DEFORMASI INTERAKSI DUA PAKET GELOMBANG DARI PERSAMAAN IMPROVED KdV (IKdV)

Sutimin

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto SH Tembalang, Semarang 50275

E-mail: su_timin@yahoo.com

Abstract: Here, We will study the nonlinear two waves packet interaction. The two waves packet is modeled by Improved Koreteweg de-Vries (IKdV) equation. The primary amplitudes are modulated by two-soliton of the nonlinear Schrődinger (NLS) equation. In this paper, we analyzed the interaction patterns of the two waves packet at the peak interaction. We have shown here, that during under going to the interaction region, the deformation of amplitudes profile will be occurred. The large deformation is characterized by the ratio of the amplitudes parameter and the wave numbers of each wave packets. The symmetry interaction also can be analyzed by the characterization of the parameters.

Keywords: Improved KdV (IKdV), Soliton, Nonlinear Schrődinger (NLS)

1. PENDAHULUAN

Paper ini membahas masalah inte-raksi paket gelombang taklinier dari per-samaan Improved Korteweg-de Vries (IKdV). Dua paket gelombang yang yang merambat dengan kecepatan grup yang berbeda akan mengalami tumbukan, dalam hal ini dikatakan interaksi. Selama proses menuju daerah interaksi ini, individu paket gelombang akan mengalami deformasi se-lama perambatannya menuju puncak inte-raksi.

Masalah ini dimotivasi oleh ekperi-men dan pengamatan yang dilakukan oleh [3] melalui pembangkitan paket gelom-bang bikromatik. Paket gelomgelom-bang ini mendiskripsikan superposisi dua gelom-bang monokromatik dengan amplitudo sa-ma tetapi ada perbedaan sedikit bilangan gelombangnya. Berdasarkan pengamatan ini, signal yang semula berbentuk paket gelombang bikromatik di pembangkit ge-lombang, kemudian terjadi distorsi dari pa-ket gelombang ini dalam perambatannya

Dalam analisis ini dikembangkan fenomena paket gelombang tak linier. Ka-jian ini memanfaatkan perilaku soliton se-bagai amplitudo paket gelombang. Paket gelombang ini dimodelkan oleh selesaian paket gelombang dua soliton dari

persama-an IKdV. Secara persama-analitik interaksi paket gelombang dari persamaan IKdV dengan amplitudonya didasarkan pada persamaan NLS telah dikaji oleh [4] dan [2] (dengan memperhatikan amplitudo sama, yaitu

2

1 q

q = ).

Dalam tulisan ini dititikberatkan pada identifikasi parameter yang menen-tukan interaksi dua paket gelombang ber-bentuk simetris pada puncak interaksi. Dan mengkonstruksi secara analitik profil inte-raksi ini berdasarkan simulasi numerik.

2. MODEL PAKET GELOMBANG

Model persamaan gelombang per-mukaan air direpresentasikan oleh Impro-ved Korteweg-de Vries (IKdV). Dalam bentuk variabel tanpa dimensi dinyatakan oleh,

)

(

_Ru

₄3

_u

2

u

_x t

=

−∂

+

∂

(2.1)

dimana u( tx, ) menyatakan elevasi gelom-bang permukaan dan R adalah operator pseudo diferensial yang menjelaskan sifat dispersi [5], dinyatakan dalam simbol

k k

Rˆ = tanh( )/ . Persamaan (2.1) memili-ki sifat dispersif yang baik untuk gelom-bang linier permukaan air, bahkan sifat

dispersif gelombang linier permukaan air sepenuhnya terwakili.

Model satu paket gelombang untuk persamaan IKdV dinyatakan dalam bentuk,

c

c

hot

e

A

t

x

u

(

,

)

=

ε

{

(

ξ

,

τ

)

iθ

}

+

+

.

(2.2) dengan mengambil amplitudo paket ge-lombang berbentuk 1-soliton persmaan NLS sebagai ). exp( ) ( sec 2 ) , ( q 2 h iq2 t A

ξ

τ

= _γβ

ξ

−

β

(2.3) Maka satu paket gelombang dari persama-an IKdV, dinyatakpersama-an oleh

), ) , ( cos( ) ( sec 2 ) , (x t q 2 h k₀ q p u = _γβ ξ Θ +∆ (2.4) d e n g a n Θ(k₀,q)=k₀x−ϖt d a n 2 0) (k βq

ϖ =Ω + . Profil satu paket gelom-bang untuk persamaan IKdV dapat digam-barkan dibawah ini,

Gambar 1. Profil satu paket gelombang IKdV.

Model dua paket gelombang untuk persamaan IKdV dalam koordinat berjalan yang berbeda, diberikan oleh Ansatz

. . } ) , ( ) , ( { ) , ( _{1 1} 1 _{2 2} 2 c c hot e A e A t x u i i + + + =

ε

ξ

τ

θ

ξ

τ

θ (2.5) dimana θ_i =k_ix−Ω(k_i)t,i=1,2. Untuk

men-jelaskan proses interaksi maka model ini harus dinyatakan dalam koordinat yang sa-ma. Hubungan ini dapat dinyatakan oleh

βτ ξ

ξi = +2ci , dimana c adalah parameter i

frekuensi gelombang amplitudo dari paket gelombang ke-i, dan β adalah koefisien dispersi pada persamaan NLS. Sehingga diperoleh model paket gelombang sebagai berikut, c c hot e A t x u( , )=ε (ξ,τ) iθ0 + + . _(2.6)

dimana A(ξ,τ) menyatakan suatu amplitudo

bernilai kompleks yang berbentuk dua so-liton dari persamaan NLS yang merambat dengan variasi lamban, bila dibanding de-ngan osilasi gelombang pembawa dede-ngan f a s e θ₀ =k₀x−Ω(k₀)t, d e n g a n ) ) ( (x−Ω' k₀ t =ε ξ menyatakan koordinat

bergerak yang bervariasi lamban dan koordinat waktu lamban τ₌ε2t_{, sedangkan}

) (k0

Ω adalah frekuensi gelombang pemba-wa yang memenuhi relasi dispersi eksak [4] Ω(k)= ktanhk, dan bilangan gelom-bang k₀ bergantung pada k1dan k . Ampli-2

tudo kompleks A(ξ,τ)persamaan (2.6) ada-lah selesaian dua soliton yang memenuhi persamaan NLS, 0 2 2 + = ∂ + ∂_τA i

β

_ξ A

γ

A A (2.7)

Amplitudo dua paket gelombang pada saat berjauhan dapat dinyatakan seba-gai superposisi dua individu soliton.

3. DUA PAKET GELOMBANG

Selesaian dua soliton dari persama-an NLS telah dikaji oleh [1]. Selesaipersama-an ini juga dapat dinyatakan sebagai superposisi dari dua fungsi kompleks dengan masing masing memiliki amplitudo dan fase riil berikut ini, , ) , ( 2 4 ) , ( t x N t x A γ β = )) ) ( Re(exp( 2 1 0 3 3

∑

= − − + − Φ + + i i i i i i I R ψ ζ θ θ . (3.1) dimana, − − + ∆ + + = ∆ ) cosh( ) cosh( ) , ( 2 2 1 1 2 2 1 1

ξ

ξ

ξ

ξ

q q q q e t x N ) 2 cos( ) ( ) ( 4 _{2 1 2} 2 1 2 2 1 2 1 ψ −ψ + α − + +q c c q q q ) 2 cos( ) 2 cosh( 3 3 2 j j j j q e R _{− −} ∆ Φ + ∆ + =

ξ

) tan( ) 2 tanh( ) tan(

ς

_j =

ξ

_j + ∆ Φ_j , 2 1

tan

c c q q − +

=

α

2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ln c c q q c c q q − + + − + − = ∆ , 2 2 1 2 2 2 1 2 1 ) ( ) 1 ( ) ( 2 tan c c q q c c q j j j − − + − − = Φ .

Profil amplitudo pada puncak inte-raksi yang dinyatakan oleh selesaian dua soliton persamaan NLS telah diberikan [2], dalam bentuk fungsi amplitudo dan fase riil berikut ini,

) , ( tx A =

γ

β

2 2 ) , ( ) , ( t x N t x R )) , ( exp(IΨ x t (3.2) dimana, , ) , (x t = Γ R ) 2 cos( 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 + +

ψ

−

ψ

+

ς

−

ς

+

α

= Γ R R RR ), 2 ( 2 1 tan ) arctan( ) ( 2 1 ) , ( 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 α ς ς ψ ψ − + − + × + − + Θ + Θ = Ψ R R R R t x j j j j = +Φ − + − Θ ψ 3 ς3 , j j j j j =c

ξ

+

β

c −q

τ

+ p

ψ

( 2 2) , j =1,2.

Struktur amplitudo paket gelom-bang pada saat berjauhan dapat dijelaskan sebagai berikut

i. Untuk ξ2→∞ , dan

ξ

1 konstan:

)) 2 ( exp( ) ( sec 2 ) , ( 0 1 2 1 1 1 1

θ

θ

ψ

ξ

γ

β

τ

ξ

+ − Φ + × ∆ + → I q h q A

ii. Untuk ξ1→∞, dan ξ2 konstan,

)) 2 ( exp( ) ( sec 2 ) , ( 0 2 2 2 2 2 2

θ

θ

ψ

ξ

γ

β

τ

ξ

+ − Φ + × ∆ + → i q h q A

iii. Untuk

ξ

₂ →−∞, pada

ξ

₁konstan, )) ( exp( ) ( sec 2 ) , ( 0 1 1 1 1 1

θ

θ

ψ

ξ

γ

β

τ

ξ

+ − × → i I q h q A

iv. Untuk _ξ1→−∞, pada ξ₂ konstan,

)) ( exp( ) ( sec 2 ) , ( 0 2 2 2 2 2

θ

θ

ψ

ξ

γ

β

τ

ξ

+ − × → i q h q A

Pada saat yang terpisah jauh sele-saian dua soliton dinyatakan sebagai super-posisi dari satu individu soliton. Maka in-teraksi dua paket gelombang pada saat terpisah jauh dipandang sebagai superposi-si dua individu paket gelombang. Struktur amplitudo paket gelombang pada saat ter-pisah jauh dapat dituliskan sebagai berikut,

    ∞ → + Φ + ∆ −∞ → Φ + ∆ + = = = = = t e p k q A e p k q A t e p k q A e p k q A t x u _i tetap i tetap i tetap i tetap , ) , 0 , , ( ) 2 , , , ( , ) 2 , , , ( ) , 0 , , ( ) , ( 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 θ ξ θ ξ θ ξ θ ξ

Dari analisis di atas dapat dijelas-kan bahwa pada saat terpisah jauh dua pa-ket gelombang dinyatakan sebagai super-posisi individu paket gelombang yang ma-sing mama-sing mempunyai parameter ampli-tudo q1, q2 dan bilangan gelombang k1, k2. Dua parameter yang lain p₁, p₂ mempu-nyai hubungan fisik sebagai selisih fase, yang akan menentukan proses interaksi.

4. IDENTIFIKASI PARAMETER

Pada saat terpisah amplitudo paket gelombang merambat secara translasi. Perhatikan bahwa osilasi modulasi se-kunder memiliki fase ψ_i−θ_i+θ₀. Dengan demikian fase ψ_i−θ_i+θ₀ harus dinyata-kan dalam koordinat bergerakξ_i, dengan

βτ ξ

ξi = +2ci .

Persamaan fase ini dituliskan kem-bali menjadi, 0 θ θ ψi − i + = ciξ+β(ci −qi )τ + pi − 2 2 t k x k t k x k_i +Ω( _i) + ₀ −Ω( ₀) i i i k k c ξ ε ) ( + 0− = - p k k c k k k q c i i i i +    Ω − Ω + −     _Ω − − + τ ε ε β ε β 2 1 0 2 0 ' 0 2 2 ) ( ) ( ) 2 ) ( ( ) ( ) (

Untuk ini harus ditentukan koefisien dari

τ

sama dengan nol. Sehingga diperoleh persamaan untuk c yang bergantung pada i

i

k dan q , dengan bilangan gelombang i k 0

dipilih sebagai ( ) 2 1 2 1 0 k k k = + . Maka

per-samaan untuk c_i, memenuhi fungsi implisit berikut ini, 0 2 ) 1 ( ) 0 ( ) 2 2 ) 0 ( ' )( 0 ( ) 2 2 ( + − − Ω − +Ω −Ω = ε ε β ε β k ci k k i k k i q i c (4.1) Dengan demikian fase dari individu ge-lombang amplitudo hanya tergantung pada koordinat berjalan

ξ

_i,i =1,2. Ini menun-jukkan bahwa amplitudo A(

ξ

_i,

τ

) berjalan secara translasi.

Selanjutnya dengan pemilihan par-ameter tersebut dianalisis profil interaksi yang berbentuk simetris disekitar puncak interaksi. Pada puncak interaksi berlaku persamaan, _q +₂1∆=0,_i=1,2

i

i

ξ

. Dengan

menyelesaikan sistem persamaan ini diper-oleh titik pusat interaksi (x₀,t₀) pada sis-tem koordinat fisis(x,t), dimana

k q q q c q c q k q k x ∆ − + Ω − Ω ∆ = 2 1 2 1 1 2 2 2 0 ' 1 0 ' 0 ) 2 2 ) ( ) ( ( βε βε βε dan k q q q q t ∆ − ∆ = 2 1 2 2 1 0 4 ) (

βε

. Untuk interaksi ampli-tudo pada puncak interaksi, terdapat hubu-ngan antara c dan _i k yang dinyatakan _i oleh c_i+(k₀−k_i)/ε =0. Dengan melakukan

transformasi koordinat, x→ x−x₀, maka komponen fase pada formula (2.5) men-jadi p x k +∆ ∆ = + − 2 2 ( ) 1 ψ α ψ (4.2) x i q i i q 2 2 ξ +∆ = (4.3) ) tan ) h( arctan(tan 2 2 2 1 2 2 1 Φ + ∆ = + − + − x q x k

α

ς

ς

ψ

ψ

p x q )tan Φ )+∆ h( arctan(tan _{1 1} (4.4) x q q q q₁ξ₁+ ₂ξ₂ +∆ =( ₁+ ₂) (4.5) x q q q q₁ξ₁− ₂ξ₂ = ( ₁− ₂) (4.6) Dengan hasil analisis pada persamaan (4.2)–(4.6) ini, menyatakan bahwa kom-ponen fungsi pada formula (3.1) tersebut adalah simetris terhadap x=0. Ini berarti bahwa interaksi amplitudo gelombang pa-da puncak interaksi apa-dalah simetris. Selisih fase p −p , ini menentukan profil

inte-raksi. Untuk p₁ − p₂ =0mod(2

π

), me-nyatakan profil interaksi in-phase (dalam

fase), sedangkan untuk

) 2 mod( 2 1− p =

π

π

p menyatakan profil

interaksi out-of-phase (luar fase).

Pada interaksi amplitudo terdapat dua fungsi yang menentukan osilasi mo-dulasi sekunder yaitu

)

cos(

)

2

cos(

_{1 2 ( , )} 0 0t

k

x

p

x

=

∆

+

∆

+

−

ψ

α

ψ

(4.7) yang mempunyai panjang gelombang

k ∆ π 2 dan = + − + − 2 2 1 _{( , )} 1 0 0 ) 2 cos(

ψ

ψ

ζ

ζ

α

_{x t} ) cos(∆kx+

ζ

₂ −

ζ

₁+∆p (4.8) dengan panjang gelombang disekitar

k t x ∆ ≈ 2π ) ,

( _{0 0} . Kedua fungsi ini adalah sime-tris pada puncak interaksi terhadap koordi-nat x.

Profil interaksi amplitudo tersebut akan lebih rumit untuk nilai parameter µ=

k q q ∆ + = 1 2

tanα yang lebih kecil. Hal ini dapat dilihat dengan memperhatikan perbe-daan skala panjang pada proses yang ber-kaitan. Ada dua skala panjang yang me-nentukan proses interaksi. Skala panjang yang menentukan lebar interval interaksi, yang nilainya berbanding terbalik jumlah parameter masing masing amplitudo,

int χ ≈ 2 1 1 q q +

Skala panjang yang menentukan gelom-bang modulasi, diberikan oleh

χ

= _∆2π_k

mod .

Parameter karakteristik dikenali mempu-nyai nilai yang sebading dengan rasio anta-ra skala panjang modulasi dan skala pan-jang interaksi

µ

= q1_∆+_kq2 ≈ int mod χ χ 5. SIMULASI NUMERIK

Profil interaksi amplitudo dua paket gelombang digambarkan dengan simulasi numerik pada, pada saat terpisah jauh se-belum interaksi dan sesudah interaksi), dan pada t=t0 yaitu pada puncak interaksi

da-lam koordinat fisik ( tx, ). Dipilih dua nilai parameter karakteristik untukµ =1,1,

4 . 1 =

µ dan k1 =4,k2 =4,5

Gambar 2. Interaksi dalam fase (µ=1,1)

Gambar 3. Interaksi luar fase ( µ=1,1)

Gambar 4.Interaksi dalam fase ( µ =1.4)

Gambar 5. Interaksi luar fase untuk 4

. 1 =

µ

Selama menuju proses interaksi amplitudo paket gelombang merambat se-cara translasi mengalami deformasi dan destorsi. Kemudian membentuk profil inte-raksi yang berbentuk simetris pada puncak interaksi.

6. PENUTUP

Telah dibahas dan dianalisis inte-raksi amplitudo paket gelombang dari per-samaan IKdV dengan amplitudo memenu-hi persamaan NLS. Interaksi ini

menjelas-kan secara implisit interaksi tak linier dua individu amplitudo paket gelombang.

Banyaknya hump interaksi amplitu-do dua paket gelombang pada puncak inte-raksi ditentukan oleh rasio antara parame-ter skala panjang inparame-teraksi amplitudo dan skala panjang modulasi dari interaksi ge-lombang. Berkenaan dengan interaksi dua paket gelombang masih banyak masalah yang perlu dikaji yang berkaitan dengan gelombang pembawa.

Ucapan Terima Kasih

Ucapan terima kasih disampaikan kepada Prof. Dr. Edy Soewono atas sum-bangan pemikiran dan Dirjen DIKTI mela-lui Hibah Penelitian Kerjasama Antar Per-guruan Tinggi (Hibah Pekerti) dengan no-mor kontrak: 064/P4T/DPPM/HPTP,PHP /III/2004

7. DAFTAR PUSTAKA

[1] Hirota, R, (1973), J. Math. Phys., 14: 805.

[2] Nusantara T, (2001), Tesis Doktor, ITB.

[3] Stansberg C.T. (1997), Proc. 3rd Int. Symp. on the Ocean Wave Measu-rement and Analysis, 2: 1227.

[4] van Groesen E, T. Nusantara and E. S o e w o n o , ( 2 0 0 1 ) , O p t i c a l a n d Quantum Electronics, 33: 499.

[5] Van Groesen E, Andonowati, and E. Soewono, (1999), Proc. Estonian Acad. Sci., Phys. Math., 48:206.