• Tidak ada hasil yang ditemukan

STRUKTUR ALJABAR II. Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Membagikan "STRUKTUR ALJABAR II. Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field."

Copied!
11
0
0

Teks penuh

(1)

http://www.dianadipamungkas.wordpress.com

STRUKTUR ALJABAR II STRUKTUR ALJABAR II STRUKTUR ALJABAR II STRUKTUR ALJABAR II

Materi : 1. Ring

2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field

(2)

http://www.dianadipamungkas.wordpress.com

RING (GELANGGANG) RING (GELANGGANG) RING (GELANGGANG) RING (GELANGGANG)

Definisi:

Ring adalah himpunan G yang tidak kosong dan berlaku dua oprasi biner (penjumlahan dan perkalian), yang memenuhi aksioma, antara lain:

1. Tertutup terhadap penjumlahan

 a, b  G  ׀c  G a + b = c 2. Assosiatif terhadap penjumlahan

 a, b, c  G a b c a b c

3. Terdapat elemen identitas terhadap oprasi penjumlahan

 0  G a  G 0 + a = a + 0 = a

4. Setiap elemen anggota G mempunyai elemen invers terhadap oprasi penjumlahan

 a  G  a  G (-a) + a = a + (-a) = 0 5. Komutatif terhadap penjumlahan

 a, b  G a + b = b + a

6. Tertutup terhadap oprasi perkalian

 a, b  G  ׀c  G a  b = c 7. Assosiatif terhadap oprasi perkalian

 a, b, c  G a  b  c a  b  c 8. Distributif perkalian terhadap penjumlahan

 a, b, c  G a  (b + c) = (a  b) + (a  c) → distribusi kiri (b + c)  a = (b  a) + (c  a) → distribusi kanan Contoh1:

Selidiki apakah I6 = {0,1, 2, 3, 4, 5} terhadap oprasi “ + ” dan “” merupakan ring

(3)

http://www.dianadipamungkas.wordpress.com Jawab:

+ 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4 1) Tertutup terhadap penjumlahan

(2,3  I6)  ׀ 5  I 2 + 3 = 5  I6 2) Assosiatif terhadap penjumlahan

 2, 4, 5  I 2 4 5 2 4 5

0 + 5 = 2 + 3

5 = 5

3) Terdapat elemen identitas terhadap penjumlahan

 0  I  3  I 0 + 3 = 3 + 0 = 3

4) Setiap anggota elemen I6 mempunyai elemen invers terhadap oprasi penjumlahan

 4  I  2  I 2 + 4 = 4 + 2 = 0 5) Komutatif terhadap penjumlahan

 1, 4  I 1 + 4 = 4 + 1 = 5 6) Tertutup terhadap perkalian

3, 2  I  ׀0  I 2  3 = 0 7) Assosiatif terhadap perkalian

 2, 4, 5  I 2  4  5 2  4  5 2  5 = 2  2

4 = 4

8) Distributif perkalian terhadap penjumlahan

2, 3, 4  I 2  (3 + 4) = (2  3) + (2  4) 2  1 = 0 + 2

2 = 2

 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 2 0 2 4 0 2 4 3 0 3 0 3 0 3 4 0 4 2 0 4 2 5 0 5 4 3 2 1

(4)

http://www.dianadipamungkas.wordpress.com Contoh2:

Selidiki apakah himpunan bilangan kompleks terhadap oprasi “+” dan “” suatu ring Jawab:

K = {a + bi

׀

a,b

є

R, R himpunan bilangan riil dan i=√1 } 1) Tertutup terhadap oprasi penjumlahan “+”

Missal: K a bi K a bi

є

K K K = (a bi) + (a bi)

= a a + (b b)i

є

K K tertutup terhadap oprasi penjumlahan 2) Assosiatif terhadap oprasi penjumlahan

Missal: K a bi K a bi K a bi

є

K

(K K) + K = K+ (K K)

{(a bi) + (a bi)} + (a bi) = (a bi) + {(a bi) + (a bi)}

(a a a) + (b b b) i = (a a a) + (b b b) i K assosiatif terhadap oprasi penjumlahan

3) Terdapat elemen identitas terhadap oprasi penjumlahan K a bi

є

K

 0  K a bi

є

K 0 + (a bi) = (a bi) + 0 = a bi K mempunyai elemen identitas terhadap operasi penjumlahan “+”

4) Setiap elemen anggota K mempunyai elemen invers terhadap oprasi penjumlahan (a bi

є

K) ( a bi

є

K)

a bi + (a bi) = (a bi) + (a bi ) = 0

Setiap elemen anggota K mempunyai elemen invers terhadap oprasi penjumlahan 5) Komutatif terhadap oprasi penjumlahan

K a bi

K a bi

є

K , maka

a bi) + (a bi = (a bi + a bi)

a a) + (b b) i = a a) + (b b)i

(5)

http://www.dianadipamungkas.wordpress.com 6) Tertutup terhadap oprasi perkalian “”

Missal: K a bi K a bi

є

K K K = (a bi  a bi)

= aa bb + (ab ab)i

є

K K tertutup terhadap oprasi perkalian

7) Assosiatif terhadap oprasi perkalian “”

Missal: K a bi K a bi K a bi

є

K

(K K)  K = K  (K K)

{(a bi)  (a bi)}  (a bi) = (a bi)  {(a bi)  (a bi)}

K assosiatif terhadap oprasi perkalian 8) Distributif perkalian terhadap penjumlahan

Missal: K a bi K a bi K a bi

є

K

(a bi) {(a bi)} (a bi)} = (a bi) (a bi) (a bi) (a bi) K distributif perkalian terhadap penjumlahan

KARAKTERISTIK RING KARAKTERISTIK RING KARAKTERISTIK RING KARAKTERISTIK RING

Definisi:

Jika R suatu Ring atau (R ; + ; ) ring untuk elemen sembarang a є R. jika dapat ditemukn bilangan bulat positif terkecil n sehingga n.a=0 elemn nol(0) dari ring R, maka karakteristik dari ring R adalah n. Jika n tidak dapat ditemukan, maka karakteristik dari ring R adalah nol(0) atau tidak terhingga

Contoh

Berapa karakteristik dari ring R bilangan bulat modulo.5 Jawab

5  0 = 0 5  2 = 0 5  4 = 0 5  1 = 0 5  3 = 0

Jadi karakteristik dari I5 adalah 5

(6)

http://www.dianadipamungkas.wordpress.com

PEMBAGI NOL PEMBAGI NOL PEMBAGI NOL PEMBAGI NOL

Definisi:

Suatu elemen a є ring R disebut pembagi nol bila hanya terdapat elemen b ≠ 0 єR a . b = b . a = 0

PEMBAGI NOL SEJATI PEMBAGI NOL SEJATI PEMBAGI NOL SEJATI PEMBAGI NOL SEJATI

Definisi:

Jika a є ring R suatu pembagi nol (a ≠ 0) dan b ≠ 0 є Ring, maka a disebut pembagi nol sejati (PNS). Jadi a ≠ 0 dan b ≠ 0 → a. b = 0

Contoh

1. Bilangan bulat modulo 6 I6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Jawab:

2 x 3 = 3 x 2 = 0 (mod 6)

Jadi bilang bulat modulo 6 memuat PNS 2. Bilangan bulat modulo 5

I5 = {0, 1, 2, 3, 4}

Jawab:

I5 tidak memuat pembagi nol sejati karena tidak ada anggota I5 yang dikalikan hasilnya nol(0)

MACAM MACAM MACAM

MACAM----MACAM RING MACAM RING MACAM RING MACAM RING

1. Ring Unit Definisi:

Suatu ring (R ; + ; ) disebut ring unit bila hanya bila R juga memenuhi sifat terdapat elemen satuan terhadap perkalian “”

( z  R)(a  R) z . a = a . z = a

(7)

http://www.dianadipamungkas.wordpress.com 2. Ring Unit Komutatif

Definisi:

Suatu ring (R ; + ; ) disebut ring bila R juga bersifat komutatif perkalian maka R disebut ring unit komutatif

a, b  R a . b = b . a Contoh:

1) Selidiki apakah R’ = {x + y√3

׀

x, y

є

Riil} suatu ring unit komutatif terhadap oprasi penjumlahan “+” dan perkalian “x”

Jawab:

Akan dibuktikan R’ = {x + y√3

׀

x, y

є

Riil} suatu ring unit komutatif

• Terdapat elemen satuan terhadap oprasi perkalian

Missal elemen satuan dari R’ adalah (x + y√3)

є

R dengan x, y

є R

iil, maka

(x + y√3) (a + b√3) = (a + b√3) (x + y√3) = (a + b√3)

• Mempunyai elemen satuan o Elemen satuan kiri

(x + y√3) (a + b√3) = (a + b√3) (xa + 3yb) + (xb+ ya) √3 = (a + b√3)

 xa + 3yb = a → ax + 3by = a

 xb + ya = b → bx + ay = b

x $% 3&& %$

$% 3&

& %$

%%223&3&22

= 1

y '% %& &'

$% 3&

& %$

%&%&

%23&2

=

)*+,( * 0

Jadi elemen satuan kiri dari R’ adalah 1 + 0√3 o Elemen satuan kanan

(a + b√3) (x + y√3) = (a + b√3) (ax + 3by) + (ay + bx) √3 = (a + b√3)

 ax + 3by = a → ax + 3by = a

 bx + ay = b → bx + ay = b

(8)

http://www.dianadipamungkas.wordpress.com x $% 3&& %$

$% 3&

& %$

%%223&3&22

= 1

y '% %& &'

$% 3&

& %$

%&%&

%23&2

=

)*+,( * 0

Jadi elemen satuan kiri dari R’ adalah 1 + 0√3

• Komutatif terhadap perkalian

(x + y√3) (a + b√3) = (a + b√3) (x + y√3) (xa + 3yb) + (ya + xb) √3 = (xa + 3yb) + (xb+ ya) √3

R’ komutatif, karena perkalian bilangan Riil bersifat komutatif 2) Selidiki apakah M = -. x y 0

y x 0

0 0 01 ׀ x, y  Riil

Suatu ring unit yang komutatif terhadap oprasi penjumlahan dan perkalian Jawab:

Akan dibuktikan M adalah Ring unit yang komutatif

• Terdapat elemen satuan terhadap oprasi perkalian “”

Misal elemen satuan dari M adalah . x y 0

y x 0 0 0 01  M dengan x, y  R, maka

. x y 0

y x 0

0 0 01 . a b 0

b a 0

0 0 01 . a b 0

b a 0

0 0 01 . x y 0

y x 0

0 0 01 . a b 0

b a 0 0 0 01 Elemen satuan kiri

. x y 0

y x 0

0 0 01 . a b 0

b a 0

0 0 01 . a b 0

b a 0 0 0 01 . ax by bx ay 0

ay bx by ax 0

0 0 01 = . a b 0

b a 0 0 0 01

ax + by = a bx + ay = b a abx + a2y = ab -bx – ay = -b ax – by = a b abx – b2y = ab

(a2+b2) y = 0 y = 0

bx + 0 = b x = 1

(9)

http://www.dianadipamungkas.wordpress.com

jadi elemen satuan kirinya adalah .1 0 0 0 1 0 0 0 01 Elemen satuan kanan

. a b 0

b a 0

0 0 01 . x y 0

y x 0

0 0 01 = . a b 0

b a 0 0 0 01 . ax by bx ay 0

ay bx by ax 0

0 0 01 = . a b 0

b a 0 0 0 01

ax + by = a bx + ay = b a abx + a2y = ab -bx – ay = -b ax – by = a b abx – b2y = ab

(a2+b2) y = 0 y = 0

bx + 0 = b x = 1

jadi elemen satuan kanannya adalah .1 0 0 0 1 0 0 0 01

• Komutatif terhadap oprasi perkalian . x y 0

y x 0

0 0 01 . a b 0

b a 0

0 0 01 . a b 0

b a 0

0 0 01 . x y 0

y x 0 0 0 01

HOMOMOERPHISMA HOMOMOERPHISMA HOMOMOERPHISMA HOMOMOERPHISMA

Definisi:

Diketahui (R; +; ) dan (R’; +; ) ring

Didefinisikan suatu fungsi f dari R ke R’ atau f : R → R’ , maka fungsi f disebut homomorphisme dari R → R’ bila dan hanya bila

1.  a, b  R f (a + b) = f(a) + f(b) 2.  a, b  R f (a  b) = f(a)  f(b)

Jika homomorphisma injektif, maka f disebut monomorphisma Jika homomorphisma surjektif, maka f disebut epimophirsma Jika homomorphisma bijektif, maka f disebut isomorphisma

Jika homomorphisma yang domain dan kodomainnya sama disebut endhomorphisma Suatu isomomorphisma yang domainda kodomainnya sama disebut automorphisma

(10)

http://www.dianadipamungkas.wordpress.com Contoh:

Jika (R ; + ; ) ring bilangan bulat dan (R’ ; + ; ) ring bilangan genap. Oprasi “+”

seperti pada R’ sedangkan oprasi “” pada R’ didefinisikan ab = ),;  a, b  R

Jika f didefinisikan dari R R’ dengan f(x)= 2x,  x  R. Maka apakah f suatu homomorphisma yang bijektif (isomorphisma)

Jawab:

f : R R’ dengan f(x) = 2x,  x  R

akan dibuktikan isomorphisma (homomorphisma yang injektif dan surjektif) 1) ( a, b  R) f (a + b) = f(a) + f(b)

2(a + b) = 2a + 2b 2a + 2b = 2a + 2b 2) ( a, b  R) f (a  b) = f(a)  f(b)

2 (a  b) = 2a  2b 2 ab = 2 (2ab) 2 ab = 2ab

f injektif a ≠ b → f(a) ≠ f(b) atau 2a ≠ 2b f surjektif (2a  R’) ( a  R) f(a) = 2a

◊ f isomorphisma

SUB RING SUB RING SUB RING SUB RING

Definisi:

Suatu himpunan (R’; +; ) yang tidak kosong disebut sub ring dari ring (R; +; ) bila hanya bila terhadap oprasi yang sama dengan R, R’ juga ring dan R’ 4 ring R dan R’ ≠ 0 disebut subring dari ring (R; +; ) bila hanya bila memenuhi:

1. a, b  R (a - b)  R 2. a, b  R a . b  R Contoh

Selidiki apakah ring himpunan bilangan genap merupakan sub ring dari ring himpunan bilangan bulat

(11)

http://www.dianadipamungkas.wordpress.com Jawab:

G : { bilangan bulat genap} atau G : {2n

׀

n

є

B}

Akan dibuktikan G subring dari bilangan bulat Jika diambil X1 = 2n1 ; n1

є

B

X2 = 2n2 ; n2

є

B

Maka

1) X1 - X2 = 2n1 - 2n2

= 2 (n1 - n2)

є

G

Karena n1 , n2

є

B → (n1 - n2)

є

B → 2(n1 - n2)

є

G 2) X1 . X2 = (2n1 ) (2n2)

= 2 (2n1 n2)

є

G

Karena n1, n2

є

B → n1 n2

є

B → 2n1 n2

є

G → 2 (2n1 n2)

є

G Karena syarat 1) dan 2) terpenuhi maka G subring dari B

Referensi

Dokumen terkait