MODUL KULIAH
REKAYASA GEMPA
Minggu ke 2 :
TEORI DINAMIK STRUKTUR
Oleh
Resmi Bestari Muin
PRODI TEKNIK SIPIL
FAKULTAS TEKNIK SIPIL dan PERENCANAAN
UNIVERSITAS MERCU BUANA
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI i
II Persamaan Gerak Dinamik Struktur 1
BAB II
Persamaan Gerak Dinamik Struktur
II.1
Peristiwa Getaran
Ada beberapa peristiwa getaran di sekitar kita
• Getaran kendaraan yang sedang berjalan. → mobil, kereta api, motor, dll.
• Getaran mesin.
Dengan adanya peristiwa getaran, ada beban yang menyebabkan getaran tersebut.
Beban tersebut disebut beban dinamik, dimana beban ini berubah menurut waktu.
II.2
Diskritisasi Struktur
II.2.1
Metoda Diskritisasi/Idealisasi Struktur
Pada permasalahan dinamik, struktur dapat dianggap didiskritisasi (dibagi-bagi)
menu-rut cara-cara berikut,
1. Prosedur Massa Terkelompok (Lumped-Mass Procedure).
Massa struktur dianggap terpusat/terkelompok pada suatu titik tertentu atau
beberapa titik tertentu. Sehingga perpindahan struktur yang diperhitungkan
juga yang berkenaan dengan gaya inersia yang terkait dengan massa
terkelom-pok tersebut.
2. Perpindahan yang digeneralisir.
Massa struktur tetap terdistribusi sepanjang struktur. Sehingga derajat
kebe-basan struktur tak terhingga, dan perpindahan pada setiap titik pada struktur
dianggap mengikuti suatu persamaan yang digeneralisir.
3. Metoda Elemen Hingga.
Merupakan kombinasi dari metoda pertama dan metoda kedua di atas.
Perkuliahan ini hanya akan membahas bentuk diskritisasi yang pertama, yaknimassa terkelompok.
II.2.2
Massa Terkelompok Balok
Gambar II.1. Massa Balok
II.2.3
Massa Terkelompok Struktur SDOF
Analisa dinamis struktur menara pada gambar II.2 didealisasi menjadi 1 DOF (SDOF).
Analisa dinamis portal 1 lantai pada gambar II.3 juga didealisasi menjadi 1 DOF,
Gambar II.2. Idealisasi Struktur Menara
dimana lantai dianggap sebagai satu massa yang sangat kaku.
II.3
Model Matematik
II.3.1
Model Matematik Problem Statik
Gambar II.4. Model Fisik vs Model Matematik Problem Statik (mobil sedang berhenti)
Model matematik struktur yang dikenai beban statik, dapat diilustrasikan pada gambar
II.4, dimana balok jembatan dibebani mobil yang sedang berhenti di atas jembatan
II.3.2
Model Matematik Problem Dinamik
Jika struktur diberi beban dinamik, maka agar struktur dapat dianalisis secara
matem-atis, maka secara umum sistim struktur dapat dimodelkan seperti gambar II.5, dimana
kolom berperilaku sebagai pegas k, sesuai dengan kekakuan kolom tersebut.
Selain itu struktur juga mempunyai kemampuan untuk meredam beban tersebut
Gambar II.5. Model Matematik Problem Dinamik
menurut konstanta c.
II.4
Persamaan Gerak Dinamik Struktur
II.4.1
Prinsip d’Alembert’s
d’Alembert’s mengatakan :
Keseimbangan dinamik suatu massa/sistim dapat diperoleh dengan menjumlahkan
gaya luar dan gaya imajiner yang ada pada massa yang bersangkutan yang disebut
gaya inersia.
Dari Gambar II.6, resultan beban dinamik :
Ft =F1+F2+F3
Jika resultan gaya tidak melalui titik pusat massa, maka akan terjadi suatu rotasi
massa.
Gambar II.6. Beban-Beban Dinamik pada suatu Sistim
TI yang dapat dihitung menurut hukum Newton,
FI = m.a =m.y¨
TI = Im.θa
dimanam : massa sistim, ¨y : percepatan sistim.
Im : momen inersia massa danθa : percepatan sudut (angular acceleration).
KarenaFt=FI dan Tt=TI, maka diperoleh :
Ft−m.y¨= 0
Tt−Im.θa= 0 (II.1)
artinya : pada keseimbangan dinamik suatu massa yang bergerak terdapat gaya
ima-jiner atau gaya inersia FI dan TI yang arahnya berlawan dengan arah gerakan, hal ini
biasa dikenal sebagai Prinsip d’Alembert’s.
II.4.2
Persamaan Diffrensial Gerak Struktur SDOF
Seperti gaya inersia, gaya pegas dan redaman struktur juga mempunyai arah yang
berlawanan dengan arah gerak massa, sehingga free body dari sistim struktur SDOF
yang bergerak secara dinamik diilustrasikan pada Gambar II.7.
Berdasarkan keseimbangan gaya dinamik padafree body sistim tersebut (Gambar II.7),
diperoleh hubungan
Gambar II.7. Model Matematik & Gaya-gaya Dinamik pada Freebody Struktur
y = simpangan massa m.
¨ k = kekakuan pegas sistim.
Dengan mensubstitusi pers. (II.3) ke dalam pers. (II.2), dihasilkan
my¨+cy˙+ky =P(t) (II.4)
Persamaan (II.4) atau pers. (II.5) merupakan persamaan gerak sistim SDOF 1
yang
memperoleh beban dinamik P(t), yang secara matematis disebut sebagai persamaan
differensial ordo dua.
Jika massa (m), redaman (c), kekakuan (k) struktur, serta besaran dan fungsi
be-ban dinamik yang bekerja (P(t)) diketahui, maka secara matematis dari persamaan
(II.5) di atas dapat dihitung simpangan struktur setiap saat t, yaitu yt.
II.5
Gaya Dalam Struktur Akibat Beban Dinamik
Gambar II.8. Perubahan Bentuk Struktur Akibat Perpindahany(t)
Akibat perpindahan struktur sebesar yt pada saat detik ke t, maka struktur akan
berdeformasi seperti Gambar II.8.
Akibat adanya deformasi ini maka timbul momen pada kolom. Momen yang terjadi
Gambar II.9. Momen pada Kolom
ini berbanding lurus dengan perpindahan y(t).
Jika lantai dan balok dianggap sangat kaku, maka
M = 6EI
h2 y(t)
Selanjutnya jika momen pada kolom diketahui, gaya geser pada kolom juga dapat
BAB III
Karakteristik Dinamik
III.1
Pendahuluan
Pada persamaan gerak dinamik sistim SDOF (persamaan II.4 dan II.5) yang telah
dibahas pada Bab II di atas, terlibat 3 nilai karakterisitik utama struktur, yakni
1. massa (m).
2. redaman (c), dan
3. kekakuan (k).
Kekakuan merupakan nilai karakteristik yang juga digunakan pada problem statik,
sedangkan massa dan redaman hanya digunakan pada problem dinamik.
Agar persamaan differensial tersebut dapat diselesaikan, perlu diketahui terlebih dahulu
ketiga nilai karakteristik tersebut.
Agar penentuan nilai-nilai karakteristik ini dapat diformulasikan dengan sederhana
perlu diambil beberapa asumsi.
III.2
Massa Struktur
Sebagaimana telah disinggung pada modul 1, sesuai dengan metoda diskritisasi
struk-tur yang digunakan, maka ada dua cara pendekatan pokok yang dilakukan untuk
mendeskripsikan massa struktur :
• Massa Terkelompok (Lumped-Mass).
Massa struktur dianggap terpusat/terkelompok pada suatu titik tertentu atau
beberapa titik tertentu.
• Massa Terdistribusi (Consistent Mass, cara ini lebih mendekati kondisi sesung-guhnya.
Pada struktur yang massanya terdistribusi sepanjang, dan mendapat beban dinamik
terdistribusi pula sepanjang massa tersebut, maka penggunaan prinsip massa
Pada struktur berlantai banyak, dimana massa struktur umumnya terkonsentrasi pada
masing-masing lantai/tingkat, maka penggunaan prinsip massa terkelompok cukup
memberikan hasil yang baik.
Untuk menentukan massa terkelompok struktur, baik untuk SDOF maupun MDOF,
digunakan rumus yang sudah telah dikenal pada ilmu fisika :
m= W
g
dimana :
• W = berat struktur.
• g = percepatan gravitasi.
Sebagai contoh, perhatikan gambar III.1.
Untuk struktur seperti gambar III.1 yang mendapat beban dinamis arah horizontal
Gambar III.1. Contoh Kasus
pada lantainya, dengan berat lantai per meter panjangnya : q = 2,6 t/m, dan
per-cepatan gravitasig = 9,8m/dt2
, maka massa struktur dapat dianggap sebagai massa
terkelompok pada pusat lantai.
Berat total beban pada lantai adalah :
W = 2,6 (6 + 5) = 28.600 kg
Sehingga massa struktur SDOF adalah
m = W
g =
28.600 kg
980 cm/dt2 = 29,18
kg dt2 cm
III.3
Kekakuan
III.3.1
Kekakuan Kolom dengan Asumsi Lantai Kaku
Dengan asumsi balok dan lantai menyatu sangat kaku, sehingga jika ada beban
hor-izontal yang bekerja pada garis sumbu balok tersebut, maka balok dan pelat akan
bergoyang namum tetap horizontal.
Gambar III.2. Lantai Kaku
Pada cara ini titik kumpul diujung-ujung kolom dianggap tidak berotasi.
Untuk kondisi jepit-jepit (Gambar a), yakni pada kolom lantai 2,3,..dst, atau pada
lantai 1 jika perletakan struktur dianggap jepit, maka
k= 12EI
Khusus lantai 1 jika perletakan struktur dianggap sendi (Gambar b), maka
k = 3EI
h3
III.3.2
Kekakuan Dinding Geser
Dinding geser adalah, dinding yang terbuat dari beton bertulang yang sengaja dibuat
untuk memikul gaya akibat gempa.
Menurut Blume dkk (1961), kekakuan dinding geser dengan kondisi ujung jepit-jepit
Gambar III.3. Dinding Geser
• κ = 1, untuk dinding geser di ujungnya ada kolom besar.
• κ = 1 - 1,5, untuk dinding geser di ujungnya ada kolom sedang.
• κ = 1,5, untuk dinding geser tanpa kolom.
Untuk kondisi jepit-bebas
III.3.3
Kekakuan Elemen Bracing
Kb =
AE L cos
2 α
III.4
Redaman Struktur
Redaman merupakan peristiwa pelepasan energi oleh struktur akibat :
• Gerakan antar molekul di dalam material.
• Gesekan alat penyambung maupun sistim dukungan.
• Gesekan dengan udara.
• Respon inelastik.
Redaman akan mengurangi respon/simpangan struktur.
Ada 2 macam sistim redaman
• Redaman klasik (Classical Damping).
Redaman pada sistim struktur yang mempunyai bahan struktur yang sama.
• Redaman nonklasik (NonClassical Damping).
