0
0 0 01 . a b 0
b a 0
0 0 01 . x y 0
y x 0
0 0 01 . a b 0
b a 0 0 0 01 Elemen satuan kiri
. x y 0
y x 0
0 0 01 . a b 0
b a 0
0 0 01 . a b 0
b a 0 0 0 01 . ax by bx ay 0
ay bx by ax 0
0 0 01 = . a b 0
b a 0 0 0 01
ax + by = a bx + ay = b a abx + a2y = ab -bx – ay = -b ax – by = a b abx – b2y = ab
(a2+b2) y = 0 y = 0
bx + 0 = b x = 1
http://www.dianadipamungkas.wordpress.com
jadi elemen satuan kirinya adalah .1 0 0 0 1 0 0 0 01 Elemen satuan kanan
. a b 0
b a 0
0 0 01 . x y 0
y x 0
0 0 01 = . a b 0
b a 0 0 0 01 . ax by bx ay 0
ay bx by ax 0
0 0 01 = . a b 0
b a 0 0 0 01
ax + by = a bx + ay = b a abx + a2y = ab -bx – ay = -b ax – by = a b abx – b2y = ab
(a2+b2) y = 0 y = 0
bx + 0 = b x = 1
jadi elemen satuan kanannya adalah .1 0 0 0 1 0 0 0 01
• Komutatif terhadap oprasi perkalian . x y 0
y x 0
0 0 01 . a b 0
b a 0
0 0 01 . a b 0
b a 0
0 0 01 . x y 0
y x 0 0 0 01
HOMOMOERPHISMA HOMOMOERPHISMA HOMOMOERPHISMA HOMOMOERPHISMA
Definisi:
Diketahui (R; +; ) dan (R’; +; ) ring
Didefinisikan suatu fungsi f dari R ke R’ atau f : R → R’ , maka fungsi f disebut homomorphisme dari R → R’ bila dan hanya bila
1. a, b R f (a + b) = f(a) + f(b) 2. a, b R f (a b) = f(a) f(b)
Jika homomorphisma injektif, maka f disebut monomorphisma Jika homomorphisma surjektif, maka f disebut epimophirsma Jika homomorphisma bijektif, maka f disebut isomorphisma
Jika homomorphisma yang domain dan kodomainnya sama disebut endhomorphisma Suatu isomomorphisma yang domainda kodomainnya sama disebut automorphisma
http://www.dianadipamungkas.wordpress.com Contoh:
Jika (R ; + ; ) ring bilangan bulat dan (R’ ; + ; ) ring bilangan genap. Oprasi “+”
seperti pada R’ sedangkan oprasi “” pada R’ didefinisikan ab = ),; a, b R
Jika f didefinisikan dari R R’ dengan f(x)= 2x, x R. Maka apakah f suatu homomorphisma yang bijektif (isomorphisma)
Jawab:
f : R R’ dengan f(x) = 2x, x R
akan dibuktikan isomorphisma (homomorphisma yang injektif dan surjektif) 1) ( a, b R) f (a + b) = f(a) + f(b)
2(a + b) = 2a + 2b 2a + 2b = 2a + 2b 2) ( a, b R) f (a b) = f(a) f(b)
2 (a b) = 2a 2b 2 ab = 2 (2ab) 2 ab = 2ab
f injektif a ≠ b → f(a) ≠ f(b) atau 2a ≠ 2b f surjektif (2a R’) ( a R) f(a) = 2a
◊ f isomorphisma
SUB RING SUB RING SUB RING SUB RING
Definisi:
Suatu himpunan (R’; +; ) yang tidak kosong disebut sub ring dari ring (R; +; ) bila hanya bila terhadap oprasi yang sama dengan R, R’ juga ring dan R’ 4 ring R dan R’ ≠ 0 disebut subring dari ring (R; +; ) bila hanya bila memenuhi:
1. a, b R (a - b) R 2. a, b R a . b R Contoh
Selidiki apakah ring himpunan bilangan genap merupakan sub ring dari ring himpunan bilangan bulat
http://www.dianadipamungkas.wordpress.com Jawab:
G : { bilangan bulat genap} atau G : {2n
׀
nє
B}Akan dibuktikan G subring dari bilangan bulat Jika diambil X1 = 2n1 ; n1
є
BX2 = 2n2 ; n2
є
BMaka
1) X1 - X2 = 2n1 - 2n2
= 2 (n1 - n2)
є
GKarena n1 , n2
є
B → (n1 - n2)є
B → 2(n1 - n2)є
G 2) X1 . X2 = (2n1 ) (2n2)= 2 (2n1 n2)
є
GKarena n1, n2