SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFFERENSIAL NON
LINEAR MENGGUNAKAN METODE EULER BERBANTUAN
PROGRAM MATLAB
SKRIPSI
oleh:
RILA DWI RAHMAWATI NIM: 03510050
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MALANG
MALANG
2007
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFFERENSIAL NON
LINEAR MENGGUNAKAN METODE EULER BERBANTUAN
PROGRAM MATLAB
SKRIPSI
Diajukan Kepada:
Universitas Islam Negeri (UIN) Malang Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan Dalam
Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) Jurusan Matematika
oleh:
RILA DWI RAHMAWATI NIM: 03510050
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG
MALANG
2007
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFFERENSIAL NON
LINEAR MENGGUNAKAN METODE EULER BERBANTUAN
PROGRAM MATLAB
SKRIPSI
oleh:
RILA DWI RAHMAWATI Nim: 03510050
Telah diperiksa dan disetujui untuk diuji Tanggal : 20 November 2007
Pembimbing Matematika Pembimbing Agama
Wahyu Henky Irawan, M.Pd NIP. 150 300 415
Ahmad Barizi, M.A NIP. 150 283 991
Mengetahui,
Ketua Jurusan Matematika
Sri Harini, M.Si NIP. 150 318 321
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFFERENSIAL NON
LINEAR MENGGUNAKAN METODE EULER BERBANTUAN
PROGRAM MATLAB
SKRIPSI
oleh :
RILA DWI RAHMAWATI NIM: 03510050
Telah Dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi dan Dinyatakan Diterima Sebagai Salah Satu Persyaratan
Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)
SUSUNAN DEWAN PENGUJI TANDA TANGAN
1. ( Penguji Utama ) Evawati Alisah, M.Pd NIP. 150 291 271
1.
2. ( Ketua Penguji ) Usman Pagalay, M.Si
NIP. 150 327 240 2.
3. ( Sekretaris ) Wahyu Henky Irawan, M.Pd NIP. 150 300 415 3.
4. ( Anggota ) Ahmad Barizi, M.A
NIP. 150 283 991
4.
Mengetahui dan Mengesahkan Ketua Jurusan matematika
Sri Harini, M.Si NIP. 150 318 321 Tanggal, 17 Desember 2007
MOTTO
Karena Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan,
Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan (Qs.Alam
Nasyrah / 94:5-6)
Sungguh membebani pikiran dengan kesulitan yang belum tiba waktunya
adalah suatu kebodohan yang nyata.
PERSEMBAHAN
Alhamdulillah puj i syukur kepada Allah Swt akhir nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik.
SKRIPSI INI KUPERSEMBAHKAN KEPADA:
Bapak dan I buku t ercint a yang senant iasa mendoakan ananda set iap saat dan selalu member ikan dukungan moril maupun mat er iil, sampai kapanpun ananda t idak akan bisa membalasnya kecuali dengan karya kecil ini.
Adikq t ersayang, yang selalu mensupport penulis dalam menyelesaikan skripsi ini, Semangat lah dalam mencari ilmu biar kelak menjadi orang yang berguna.
Seluruh keluargaQ di Maget an, t erima kasih at as doa dan dukungan kalian semua.
Mz- Sabar yang akan j adi pendamping hidupQ , meskipun j auh gak pernah lelah dan bosan memberi mot ivasi dan semangat hingga skripsi ini bisa terselesaikan, bagi Qta jarak bukanlah pemisah tapi merupakan anugerah yang patut kita syukuri.
Ucapan Terima kasih kepada:
- Bapak Wahyu Henky Irawan, Bapak Ahmad Barizi, Ibu Evawati Alisah, Ibu Ari Kusumastuti serta Bapak Jamhuri yang telah membimbing dan mengarahkan penulis serta tidak bosan memberi nasehat dan semangat
sehingga karya ini bisa terselesaikan dengan baik.
- Seluruh Guru dan Dosenku yang dengan ikhlas memberikan ilmu kepadaku. Terima kasih banyak atas ilmu yang telah Engkau berikan, semoga menjadi
ilmu yang manfa at dan barokah.
- Teman-teman seperjuangan yang telah memberi banyak masukan, nasehat dan semangat kepadaku serta Teman-teman, jurusan Matematika angkatan 2003
- Seluruh warga Arkesa 15A yang selama ini telah mengisi hari-hariku, semoga kita dapatkan impian kita masing-masing. Terima kasih banyak atas semuanya.
Mohon ma af atas semua salah dan khilaf.
- Mbak alfi imoet serta Sahabat-sahabat terbaikku yang telah banyak memberikan pertolongan dan motivasi kepadaku. Semoga Allah Swt membalas
kebaikan kalian semua.
- Semua pihak yang tidak dapat kusebutkan satu-satu, yang telah banyak membantu dalam penulisan skripsi ini, semoga Ilmunya bermanfaat dan Allah yang akan
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan
kemudahan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul Solusi
Sistem Persamaan Differensial Non Linear Menggunakan Metode Euler berbantuan Program Matlab dengan baik. Skripsi ini ditulis untuk melengkapi tugas akhir dari perkuliahan yang telah dijalankan oleh penulis selama masa
studinya di Fakultas Sains dan Teknologi, Jurusan Matematika.
Sholawat serta salam semoga tercurahkan kepada sang Pembaharu yaitu
pembawa pencerahan, Nabi Agung Muhammad SAW, yang telah mencerahkan
dunia dan isinya dengan suri tauladannya.
Dalam menyelesaikan skripsi ini, penulis merasa berhutang budi kepada
berbagai pihak yang telah banyak membantu dan memberikan motivasi serta
kritikan yang konstruktif dalam menyusun skripsi ini, oleh karena itu penulis
mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Bapak Prof. Drs. H. Imam Suprayogo selaku Rektor Universitas Islam Negeri
(UIN) Malang.
2. Bapak Prof.Drs.Sutiman B.Sumitro,SU.,Dsc. Selaku Dekan Fakultas Sains
dan Teknologi jurusan Matematika UIN Malang.
4. Bapak Wahyu Henky Irawan, M.Pd. Selaku Dosen Pembimbing
matematika yang tidak pernah lelah dan bosan membimbing serta
mengarahkan penulis sehingga skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik.
5. Bapak Ahmad Barizi, M.A. Selaku Pembimbing Integrasi Sains dan
Agama, yang juga tidak pernah lelah dan bosan membimbing serta
mengarahkan penulis sehingga skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik.
6. Ibu Evawati Alisah, Ibu Ari Kusumastuti serta Bapak Jamhuri yang telah
banyak memberikan masukan, nasehat dan motivasi kepada penulis
sehingga skripsi ini bisa terselesaikan dengan baik.
7. Bapak dan Ibuku tercinta yang dengan sepenuh hati memberikan
dukungan moril maupun spirituil serta ketulusan do anya sehingga
penulisan skripsi ini dapat terselesaikan.
8. Adikku tersayang, yang selalu memberikan dukungan kepada penulis
sehingga penulis mendapatkan semangat.
9. Keluargaku di Magetan, terima kasih atas doa dan dukungannya.
10. Seluruh Dosen Matematika UIN malang, terima kasih atas ilmu yang
kalian berikan semoga menjadi ilmu yang manfaat dan barokah.
11. Teman-teman Matematika, terutama angkatan 2003 terima kasih atas
kebersamaan kalian semua.
12. Warga Arkesa 15A serta teman-temanku yang tidak bisa kusebutkan
satu-satu yang selalu memberikan dukungan dan semangat kepada penulis,
13. Semua pihak yang telah mendukung penulis dalam menyelesaikan skripsi
ini.
Semoga atas bantuan dan dorongan yang dicurahkan kepada penulis akan
menjadi catatan amal ibadah yang diterima disisi Allah SWT. Penulis menyadari
bahwa dalam penyusunan skripsi ini jauh dari kesempurnaan, semua itu karena
keterbatasan kemampuan penulis dalam menganalisis fenomena yang ada, namun
saran dan kritik selalu penulis harapkan demi perbaikan pada penelitian
selanjutnya.
Semoga skripsi ini dapat berguna bagi semua pihak, dan dapat dijadikan
pelajaran yang bermakna bagi penulis khususnya dan bagi para pembaca pada
umumnya. Amiin...
Malang, Desember 2007
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ...i
DAFTAR ISI ...iv
DAFTAR TABEL...vi
DAFTAR GAMBAR ...vii
DAFTAR LAMPIRAN ...viii
ABSTRAK...ix
BAB I: PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah ...1
B. Rumusan Masalah...5 C. Batasan Masalah ...5 D. Tujuan Penulisan ...6 E. Manfaat Penulisan...6 F. Metode penelitian...7 G. Sistematika Penulisan ...8
BAB II: KAJIAN TEORI A. Persamaan Differensial...9
1. Persamaan Differensial Biasa...10
2. Persamaan Differensial Parsial...10
3. Persamaan Differensial Linear ... ..10
4. Persamaan Differensial Non Linear ... ..11
B. Sistem Persamaan Differensial... ..13
1. Sistem Persamaan Differensial Linear ...14
2. Sistem Persamaan Differensial Non Linear ...15
D. Konsep Dasar dan Definisi Sistem otonomus ...17
1. Persamaan Differensial Non Linear Orde Dua...17
2. Bidang phase ...17
3. Sistem Otonomus ...18
4. Lintasan atau Orbit dari Sistem Otonomus ...18
5. Solusi dari Sistem Otonomus ...18
6. Titik Kritis dari Sistem Otonomus ...19
E. Metode Euler 1. Pengertian Metode Euler ...20
2. Perkiraan Galat atau Kesalahan Metode Euler...26
3. Algoritma...29
F. Matlab ...30
BAB III. PEMBAHASAN A. Sistem Persamaan Differensial Non Linear Pada Otonomus dengan Metode Euler ...33
B. Contoh Soal Pada Otonomus dan Penyelesaiannya dengan Metode Euler dan program Matlab...36
C. Analisis Penyelesaian Sistem Persamaan Differensial Non Linear Pada Otonomus Menggunakan Metode Euler Dengan Bantuan Program matlab ...45
BAB IV. PENUTUP A. Kesimpulan...50
B. Saran ...51
DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
DAFTAR TABEL
2.1 Tabel Fungsi Matematika Pada Matlab...31
3.2 Hasil Iterasi Metode Euler dengan h 0,4 Berbantuan Matlab ...40
3.3 Hasil Iterasi Metode Euler dengan h 0,05 Berbantuan Matlab ...42
3.4 Hasil Perhitungan Metode Euler Untuk Sistem Persamaan Differensial Non
DAFTAR GAMBAR
2.1 Rumus Euler ...21
3.1 Bagan Alur Untuk Sistem Persamaan Differensial Non Linear Pada
Otonomus Menggunakan Metode Euler...35
3.2 Grafik Metode Euler dengan h 0.4...41
DAFTAR LAMPIRAN
ABSTRAK
Rahmawati,Rila Dwi. 2007. Solusi Sistem Persamaan Differensial Non Linear Menggunakan Metode Euler Berbantuan Program Matlab. Jurusan Matematika. Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Malang.
Pembimbing:(I).Wahyu Henky Irawan, M.Pd.,(II)Ahmad Barizi,M.A
Kata Kunci: Sistem Persamaan Differensial, Non Linear, Metode Euler, Program Matlab.
Suatu persamaan differensial maupun sistem persamaan differensial yang sulit diselesaikan secara analitik dapat diselesaikan secara numerik. Penghitungan numerik merupakan teknik untuk menyelesaikan permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan operasi hitungan, karena merupakan pendekatan terhadap nilai eksak maka diupayakan kesalahannya sekecil mungkin. Allah berfirman Sesungguhnya Allah telah menentukan jumlah mereka dan menghitung mereka dengan hitungan yang teliti (Qs.Maryam/18:94),dan penghitungan numerik merupakan penghitungan yang memerlukan ketelitian untuk menghindari kesalahan.
Salah satu kajian dalam metode numerik adalah menyelesaikan sistem persamaan differensial non linear dengan menggunakan metode Euler yang merupakan metode satu langkah yang paling sederhana dengan bantuan matlab yang merupakan bahasa pemrograman matematika untuk analisis dan komputasi numerik. Berdasarkan latar belakang tersebut penelitian dilakukan dengan tujuan untuk menjelaskan langkah-langkah penyelesaian sistem persamaan differensial non linear pada otonomus yang memiliki bidang phase, lintasan serta solusi sistem otonomus dengan menggunakan rumus Euler berbantuan program Matlab.
Jenis penulisan ini merupakan penelitian kepustakaan atau penelitian literatur yang bertujuan untuk mengumpulkan data atau informasi khususnya sistem persamaan differensial non linear tentang otonomus dan metode Euler serta program Matlab.
Kajian ini, diberikan contoh sistem persamaan differensial non linear pada otonomus dan menguraikan langkah-langkah penyelesaiannya dengan menggunakan perhitungan metode Euler dan bantuan program Matlab, dari hasil perhitungan nilai yang digunakan untuk menganalisis sistem otonomus yaitu nilai
) (t
x dan y (t) yang mempunyai kesalahan terkecil (mendekati nol) agar menghasilkan suatu kurva selesaiannya, lintasan dari sistem tersebut merupakan kurva pada bidang xy yang juga disebut sebagai bidang phase dan solusi sistem otonomus terletak pada nilai x (t) dan y(t)dengan kesalahan terkecil. Pada metode Euler dibutuhkan ketelitian, dengan memberikan nilai h yang semakin kecil maka semakin baik mendapatkan hasil yang diinginkan tetapi dengan waktu hitungannya menjadi lebih lama.
BAB 1
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang mengalami perkembangan
secara terus-menerus dari masa kemasa, semakin berkembangnya ilmu
pengetahuan maka akan mempermudah dalam menyelesaikan suatu
permasalahan. Dalam perkembangan dan kemajuannya, matematika dapat
memberikan sumbangan yang besar dalam memecahkan masalah-masalah pada
bidang teknik, perekonomian, sains dan permasalahan-permasalahan lainnya yang
terjadi diatas permukaan bumi ini. Banyak permasalahan-permasalahan baru yang
sebelumnya belum terselesaikan namun kini dapat dipecahkan dengan
matematika, sehingga matematika mendapat perhatian yang besar dari banyak
kalangan.
Metode numerik merupakan suatu bagian ilmu matematika, khususnya
matematika rekayasa yang menggunakan bilangan untuk menirukan proses
matematik, proses matematik ini selanjutnya dirumuskan untuk menggambarkan
keadaan sebenarnya. Permasalahan dibidang sains biasanya dapat dimodelkan
dalam persamaan matematika. Apabila persamaan tersebut mempunyai bentuk
sederhana, maka penyelesaiannya dapat dilakukan secara analitik. Pada umumnya
bentuk persamaan yang sulit diselesaikan secara analitik maka penyelesaiannya
analitik dapat dikatakan sebagai suatu rekayasa dalam menyelesaikan masalah
matematik yang sulit atau bahkan tidak dapat diselesaikan secara analitik.
Hubungan numerik dengan matematika rekayasa dapat dikatakan bahwa
dalam arti luas ukuran atau qadar adalah kemampuan merekayasa sesuatu sesuai
dengan proporsinya. Dalam hal ini, manusia sebagai makhluk Allah Swt yang
paling sempurna, dilengkapi akal pikiran, yang dengan akal pikiran tersebut
manusia dituntut untuk menyelesaikan suatu masalah atau bahkan merekayasa
penyelesian masalah tersebut. Dalam menyelesaikan suatu masalah, manusia tidak
akan berhenti pada satu cara saja, tetapi tidak menutup kemungkinan cara lain
yang lebih mudah untuk penyelesaiannya. Sebagai contoh, Allah Swt memberikan
alternatif pada hamba-Nya yang sedang sakit dalam melaksanakan sholat, dengan
beberapa alternatif. Dalam hal ini Allah memberikan kemudahan dan alternatif
kepada semua umatnya untuk menyelesaikan setiap permasalahan yang sedang
dihadapi. Sesuai firmannya dalam surat Alam Nasyrah ayat 5-6 yaitu:
Artinya: Karena Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan, Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan (Qs.Alam Nasyrah / 94:5-6)
Penghitungan numerik adalah suatu teknik untuk menyelesaikan
permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara
operasi hitungan, hasil dari penyelesaian numerik merupakan nilai perkiraan atau
pendekatan, maka terdapat galat atau kesalahan terhadap nilai eksak, nilai galat
atau kesalahan tersebut diupayakan sekecil mungkin terhadap tingkat galat atau
kesalahan yang ditetapkan (Triatmodjo,2002:1). Firman Allah dalam Surat
Maryam 94 yaitu:
Artinya: Sesungguhnya Allah telah menentukan jumlah mereka dan menghitung mereka dengan hitungan yang teliti (Qs.Maryam /19:94)
Ayat di atas menjelaskan bahwa Allah telah menetapkan balasan dan dengan
berbagai dalil yang pasti bahwa mereka akan terombang-ambing didalam
kesesatan serta berpaling dari kebenaran (Musthafa,1987:154). Sehingga
penghitungan numerik merupakan penghitungan yang memerlukan ketelitian
untuk menghindari galat atau kesalahan yang ditimbulkan.
Dalam penghitungan numerik terdapat beberapa proses hitungan untuk
menyelesaikan suatu tipe persamaan matematis. Operasi hitungan dilakukan
dengan iterasi (pengulangan). Oleh karena itu diperlukan bantuan komputer untuk
melaksanakan operasi hitungan tersebut. Tanpa bantuan komputer penghitungan
numerik tidak banyak memberikan manfaat. Bantuan komputer yang digunakan
diantaranya dapat berupa Fortran, Basic, Matlab dan lain-lain
(Triatmodjo,2002:1).
Dalam numerik banyak metode yang bisa digunakan untuk menyelesaikan
persamaan diferensial maupun sistem persamaan differensial. Sistem persamaan
persamaan differensial non linear dengan dua fungsi tak diketahui berbentuk ) , ( ' y x f x dan ( , ) ' y x g
y (Hariyanto,1992:194), dimana f dan g mempunyai
turunan parsial yang kontinyu untuk semua x,y , untuk mencari solusi eksak dari
sistem persamaan differensial non linear sangat tidak mungkin sehingga
diperlukan metode numerik untuk menyelesaikannya.
Salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan
differensial non linear tersebut adalah metode Euler. Metode Euler merupakan
salah satu dari metode satu langkah yang paling sederhana. Metode ini membantu
menggambarkan konsep-konsep yang terlibat dalam metode lanjut dan metode ini
penting untuk dipelajari karena analisis galatnya mudah untuk dimengerti
(Sa dijah,1991:75).
Metode ini merupakan pemecahan masalah dalam sistem karena lebih
sederhana, dengan dt ti 1 ti,dx xi 1 xi dan dy yi 1 yidari persamaan tersebut apabila disubstitusikan kepersamaan dx f(t,x,y)dt dan
dt y x t g
dy ( , , ) maka didapatkan: xi 1 xi f ti, xi,yi ti1 ti dan
i i i i i i i y g t x y t t y 1 ( , , ) 1 (Mathews&Fink,1981:488).
Dalam menyelesaikan sistem persamaan differensial non linear
menggunakan metode Euler dapat menggunakan bantuan Matlab, yang
merupakan suatu bahasa pemrograman matematika untuk analisis dan komputasi
numerik. Kelebihan dari Matlab itu sendiri adalah memudahkan menyelesaikan
Penerapan sistem persamaan differensial non linear juga banyak
digambarkan dalam model matematis seperti pada persamaan sistem Otonomus,
persamaan Van der pool serta dalam keadaan yang lebih mendekati kenyataan,
misalnya pada biologi yaitu pada interaksi populasi (Lotka dan Volterra), pada
fisika yaitu mekanika tak linear gerak ayunan sederhana maupun pada bidang
kimia, teknik, dan ekonomi. Selain itu sistem persamaan differensial non linear
juga dapat diterapkan pada penelitian suatu kasus di kehidupan nyata seperti pada
kasus flu burung, HIV, pembelahan sel pada manusia serta masih banyak yang
lainnya yang masih terus dikembangkan.
Oleh karena itu penulis mengangkat tema penelitian ini dengan Solusi
Sistem Persamaan Differensial Non Linear Menggunakan Metode Euler Berbantuan Program Matlab .
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas, rumusan masalah dalam penulisan ini
adalah bagaimana penyelesaian sistem persamaan differensial non linear dengan
metode Euler berbantuan program Matlab?
C. Batasan Masalah
Ruang lingkup pembahasan dalam skripsi ini adalah pada sistem persamaan
differensial biasa non linear orde satu pada otonomus yang berbentuk
) , ( ), , ( ' ' y x g y dan y x f
x dengan dua persamaan yang saling terkait hanya
otonomus, dan pada selang t0 t b dengan kondisi awal x(t0) x0dan
0
0)
(t y
y dengan bantuan Matlab 5.3.1
D. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan ini adalah untuk mengetahui penyelesaian sistem
persamaan differensial non linear dengan metode Euler berbantuan Matlab dengan
menguraikan langkah-langkah menyelesaikan sistem persamaan differensial non
linear pada otonomus menggunakan rumus Euler berbantuan program Matlab.
E. Manfaat Penulisan 1. Bagi Penulis
Untuk mengembangkan dan mengaplikasikan pengetahuan dan keilmuan
dibidang matematika khususnya differensial dan numerik.
2. Bagi Pembaca
Sebagai tambahan pengetahuan bidang matematika khususnya metode
numerik dan sistem persamaan differensial non linear pada otonomus.
3. Bagi Lembaga
Sebagai bahan pengembangan, perbaikan keilmuan dan pemaduan sains
dan teknologi
Sebagai bahan pustaka tentang pembelajaran mata kuliah numerik dan
F. Metode Penelitian
Metode penelitian yang digunakan dalam penulisan ini adalah studi literatur.
Studi literatur yaitu melakukan penelusuran dengan penelaahan terhadap beberapa
literatur yang mempunyai relevansi dengan topik pembahasan (Nazir,1988:11).
Adapun literatur yang saya gunakan yaitu: Persamaan Differensial Biasa karangan
Pamuntjak & Widiarti Santosa, Differential Equation third karangan Shepley L.
Ross, Metode Numerik karangan Bambang Triatmodjo dan masih banyak yang
lainnya serta catatan-catatan selama diperkuliahan.
Langkah umum dalam penulisan ini adalah:
Merumuskan Masalah
Mengumpulkan bahan atau sumber dan informasi dengan cara membaca
dan memahami literatur yang berkaitan dengan metode Euler dan sistem
persamaan differensial biasa non linear orde satu pada otonomus
Setelah memperoleh data dan informasi tentang metode Euler dan sistem
persamaan differensial non linear pada otonomus, langkah selanjutnya
melakukan pembahasan dengan menguraikan langkah-langkah
penyelesaian sistem persamaan differensial non linear pada otonomus
menggunakan metode Euler.
Kemudian memberikan contoh dan penyelesaiannya dari sistem persamaan
differensial non linear pada otonomus menggunakan rumus Euler dengan
Membuat kesimpulan berupa solusi sistem persamaan differensial non
linear pada otonomus menggunakan metode Euler berbantuan program
Matlab.
Melaporkan.
G. Sistematika Pembahasan
Skripsi ini menggunakan sistematika penulisan dan pembahasan sebagai
berikut:
BAB I, berisi tentang pendahuluan yang terdiri dari latar belakang masalah,
rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode
penelitian, dan sistematika pembahasan.
BAB II, berisi tentang kajian teori yang terdiri dari persamaan differensial,
sistem persamaan differensial, masalah nilai awal, sistem otonomus, metode euler,
dan matlab.
BAB III, berisi tentang pembahasan berupa langkah-langkah metode euler
untuk menyelesaikan sistem persamaan differensial non linear pada otonomus dan
analisis penyelesaian persamaan otonomus menggunakan metode euler dengan
bantuan Matlab.
BAB IV, berisi penutup yang terdiri dari kesimpulan berupa
langkah-langkah metode euler dalam menyelesaikan sistem persamaan otonomus dan hasil
analisis yang sudah dilakukan serta saran untuk orang yang bergelut dibidang
BAB II KAJIAN TEORI
A. Persamaan differensial
Definisi 1: Persamaan differensial adalah persamaan yang menyangkut satu atau lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta turunannya terhadap satu
atau lebih peubah bebas (Pamuntjak dan Santosa,1990:1-11)
Contoh 1: t u C y u x u a 2 2 2 2 2 1 ) y x t dt dx ty x dt dx b) 2 2 x y y y c) ''' 2( '')2 ' cos
Tingkat (orde) persamaan differensial adalah tingkat tertinggi turunan yang
timbul. Sedangkan derajat (pangkat) persamaan differensial yang dapat ditulis
sebagai polinomial dalam turunan, adalah derajat turunan tingkat tertinggi yang
terjadi (Ayres,1995:1)
Menurut peubah bebas, persamaan differensial dapat dibedakan menjadi dua
macam yaitu persamaan differensial biasa dan parsial sedangkan persamaan
differensial dilihat dari bentuk fungsi atau pangkatnya juga dibedakan menjadi
1. Persamaan differensial biasa adalah persamaan differensial yang menyangkut
satu atau lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta turunannya terhadap satu
peubah bebas (Pamuntjak dan Santosa,1990:1-12)
Contoh 1: bandul masalah matematika el Pada e l g dt e d ty x dt dx mod 0 sin 2 2 2
2. Persamaan differensial parsial adalah persamaan differensial yang menyangkut
satu atau lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta turunannya terhadap lebih
dari satu peubah bebas (Pamuntjak dan Santosa,1990:1-12).
Contoh 2: t v c y v x v 2 2 2 2 2 1
3. Persamaan Differensial linear
Sebuah persamaan differensial termasuk persamaan diferensial linier jika
memenuhi dua hal berikut:
a. Variabel-variabel terikat dan turunannya paling tinggi berpangkat satu.
b. Tidak mengandung bentuk perkalian antara sebuah variabel terikat dengan
variabel terikat lainnya, atau turunan yang satu dengan turunan lainnya,
Jadi istilah linier berkaitan dengan kenyataan bahwa tiap suku dalam
persamaan differensial itu, peubah-peubah y,y', ,yn berderajat satu atau nol. Bentuk umum persamaan differensial linier orde-n adalah: (Ladas,1988: 58)
) ( ) ( ' ) ( ) ( ) (x y a 1 x y 1 a1 x y a0 x y f x an n n n (2.1) Contoh 3: 1. xy' 2y x3 2. y' '' 2y'' y' x
4. Persamaan Differensial Non Linear adalah persamaan diferensial yang bukan
persamaan differensial linier (Pamuntjak dan Santosa,1990:1-15).
Dengan demikian persamaan differensial F x,y, ,ym 0 adalah persamaan differensial tak linier, jika salah satu dari berikut dipenuhi oleh F :
a. F tidak berbentuk polinom dalam y,y, ,ym
b. F tidak berbentuk polinom berpangkat lebih dari 2 dalam y,y, ,ym Contoh 4:
1. y y xy 0 persamaan differensial tak linier karena
y x y y y y y x
F , , , polinom berpangkat dua dalam y,y,y .
2. sin cos 2 0 2 dx y d dx dy
xy tak linier, karena F tak berbentuk polinom
dalam 2 2 , , dx y d dx dy y .
Konsep persamaan tersebut dapat digambarkan dengan kedudukan manusia
sebagai mahluk Allah Swt di hadapan-Nya. Allah Swt menilai kedudukan
hamba-Nya tidak dilihat dari segi kekayaan, ketampanan maupun kepintarannya, akan
tetapi dilihat dari ketakwaannya. Dengan kata lain, kedudukan (orde atau tingkat)
manusia di hadapan Allah Swt adalah sama, tidak ada perbedaan di antara
manusia, melainkan ketakwaannya. Sebagaimana firman Allah Swt:
...
Artinya: Sesungguhnya orang yang paling mulia diantara kamu di sisi Allah ialah orang yang paling taqwa diantara kamu. Sesungguhnya Allah Maha mengetahui lagi Maha Mengenal.(Qs.Al-Hujurat / 49: 13)
Di sisi lain, hubungan kedua komponen pembentuk persamaan differensial
yaitu peubah bebas dan peubah tak bebas, dapat digambarkan dengan fitrah
manusia, dimana Allah menciptakan manusia dalam keadaan fitrah dan tidak
mengetahui sesuatupun, baik pendengaran, penglihatan dan hati agar bisa
bersyukur. Firman Allah yang berbunyi:
Artinya: Dan Allah mengeluarkan kamu dari perut ibumu dalam keadaan tidak mengetahui sesuatupun, dan dia memberi kamu pendengaran, penglihatan dan hati, agar kamu bersyukur (Qs.An-Nahl / 16:78)
Ayat di atas menjelaskan bahwa setiap anak yang baru dilahirkan tidak
lingkungannya masing-masing, terutama kedua orang tuanya yang akan
memberikan pengetahuan awal dalam proses pembentukan kepribadiannya
tersebut. Jika hal ini diterjemahkan secara matematis ada sebuah hubungan
ketergantungan antara anak dengan orang tua, anak sebagai peubah tak bebas
dalam proses pembentukan kepribadiannya ditentukan oleh kedua orang tua yang
mendidiknya, sehingga orang tua dalam hal ini disebut peubah bebas. Jadi pada
dasarnya ada pesan yang ingin disampaikan Allah melalui fitrah penciptaan
manusia yaitu hubungan ketergantungan antara peubah tak bebas terhadap peubah
bebas yang dalam perkembangan selanjutnya secara khusus dipelajari secara
differensial sebagai salah satu cabang dalam ilmu matematika.
C. Sistem Persamaan Differensial
Definisi 2: Sistem persamaan differensial adalah suatu persamaan differensial berorde n dan telah di nyatakan sebagai suatu sistem dari n
persamaan berorde satu (Conte dan Boor,1993:359). Persamaan itu
dapat ditulis dalam bentuk:
)) ( , ), ( ), ( , (x y x y' x y 1 x f yn n (2.2)
Secara umum, suatu sistem n persamaan orde pertama mempunyai bentuk
) , , , , ( ) , , , ( ) , , , , ( 2 1 ' 2 , 1 2 2 ' 2 2 1 1 1 ' 1 n n n n n n y y y x f dx dy y y y y x f dx dy y y y y x f dx dy y ... (2.3)
Sistem persamaan differensial merupakan persamaan differensial yang
mempunyai lebih dari satu persamaan yang harus konsisten serta trivial. Sistem
persamaan differensial adalah gabungan dari n buah persamaan differensial
dengan n buah fungsi tak diketahui, dalam hal ini, n merupakan bilangan bulat
positif 2. Sistem persamaan differensial juga dibedakan menjadi dua yaitu
sistem persamaan differensial linear dan sistem non linear.
1. Sistem Persamaan Differensial Linear adalah sistem persamaan yang terdiri
dari n buah persamaan differensial linear dengan n buah fungsi tak diketahui.
berbentuk: ) ( ) ( ) ( ) ( . ... ... ... ... ... ... ... ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 . 2 2 22 1 21 2 . 1 1 2 12 1 11 1 . 2 t f x t a x t a x t a x t f x t a x t a x t a x t f x t a x t a x t a x n n nn n n n n n n n (2.4)
Sistem persamaan differensial linear dengan dua fungsi yang tak diketahui
berbentuk: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 2 ' 1 2 1 1 ' t f x t d x t c x t f x t b x t a x (2.5)
Dengan dan fungsi-fungsi f 1, f2 merupakan fungsi t yang kontinu pada
suatu selang I dan x1, x2 adalah fungsi t yang tidak di ketahui (Ladas,1988:132)
2. Sistem Persamaan Differensial Non Linear
Sistem persamaan yang terdiri dari n buah persamaan differensial tak linear
dengan n buah fungsi tak diketahui. Sistem ini disebut juga sistem tak linear.
Bentuk umum sistem persamaan differensial non linear dapat ditulis:
) , ( ) , ( y x g dt dy y x f dt dx (2.6)
f dan g mempunyai turunan parsial yang kontinu untuk semua x,y , dengan:
) , ( ) , ( y x g y x f dt dx dt dy , ) , ( ) , ( y x g y x f dx dy (Hariyanto,1992:194)
Sebuah persamaan differensial disebut sistem jika terdiri dari n buah
persamaan differensial (n 2). Begitu juga manusia, dalam kehidupan ini
manusia dituntut untuk membentuk suatu sistem dengan cara berinteraksi dengan
manusia lain, yaitu dengan membentuk suatu sistem kemasyarakatan. Sebagai
contoh dalam proses pembayaran zakat, yang terdiri dari 3 komponen yang
membentuknya, yaitu:
1 .
x = Pemberi zakat (muzakki)
2 .
x = Amil zakat
3 .
Dalam konsep matematika, variabel 1 . x , 2 . x dan 3 .
x akan membentuk suatu sistem persamaan differensial. Sehingga analoginya, antara pemberi zakat
(muzakki), amil zakat dan penerima zakat (mustakhiq zakat) akan membentuk
suatu sistem, yaitu proses pembayaran zakat.
D. Masalah Nilai Awal
Definisi 3: Masalah nilai awal persamaan bagi persamaan differensial orde-n yaitu: 0 , , , , n n dx y d dx dy y x F
diartikan sebagai mencari sebuah selesaian persamaan differensial dalam interval
b x a
I : sedemikian hingga di titik x 0 berlaku kondisi awal
1 0 ) 1 ( 1 0 0 0) , '( ) , , '( ) (x y y x y y n x yn y
dengan x 0 dalam selang
b x
a dan y0,y1, ,yn1 merupakan konstanta (kusumah,1989:35).
Masalah mencari solusi sistem persamaan differensial (2.3) pada selang I adalah
mencari fungsi-fungsi y1 y1(x), y2 y2(x), ,yn yn(x) yang didefinisikan pada selang I sehingga y1',y2', ,yn' ada (terdefinisi) pada I dan memenuhi hubungan (2.3). Jadi fungsi-fungsi y1 y1(x), y2 y2(x), ,yn yn(x) adalah solusi sistem persamaan persamaan differensial (2.3) pada selang I apabila
Mencari solusi sistem persamaan differensial (2.3) pada selang I yang
memenuhi syarat awal y1(x0) a1, y2(x0) a2, ,yn(x0) an, x0 I disebut masalah nilai awal (Nababan,1987:8.5).
E. Konsep Dasar dan Definisi Sistem Otonomus 1. Persamaan diferensial non linear orde dua
Bentuk umum persamaan diferensial non linear orde dua yaitu:
dt dx x F dt x d , 2 2 (2.7) (L.Ross.1984:632) Contoh: ( 2 1) 0 2 2 x dt dx x dt x d (2.8)
Dengan µ adalah suatu konstanta positif. Hubungan antara persamaan (2.7) dan
(2.8) adalah x dt dx x dt dx x F , ( 2 1) . Jika y = dt dx maka F x y dt x d , 2 2 atau nonlinear l diferensia persamaan sistem y x F dt dy y dt dx ) , (
2. Bidang Phase
Bidang phase adalah suatu bidang dari variabel-variabel x dan dt dx karena y = dt dx
, maka bidang phase xy adalah penyederhanaan dari x dan dt dx
yang telah
dijelaskan diatas (L.Ross.1984:633).
3. Sistem Otonomus
Sistem otonomus adalah sistem yang berbentuk:
y x g dt dy y x f dt dx , , (2.9)
Dengan variabel bebas t , yang terlihat hanya pada pendeferensialan dt diruas kiri
dan tidak eksplisit pada fungsi f dan g diruas kanan (L.Ross.1984:633)
4. Lintasan atau Orbit dari Sistem Otonomus
Lintasan atau orbit dari sistem otonomus adalah suatu kurva pada bidang xy
yang didefinisikan oleh solusi x f(t),y g(t).
Jika pasangan terurut fungsi yang didefinisikan oleh solusi x f(t),y g(t)
dengan t i adalah sebarang bilangan real, maka pasangan terurut fungsi )
( ),
(t ti y g t ti f
x juga merupakan solusi dari sistem otonomus, walaupun
kedua solusi tersebut berbeda, namun keduanya mendefinisikan lintasan yang
5. Solusi dari Sistem otonomus
Solusi dari sistem otonomus adalah suatu pasangan terurut fungsi f , g
sedemikian hingga x f(t),y g(t) memenuhi kedua persamaan sistem
otonomus. Hasil eliminasi variabel t dari sistem otonomus adalah
0 ) , ( ) , ( ) , ( y x P dengan y x P y x Q dx dy
Menunjukkan suatu kemiringan lintasan dari sistem otonomus (L.Ross.1984:634).
6. Titik kritis dari sistem otonomus
Definisi 4: Diberikan sistem otonomus
) , ( ) , ( y x g dt dy y x f dt dx (2.10)
Dititik x0, y0 yang keduanya f x0,y0 0dan g (x0,y0) 0 maka titik x 0, y0
ini disebut dengan titik kritis dari sistem otonomus.(L.Ross.1984:634)
Sistem otonomus dan titik kritisnya dalam kajian agama di kaitkan pada
penciptaan tujuh langit yang berlapis-lapis, dimana antara lapisan satu dengan
yang lainnya saling seimbang. Firman Allah dalam surat Al-Mulk:3 yaitu:
Artinya: Yang Telah menciptakan tujuh langit berlapis-lapis. kamu sekali-kali tidak melihat pada ciptaan Tuhan yang Maha Pemurah sesuatu yang
tidak seimbang. Maka Lihatlah berulang-ulang, Adakah kamu lihat sesuatu yang tidak seimbang? (Qs.Al-Mulk / 67:3)
Ayat diatas menjelaskan tentang pentingnya kesetimbangan, Allah
menciptakan segala sesuatu dengan seimbang sehingga tidak akan terjadi
kekacauan antara yang satu dengan yang lainnya, dan kesetimbangan sangat
diperlukan dalam sistem otonomus.
F. Metode Euler
1. Pengertian Metode Euler
Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling tua
dan paling sederhana dalam menyelesaikan persamaan differensial. Metode ini
perlu dipelajari mengingat kesederhanaannya dan mudah pemahamannya
sehingga memudahkan didalam mempelajari konsep-konsep yang terlibat dalam
metode lanjut (Triatmodjo,2002:169). Penyelesaian persamaan differensial biasa
dengan metode Euler sangat sederhana, akan tetapi hasil penyelesaiannya sering
merupakan penyelesaian pendekatan dengan nilai error yang cukup besar,
biasanya untuk mengurangi nilai errornya diambil partisi h yang cukup kecil,
akan tetapi hal ini akan menambah jumlah iterasinya. Metode ini juga dapat
digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan differensial. Penyelesaian
dengan metode Euler tidak perlu mencari turunan-turunan fungsi terlebih dahulu
(Prastyoko,2003:261).
Metode ini juga digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal yang
b x x y x y x y x f x y'( ) ( , ( )), ( 0) 0, 0 dengan yn y(xn)
Untuk mencari y(x), selang x ,0 b dibagi menjadi N buah selang beraturan,
sehingga diperoleh partisi P pada x ,0 b yang didefinisikan dengan:
1 ; , , 3 , 2 , 1 , 0 | i i i i N x x x P atau x0 x1 x2 xn b, N n nh x xn 0 , 1,2,3, , dan N x x h n 0
Adapun rumus Euler dapat diperoleh sebagai berikut:
Gambar 2.1. Rumus Euler
Persamaan garis singgung a dititik x ,i yi adalah: i i i i x x y y m 1 1 (2.11) ) , (xi yi f dx dy 1 i x i x 1 i y i y a h y x
Atau: ) , (xi yi f dx dy m (2.12)
Dan dari persamaan (2.11) dan (2.12) maka:
) , ( ) , ( 1 1 1 1 i i i i i i i i i i i i y x f x x y y y x f x x y y
Karena xi 1 xi h makayi 1 yi h f(xi,yi)
(2.13)
Persamaan (2.13) disebut Rumus Euler.
Dengan: i 0,1,2, ,n 1 i y = hampiran sekarang y = hampiran sebelumnya i h = ukuran langkah
Dalam metode Euler selesaian yang di peroleh berupa urutan nilai y untuk i
i
x
x dengan i 0,1,2, ,n 1
Jika urutan titik-titik x , i yi tersebut di hubungkan dengan segmen garis maka akan terbentuk bangun yang dinamakan rantai poligon. Untuk masalah nilai awal
yang berbentuk: 0 0 0 0 ' ' ) ( , ) ( ) , , ( ) , , ( y t y x t x y x t g y y x t f x
Maka Rumus Euler untuk sistem berbentuk sebagai berikut: h t t dengan n i h y x t g y y n i h y x t f x x i i i i i i i i i i i i 1 1 1 , , 2 , 1 , 0 , ) , , ( , , 2 , 1 , 0 , ) , , (
Contoh: Carilah hampiran selesaian dari sistem persamaan differensial berikut pada interval 0 t 1: y x dt dx y x dt dy 2 , dimana t 0, x 0.5, y 0.25
Dengan menggunakan metode Euler, pada interval yang sudah diketahui maka
iterasi yang digunakan sebanyak 5!
Penyelesaiannya:
Karena jumlah iterasi sebanyak 5 maka diperoleh nilai 0.2 5
0 1
h , dengan
menggunakan rumus Euler untuk sistem maka hampiran selesaiannya adalah:
Iterasi ke-1 65 . 0 * ) , , (0 0 0 1 0 1 x f t x y h x 45 . 0 * ) , , (0 0 0 1 0 1 y g t x y h y 2 . 0 0 1 t h t Iterasi ke-2 87 . 0 * ) , , (1 1 1 1 1 2 x f t x y h x
76 . 0 * ) , , (1 1 1 1 1 2 y g t x y h y 4 . 0 1 2 t h t Iterasi ke-3 196 . 1 * ) , , (2 2 2 1 2 3 x f t x y h x 238 . 1 * ) , , ( 2 2 2 1 2 3 y g t x y h y 6 . 0 2 3 t h t Iterasi ke-4 6828 . 1 * ) , , (3 3 3 1 3 4 x f t x y h x 9724 . 1 * ) , , (3 3 3 1 3 4 y g t x y h y 8 . 0 3 4 t h t Iterasi ke-5 4384 . 2 * ) , , (4 4 4 1 4 5 x f t x y h x 09792 . 3 * ) , , ( 4 4 4 1 4 5 y g t x y h y 1 4 5 t h t
Dalam kajian agama, banyak sekali fenomena yang jika dikaji secara
mendalam akan ditemukan konsep numerik (bilangan atau angka) di dalamnya.
Konsep ulangan yang terdapat dalam numerik juga tercermin dalam kewajiban
shalat yang diperintahkan Allah pada setiap manusia. Firman Allah dalam surat
An-Nisa ayat 103 yaitu:
Artinya: Sesungguhnya shalat itu adalah fardhu yang ditentukan waktunya atas orang-orang yang beriman. (Qs.An-Nisa / 4: 103)
Ayat di atas menjelaskan bahwa waktu-waktu shalat telah ditentukan
waktunya dan menjadi ketetapan, baik itu shalat fardhu maupun shalat sunah,
dalam sehari kita diwajibkan melakukan shalat fardhu 5 kali dalam waktu yang
berbeda-beda, shalat 5 waktu yang diwajibkan dalam sehari (Dhuhur, ashar,
magrib, isya , dan subuh) merupakan shalat wajib yang harus ditunaikan dan tidak
boleh ditinggalkan. Sehingga ada proses yang dilakukan secara berulang-ulang
dalam setiap shalat yang dikerjakan pada waktu yang berlainan dalam sehari.
Begitupula dengan jumlah rakaat dalam shalat yang terdiri dari bilangan-bilangan
dan angka-angka yang berbeda-beda tiap-tiap shalat, misalnya dhuhur dengan 4
rakaat, ashar 4 rakaat, magrib 3 rakaat, isya 4 rakaat, dan subuh dengan 2 rakaat
yang merupakan bilangan dalam shalat dan sudah merupakan suatu ketetapan
Selain perintah shalat yang diturunkan dengan segala perhitungan dan
ketentuan-Nya, Allah juga menciptakan alam ini dengan perhitungan. Dalam
Firmannya yang berbunyi:
Artinya: Dan kami jadikan malam dan siang sebagai dua tanda, lalu kami hapuskan tanda malam dan kami jadikan tanda siang itu terang, agar kamu mencari kurnia dari Tuhanmu, dan supaya kamu mengetahui bilangan tahun-tahun dan perhitungan. dan segala sesuatu Telah kami terangkan dengan jelas (Qs. Al-Isro / 17:12)
Ayat di atas menjelaskan akurasi hukum alam yang mengedarkan siang dan
malam ini telah berbicara kepada kita tentang bukti ketelitian sang pengatur dan
sang pencipta peredaran itu sendiri. Dengan hukum alam yang sangat akurat dan
teliti ini, berkait pula amal perbuatan dan balasannya (Quthb,2003:242) begitu
Magrib(4 rakaat) (17.44) Isya(4 rakaat) (18.59) Subuh(2 rakaat) (03.47) Ashar(4 rakaat) (14.52) Dhuhur (4rakaat) (11.27)
pula dalam numerik yang perhitungannya selalu berulang-ulang dan memerlukan
ketelitian.
2. Perkiraan Galat atau kesalahan Metode Euler
Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematik hanya
memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak dari penyelesaian analitis.
Galat atau kesalahan di definisikan sebagai selisih antara nilai sebenarnya dengan
nilai hampiran. Secara matematis galat atau kesalahan di definisikan sebagai
berikut:
Galat = nilai sebenarnya nilai hampiran
Ex = X-X (2.14)
Dengan Ex : Galat
X : nilai sebenarnya
X : nilai hampiran
Karena merupakan selisih antara nilai sebenarnya dan nilai hampiran maka nilai
galat atau kesalahan dapat positif atau nol atau negatif, maka besar galat atau
kesalahan didefinisikan sebagai harga mutlak nilai galat atau kesalahan.
Salah satu tantangan metode numerik adalah menentukan taksiran galat atau
kesalahan tanpa mengetahui nilai sebenarnya, karena nilai sebenarnya hanya dapat
di cari jika fungsi yang di ketahui dapat di cari selesaiannya secara analitik. Untuk
menentukan tafsiran atau nilai hampiran di gunakan pendekatan banyaknya
selang, sedangkan galat atau kesalahan di taksir sebagai berikut:
dalam kasus nyata, besarnya galat atau kesalahan tidak dapat di hitung yang dapat
di lakukan adalah menaksir atau memberi batas atas galat sekecil mungkin,
misalnya batas galat sama dengan 10-9, sehingga |galat| 109 (Sa dijah,1991:5-7).
Dalam metode numerik galat atau kesalahan juga dipengaruhi dari masukan
dan algoritma, kesalahan masukan dan algoritma terjadi di dalam semua
pemakaian, pengaruh kesalahan ini pada keluaran yang dihitung hanya dapat
diperkirakan sampai tahap tertentu. Tiga sumber galat atau kesalahan yang utama
dalam numerik yaitu:
a. Kesalahan masukan, timbul bila nilai-nilai y0, ,yn yang diberikan tidak eksak, sebagaimana biasanya nilai eksperimental atau nilai yang
dihitung.
b. Kesalahan pemotongan, adalah selisih y(x) p(x), yang diterima
pada saat memutuskan untuk menggunakan sebuah aproksimasi
polinomial. Kesalahan pemotongan juga merupakan kesalahan
algoritma
c. Kesalahan pembulatan, terjadi karena komputer beroperasi dengan
sejumlah angka yang tetap dan setiap angka yang berlebihan yang
dihasilkan didalam perkalian atau pembagian akan hilang, kesalahan
ini juga merupakan kesalahan algoritma yang lain.
Kesalahan algoritma membuat konvergensi menjadi kabur yang secara
teoritis harus terjadi, dan di dalam prakteknya didapatkan pengurangan h dibawah
suatu tingkat tertentu akan menghasilkan kesalahan yang lebih besar. Jika
yang akan membatasi ketelitian yang dapat diperoleh oleh sebuah metode yang
diberikan (Scheid,1992:87).
Konsep kesalahan dapat dianalogikan dengan dosa yang dilakukan manusia,
hal ini tergantung dari perbuatan manusia di dunia, dan mereka akan mendapatkan
balasannya kelak diakhirat, dosa yang kita lakukan baik ringan atau berat akan
dihitung dengan sangat teliti dan tidak akan ada yang terlewatkan. Firman Allah:
Artinya: Sesungguhnya Allah Telah menentukan jumlah mereka dan menghitung mereka dengan hitungan yang teliti (Qs.Maryam / 19:94)
Ayat diatas menjelaskan bahwa Allah mengetahui kadar setiap peristiwa dan
rinciannya, baik apa yang terjangkau oleh makhluk maupun yang mereka tidak
dapat jangkau, seperti hembusan nafas, rincian perolehan rezeki dan kadarnya
untuk masa kini dan mendatang (Quraish,2002:257).
Selain itu ayat diatas juga menjelaskan bahwa Allah sangat cepat dalam
menghitung dan sangat teliti, sedangkan dalam matematika, numerik adalah
hitungan dengan bilangan yang dilakukan secara berulang-ulang dengan
memerlukan ketelitian.
3. Algoritma
Algoritma adalah prosedur yang terdiri atas himpunan berhingga aturan
rangkaian berhingga operasi yang menyediakan penyelesaian atas suatu
masalah.(Sa dijah,1991:12).
Contoh: Tuliskan algoritma untuk perhitungan B b1,b2, ,bn
Sehingga algoritmanya dalam bentuk kalimat dapat ditulis sebagai berikut:
Langkah: B 1 Untuk i 1,2, ,n
i b B B *
Algoritma metode Euler untuk menghitung hampiran penyelesaian masalah
nilai awal y' f(t,y) dengan y(t0) y0 pada t0 b yaitu:
Masukan : nilai awal n,t0,b, y0dan fungsi f
Keluaran : hampiran selesaian (t ,i yi), dengan i 1,2, ,n Langkah-langkah: Hitung n t b h 0 untuk i 1,2, ,n Hitung t i ti1 h, yi 1 h* f ti 1,yi 1 Selesai
G. Matlab
Matlab (Matrik laboratory) adalah sebuah program untuk analisis dan
komputasi numerik, yang merupakan suatu bahasa pemrograman matematika
lanjutan yang di bentuk dengan dasar pemikiran dengan menggunakan sifat dan
bentuk matriks (Arhami&Desiani,2005:1).
Kegunaan Matlab secara umum adalah untuk:
1. Matematika dan Komputasi
2. Pengembangan Algoritma
3. Pemodelan, simulasi, dan pembuatan prototype
4. Analisis data, eksplorasi, dan visualisasi
5. Pembuatan aplikasi, termasuk pembuatan antarmuka grafis.
Matlab adalah sistem interaktif dengan elemen dasar basis data array yang
dimensinya tidak perlu dinyatakan secara khusus. Hal ini di gunakan untuk
memecahkan banyak masalah perhitungan teknis, khususnya yang melibatkan
matriks dan vektor (Hanselman&Littlefield,1997:VIII)
Beberapa fungsi matematika umum dan kemampuan sains yang tersedia pada
Tabel 2.1 Tabel fungsi matematika pada Matlab
Fungsi Keterangan
abs (x) absolute, harga mutlak atau besarnya bilangan kompleks acos (x) arc cos, invers cosinus
acosh (x) arc cosh, invers cos hiperbolik
angle (x) sudut suatu bilangan kompleks pada empat kuadran asin (x) arc sin, invers sinus
asinh (x) arc sinh, invers sinus hiperbolik atan (x) arc tan, invers tangent
atan2 (x) invers tangent untuk empat kuadran atanh (x) arc tanh, invers tangn hiperbolik
ceil (x) pembulatan kea rah plus tak terhingga (keatas) conj (x) konjugat bilangan kompleks
cos (x) Cosinus
cosh (x) cosinus hiperbolik exp (x) eksponensial (ex) fix (x) pembulatan kearah nol
floor (x) pembulatan kearah minus tak terhingga (ke bawah) gcd (x,y) faktor persekutuan terbesar dari bilangan bulat x dan y imag (x) bagian imajiner suatu bilangan kompleks
lcm (x,y) kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan bulat x dan y log (x) logaritma natural (basis e)
log10 (x) logaritma biasa (basis 10)
real (x) bagian real suatu bilangan kompleks rem (x,y) sisa pembagian dari operasi x/y
round (x) pembulatan ke arah bilangan bulat terdekat
sign (x) menghasilkan tanda +,-,atau 0 untuk bilangan positif, negatif,dan nol
sin (x) Sinus
sinh (x) sinus hiperbolik sqrt (x) akar kuadrat
tan (x) Tangent
Lembar kerja Matlab bukanlah merupakan suatu file yang dapat disimpan
apalagi dibuka untuk waktu yang lain. Perintah-perintah dan data-data yang di
ketikkan pada promt command line tidak dapat di edit dan hanya di simpan
sementara waktu itu saja, yaitu selama memori penyimpanan tidak di hapus atau
Untuk membuat suatu file yang dapat di edit dan di simpan untuk di buka
kembali, Matlab menyediakan tempat yang di namakan dengan M-file. Caranya
buka menu File/ new/ M-file. Pada lembar kerja ini dapat mengetikkan
perintah-perintah dan data-data yng dapat di edit, di simpan dan di buka kembali. Dia dapat
menyimpan M-file dengan membuka menu File/ Save di folder default work yang
di sediakan Matlab, atau di folder pribadi anda. Selanjutnya anda dapat
menjalankan dan mengetahui hasilnya setelah anda menjalankan (running) file
pribadi (bukan folder work) tersebut dengan membuka pada menu Tools / Run.
Jika M-file tersimpan di folder pribadi (bukan folder work) maka sebelum
menjalankan program M-file buka dahulu menu File / set Path pada jendela kerja
Matlab (Command Windows), kemudian klik tombol Browse untuk mengarahkan
BAB III PEMBAHASAN
Pada pembahasan ini penulis menguraikan sistem otonomus dengan metode
Euler serta langkah-langkah atau algoritma dalam menyelesaikan sistem
persamaan differensial non linear pada otonomus menggunakan metode Euler dan
memberikan contoh serta menentukan selesaiannya dengan menggunakan bantuan
program Matlab.
A. Sistem Persamaan Differensial Non Linear Pada Otonomus Dengan Metode Euler
Bentuk umum sistem persamaan differensial non linear pada otonomus yaitu:
y x g dt dy y x f dt dx , , (3.1)
Sistem tersebut dikatakan otonomus karena fungsi-fungsi f (x,y) dan
) , (x y
g tidak tergantung dari t . Untuk mencari solusi eksak (solusi sebenarnya)
dari sistem persamaan differensial (3.1) adalah sangat sukar bahkan tidak
mungkin terutama bila f(x,y) dan g(x,y) non linear. Oleh karena itu yang dapat
dilakukan adalah menyelidiki kelakuan solusi tersebut. Untuk penyelidikan solusi
diperlukan gambar atau grafik dari solusi, grafik tersebut disebut juga sebagai
lintasan atau trayektori dari solusi yang digambarkan dalam bidang xy yang
tunggal yang melalui titik x 0, y0 sebagai syarat awal. Pada skripsi ini penulis
hanya mengkaji grafik dari sistem persamaan differensial otonomus yang non
linear hanya pada bidang phase, lintasan atau trayektori serta solusi dari sistem
tersebut. Dari persamaan tersebut penulis menggunakan metode numerik
khususnya metode Euler untuk menyelesaikannya, dimana metode ini merupakan
pemecahan masalah dalam sistem karena lebih sederhana.
Langkah-langkah metode Euler untuk menyelesaikan sistem persamaan
differensial non linear pada otonomus yaitu:
1. Masukkan nilai awal x(t0), dan y (t0)
2. Tentukan batas atas dan batas bawah untuk parameter t pada selang
b
t ,0 t0 t b
3. Hitung nilai h dari iterasi sebanyak n yang diinginkan
4. Hitung nilai h t t dengan h y x t g y y h y x t f x x i i i i i i i i i i i i 1 1 1 * ) , , ( * ) , , (
5. Jika nilai x (t) dan y (t) dari fungsi f , g mempunyai kesalahan terkecil
(mendekati nol) maka nilai x(t)dan y(t)dipakai untuk menganalisis
sistem otonomus
6. Jika nilai kesalahan dari x (t) dan y (t) besar maka kita kembali pada item
3 (artinya kita mengulang sampai kita dapatkan selisih nilai x(t)dan
) (t
y kecil (mendekati nol) dengan memperkecil h ). Secara umum
rumusnya
n t b
Dari langkah-langkah metode euler diatas penulis membuat bagan alur atau flow
chart sebagai berikut:
Gambar 3.1: Bagan Alur untuk Sistem persamaan Differensial non Linear pada otonomus menggunakan Metode Euler
Masukkan nilai awal x(t0), dan y (t0)
Tentukan batas atas dan batas bawah pada selang t0 t b
Hitung nilai h dari iterasi sebanyak n yang diinginkan Hitung h t t dengan h y x t g y y h y x t f x x i i i i i i i i i i i i 1 1 1 * ) , , ( * ) , , ( Apakah x(t)dan ) (t y memenuhi? Selesai Ya Tidak n t b h 0 Mulai
B. Contoh Soal Pada Otonomus dan Penyelesaiannya Dengan Metode Euler dan Program Matlab
Pada bab pembahasan ini penulis memberi contoh sistem persamaan
differensial pada otonomus dengan menggunakan metode Euler. Penyelesaian
dengan metode Euler ini tidak perlu mencari turunan-turunan fungsi terlebih
dahulu.
Penulis memberikan contoh yang ada tentang sistem otonomus non linear
yaitu: xy y x dt dy xy x x dt dx 3 2 , 4 2
Untuk sistem ini berlaku nilai awal x(0) 1dan y (0) 0
Penyelesaian dari contoh tersebut menggunakan langkah-langkah yang sudah
diuraikan diatas yaitu:
Langkah 1: Memasukkan nilai awal pada persamaan diatas yaitu x(t0)=1 dan )
(t0
y =0 untuk t0 0 dan diselesaikan dengan metode Euler.
Langkah 2: Menentukan selang pada t ,0 b t0 t b , dari persamaan diatas penulis memberikan selang 0 t 2 untuk memperoleh grafik solusinya.
Langkah 3: Menghitung nilai h dari iterasi sebanyak n yang diinginkan, pada
persamaan diatas penulis melakukan 5 iterasi maka diperoleh nilai 0.4 5
0 2 h
Langkah 4: Menggunakan rumus Euler untuk melakukan perhitungan dari contoh yang sudah diberikan dengan diketahui fungsi f(t,x,y) x 2x 4xy
dan xy y x y x t g(, , ) 2 3 maka diperoleh:
Iterasi 1 2 , 2 4 , 0 * 3 1 * ) , , (0 0 0 1 0 1 x f t x y h x 8 , 0 4 . 0 * 2 0 * ) , , (0 0 0 1 0 1 y g t x y h y 4 , 0 4 . 0 0 0 1 t h t Jadi x(0,4) 2,2dan y (0,4) 0,8 Iterasi 2 024 , 2 4 , 0 * ) 4 , 0 ( 2 , 2 * ) , , (1 1 1 1 1 2 x f t x y h x 304 , 2 4 , 0 * 76 , 3 8 , 0 * ) , , (1 1 1 1 1 2 y g t x y h y 8 , 0 4 , 0 4 , 0 1 2 t h t Jadi x(0,8) 2,024 dan y (0,8) 2,304 Iterasi 3 0084736 , 3 4 , 0 * ) 581184 , 12 ( 024 , 2 * ) , , (2 2 2 1 2 3 x f t x y h x
0237184 , 3 4 , 0 * 799296 , 1 304 , 2 * ) , , (2 2 2 1 2 3 y g t x y h y 2 , 1 4 , 0 8 , 0 2 3 t h t Jadi x(1,2) 3,0084736dan y (1,2) 3,0237184 Iterasi 4 93620125 , 7 4 , 0 * 36168712 , 27 0084736 , 3 * ) , , (3 3 3 1 3 4 x f t x y h x 650233352 , 6 4 , 0 * ) 18487938 , 24 ( 0237184 , 3 * ) , , (3 3 3 1 3 4 y g t x y h y 6 . 1 4 , 0 2 , 1 3 4 t h t Jadi x(1,6) 7,93620125 dan y (1,6) 6,650233352 Iterasi 5 9037872 , 101 4 , 0 * 9189648 , 234 93620125 , 7 * ) , , (4 4 4 1 4 5 x f t x y h x 43202842 , 13 4 , 0 * ) 95448768 , 16 ( 650233352 , 6 * ) , , ( 4 4 4 1 4 5 y g t x y h y 2 4 , 0 6 , 1 4 5 t h t
