Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 5

KOMBINATORIAL

 PENDAHULUAN

Persoalan kombinatorik bukan merupakan persoalan baru dalam kehidupan nyata. Banyak persoalan kombinatorik sederhana telah diselesaikan dalam masyarakat. Misalkan, saat pemilihan pemain untuk tim sepakbola yang terdiri dari 11 pemain. Apabila ada 20 orang ingin membentuk suatu tim sepakbola, ada berapa kemungkinan komposisi pemain yang dapat dibentuk? Contoh lain adalah sebuah password panjangnya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau angka. Berapa banyak kemungkinan password yang dapat dibuat? Tetapi selain itu, para ilmuwan pada berbagai bidang juga sering menemukan sejumlah persoalan yang harus diselesaikan.

 DEFINISI

Kombinatorial adalah cabang Matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya.

 PRINSIP DASAR MENGHITUNG

Dalam kombinatorial, ada dua prinsip (kaidah) dasar yang digunakan untuk menghitung, yaitu kaidah penjumlahan (rule of sum) dan kaidah perkalian (rule of product).

1. Kaidah Penjumlahan (Rule of Sum)

Bila percobaan 1 mempunyai m hasil percobaan yang mungkin terjadi (memiliki sebanyak m kemungkinan jawaban) dan percobaan 2 mempunyai n hasil percobaan yang mungkin (memiliki sebanyak n kemungkinan jawaban), maka bila hanya salah satu dari dua percobaan itu saja yang dilakukan (percobaan 1 atau percobaan 2), maka terdapat m+n hasil jawaban (memiliki m+n kemungkinan jawaban).

Contoh 1:

Seorang mahasiswa akan memilih satu mata kuliah yang ditawarkan pagi dan sore. Untuk pagi, ada 7 mata kulah dan sore ada 5 mata kuliah yang ditawarkan. Maka, mahasiswa tersebut mempunyai 7+5 pilihan untuk memilih satu mata kuliah yang ditawarkan.

Contoh 2:

Seorang dosen pada sebuah perguruan tinggi mengajar mahasiswa program studi TI, MI dan KA. Jika jumlah mahasiswa prodi TI adalah 25 orang, jumlah mahasiswa MI adalah 27 orang dan jumlah

mahasiswa KA adalah 20 orang, maka jumlah mahasiswa yang diajar oleh dosen tersebut adalah 25+27+20 = 72 mahasiswa.

2. Kaidah Perkalian (Rule of Product)

Bila percobaan 1 mempunyai m hasil percobaan yang mungin terjadi (memiliki sebanyak m kemungkinan jawaban) dan percobaan 2 mempunyai n hasil percobaan yang mungkin (memiliki sebanyak n kemungkinan jawaban). Maka bila kedua percobaan 1 dan percobaan 2 dilakukan, maka terdapat mxn hasil jawaban (memiliki mxn kemungkinan jawaban).

Contoh 3:

Berapa banyak string dengan panjang 7 yang mungkin terbentuk dari dua bit (0 dan 1)

Penyelesaian :

Setiap suku pada string tersebut mempunyai dua cara pemilihan, yaitu 0 dan 1. Dengan demikian, pada pemilihan string dengan panjang 7 dapat dilakukan dengan:

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 27 = 128 cara

Contoh 4:

Berapa banyak bilangan ganjil antara 1000 dan 9999 (termasuk 1000 dan 9999 itu sendiri) dimana a) Semua angkanya berbeda

b) Boleh ada angka yang berulang

Penyelesaian :

a) Posisi satuan : 5 kemungkinan angka (yaitu 1,3,5,7 dan 9)

Posisi ribuan : 8 kemungkinan angka (yaitu 1 sampai 9 kecuali angka yang telah dipilih) Posisi ratusan : 8 kemungkinan angka

Posisi puluhan : 7 kemungkinan angka

Maka banyak bilangan ganjil seluruhnya adalah (5)(8)(8)(7) = 2240 buah

b) Posisi satuan : 5 kemungkinan angka (yaitu 1,3,5,7 dan 9) Posisi ribuan : 9 kemungkinan angka (1 sampai 9)

Posisi ratusan : 10 kemungkinan angka (0 sampai 9) Posisi puluhan : 10 kemungkinan angka (0 sampai 9)

Contoh 5:

Password suatu login pada sistem komputer panjangnya 5 sampai 7 karakter. Tiap karakter boleh berupa huruf (huruf besar dan huruf kecil tidak dibedakan) atau angka. Berapa banyak password yang dapat dibuat untuk suatu login?

Penyelesaian :

Banyaknya huruf alfabet adalah 26 (A – Z) dan banyak angka adalah 10 (0 – 9). Jadi seluruhnya terdapat 36 karakter.

Untuk password dengan panjang 5 karakter, jumlah kemungkinan password adalah (36)(36)(36)(36)(36) = 365 = 60.466.176 buah

Untuk password dengan panjang 6 karakter, jumlah kemungkinan password adalah (36)(36)(36)(36)(36)(36) = 366 = 2.176.782.336

Dan untuk passsword dengan panjang 7 karakter, jumlah kemungkinan password adalah (36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 367 = 78.364.164.096

Maka, jumlah keseluruhan password yang mungkin adalah

60.466.176 + 2.176.782.336 + 78.364.164.096 = 80.601.412.608 buah kemungkinan password

 PRINSIP INKLUSI – EKSKLUSI

Ketika dua proses dikerjakan dalam waktu yang sama, kita tidak bisa menggunakan prinsip penjumlahan untuk menghitung jumlah cara untuk memilih salah satu dari dua proses tersebut. Untuk menghitung proses tersebut, kina harus mengenal prinsip inklusi-eksklusi. Dengan kata lain, prinsip inklusi-ekslusi adalah cara penghitungan dengan menggunakan prinsip perhitungan himpunan.

Contoh 6:

Berapa banyak byte yang dapat disusun oleh 8-bit yang dimulai dengan “11” atau berakhir dengan “00”?

Penyelesaian :

Misalkan, A adalah himpunan byte yang dimulai dengan “11” B adalah himpunan byte yang diakhiri dengan “00”

AB adalah himpunan byte yang berawal dengan “11” dan berakhir dengan “00” AB adalah himpunan byte yang berawal dengan “11” atau berkahir dengan “00” Maka,

Jumlah kemungkinan byte yang dapat disusun pada himpunan A adalah (1)(1)(2)(2)(2)(2)(2)(2) = 26 ₌

A

= 64

Sementara itu, jumlah kemungkinan byte yang dapat disusun pada himpunan B adalah (2)(2)(2)(2)(2)(2)(1)(1) = 26 =

B

= 64

Dengan cara yang sama, jumlah kemungkinan byte yang dapat disusun pada himpunan AB adalah (1)(1)(2)(2)(2)(2)(1)(1) = 24 =

A



B

= 16 Maka,

112

16

64

64



















B

A

B

A

B

A

Dengan demikian, jumlah byte yang dapat disusun oleh 8-bit, yang dimulai dengan “11” atau berakhir dengan “00” adalah 112 buah.

 PERMUTASI DAN KOMBINASI 1. PERMUTASI

Suatu permutasi merupakan susunan yang mungkin dibuat dengan memperhatikan urutan. Dengan kata lain, permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi prinsip perkalian. Misalkan diberikan suatu himpunan A dengan jumlah anggota n, maka susunan terurut yang terdiri dari r buah anggota dinamakan permutasi-r dari A, ditulis P(n,r).

Dengan demikian, permutasi r objek dari n buah objek adalah jumlah kemungkinan urutan r buah objek yang dipilih dari n buah objek, dengan r  n, pada setiap kemungkinan penyusunan r buah objek tidak ada urutan yang sama, yaitu:

 





 







! ! 1 2 1 , r n n r n n n n r n P         Contoh 7:

Misalkan S = {p,q,r}. Berapa cara yang mungkin dalam penyusunan dua huruf pada S sehingga tidak ada urutan yang sama?

Penyelesaian :

Susunan 2 huruf yang mungkin adalah pq, pr, qr, qp, rp, rq

jadi, penyusunan tersebut dapat dilakukan dengan 6 buah cara. Dalam penyusunan ini, dapat menggunakan definisi permutasi, yaitu:

   

6 1 1 . 2 . 3 ! 2 3 ! 3 2 , 3     P Contoh 8:

Misalkan kita mempunyai 5 buah bola dengan warna yang berbeda satu sama lain dan 3 buah kotak. Kita akan memasukkan bola tersebut ke dalam kotak. Masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola. Berapa jumlah urutan bola dengan warna berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam kotak-kotak tersebut?

Penyelesaian :

Kotak 1 dapat diisi oleh salah satu dari 5 bola (ada 5 pilihan) Kotak 2 dapat diisi oleh salah satu dari 4 bola (ada 4 pilihan) Kotak 3 dapat diisi oleh salah satu dari 3 bola (ada 3 pilihan) Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola = (5)(4)(3) = 60 Jika menggunakan permutasi maka:

   

60 1 . 2 1 . 2 . 3 . 4 . 5 ! 3 5 ! 5 3 , 5     P 2. KOMBINASI

Misalkan r merupakan unsur bilangan bulat tak negatif. Yang dimaksud dengan kombinasi r dari suatu himpunan B yang terdiri dari n anggota (objek) yang berbeda adalah jumlah himpunan bagian dari B yang memiliki anggota r buah objek. Interpretasi yang lain tentang kombinasi adalah menyusun (memilih) objek sejumlah r dari n buah objek yang ada.

Kombinasi dapat dirumuskan:

 

_

_

! ! ! , r n r n r n C  

Contoh 9:

Misalkan A = {p,q,r}. Tentukan semua himpunan bagian dari A yang memiliki kardinalitas dua.

Penyelesaian :

Himpunan bagian tersebut antara lain : {p,q}, {p,r}, dan {q,r} Jadi kita mempunyai 3 kombinasi, yaitu pq, pr dan qr.

Pada himpunan, urutan unsur pada himpunan tidak diperhatikan. Dengan demikian, kombinasi 2 dari himpunan A (penyusunan dua huruf tanpa memperhatikan urutan) adalah 3, yaitu pq, pr dan qr. Ini berbeda, pada saat kita mendefinisikan permutasi (urutan diperhatikan).

Dengan kombinasi, penyelesaiannya menjadi,

 

_

_

3 1 . 1 . 2 1 . 2 . 3 ! 2 3 ! 2 ! 3 2 , 3     C Contoh 10:

Diantara 10 orang mahasiswa Teknik Informatika Angkatan 2012, berapa banyak cara membentuk sebuah perwakilan beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga:

a) mahasiswa bernama A selalu termasuk didalamnya b) mahasiswa bernama A tidak termasuk didalamnya

c) mahasiswa bernama A selalu termasuk didalamnya, tetapi B tidak d) mahasiswa bernama B selalu termasuk didalamnya, tetapi A tidak e) mahasiswa bernama A dan B termasuk didalamnya

f) setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama A atau B termasuk didalamnya

Penyelesaian : a)

 

126 1 . 2 . 3 . 4 6 . 7 . 8 . 9 ! 5 ! 4 ! 9 4 , 9    C b)

 

126

!

4

!

5

!

9

5

,

9





C

c)

 

70

!

4

!

4

!

8

4

,

8





C

d)

 

70 ! 4 ! 4 ! 8 4 , 8   C

e)

 

56 ! 5 ! 3 ! 8 3 , 8   C

f) jumlah cara membentuk perwakilan sedemikian sehingga setidaknya salah satu dari A atau B termasuk didalamnya, yaitu

jumlah cara membentuk perwakilan sehingga A termasuk di dalamnya, B tidak +

Jumlah cara membentuk perwakilan sehingga B termasuk didalamnya, A tidak +

Jumlah cara membentuk perwakilan sehingga A dan B termasuk didalamnya =

70 + 70 + 56 = 196 cara Bila dikerjakan dengan prinsip inklusi-eksklusi, maka

X = jumlah cara membentuk perwakilan yang menyertakan A Y = jumlah cara membentuk perwakilan yang menyertakan B

XY = jumlah cara membentuk perwakilan yang menyertakan A dan B sehingga,

 

9

,

4



126



C

X

 

9

,

4



126



C

Y

 

8

,

3



56





Y

C

X

Maka, 196 56 126 126         Y X Y X Y X

3. PERMUTASI DAN KOMBINASI BENTUK UMUM

Misalkan ada n buah bola yang tidak seluruhnya berbeda warna (jadi, ada beberapa bola yang warnanya sama – indistinguishable).

n1 bola diantaranya berwarna 1 n2 bola diantaranya berwarna 2 

nk bola diantaranya berwarna k dan n1 + n2 + … + nk = n

berapa jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam kotak-kotak tersebut (tiap kotak maksimal terisi 1 buah bola)?

Jika n buah bola itu kita anggap berbeda semuanya, maka jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam n buah kotak adalah:

 

n

,

n

n

!

P



Dari pengaturan n buah bola itu,

ada n1! cara memasukkan bola berwarna 1 ada n2! cara memasukkan bola berwarna 2 

ada nk! cara memasukkan bola berwarna k

Permutasi n nuah bola yang mana n1 diantaranya berwarna 1, n2 bola berwarna 2, …, nk bola berwarna k, adalah





 

! ! ! ! ! ! ! , , , ; 3 2 1 3 2 1 2 1 n n n n n n n n n P n n n n P k     

Jumlah cara pengaturan seluruh bola kedalam kotak adalah







 

 



























! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! , , , , , , , ; 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 3 2 1 2 1 1 2 1 k k k k k k k n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C n n n n C n n n C n n C n n n n C                               

Sehingga dapat disimpulkan bahwa









! ! ! ! , , ; , , ; 2 1 2 1 2 1 k k k n n n n n n n n C n n n n P      Contoh 11:

Berapa banyak kata yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf dari kata “MISSISSIPPI”

Penyelesaian :

Huruf M = 1 buah (n1) Huruf I = 4 buah (n2) Huruf S = 4 buah (n3) Huruf P = 2 buah (n4) n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah =

S

maka, jumlah string =



     

34650 ! 2 ! 4 ! 4 ! 1 ! 11 2 , 4 , 4 , 1 ; 11   P buah Contoh 12:

Berapa banyak cara membagikan 8 buah mangga kepada 3 orang anak, bila Billy mendapat 4 buah mangga, dan Andi serta Toni masing-masing memperoleh 2 buah mangga.

Penyelesaian :

n = 8, n1 = 4, n2 = 2, n3 = 2

maka jumlah cara membagi seluruh mangga adalah,







_{    }

420 ! 2 ! 4 ! 4 ! 8 2 , 4 , 4 ; 8 , , ;n1 n2 n3 C   n C cara

4. KOMBINASI DENGAN PENGULANGAN

Misalkan terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan n buah kotak. - masing-masing kotak hanya boleh diisi paling banyak satu buah bola

jumlah cara memasukkan bola :

C ,

 

n

r

- masing-masing kotak boleh diisi oleh lebih dari satu buah bola (tidak ada pembatasan jumlah bola)

jumlah cara memasukkan bola :

C



n



r



1

,

r





n



r



1

,

r





C



n



r



1

,

n



1



C

Contoh 13:

20 buah apel dan 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak. Tiap anak boleh mendapat lebih dari 1 buah apel atau jeruk, atau tidak sama sekali. Berapa jumlah cara pembagian yang dapat dilakukan?

Penyelesaian :

n = 5, r1 = 20 (apel) dan r2 = 15 (jeruk)

membagi 20 apel kepada 5 anak :

C



5



20



1

,

20



cara membagi 15 apel kepada 5 anak :

C



5



15



1

,

15



cara maka, jumlah cara membagikan kedua buah itu adalah,



 





 



41186376

3876

10626

15

,

19

20

,

24

15

,

1

15

5

20

,

1

20

5





















C

C

C

C

Contoh 14:

Pada persamaan x1x2x3x4 12,

x

i adalah bilangan bulat  0. Berapa jumlah kemungkinan solusinya?

Penyelesaian :

n = 4, r = 12

maka, jumlah kemungkinan solusinya adalah,









455 12 , 15 12 , 1 12 4     C C  KOEFISIEN BINOMIAL

Misalkan n merupakan bilangan bulat positif, dengan teorema binomial, perpangkatan berbentuk





n

y

x dapat dijabarkan dalam bentuk segitiga Pascal berikut:

Bilangan

C ,

 

n

k

merupakan koefisien untuk

x

nk

y

k dinamakan koefisien binomial.

Contoh 15:

Jabarkan



2x y



3

Penyelesaian :

Misalkan a2x dan b y, maka





 

 

 

 

 

        

3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 1 1 2 3 3

16

12

8

1

2

3

2

3

2

1

3

,

3

2

,

3

1

,

3

0

,

3

y

xy

y

x

x

y

y

x

y

x

x

b

C

b

a

C

b

a

C

a

C

b

a



























Contoh 16: Jabarkan



2x3



3 Penyelesaian :

Misalkan a2x dan b3, maka





 

 

 

 

 

        

27 54 36 8 3 1 3 2 3 3 2 3 2 1 3 , 3 2 , 3 1 , 3 0 , 3 2 3 3 2 2 3 3 2 1 1 2 3 3                 x x x x x x b C b a C b a C a C b a Contoh 17:

Tentukan suku keempat dari penjabaran perpangkatan



xy



5

Penyelesaian :





5



 



5 y x y x   

Suku keempat adalah

   

5 3 3 2 3 10 3 , 5 x y x y C   

 LATIHAN

1. Tentukan nilai : a. P(6,3) b. C(5,1)

2. Tersedia 6 huruf : a b, c, d, e, f. Berapa jumlah pengurutan 3 huruf jika: a. tidak ada huruf yang diulang

b. boleh ada huruf yang berulang

c. tidak boleh ada huruf yang diulang, tetapi huruf e harus ada d. boleh ada huruf yang berulang, huruf e harus ada

3. Tentukan banyak cara pengaturan agar 3 orang mahasiswa Juusan Teknik Informatika, 4 orang mahasiswa Sistem Informasi, 4 orang mahasiswa Manajemen Informatika, dan 2 orang mahasiswa Komputerisasi Akuntansi dapat duduk dalam satu baris sehingga mereka dari program studi yang sama duduk berdampingan?

4. Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata “HAPUS”

5. Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka dari 5 angka berikut: 1, 2, 3, 4, 5, jika a. tidak boleh ada pengulangan angka

b. boleh ada pengulangan angka

6. Ada 5 orang mahasiswa jurusan Matematika dan 7 orang mahasiswa Informatika. Berapa banyak cara membentuk panitia yang terdiri dari 4 orang jika:

a. tidak ada batasan jurusan

b. semua anggota panitia harus dari jurusan Matematika c. semua anggota panitia harus dari jurusan Informatika d. 2 orang mahasiswa per jurusan harus mewakili

7. 12 buah lampu berwarna (4 merah, 3 putih, dan 5 biru) dipasang pada 18 buah soket dalam sebuah baris (sisanya 6 buah soket dibiarkan kosong). Berapa jumlah cara pengaturan lampu?

8. Di perpustakaan TI terdapat 3 jenis buku : buku Algoritma dan Pemrograman, buku Matematika Diskrit, dan buku Basis Data. Perpustakaan memiliki paling sedikit 10 buah buku untuk masing-masing jenis. Berapa banyak cara memilih 10 buah buku?

9. Toko “Duny Donut” menyediakan 4 jenis donat dengan rasa yang berbeda (stok masing-masing rasa 10 buah). Berapa jumlah cara pengambilan, jika seseorang membeli donat tersebut 6 buah.

10. Dengan menggunakan teorema binomial, tentukan: a. koefisien x5y8 dalam



x y



13