PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Derivatif memegang peranan penting dalam syarat optimalitas fungsi, yai- tu untuk mencapai ekstrim, derivatif order satu fungsi tersebut harus bernilai nol.
Hal tersebut tidak menjadi masalah untuk fungsi diferensiabel kontinu. Akan teta- pi, tidak demikian untuk fungsi yang tidak diferensiabel. Dalam keadaan tertentu, optimisasi untuk fungsi yang tidak diferensiabel harus tetap dilakukan. Oleh kare- na itu diperlukan suatu metode optimisasi tanpa derivatif yang dapat diaplikasikan baik pada fungsi diferensiabel maupun fungsi yang tidak diferensiabel.
Salah satu metode tanpa derivatif yang cukup mudah dipahami adalah me- tode pencarian langsung (direct-search). Metode ini dilakukan dengan mencoba mengevaluasi fungsi objektif di titik-titik sejumlah berhingga pada tiap iterasi. Ke- mudian membandingkan nilai-nilai hasil evaluasi tersebut dengan nilai yang dipe- roleh sebelumnya dan memutuskan tindakan apa yang dilakukan selanjutnya tanpa pendekatan derivatif atau pembentukan model yang eksplisit maupun implisit.
Salah satu jenis metode pencarian langsung yang sederhana yaitu metode pencarian langsung yang menggunakan himpunan arah pencarian yang berbentuk basis positif untuk memperoleh titik-titik percobaannya. Metode ini disebut metode pencarian langsung berarah (directional direct-search).
1.2. Rumusan Masalah
Rumusan masalah yang dibahas di dalam skripsi ini adalah:
1. menyelidiki kekonvergenan global metode pencarian langsung berarah untuk fungsi diferensiabel kontinu dengan basis positif sebanyak berhingga dan tak hingga serta untuk fungsi yang tidak diferensiabel,
1
2. menyelidiki kekonvergenan global metode pencarian langsung berarah dengan basis positif sebanyak berhingga yang memenuhi syarat bilangan bulat dan pa- rameter step size yang memenuhi syarat bilangan rasional, dan
3. menyelidiki kekonvergenan global metode pencarian langsung berarah dengan syarat penurunan cukup dalam mengambil titik iterasi baru.
1.3. Batasan Masalah
Pada penulisan skripsi ini, penulis membatasi masalah metode pencarian langsung berarah pada masalah optimisasi tanpa kendala dengan fungsi konveks sebagai fungsi objektifnya. Dalam skripsi ini tidak membahas masalah optimisa- si dengan kendala dan masalah optimisasi yang fungsi objektifnya tidak konveks.
Sebelum membahas metode pencarian langsung berarah ini, diharapkan pembaca telah memahami konsep-konsep dasar dalam teori optimisasi.
1.4. Tujuan dan Manfaat
Penyusunan skripsi ini bertujuan untuk mempelajari salah satu jenis metode optimisasi tanpa derivatif yaitu metode pencarian langsung berarah beserta kekon- vergenan global untuk beberapa kasus tertentu. Lebih lanjut, manfaat penelitian ini adalah sebagai ide dasar untuk mengembangkan metode pencarian langsung jenis lain.
1.5. Tinjauan Pustaka
Metode pencarian langsung berarah menggunakan himpunan pembangun positif, khususnya basis positif, sebagai vektor arahnya. Beberapa sifat dasar dan teorema mengenai himpunan pembangun positif dan basis positif dapat ditemukan dalam Conn, dkk. (2009) dan Davis (1954) serta Lewis dan Torczon (1999). Di akhir pembahasan mengenai dua konsep tersebut dalam Conn, dkk. (2009), terda- pat teorema yang menyatakan bahwa norma gradien fungsi f terbatas ke atas oleh
∆ dikalikan suatu konstanta positif yang bergantung pada konstanta Lipschitz dan
cm(D)−1, yang dapat ditemukan dalam Kolda, dkk. (2003). Akibat dari teore- ma tersebut adalah untuk nilai α yang menuju nol, diperoleh bahwa gradien fungsi objektif juga konvergen ke nol, yang berarti memenuhi syarat optimalitas fungsi.
Pembahasan mengenai kerangka kerja metode pencarian langsung berarah dalam Conn, dkk. (2009) sebagian besar berdasarkan pada kerangka kerja meto- de pencarian pola tergeneralisasi (generalized pattern-search) yang diperkenalkan oleh Audet dan Dennis (2003). Dalam pembahasan mengenai kekonvergenan glo- bal metode pencarian langsung berarah untuk fungsi nonsmooth atau fungsi yang tidak diferensiabel, variasi fungsi Dennis-Wood yang digunakan oleh Conn, dkk.
(2009) serta pembahasan mengenai metode pencarian koordinat yang dapat gagal konvergen pada fungsi tersebut dapat ditemukan dalam Kolda, dkk. (2003). Defi- nisi derivatif berarah tergeneralisasi serta subdiferensial tergeneralisasi untuk fung- si nonsmooth dan beberapa teorema mengenai kedua konsep tersebut diperkenalk- an oleh Clarke (1983) dan dapat juga ditemukan dalam Makela dan Neittaanmaki (1992). Selanjutnya konsep tersebut digunakan oleh Conn, dkk. (2009) untuk me- nunjukkan kekonvergenan global metode pencarian langsung berarah untuk fungsi nonsmooth.
Metode pencarian langsung berarah dengan basis positif yang memenuhi syarat bilangan bulat dan parameter step size yang memenuhi syarat bilangan ra- sional dapat menghasilkan barisan titik iterasi yang berada di dalam himpunan yang berbentuk lattice bilangan bulat. Konsep mengenai lattice di Rn dapat di- temukan dalam artikel Lenstra (2008). Kemudian contoh yang menunjukkan per- lunya syarat bilangan bulat tersebut dapat ditemukan dalam Audet (2003). Me- tode pencarian langsung berarah menghasilkan titik-titik iterasi yang memenuhi lim infk→+∞k∇f (xk)k = 0 dan tidak dapat diperkuat menjadi limk→+∞k∇f (xk)k = 0 tanpa modifikasi lebih lanjut pada algoritma untuk metode ini. Kedua asumsi un- tuk memodifikasi algoritma tersebut dapat ditemukan dalam Conn, dkk. (2009), Kolda, dkk. (2003), serta Torczon (1997), sedangkan bukti teorema yang menun- jukkan bahwa hasil asimtotik tersebut dapat diperkuat diperoleh dari Kolda, dkk.
(2003). Pembahasan mengenai hasil asimtotik tersebut dilanjutkan dengan penya- jian dua contoh fungsi diferensiabel kontinu di R2 yang dengan metode pencarian langsung berarah menghasilkan titik limit sebanyak tak hingga. Pada contoh yang pertama, gradien di salah satu titik limit tidak nol, sedangkan pada contoh kedua, algoritma masih dapat menghasilkan titik limit sebanyak tak hingga meskipun telah memenuhi kedua asumsi untuk memperkuat hasil asimtotik di atas. Kedua contoh tersebut dapat ditemukan dalam Audet (2003). Selanjutnya pembahasan mengenai syarat penurunan cukup beserta bukti teorema yang menunjukkan kekonvergenan globalnya dapat ditemukan dalam Kolda, dkk. (2003).
Konsep-konsep dasar dalam teori optimisasi yang meliputi himpunan kon- veks, convex cone, dan hyperplane dapat ditemukan dalam beberapa buku tentang teori optimisasi yaitu Bazaraa, dkk. (2006) serta Boyd dan Vandenberghe (2004).
Kemudian konsep-konsep lebih lanjut mengenai teorema, sifat, dan corollary yang mengaitkan antara himpunan konveks, cone, convex cone, dan hyperplane dapat ditemukan dalam Rockafellar (1970), salah satu teorema tersebut digunakan oleh Conn, dkk. (2009) untuk membuktikan sifat himpunan pembangun positif. Konsep- konsep analisis real yang digunakan di dalam skripsi ini dapat ditemukan dalam buku tentang analisis real, yaitu Lang (1983).
1.6. Metodologi Penelitian
Metode yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah dengan studi literatur dari beberapa buku dan paper yang berkaitan dengan metode pencarian langsung berarah. Di dalam skripsi ini, yang akan dilakukan adalah melengkapi pembuktian teorema di dalam buku tersebut serta menambahkan beberapa contoh numerik penerapan metode pencarian langsung berarah pada beberapa fungsi yang diberikan.
Tahap awal yang dilakukan adalah mendefinisikan himpunan pembangun positif dan basis positif beserta sifat-sifatnya dan dilanjutkan dengan penjelasan mengenai beberapa mekanisme sederhana untuk membentuk basis positif. Kemu-
dian akan dijelaskan mengenai alasan mengapa himpunan pembangun positif dan basis positif digunakan dalam metode pencarian langsung berarah. Selanjutnya di- bahas mengenai estimasi gradien dalam metode pencarian langsung berarah yang diawali dengan mengenalkan definisi cosine measure untuk himpunan pembangun positif dan dilanjutkan dengan membuktikan teorema mengenai kekonvergenan glo- bal yang berkaitan dengan himpunan pembangun positif.
Tahap berikutnya adalah mengenalkan salah satu metode pencarian langsung berarah yang paling sederhana, yaitu metode pencarian koordinat, dan dilanjutkan dengan penjelasan mengenai kerangka kerja metode pencarian langsung berarah secara umum. Kemudian akan dilakukan penyelidikan mengenai kekonvergenan global untuk fungsi diferensiabel kontinu yang meliputi metode pencarian lang- sung berarah dengan basis positif yang digunakan sebanyak tak hingga dan ber- hingga. Setelah itu dilanjutkan dengan menyelidiki kekonvergenan global untuk fungsi nonsmooth atau fungsi yang tidak diferensiabel. Selanjutnya adalah pemba- hasan mengenai metode pencarian langsung berarah yang dilengkapi dengan syarat penurunan sederhana dan basis positif sebanyak berhingga yang memenuhi syarat bilangan bulat serta parameter step size yang memenuhi syarat bilangan rasional, sehingga barisan titik-titik iterasi berada di dalam himpunan yang berbentuk latti- cebilangan bulat. Kemudian akan dijelaskan mengenai modifikasi kerangka kerja metode pencarian langsung berarah untuk memperkuat hasil asimtotik dari titik- titik iterasi yang berkaitan dengan kestasioneran titik limitnya. Berikutnya adalah pembahasan mengenai metode pencarian langsung berarah yang dilengkapi dengan syarat penurunan cukup dan dilanjutkan dengan membuktikan beberapa teorema yang menunjukkan kekonvergenan global jika syarat penurunan cukup dikenakan pada metode tersebut.
1.7. Sistematika Penulisan
Pada penulisan skripsi ini, sistematika yang digunakan sebagai berikut.
BAB I PENDAHULUAN
Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang pengambilan topik mengenai meto- de pencarian langsung berarah, beberapa rumusan masalah yang akan dibicarakan di dalam skripsi ini, pembatasan masalah untuk metode pencarian langsung bera- rah, tujuan dan manfaat membahas metode pencarian langsung berarah, langkah- langkah peninjauan sumber pustaka untuk membahas metode pencarian langsung berarah, metodologi penelitian dalam pembahasan mengenai metode pencarian lang- sung berarah, dan urutan penulisan yang sistematis.
BAB II DASAR TEORI
Pada bab ini dibahas mengenai konsep yang mendasari pembahasan di bab-bab berikutnya. Konsep dasar yang dibahas pada bab ini antara lain: himpunan konveks, optimalitas fungsi, fungsi konveks, himpunan pembangun positif dan basis positif, serta estimasi gradien dalam metode pencarian langsung.
BAB III METODE PENCARIAN LANGSUNG BERARAH
Pada bab ini dibahas mengenai metode pencarian langsung berarah yang diawali dengan pembahasan mengenai salah satu metode pencarian langsung berarah yang paling sederhana, yaitu metode pencarian koordinat, dan kerangka kerja metode pencarian langsung berarah. Kemudian dilanjutkan dengan pembahasan mengenai kekonvergenan global untuk fungsi diferensiabel kontinu dan fungsi tidak diferensi- abel. Selanjutnya adalah pembahasan mengenai metode pencarian langsung berarah dengan syarat penurunan sederhana dan lattice bilangan bulat. Lalu diakhiri dengan pembahasan mengenai metode pencarian langsung berarah dengan syarat penurun- an cukup.
BAB IV PENUTUP
Pada bab ini dibahas mengenai hasil-hasil yang diperoleh dari BAB III, khususnya mengenai kekonvergenan global metode pencarian langsung berarah untuk bebera- pa kasus tertentu, serta saran-saran yang disampaikan penulis mengenai penelitian lebih lanjut yang dapat dilakukan.
