Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 1 dari 28
MODEL MATEMATIS
SISTEM DINAMIS DAN
SISTEM KENDALI
•
PENDAHULUAN
•
KLASIFIKASI SISTEM
•
MODEL MATEMATIS SISTEM FISIS
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2 dari 28
PENDAHULUAN
•
Untuk analisis dan desain sistem kendali, sistem fisis harus
dibuat model fisisnya.
•
Model fisis harus dapat menggambarkan karakteristik dinamis
sistem tsb secara memadai.
•
Model matematis diturunkan dari hukum-hukum fisis sistem
ybs.
- Dinamika sistem mekanis dimodelkan dengan hukum-hukum
Newton.
- Dinamika sistem elektrik dimodelkan dengan hukum-hukum
Kirchoff, Ohm.
•
Model matematis suatu sistem: kumpulan persamaan yang
menggambarkan dinamika suatu sistem secara memadai.
•
Model matematis dapat meningkat akurasinya dengan
memodelkan secara lebih lengkap, bila diperlukan dalam
analisis yang teliti.
•
Perlu kompromi antara kesederhanaan model dengan akurasi
hasil analisis.
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 3 dari 28
•
Kesederhanaan model dicapai dengan memperhatikan
faktor-faktor penting saja dalam pemodelan.
- Pemodelan dengan persamaan differential (bukan parsial),
akan menghilangkan sifat-sifat nonlinear tertentu dan
parameter-parameter terdistribusi yang mungkin ada pada
sistem.
- Pemodelan suatu komponen pada frekuensi rendah tidak
dapat digunakan pada frekuensi tinggi.
•
Suatu sistem yang memiliki model matematis sama tidak selalu
menggambarkan model fisis yang sama (Misal: analogi sistem
mekanis dengan sistem elektrik).
•
Dua pendekatan analisis :
- Fungsi Alih (Tradisional, untuk sistem SISO)
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 4 dari 28
KLASIFIKASI SISTEM
- LINEAR VS NONLINEAR
- TIME-INVARIANT VS TIME-VARYING
- CONTINUOUS-TIME VS DISCRETE-TIME
- DETERMINISTIC VS STOCHASTIC
- LUMPED- VS DISTRIBUTED - PARAMETERS
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 5 dari 28
- LINEAR VS NON-LINEAR
- Sistem fisis umumnya bersifat nonlinear dalam tingkat
tertentu.
- Untuk daerah kerja yang kecil, sistem nonlinear dapat
dianggap linear (piece-wise linearisation)
- Sistem linear : berlaku hukum superposisi:
- respons suatu sistem terhadap beberapa input berbeda
merupakan kombinasi respons masing-masing input.
- Pengujian kelinearan suatu sistem melalui input sinusoidal.
- Dalam beberapa hal elemen-elemen nonlinear sengaja
disertakan dalam sistem kendali untuk optimasi unjuk kerja.
- Relay on-off dipakai pada sistem kontrol optimal waktu,
sistem kendali pesawat dan sistem peluru kendali.
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 6 dari 28
TIME-INVARIANT VS TIME-VARYING
- Sistem time-invariant memiliki parameter-parameter yang
konstan, tak tergantung waktu.
- Respons nya tak tergantung pada saat kapan input diberikan.
- Sistem time-varying memiliki satu atau lebih parameter yang
berubah terhadap waktu.
- Respons nya tergantung pada waktu diberikan input.
- Contoh Sistem Kendali Time-varying:
Sistem kendali pesawat ruang angkasa : bobotnya berkurang
akibat konsumsi bahan bakar.
CONTINUOUS-TIME VS DISCRETE-TIME
- Sistem kontinyu waktu : memiliki semua variabel / sinyal
yang kontinyu terhadap waktu.
- Sistem diskrit waktu : memiliki satu atau lebih variabel /
sinyal yang diskrit terhadap waktu.
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 7 dari 28
DETERMINISTIC VS STOCHASTIC
- Sistem deterministik memiliki respons terhadap suatu input
yang dapat ditebak dan berulang / konsisten.
- Sistem stokastik: respons terhadap input yang sama tidak
selalu menghasilkan output yang sama.
LUMPED- VS DISTRIBUTED – PARAMETERS
- Pemodelan komponen yang sederhana bila dapat dianggap
bahwa parameter-parameter komponen tsb dapat dimodelkan
secara terkumpul disatu titik.
- Dicirikan dengan persamaan differensial biasa.
- Pemodelan parameter terdistribusi lebih tepat digunakan,
misalnya pada sistem transmisi.
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 8 dari 28
TRANSFER FUNCTION VS STATE SPACE
- Analisis sistem sederhana, SISO yang bersifat linear,
kontinyu, time-invariant, lumped-parameters, deterministik,
dapat dilakukan melalui pendekatan tradisional (fungsi alih)
yang merupakan domain frekuensi kompleks. Alat bantu
analisis dan perancangan dapat berupa Root Locus (domain
waktu), Bode Plot atau Nyquist (domain frekuensi).
- Untuk sistem modern yang kompleks dan berakurasi tinggi
(ditandai dengan MIMO, non-linear, time-varying, optimal,
robust) harus digunakan pendekatan state space yang bersifat
domain waktu.
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 9 dari 28
Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik(1)
Dalam bentuk Laplace : (anggap kondisi mula = 0)
Fungsi alih :
Hukum Fisis : Kirchoff
Persamaan dinamis sistem
/ Persamaan differensial
L
di
dt
+
Ri
+
c
∫
idt
=
e
i1
1
c
∫
idt
=
e
oL
R
c
e
oe
ii
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2s
sE
c
s
I
s
RsI
s
LI
s
s
sE
C
s
I
s
E
s
I
sC
i o o=
+
+
=
→
=
)
(
)
(
1
)
(
)
(
I
s
E
s
Cs
s
RI
s
sLI
+
+
=
i1
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
2 2+
+
=
+
+
=
RCs
LCs
s
I
C
Rs
L
s
C
s
I
s
E
s
E
i oTeknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 10 dari 28
Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik (2)
i
2(t)
L
2e
0(t)
C
R
L
1e(t)
i
1(t)
+
-}
i
i t
i t
i
C
d
t
dt
c c e=
−
=
1 2 0( )
( )
( )
i
i
C
d
dt
e 1 2 03
− =
( )
e t
Ri
L
di
dt
e
e
L
di
dt
( )
( )
( )
=
+
+
=
1 1 1 0 0 2 21
2
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 11 dari 28
Transformasi Laplace :
E s
sL I s
I s
E s
sL
0 2 2 2 0 22
2
( )
−
( )
( )
→
( )
=
( )
( )
I s
1( )
−
I s
2( )
=
sC E s
0( )
( )
3
(
)
E s
( )
=
R
+
sL I s
1 1( )
+
E s
0( )
( )
1
I s
E s
E s
R
sL
1 0 11
( )
=
( )
−
( )
( )
+
( ) & ( )
1
2
→
( )
3
E s
E s
R
sL
E s
sL
sC E s
( )
( )
( )
( )
−
+
−
=
0 1 0 2 0(
)
(
)( )
SL E s
sL E s
R
sL E s
R
sL
sL
sC E s
2 2 0 1 0 1 2 0( )
( )
( )
( )
−
−
+
+
=
( )
(
(
)
)
( )
(
)
(
)
(
) (
)
[
]
(
) (
)
sL E s
R
s L
L
E s
R
sL
s L C E s
sL E s
s L C R
sL
s L
L
R E s
E s
E s
sL
s L C R
sL
s L
L
R
2 1 2 0 1 2 0 2 2 1 1 2 0 0 2 2 2 1 1 2 2 2−
+
+
=
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
=
+
+
+
+
sL
s L L C
s L CR
s L
L
R
2 3 1 2 2 2 1 2Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 12 dari 28
Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik (3)
Persamaan Rangkaian:
Diperoleh:
-+
R
1i
1R
2e
oe
ie
xi
0i
2Op Amp ideal :
Z
in= ~
Sehingga i
0= 0
e
x~0
virtual ground,
sehingga
i
1=
i
2e
e
R
e
e
R
e
R
e
R
i−
x=
x−
o⇒
i=
−
o 1 2 1 2e
R
R
e
o= −
2 1:
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 13 dari 28
Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik (4)
-+
R
1i
1R
2e
oe
ie
xi
3c
i
2e
R
C
de
dt
e
R
i
o
o
1
2
= −
−
1
1
)
(
)
(
sehingga
)
(
)
(
)
(
2 1 2 2 1+
−
=
−
−
=
Cs
R
R
R
s
E
s
E
R
s
E
s
sCE
R
s
E
i o o o i 2 2 3 2 1 1 3 2 1~
~
)
(
~
R
e
R
e
e
i
dt
de
C
dt
e
e
d
C
i
R
e
R
e
e
i
i
i
i
o o x o o x i i x i−
−
=
−
−
=
−
=
+
=
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 14 dari 28
Model Matematis untuk Sistem Mekanis:
Translasi(1)
Laplace :
pada t < 0 : sistem tak bergerak
pada t = 0 gerobak di gerakan
dengan
kecepatan konstan
dn
dt
=
kons
tan
y = output relatif terhadap
ground
k
m
n input
y output
b
(
)
m
d y
dt
b
dy
dt
dn
dt
k y
n
m
d y
dt
b
dy
dt
ky
b
dn
dt
kn
2 2 2 2+
−
+
−
+
+
=
+
(
)
(
)
k
bs
ms
k
bs
s
U
s
Y
s
U
k
bs
s
Y
k
bs
ms
+
+
+
=
+
=
+
+
2 2)
(
)
(
)
(
)
(
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 15 dari 28
Model untuk Sistem Mekanis : Translasi(2)
Hukum Newton kedua :
Laplace :
Diperoleh Fungsi Alih:
Ambil :
f = d(t) , sehingga F(s) = 1; m= 1; b=2; k = 1
k
m
gaya luar f
b
x
ma
=
∑
F
M = massa, (kg)
A = percepatan, m / s
2F = gaya, N
m
d x
d
b
dx
dt
kx
f
22
+
+
+
=
ms X s
2( )
+
bs X s
( )
+
kX s
( )
=
F s
( )
X s
F s
ms
bs
k
( )
( )
=
+ +
1
2X s
s
s
s
s
( )
(
)(
)
=
+ +
=
+
+
1
2
1
1
1
1
2Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 16 dari 28
Model Matematis untuk Sistem Mekanis: Rotasi
J = momen inersia beban kg m
2α
= percepatan sudut beban rad / s
2T = torsi yang diberikan pada sistem Nm
J
α
=
∑
T
J
T
w
b
ω
= kecepatan sudut rad / s
θ
= simpangan sudut (rad)
T
b
dt
d
J
T
dt
d
b
dt
d
J
=
+
=
+
ω
ω
θ
θ
:
atau
2
2
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 17 dari 28
Model Matematis untuk Generator DC :
ο
Kecepatan konstan n
ο
Arus output i
adapat dikontrol dari besarnya arus i
fKVL pada kiri/input :
Substitusi (3) -à (2):
dt
de
k
L
k
e
R
e
g g f g g f f=
+
i
f
R
f
Lf
e
f
e
a
z
L
L
g
R
g
i
a
e
g
n
i
f
= arus medan
i
a
= arus jangkar
f
g
i
k
n
k
e
⋅
=
⋅
⋅
=
2
1
φ
φ
}
f
g
g
k
i
e
=
⋅
(1)
Konstanta
generatore
R i
L
d
dt
f f f f if=
+
( )
2
i
e
k
f
g
g
=
( )
3
(1) :
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 18 dari 28
Dalam Laplace:
KVL pada loop kanan/ouput
Atau:
Substitusi :
[
]
f f g f g g f f g fsL
R
k
s
E
s
E
s
E
sL
R
k
s
E
+
=
+
=
)
(
)
(
:
FungsiAlih
)
(
1
)
(
L
a
a
ia
g
g
a
g
a
z
i
e
dt
d
L
L
R
i
e
e
⋅
=
+
+
+
−
=
−
;
i
e
z
a
a
L
=
)
(
)
(
)
(
1
)
(
E
s
s
z
sL
s
z
R
s
E
dt
de
z
L
e
z
R
e
e
dt
de
z
L
R
z
e
e
e
a L g L g g a L g a L g at g a L g g L a g a
+
+
=
+
+
=
+
+
−
=
−
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 19 dari 28
Diperoleh:
Sehingga :
=
z s
z s
E s
L
L
a
( )
( )
( )
E s
E s
z s
z s
R
L s
a
g
L
L
g
g
( )
( )
( )
( )
=
+
+
E s
E
s
E s
E
s
x
E s
E s
a f g f a g( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
=
+
R
+
+
R
sLf
x
z s
z s
R
sLg
g L L g( )
( )
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 20 dari 28
Model Matematis untuk Motor DC dengan
Pengontrolan Arus Jangkar
e
m= tegangan terinduksi
I
f= konstan
sehingga
i
a= arus jangkar
e
mL
mR
mi
ae
aτ
θ
o(t)
inersia
J
simpangan sudut
B= damping
L
fI
fE
f= konstan
i
f= arus medan
rangkaian jangkar
e
m= ⋅ ⋅
k
1φ
n
n= kecepatan rotasi (putaran)motor
φ
= ⋅
k i
2
f
φ
= konstan
e
k n
k
d
dt
m
e
e
o
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 21 dari 28
_____________________________________________________________________________
Persamaan rangkaian :
Persamaan Beban
Torsi yang dihasilkan motor : sebanding dengan fluksi v (yang
dalam hal ini konstan) dan sebanding dengan arus jangkar i
asehingga :
(
)
e
R i
L
d
dt
e
e
R i
L
d
dt
k
d
dt
E s
R
sL I s
k s
s
a m a m ia m a m a m ia e o a m m a e o=
+
+
=
+
+
=
+
+
θ
θ
( )
( )
( )
T = k
T. i
aK
T= konstansta torsi motor
T
J
d
dt
B
d
dt
o
=
+
2
2
θ
θ
atau :
(
)
(
)
)
(
s
Js
2
B
s
I
k
T
a
=
+
s
Θ
o
-( )
(
) (
)
Θ
o a m m m m e Ts
E s
kT
J L s
R J
L B s
R B
k k s
( )
=
+
+
+
+
2 2Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 22 dari 28
Dengan definisi :
Diperoleh:
T
L
R
a m m=
→
Konstanta waktu jangkar
T
J R
k k
m
m e T
=
→
Konstanta waktu motor
γ
=
R B
→
k k
m e TFaktor redaman
( )
( )
[
(
)
( )
]
Θ
s a a m m as
E s
k
s T T s
T
T s
=
+
+
+ +
1
1
2γ
γ
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 23 dari 28
Model Matematis untuk Motor DC dengan
Pengontrolan Arus Jangkar :
Fluksi oleh arus medan :
Torsi T :
Tegangan Back EMF:
Tegangan EMF: proporsional terhadap fluksi (konstan) &
kecepatan sudut putaran poros motor.
ψ
=
k
f
⋅
i
f
→
Konstan untuk i
ψ
fkonstan
T
=
k i
i
a
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
φ
k i
i
a
k
f
i
f
k i
a
k = konstanta motor - torsi
i
a= arus jangkar
e
bL
aR
ai
ae
aΤ
inersia
θ
simpangan sudut pores motor rad
back emf volt
J
moren
motor + beban
b = kref gesekan motor + beban
N
m/ rad/s
kg m
2i
fkonstan
arus medan
torsi yang dihasilkan motor, N
mdt
d
k
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 24 dari 28
Persamaan input :
Persamaan output :
a
b
a
a
a
a
R
i
e
e
dt
di
L
+
+
=
dt
d
b
dt
d
J
i
k
T
=
⋅
a=
θ
2+
θ
2Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 25 dari 28
Model Matematis untuk Sistem Generator-Motor
Ward-Leonard
Generator dc mendrive motor dc dengan pengontrolan arus jangkar
Konfigurasi dasar :
Fungsi alih :
Persamaan Loop kanan :
J
R
fL
fi
fe
fR
gL
gR
mL
me
ge
mi
aB
θ
oI
fE
fn
generator dc
servo motor
( )
( )
E s
E
s
k
R
sL
g f g f f=
+
(
) (
)
(
) (
)
[
]
e
R
R i
L
L
d
dt
k
d
dt
E s
R
R
s L
L
I s
k s
s
g g m a g m in e o g g m g m a e o=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
θ
( )
( )
Θ
( )
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 26 dari 28
Persamaan Beban :
atau :
sehingga :
= ………..
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
2
2 2 2s
k
B
Js
s
I
s
Bs
Js
s
I
k
dt
d
B
d
d
J
T
o T s a o a T o oΘ
+
=
Θ
+
=
⋅
+
+
=
θ
θ
(
) (
[
) (
)
]
(
)
[
]
Θ
o g m g m g m g m g e Ts
E s
kT
s J L
L s
R
R J
L
L B s
R
R B
k k
( )
( )
=
+
2+
+
+
+
+
+
+
(
)
(
)
e
a→ ⋅
e
gR
m→
R
m+
R
g;
L
m→
L
m+
L
g,
sehingga
( )
Θ
o
Θ
f
o
g
g
f
s
e s
s
E s
x
E s
E
s
( )
( )
( )
( )
( )
=
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 27 dari 28
Model Matematis untuk Motor DC dengan
Pengontrolan Arus Medan
Torsi yang dihasilkan motor :
sehingga
T = k
T
. i
f
Pers beban :
Pers loop kiri / input :
i
f= arus medan
i
fR
fL
fe
fE
aI
a = arus jangkar konstanB
θ
o(t)
J
T
~
φ
a
=
kons
tan
~ i
f
i
J
kT
d
dt
B
d
dt
f o o=
+
2 2θ
θ
T
J
d
dt
B
d
dt
o o=
+
2 2θ
θ
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 28 dari 28
