Matematika Ekonomi. Oleh: Osa Omar Sharif Institut Manajemen Telkom

Matematika Ekonomi

Oleh:

Osa Omar Sharif

Diferensiasi

3

ELASTISITAS

 _{Elastisitas adalah pengukuran tingkat respon/kepekaan satu}

variabel terhadap variabel yang lainnya

 Menunjukkan perubahan satu variabel sebagai akibat dari perubahan variabel lainnya

 _{Besar kecilnya respon/kepekaan dilihat dari besarnya angka}

koefisien elastisitas/indeks elastisitas

 _{Konsep elastisitas yang umum dipakai:}

1. Price Elasticity /Elastisitas Harga

 _{Price Elasticity of demand/Elastisitas harga permintaan}  _{Price Elasticity of supply/Elastisitas harga penawaran}

2. Cross price Elasticity/Elastisitas Silang 3. Income Elasticity/ Elastisitas Pendapatan

1. Elastisitas Harga Permintaan

4 sendiri itu barang harga perubahan Persentase diminta yang barang jumlah perubahan Persentase E_D 

Elastisitas harga permintaan :

Persentase perubahan jumlah barang yang diminta akibat terjadinya perubahan harga itu sendiri

)

(

)

(

P

%

Q

%

2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2

P

P

P

P

Q

Q

Q

Q

Ed

















5

Hasil perhitungan

 _{Ed > 1 disebut elastis}  _{Ed < 1 disebut inelastis}

 Ed = 1 disebut unitary elastis

 _{Ed = 0 disebut inelastis sempurna}  _{Ed = ∞ disebut elastis sempurna}

 _Note:

Karena P & Q hubungannya adalah berbanding terbalik, maka E_D negatif

Elastisitas dalam kurva

 _{Ed > 1 disebut elastis}  _{Ed < 1 disebut in elastis}

6 P1 P2 Q1 Q2 P1 P2 Q1 Q2

 _{Ed = 1 disebut unitary elastis}

7

P1 P2

8 Ed = 0 disebut inelastis sempurna Quantity Ed = ∞ disebut elastis sempurna 0 Quantity 0

1. Apabila harga es krim naik dari Rp 2 menjadi Rp 2,2 dan jumlah pembelian turun dari 10 batang menjadi 8 batang, maka hitunglah elastisitas permintaannya!

 _{Perubahan harga sebesar 1 persen akan menimbulkan}

perubahan permintaan sebesar 2,32 %.  Elastis

 Elastisitas permintaan memiliki hubungan negatif (arahnya berbalikan), yaitu ketika harga naik permintaan akan turun, vice versa.

9

10

Jawaban dengan Kurva

2

8 10

P

Q

Rumus Elastisitas

11 d d P

Q

P

dP

dQ

P

P

Q

Q

P

P

P

Q

Q

Q

Ed

.

P

%

Q

%

lim

0 1 2 1 2





















 

Contoh

 _{Permintaan akan barang dicerminkan oleh Qd = 4 – P.}

Hitunglah elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 3 dan pada saat Qd = 3.

Latihan

 _{Fungsi penawaran suatu barang dicerminkan oleh Qs =}

-200 + 7P2_{. Berapa elastisitas penawarannya pada}

tingkat harga P = 10 dan P = 15?

Titik Ekstrim (Titik Kritis)

 _{y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ = 0}

 Jika y” < 0, titik ekstrimnya adalah titik maksimum, bentuk parabolanya terbuka ke bawah

 _{Jika y” > 0, titik ekstrimnya adalah titik minimum,}

bentuk parabolanya terbuka ke atas

 Jika y” = 0, titik ekstrimnya merupakan titik belok (khusus untuk fungsi kubik)

Biaya Total, rata-rata, dan Marjinal

 _{Hitunglah besarnya biaya marjinal minimum dari}

persamaan biaya total TC = Q3 _{– 3Q}2 _{+ 4Q + 4. Hitung}

juga besarnya biaya total di saat biaya marjinal minimum.

Latihan

 _{Jika suatu perusahaan manufaktur ingin menghasilkan}

suatu produk, dimana fungsi biaya total telah

diketahui adalah TC = 0,1Q3 _{– 18Q}2 _{+1700Q + 34000.}

a. Carilah fungsi biaya marjinal (MC)

b. Berapakah jumlah produk yang dihasilkan agar biaya

marjinal minimum?

c. Berapa nilai biaya marjinal minimum tersebut?

Latihan

 _{Jika diketahui fungsi biaya total dari suatu perusahaan}

adalah TC = 0,2Q2 _{+ 500Q + 8000}

a. Carilah fungsi biaya rata-rata (ATC)

b. Berapakah jumlah produk yang dihasilkan agar biaya

rata-rata minimum?

c. Berapa nilai biaya rata-rata minimum tersebut

Latihan

 _{Jika diketahui fungsi biaya total dari suatu perusahaan}

pabrikasi adalah TC = Q3 _{– 30Q}2 _{+ 325Q + 65000}

a. Carilah fungsi biaya tetap (FC) dan biaya variabel (VC) b. Carilah jumlah produk yang dihasilkan agar biaya

variabel rata-rata (AVC) minimum?

c. Berapakah nilai biaya variabel rata-rata minimum

(AVC) tersebut?

Penerimaan Total, Rata-rata, dan

Marjinal

 _{Jika diketahui fungsi penerimaan seorang monopoli}

adalah P = 18 -3Q, hitunglah penerimaan total maksimum. Gambarkanlah kurva AR, MR, dan TR dalam satu diagram!

Latihan

 _{Fungsi permintaan suatu produk adalah P = 36 – 3Q}2_,

carilah penerimaan total maksimum? Gambarkanlah kurva permintaan, penerimaan marjinal, dan

penerimaan total dalam satu diagram!

Laba Maksimum

 _{Jika diketahui fungsi permintaan dari suatu}

perusahaan P = 557 – 0,2Q dan fungsi biaya total adalah TC = 0,05Q3 _{– 0,2Q}2 _{+ 17Q + 7000, maka}

a. Berapakah jumlah output yang harus dijual supaya

produsen memperoleh laba yang maksimum?

b. Berapakah laba maksimum tersebut? c. Berapakah harga jual per unit produk?

d. Berapakah biaya total yang dikeluarkan oleh

perusahaan?

e. Berapakah penerimaan total yang diperoleh

perusahaan?

Latihan

 _{Jika penerimaan total dari produsen ditunjukkan oleh}

fungsi TR = 1000Q – 2Q2 _{dan biaya totalnya}

ditunjukkan oleh fungsi TC = Q3 _{– 59Q}2 _{+1315Q +2000,}

maka:

a. Berapakah jumlah output yang harus dijual supaya

produsen memperoleh laba yang maksimum?

b. Berapakah laba maksimum tersebut? c. Berapakah harga jual per unit produk?

d. Berapakah biaya total yang dikeluarkan oleh

produsen?

e. Berapakah penerimaan total yang diperoleh dari

produsen?

Diferensial parsial

Nilai ekstrim: maksimum dan minimum

Diferensial Parsial

y = f(x,z) = x3_+5z2_–4x2_z–6xz2_+8z–7 f_x(x,z) = 3x2_–8xz–6z2 f_z(x,z) = 10z–4x2_–12xz+8 dy = f_x(x,z) dx + f_z(x,z) dz = ( 3x2_–8xz–6z2 _{) dx + ( 10z–4x}2_{–12xz+8 ) dz} Keterangan:

a. Derivatif parsial: f_x(x,z) dan f_z(x,z)

b. Diferensial parsial: f_x(x,z) dx dan f_z(x,z) dz c. Diferensial total: dy = f_x(x,z) dx + f_z(x,z) dz

Nilai Ekstrim: Maksimum dan Minimum

 _{Fungsi y= f(x,z) akan mencapai titik ekstrim jika}

f_x(x,z)=0 dan f_z(x,z)=0

 Maksimum bila f_xx(x,z)<0 dan f_zz(x,z)<0

Permintaan marjinal dan elastisitas permintaan parsial Perusahaan dg 2 produk dan biaya produksi gabungan

Permintaan Marjinal

 _{Jika barang A dan barang B mempunyai hubungan}

penggunaan, dengan fungsi permintaan

Q_da=f(P_a,P_b) dan Q_db=f(P_a,P_b)

 Permintaan marjinal

a. (∂Q_da/∂P_a) Perm. marj. A berkenaan dg P_a b. (∂Q_db/∂P_a) Perm. marj. B berkenaan dg P_a c. (∂Q_da/∂P_b) Perm. marj. A berkenaan dg P_b d. (∂Q_db/∂P_b) Perm. marj. B berkenaan dg P_b

Elastisitas Permintaan Parsial

Elastisitas harga permintaan

1. E_da= (∂Q_da/∂P_a)(P_a/Q_da) 2. E_db= (∂Q_db/∂P_b)(P_b/Q_db)

Elastisitas silang permintaan

1. E_ab=(∂Q_da/∂P_b)(P_b/Q_da) 2. E_ba= (∂Q_db/∂P_a)(P_a/Q_db)

Elastisitas Permintaan Parsial

Keterangan:

a. Jk E_ab,E_ba<0 untuk P_a dan P_b tertentu, mk brg A & B

saling melengkapi

Penurunan harga salah satu brg akn diikuti oleh kenaikan permintaan atas keduanya

b. Jk E_ab,E_ba>0 untuk P_a dan P_b tertentu, mk brg A & B

saling menggantikan

Penurunan harga salah satu brg akn diikuti oleh kenaikan permintaan atas brg tsb & penurunan permintaan atas brg lainnya

Contoh Soal

Fungsi permintaan akan brg A dan B masing-masing ditunjukkan oleh

Q_da(P_a)2_(P

b)3–1=0 dan Qdb(Pa)3Pb–1=0

Berapakah elastisitas permintaan masing-masing barang dan bagaimana hubungan antara kedua barang

Jawab

Q_da(P_a)2_(P b)3–1 =0 Q_da(P_a)2_(P b)3 =1 Q_da =1/((P_a)2_(P b)3) =(P_a)-2_(P b)-3 Q_db(P_a)3_P b–1 =0 Q_db(P_a)3_P b =1 Q_db =1/((P_a)3_P b) =(P_a)-3_(P b)-1

Jawab

E_da = (∂Q_da/∂P_a)(P_a/Q_da) =(-2(P_a)-3_(P b))Pa/((Pa)-2(Pb)-3) =-2 Barang A elastis krn |E_da|>1 E_db = (∂Q_db/∂P_b)(P_b/Q_db) =(-(P_a)-3_(P b)-2)Pb/((Pa)-3(Pb)-1) =-1 Barang B uniter krn |E_da|=1 E_ab =(∂Q_da/∂P_b)(P_b/Q_da) =(-3(P_a)-2_(P b)-4)Pb/((Pa)-2(Pb) -3₎ =-3 E_ba = (∂Q_db/∂P_a)(P_a/Q_db) =(-3(P_a)-4_(P b)-1)Pa/((Pa)-3(Pb) -1₎ =-3

Karena E_ab, E_ba<0, mk brg A & B saling melengkapi

Latihan

 _{Jika diketahui pasangan fungsi permintaan untuk}

produk X dan Y berikut ini:

Q_x = P_x-1.5_P

y-0.4 dan Qy = Px-0.5Py-0.4

 Tentukan hubungan produk X dan Y!

Perusahaan dg 2 Produk dan Biaya

Produksi Gabungan

 _{Perusahaan menghasilkan dua macam produk}

 _{Biaya keduanya merupakan biaya produksi gabungan}  Keuntungan maksimum dihitung menggunakan

Perusahaan dg 2 Produk dan Biaya

Produksi Gabungan

 Penerimaan dr memproduksi A: R_a=Q_aP_a=f(Q_a)  _{Penerimaan dr memproduksi B: Rb=QbPb=f(Qb)}  _{Penerimaan total : TR=Ra+Rb=f(Qa)+f(Qb)}  _{Biaya total : TC=f(Qa,Qb)}  _{Fungsi keuntungan : π=TR-TC}  _{π maksimum bila π‘=0, yaitu}

∂ π/∂Q_a=0 dan ∂ π/∂Q_b=0 ………(i)

Dari (i), Q_a dan Q_b dapat diperoleh. Selanjutnya nilai π maksimum dapat dihitung.

Contoh Soal

Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan yg memproduksi dua macam barang ditunjukkan

TC=(Q_a)2_+3(Q

b)2+QaQb

Hasil jual masing-masing barang per unit adalah P_a=7 sedangkan P_b=20.

a. Hitunglah berapa unit masing-masing yg hrs

diproduksi agar keuntungannya maksimum!

Jawab

a. Q maksimum R_a= Q_aP_a= 7Q_a dan R_b= Q_bP_b= 20Q_b TR= R_a+R_b= 7Q_a+20Q_b π = TR–TC = (7Q_a+20Q_b)–((Q_a)2_+3(Q b)2+QaQb) = 7Q_a+20Q_b–(Q_a)2_–3(Q b)2–QaQb

Jawab

Agar π maksimum, π’=0

i. ∂ π/∂Q_a=0 mk 7–2Q_a–Q_b=0 ii. ∂ π/∂Q_b=0 mk 20–6Q_b–Q_a=0

Dari (i) dan (ii) diperoleh Q_a=2 dan Q_b=3

b.

π maksimum

π

=

7Q_a+20Q_b–(Q_a)2_–3(Q

b)2–QaQb

= 7.2+20.3–22_–3.32_–2.3

Optimisasi Bersyarat

Metode Lagrange Metode Kuhn Tucker

Metode Lagrange

 _{Penghitungan nilai ekstrim sebuah fungsi yang}

menghadapi kendala berupa sebuah fungsi lain.

 Membentuk sebuah fungsi baru, yaitu fungsi Lagrange.

Fungsi Lagrange

 _{Misalkan hendak dioptimumkan:}

z=f(x,y)

 _{Dengan syarat harus terpenuhi:}

u=g(x,y)

 _{Maka fungsi Lagrangenya:}

Optimisasi Fungsi Lagrange

 _{Nilai ekstrim dapat dicari dengan memformulasikan}

derivatif-parsial pertamanya sama dengan 0:

F_x(x,y,λ)=f_x+λg_x=0 F_y(x,y,λ)=f_y+λg_y=0

 _{Nilai ekstrim tersebut:}

 _{Maksimum bila Fxx<0 dan Fyy<0.}  Minimum bila F_xx>0 dan F_yy>0.

Contoh Soal

Jawab

 _{Fungsi Lagrange}

F(x,y,λ) = xy+λ(x+2y-10) = xy+λx+λ2y-λ10

 Syarat agar F(x,y,λ) optimum, F’(x,y,λ)=0

F_x(x,y,λ)=y+λ=0 diperoleh λ=-y F_y(x,y,λ)=x+2λ=0 diperoleh λ=-x/2 Sehingga diperoleh 2y=x

 Substitusi 2y=x terhadap fungsi kendala x+2y=10, diperoleh y=2,5 dan x=5.

LATIHAN

 _{Tentukan nilai ekstrim z dari fungsi z = 2x + 2y dengan}

Produk marjinal parsial dan keseimbangan produksi Utilitas marjinal parsial dan keseimbangan konsumsi

Keseimbangan Produksi

 _{Definisi: suatu keadaan atau tingkat penggunaan}

kombinasi faktor-faktor produksi scr optimum.

 Tingkat kombinasi penggunaan masukan yg optimum dpt dicari dg Metode Lagrange

 _{Fungsi produksi P=f(k,l) dimaksimumkan terhadap}

fungsi anggaran M=kP_k+lP_l dengan M adalah total anggaran untuk membeli masukan K dan L

Keseimbangan Produksi

 _{Fungsi tujuan yg hendak dioptimumkan: P=f(k,l)}  _{Fungsi kendala yg dihadapi: M=kPk+lPl}

 Fungsi baru Lagrange:

F(k,l)=f(k,l)+λ(kP_k+lP_l–M)

 _{Syarat yg diperlukan agar F(k,l) maksimum:}

F_k(k,l)=0 yaitu f_k(k,l)+λP_k=0 ………..(1) F_l(k,l)=0 yaitu f_l(k,l)+λP_l=0 ………..(2)

Dari (1) dan (2) nilai k dan l bisa didapat. Selanjutnya P maksimum bisa diperoleh.

Contoh Soal

Seorang produsen mencadangkan Rp.96,00 untuk membeli masukan K dan masukan L. harga per unit masukan K adalah Rp.4,00 dan masukan L adalah Rp.3,00. Fungsi produksinya P=12kl.

a. Berapa unit masing-masing masukan seharusnya ia

gunakan agar produksinya optimum?

b. Berapa unit keluaran yg dihasilkan dengan kombinasi

Jawab

 _{Fungsi tujuan yg hendak dioptimumkan: P=12kl}  _{Fungsi kendala yg dihadapi: 96=4k+3l}

 _{Fungsi baru Lagrange:}

F(k,l)=12kl+λ(4k+3l–96)

 _{Agar F(k,l) maksimum:}

F_x(k,l)=0 yaitu 12l–4λ=0 ………..(1) F_y(k,l)=0 yaitu 12k–3λ=0 ………..(2)

Jawab

 _{Dari (1) dan (2), diperoleh 3l=4k}

 Subsitusi pers tsb ke fungsi kendala: 96 =4k+3l

=4k+4k =8k

Diperoleh k=12 dan l=16

Keseimbangan Konsumsi

 _{Definisi: suatu keadaan atau tingkat kombinasi}

konsumsi bbrp mcm brg yg memberikan kepuasan optimum

 Tingkat kombinasi konsumsi yg memberikan kepuasan optimum atau keseimbangan konsumsi dpt dicari dg Metode Lagrange atau Kuhn-Tucker

 _{Fungsi utilitas U=f(x,y) dimaksimumkan terhadap}

fungsi anggaran M=xP_x+yP_y dengan M adalah pendapatan konsumen

Keseimbangan Konsumsi

 _{Fungsi Lagrange:}

F(x,y)=f(x,y)+λ(xP_x+yP_y–M)

 _{Agar F maksimum}

F_x(x,y)=0 yaitu f_x(x,y)+λP_x=0 …………(1) F_y(x,y)=0 yaitu f_y(x,y)+λP_y=0 …………(2)

Latihan

 _{Jika diketahui fungsi utilitas U = 4xy – x}2 _-3y2 _{dan harga}

barang x = 2, harga barang y = 3 serta pendapatan konsumen adalah 45. Tentukan nilai x dan y yang

dapat memaksimumkan utilitas? Berapa besar utilitas tersebut

Utilitas Marjinal Parsial

 _{Misalkan konsumen hanya mengkonsumsi brg X dan Y,}

maka fungsi kepuasan konsumen (utilitas) adalah: U=f(x,y)

 _{Utilitas marjinal parsial}

1.

∂ U/∂x=0

utilitas marjinal berkenaan dg brg

X

2.

∂ U/∂y=0

utilitas marjinal berkenaan dg brg

Utilitas Marjinal Parsial

 _{Selanjutnya perhatikan:}

Utilitas total: U=f(x,y)

Utilitas marjinal: MU=U’=f’(x,y)

i. Utilitas marjinal barang X: MU_x=f_x(x,y) ii. Utilitas marjinal barang Y: MU_y=f_y(x,y)

 _{Menurut (1) dan (2), keseimbangan konsumsi tercapai}

apabila:

(f_x(x,y))/P_x = (f_y(x,y))/P_y MU_x/P_x = MU_y/P_y

Contoh Soal

Kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsi brg X dan Y dicerminkan oleh fungsi utilitas U=x2_y3_{. jumlah}

pendapatan konsumen Rp.1.000,00, harga X dan Y per unit masing-masing 25 rupiah dan 50 rupiah.

a. Bentuklah fungsi utilitas marjinal untuk

masing-masing barang!

b. Berapa utilitas marjinal tersebut jika konsumen

mengkonsumsi 14 unit X dan dan 13 unit Y?

c. Jelaskan apakah dg mengkonsumsi 14 unit X dan 13

Jawab

a. U=x2y3

MU_x= 2xy3

MU_y= 2x2_y2

b. Jika x=14 dan y=13

Mu_x = 2(14)(13)3 =61.516 Mu_y = 3(14)2₍₁₃₎2 =99.372 c. Kepuasan konsumen MU_x/P_x =61.516/25 =2.460,64 MU_y/P_y =99.372/50 =1.987,44 Karena MU_x/P_x≠MU_y/P_y maka tidak terjadi

Latihan



_{Hana akan membeli kasur dan lemari untuk}

perlengkapan asrama mahasiswa dengan

harga Rp 1.5jt per kasur dan Rp 500rb per

lemari. Misalkan fungsi utilitas U = 2k

3

_l

3

_(k

kasur dan l lemari), tentukan:

a.

Fungsi utilitas marjinal untuk kedua barang!

b.

Utilitas marjinal untuk pembelian 10 kasur

dan 5 lemari!

c.

Apakah kepuasan konsumen optimum dengan

Pengenalan Matriks

Definisi

Ukuran matriks Anggota matriks Tipe matriks

Pengenalan Matriks (1)

 _Definisi

Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk

segiempat. Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut anggota dalam matriks tersebut.

 _{Ukuran Matriks}

Ukuran matriks diberikan oleh jumlah baris (garis

Pengenalan Matriks (2)

 _{Anggota Matriks}

Anggota pada baris i dan kolom j dari sebuah matriks A dinyatakan sebagai (A)ij atau aij.

Beberapa Tipe Matriks (1)

 _{Matriks kolom (vektor kolom)}

 _{Matriks baris (vektor baris)}

 _{Matriks bujur sangkar}  _{Orde n}

Beberapa Tipe Matriks (2)

 _{Matriks Nol}

 _{Matriks Identitas}

 _{Matriks Segitiga (atas}

dan bawah)

Operasi Matriks

Jumlah Selisih Hasil kali Transpose

Operasi Matriks (1)

 _{Dua matriks dinyatakan sama jika keduanya}

mempunyai ukuran yang sama dan anggota-anggota yang berpadanan sama.

 Jika A=[aij], B=[bij] maka A=B jika dan hanya jika aij=bij

Operasi Matriks (2)

 _{Jika A dan B berukuran sama, maka}

 _{Jumlah A+B adalah matriks yang diperoleh dengan}

menambahkan anggota B dengan anggota-anggota A yang berpadanan.

Operasi Matriks (3)

 _{Jika A adalah sebarang matriks dan c sebarang skalar,}

maka hasil kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap angota A dengan c.

Operasi Matriks (4)

 _{Jika matriks A berukuran mxr dan B berukuran rxn,}

maka hasil kali AB adalah matriks mxn yang

anggota-anggotanya didefinisikan sbb:

Anggota baris i dan kolom j dari AB, pilih baris i matriks A dan kolom j matriks B. Kalikan anggota-anggota yang

berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya.

Transpose Matriks

 _Misalkan

Determinan Matriks

Definisi

Determinan Matriks (1)

 _Definisi

Anggap A suatu matriks bujur sangkar. Fungsi determinan

dinyatakan dengan det, dan kita mendefinisikan det(A) sebagai jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari A. Angka det(A) disebut determinan A.

Determinan Matriks (2)

 _{Minor dan Kofaktor}

Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka minor anggota aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan sebagai

determinan sub-matriks yang masih tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A.

Bilangan (-1)i+j_{Mij dinyatakan oleh Cij dan disebut kofaktor}

Determinan Matriks (3)

 _{Misalkan mencari minor dan kofaktor dr baris 2 klm 1}

Tugas 1

Determinan Matriks (4)

 _{Determinan suatu matriks A nxn bisa dihitung dengan}

mengalikan anggota-anggota pada sebarang baris

(atau kolom) dengan kofaktornya dan menjumlahkan hasil yang didapatkan; yaitu untuk setiap 1<i<n dan

1<j<n,

 _det(A)=a1jC1j+a2jC2j+...+anjCnj

Contoh 1

Adjoin Matriks

 _{Adjoin dari suatu matriks adalah transpose dari}

matriks kofaktor-kofaktornya.

 Misalkan C_ij adalah kofaktor dari matriks (A_ij) maka adj(A)=(C_ij)t _{untuk i={1,...,m} dan j={1,...,n}.}

Tugas 2

Matriks Invers

 _Definisi

Jika A sebuah matriks bujur sangkar, dan jika B yang berukuran sama didapatkan sedemikian sehingga

AB=BA=I, maka A disebut bisa dibalik dan B disebut invers

Contoh 2

 _Misalkan

Tugas 3

Latihan

Sampai Jumpa Minggu Depan