ii SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA 2016
“Menyiapakan Pendidikan Matematika dalam Menghadapi Masyarakat Ekonomi Asean (MEA)”
Surabaya, Sabtu 14 Mei 2016
Editor:
1. H. Sunyoto Hadi Prayitno, Drs., S.T., M.,Pd 2. Sri Rahayu, Dra., S.Si., M.Pd
3. Lidya Lia Prayitno, S.Pd., M.Pd 4. Erlin Ladyawati, S.Pd., M.Pd 5. Liknin Nugraheni, S.Si., M.Pd 6. Nur Fathonah, S.Pd., M.Pd
Published by: Adi Buana University Press Universitas PGRI Adi Buana Surabaya
Sekretariat: Jl. Ngagel Dadi III-B/37 Surabaya, 60245. Telp: 031-5041097
www.unipasby.ac.id, E-Mail: unipasby@gmail.com Adi Buana
iii SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA 2016
“Menyiapakan Pendidikan Matematika dalam Menghadapi Masyarakat Ekonomi Asean (MEA)”
Editor : 1. H. Sunyoto Hadi Prayitno, Drs., S.T., M.,Pd 2. Sri Rahayu, Dra., S.Si., M.Pd
3. Lidya Lia Prayitno, S.Pd., M.Pd 4. Erlin Ladyawati, S.Pd., M.Pd 5. Liknin Nugraheni, S.Si., M.Pd 6. Nur Fathonah, S.Pd., M.Pd Desain Sampul : Drs. Prayogo, M.Kom
Layout : Eko Sugandi, S.Pd
Diterbitkan Oleh:
Adi Buana University Press
Universitas PGRI Adi Buana Surabaya
Sekretariat: Jl. Ngagel Dadi III-B/37 Surabaya, 60245. Telp : 031-5041097
Fax : 031-5042804 Website : unipasby.ac.id
e-maIL : unipasby@gmail.com
ISBN: 978-979-9559-72-3
Hak cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apapun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perkam lainnya, tanpa izin tertulis dari penerbit.
Adi Buana
iv KATA PENGANTAR
Puji Syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas petunjuk, rahmat, serta hidayah-Nya sehingga Seminar Nasional Pendidikan Matematika 2016 telah dsiusun. Prosiding ini disusun dengan maksud agar dapat dijadikan pedoman bagi panitia dan peserta Seminar Nasional Pendidikan Matematika 2016 yang diselenggarakan oleh jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas PGRI Adi Buana Surabaya pada tanggal 14 Mei 2016. Prosiding ini antara lain memuat makalah utama dan kumpulan makalah-makalah peserta pemakalah Seminar Nasional Matematika 2016.
Kami menyadari bahwa panduan ini dapat diwujudkan berkat kerjasama, partisipasi, dan bantuan dari berbagai pihat. Oleh karena itu, kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu terselenggaranya Seminar Nasional Pendidikan Matematika 2016 ini.
Mohon maaf jika terdapat kesalahan dan kekurangan dalam prosiding ini.
Surabaya, 14 Mei 2016
vii Kelas E
No. Nama Makalah Jumlah Institusi
1 Feny Rita Fiantika, M.Pd.
1
Oktav Rivinograha Dhitayana2
1 Universitas Nusantara
PGRI Kediri
2 Moh. Ali Murtado 1 Universitas Nusantara PGRI Kediri
3 Nor Asyriah 1 Muhammadiyah Malang Universitas
4
Ria Rohmaa1
Rizka Alifiani2
1 Universitas PGRI Adi
Buana
5
Rajib Syahrul Hamdi1
Rachmah Islachah Agustina2
1 Universitas PGRI Adi
Buana
6 Nerva Nur Opticia
1
Anna Wahyu Hidayah2
1 Universitas PGRI Adi
Buana
7 Mukhlis
1
Sari Sekar Arum2
1 Universitas PGRI Adi
Buana
8 Fitri Dian Yanti
1
Anis Chairunnisa2
1 Universitas PGRI Adi
Buana
9 Muhammad Imam Sai‟in
1
Anugrah Suhermawan2
1 Universitas PGRI Adi
Buana
10 Ninik Mutianingsih Uzlifah 1 Universitas PGRI Adi Buana
Kelas F
No. Nama Makalah Jumlah Institusi
1 Feny Rita Fiantika, M.Pd.
1
Elmi Hardiyanti Dewi2
1 Universitas Nusantara
PGRI Kediri
2 Ryan Nizar Zulfikar 1 Muhammadiyah Malang Universitas
3 Aprilia Damayanti
1
Amelia Savitri2
1 Universitas Negeri
Surabaya
4 Sri Rahmawati Fitriatien 1 Universitas PGRI Adi Buana
5 Restu Ria Wantika, S.Pd, M.Si 1 Universitas PGRI Adi Buana
6 Riky Prasetia Wijaya¹ Ainur Rosita² 1 Universitas PGRI Adi Buana
7 Rani Kurnia Putri 1 Universitas PGRI Adi Buana
8 Rizky Verdyanto Pratomo 2 -
9 Aditya Kurniawan 2 -
xi
Anugrah Suhermawan2 KELAS XI DI MAN SIDOARJO TAHUN AJARAN 2015-2016.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA.
Nopita Inggara Wati1
Ferdina Maulida Maharani2
PERBANDINGAN PENERAPAN MODEL PEMBELAJARAN KOOPERATIF TEKNIK TWO STAY TWO STRAY (TSTS) DAN MODEL PEMBELAJARAN LANGSUNG TERHADAP HASIL BELAJAR MATEMATIKA PADA POKOK BAHASAN
PERBANDINGAN SISWA KELAS VII SMP KARTIKA IV-11 SURABAYA
194
Fitri Dian Yanti1
Anis Chairunnisa2
PENGARUH MEDIA MICROSOFT MATHEMATICS DAN GEOGEBRA TERHADAP HASIL BELAJAR MATEMATIKA
DI SMPN 43 SURABAYA
203
Mukhlis1
Sari Sekar Arum2
KEMAMPUAN SISWADALAM MENYELESAIKAN MASALAH OPERASI ALJABAR KELAS VIIISMP JALAN
JAWA SURABAYA
211
Panji Wicaksono¹ Gresma Rinais Oktaviani²
PENERAPAN METODE MIND MAPPING PADA MATERI TEOREMA PYTHAGORAS SISWA KELAS VIII-D SMP
NEGERI 40 SURABAYA TAHUN AJARAN 2015-2016
221
KEMAMPUAN SISWA SMP NEGERI 48 SURABAYA DALAM MENYELESAIKAN SOAL CERITA OPERASI ALJABAR DITINJAU DARI KECERDASAN MAJEMUK
229
Riky Prasetia Wijaya¹ Ainur Rosita²
ANALISIS KEMAMPUAN KOMUNIKASI MATEMATIKA MELALUI MODEL THINK TALK WRITE (TTW) KELAS X
SMA ANTARTIKA SIDOARJO PADA POKOK BAHASAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL
239
Nerva Nur Opticia1
Anna Wahyu Hidayah2
PROFIL GAYA BELAJAR SISWA MELALUI PENDEKATAN KONSTRUKTIVISME PADA MATA PELAJARAN MATEMATIKA DI SMA ANTARTIKA SIDOARJO TAHUN
AJARAN 2015-2016
250
Dia Luxiana Isnawati[1]
Intan Fitriyani[2]
PENGARUH MODEL PEMBELAJARAN STAD DENGAN PERMAINAN WHEEL OF FORTUNE TERHADAP HASIL BELAJAR SISWA KELAS X DI SMK NEGERI 3 SURABAYA
266
Leni Rahmawati 1
Sri Rahayu, M. Pd 2
POLA PIKIR SISWA DALAM MENYELESAIKAN SOAL CERITA MENGGUNAKAN TAHAPAN POLYA BERDASARKAN GENDER DAN KEMAMPUAN
MATEMATIKA
275
Ninik Mutianingsih MEMBANDINGKAN DIMENSI METRIK DAN DIMENSI
METRIK BINTANG
286
Rizky Verdyanto Pratomo PERKALIAN MATRIKS DENGAN ALGORITMA DIVIDE
AND CONQUER DAN ALGORITMA STRASSEN1
PEMILIHAN DRILL AND PRACTICE METHOD SEBAGAI
287 MEMBANDINGKAN DIMENSI METRIK DAN
DIMENSI METRIK BINTANG
Ninik Mutianingsih1, UzlifahAsrining Ummah2 ninikmutia27@gmail.com1 uzlifahrizky@gmail.com2
(FKIP-PendidikanMatematikaUniversitas PGRI AdiBuana Surabaya) ABSTRAK
Diberikan graf terhubung dengan himpunan simpul dan u . Jarak antara dan , dinotasikan , didefinisikan sebagai panjang lintasan terpendek dari ke pada . Jika
adalah himpunan bagian dari dan , maka representasi terhadap
adalah . Jika untuk setiap
berbeda, maka disebut sebagai himpunan pembeda (resolving set) dari . Jika simpul-simpul di membentuk graf bintang, maka himpunan pembeda disebut himpunan pembeda bintang (star
resolving set). Dimensi metrik bintang (star metric dimension) adalah kardinalitas
minimum dari himpunan pembeda bintang dan dinotasikan dengan . Penelitian ini yaitu membandingkan dimensi metrik dan dimensi metrik bintang. Hasil penelitian diperoleh perbedaan karakteristik dari dimensi metrik dan dimensi metrik bintang.
Kata kunci: dimensi metrik, dimensi metrik bintang,himpunan pembeda, himpunan pembeda bintang.
Abstract
Let a connected graph with vertex set and . The distance between and , denoted by , is defined as the length of the shortest path from to in . If is a subset of and , then the representation of with respect to is
. If for every are
different, then is a resolving set of . If the vertices in to form star graph, then resolving set is a star resolving set. Star metric dimension is a minimum cardinality from star resolving set and denoted by . This study is comparing dimensional metric and star metric
288 dimensions. The research to find out by differences for characteristics of metric dimensions and star metric dimensions.
Key words: metric dimension, star metric dimension, resolving set, star resolving set.
PENDAHULUAN A. LatarBelakang
Teori Graf mulai dikenal pada saat seorang matematikawan bangsa Swiss,bernama Leonhard Euler melalui tulisannya yang berisi tentang upaya pemecahan masalah jembatan Konigsberg yang sangat terkenal di Eropa.berhasil mengungkapkan Misteri Teka-Teki Jembatan Konigsberg pada tahun 1736 (sekarang bernama Kaliningrad) (Ibrahim dkk, 2013). Buku pertama yang menulis tentang teori graf adalah “Therie der endlichen und unendlichen Graphen” oleh
Konig pada tahun 1936.Jembatan Konigsberg ditunjukkan pada Gambar 1.1 (a), sedangkan untuk representai dari jembatan ditunjukkan pada Gmbar 1.1 (b).
(a) (b)
Gambar 1.1 (a) Jembatan Konigsberg (b) Graf yang merepresentasikan Jembatan Konigsberg (Dewi, 2013)
Dalam tulisannya, Euler mencoba solusi atas permasalahan bagaimana menyeberangi semua jembatan itu tepat satu kali dari tempat berangkat sampai kembali ketempat semula. Pada permasalahan yang diungkapkan oleh Euler, simpul digunakan untuk mempresentasikan lokasi daratan yang dihubungkan oleh jembatan-jembatan. Sedangkan tiap jembatan dipresentasikan dengan sisi. Hasil dari penelitiannya tersebut adalah seseorang tidak mungkin berjalan melalui ketujuh jembatan masing-masing satu kali dan kembali ketempat asal keberangkatan (Dewi, 2013).
Suatu graf terdiri atas dua himpunan, yaitu himpunan tak kosong ( ) yang unsur-unsurnya disebut simpul (vertices) dan himpunan (mungkin kosong)
289 ( ) yang unsur-unsurnya disebut sisi (edges), sedemikian hingga setiap sisi dalam ( ) merupakan pasangan dari simpul-simpul di ( ), yang dinotasikan ( )(Ibrahim dkk, 2013). adalah banyaknya simpul atau anggota dari graf (vertex-set) disebut order dari graf . | adalah banyaknya sisi atau anggota dari graf (edge-set) disebut size dari graf .
Sebuah graf dikatakan terhubung (connected) jika untuk sebarang dua simpul berbeda di terdapat sebuah lintasan yang menghubungkan kedua simpul tersebut. Jarak antara simpul dan didefinisikan sebagai panjang lintasan terpendek dari ke dan dinotasikan ( ). Diameter dari suatu graf didefinisikan sebagai nilai ( ) * ( )+ atau jarak terbesar dari sebarang dua simpul di ( ) dan dinotasikan ( ).
Dimensi metrik pertama kali dikenalkan oleh Harary dan Melter pada tahun 1966, kajian tentang dimensi metrik menjadi sebuah NP.complete problem artinya tidak mudah untuk mendapatkan dimensi metrik dari suatu graf bentuk tertentu. Oleh karena itu, untuk mendapatkan dimensi metrik bentuk graf tertentu ataupun kelas tertentu dilakukan analisis dari subkelas terlebih dahulu agar lebih mudah mencari dimensi metrik dari graf secara umum (Permana, 2012).
Beberapa aplikasi dari himpunan pembeda pada ilmu kimia yaitu untuk mempresentasikan senyawa kimia (Chartrand, 2000).Contoh aplikasi dari dimensi metriklainnya adalah untuk meminimalkan pemasangan sensor kebakaran di sebuah gedung, seperti pada penelitian Wahyudi (2012).
Penelitian terdahulu tentang dimen simetrik yaitu oleh Chartrand, dkk dengan judul “Resolvability in Graph and The Metric Dimension of a Graph”
tahun 2000 dan Saputro, dkk dengan judul “The Metric Dimension of A Complete
-Partite Graph and Its Products”. Selain itu ada juga penelitian dimensi metrik
yang dilakukan oleh Bangkit Joko Widodo dengan judul Dimensi Metrik pada
Graf Sun, Graf Helm, dan Graf Double Cones, oleh Wildan Habibi dengan judul
Dimensi Metrik Graf Kincir dan oleh Johanes Arief Puromo dengan judul
Dimensi Metrik Pada Pengembangan Graph Kincir. Penelitian tentang dimensi
metrik bintang yaitu oleh Ninik Mutianingsih dengan judul Dimensi Metrik
290 telah dilakukan, maka pada penelitian ini yaitu membandingkan dimensi metrik dan dimensi metrik bintang.
B. RumusanPertanyaan
Berdasarkan uaraian latar belakang, masalah yang dikaji adalah membandingkan dimensi metric dan dimensi metric bintang.
C. TujuanPenelitian
Tujuan dari penelitian ini, yaitu memperoleh perbedaan karakteristik dari dimensi metric dan dimesi metric bintang.
D. ManfaatPenelitian
Manfaat dari penulisan tesis ini, yaitu sebagai acuan penelitian selanjutnya tentang graf, khususnya dimensi metrik dan dimensi metrik bintang.
METODE PENELITIAN
Metode penelitian untuk mendapatkan perbedaan karakteristik dari dimensi metric dan dimensi metrik bintang adalah sebagai berikut:
a. Studi Literatur
Pada tahap ini, dilakukan studi literatur dari buku, jurnal, dan penelitian sebelumnya mengenai dimensi metrik dan dimensi metric bintang.
b. Analisis
Kegiatan yang dilakukan antara lain:
1. Mendapatkan himpunan pembeda dan himpunan pembeda bintang.
2. Mendapatkan dimensi metrik dan dimensi metric bintang. Pada tahap ini diperoleh batas atas dan batas bawah, jika batas atas dan batas bawah sama, maka bisa didapatkan dimensi metric dan dimensi metrik bintang .
c. Melakukan evaluasi terhadap analisis yang sudah dilakukan yaitu dari hasil pada tahap sebelumnya akan dbuktikan menggunakan kajian dimensi metrik bintang dan teorema dimensi metrik bintang.
291 HASIL PENELITIAN
Dari hasil kajian yang sudah dilakukan, diperoleh perbedaan karakteristik dari dimensi metrik dan dimensi metrik bintang yaitu pada tahap mendapatkan himpunan pembedanya.
PEMBAHASAN A. DimensiMetrik
Diberikan suatu graf terhubung . Misalkan dua simpul dan adalah simpul-simpul pada graf terhubung . Jarak antara dua simpul dan didefinisikan sebagai panjang lintasan terpendek dari ke pada dan dinotasikan ( ). Jika diberikan suatu himpunan terurut yaitu * + dari simpul-simpul dalam graf terhubung dan simpul di ( ) maka representasi dari simpul terhadap adalah:
( ) ( ( ) ( ) ( ))
Jika ( ) untuk setiap simpul ( ) berbeda atau jika representasi di berbeda antara simpul satu dengan simpul yang lainnya, maka dikatakan sebagai himpunan pembeda dari . Himpunan pembeda dengan kardinalitas) minimum disebut himpunan pembeda minimum. Kardinalitas minimum dari himpunan pembeda disebut dimensi metrik dari dan dinotasikan ( ) (Chartrand, dkk., 2000). Dengan demikian dimensi metrik dari graf adalah kardinalitas minimum dari himpunan pembeda .
Sebagai contoh untuk mendapatkan dimensi metrik Sebagai contoh, diberikan sebuah graf gir dengan yang diberikan pada Gambar 1.2. Untuk mendapatkan dimensi metrik pada graf gir , maka harus menentukan batas atas dan batas bawah dimensi metric dari graf tersebut. Berikut akan dibahas dimenis metric dari graf gir .
c v1 w1 v2 v3 v4 w2 w3 w4
292 Gambar 1.2 Graf Gir
Untuk mendapatkan batas atas dimensi metrik ( ), misalkan * + diperoleh representasi:
i. Simpul-simpul bukan elemen yaitu: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ii. Simpul-simpul elemen yaitu ( ) ( ) dan ( ) ( )
Terlihat dari hasil diatas bahwa semua simpul yang bukan elemn mempunyai representasi yang berbeda.Sedangkan simpul dan yang merupakan elemen dari pasti memiliki representasi yang berbeda, yang membedakan adalah posisi padarepresentasinya.Akan tetapi belim tentu memiliki kardinalitas yang minimum. Oleh karena itu, dapat dikatakan sebagai batas atas dimensi metrik ( ) atau dapat ditulis ( ) .
Untukbatasbawah, kurang dari 2 misalkan . Chartranddkk (2000) telahmembuktikanbahwa ( ) jika dan hanya jika . Oleh karena bukan lintasan, maka ( ) .Olehkarena ( ) , maka dapat dikatakan ( ) .
B. Graf Bintang
Sebelum membahas tentang dimensi metrik bntang terlebih dahulu kita membahas tentang graf bintang. Graf bintang adalah graf dengan simpul. Memiliki satu simpul pusat yang terhubung dengan simpul lainnya (Darmaji, 2012).Gambar 1.3 adalah contoh dari graf bintang.
293 Gambar 1.3 (a) Graf Bintang atau graf Trivial (b) Graf Bintang (c) Graf
Bintang (d) Graf Bintang
C. Dimensi Metrik Bintang
Pengembangan dimensi metrik dapat dilakukan dengan menambahkan syarat tertentu pada himpunan pembeda * +. Pada penelitian ini dibahas syarat yang harus terpenuhi pada himpunan . Jika simpul-simpul di membentuk graf bintang, maka himpunan pembeda * + dinamakan himpunan pembeda bintang dan dinotasikan dengan . Himpunan pembeda bintang dengan banyak anggota minimum disebut dimensi metrik bintang dan dinotasikan ( ) (Mutia, 2015). Dengan demikian, dimensi metrik bintang adalah banyak anggota minimum dari himpunan pembeda bintang
.
Contoh dari dimensi metric bintang yaitu diberikan sebuah graf gir dengan seperti pada Gambar 1.2. Untuk mendapatkan dimensi metrik bintang pada graf gir , maka harus menetukan batas atas dan batas bawah dimensi metrik bintang dari graf tersebut. Dimensi metrik bintang mensyaratkan bahwa semua simpul elemen harus membentuk bintang dan memiliki kardinalitas yang minimum. Berikut akan dibahas dimensi metrik bintang pada graf gir .
Untuk mendapatkan batas atas dimensi metrik bintang ( ), misalkan * + dan ditunjukkan bahwa semua simpul di mempunyai representasi yang berbeda terhadap . Berikut adalah hasil observasi dari graf . Simpul-simpul yang bukan elemen adalah dan diperoleh representasi simpul sebagai berikut:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
294 Terlihat dari hasil observasi diatas bahwa semua simpul yang bukan elemen mempunyai representasi yang berbeda. Sedangkan simpul yang merupakan elemen dari memiliki representasi yang bebeda dan yang membedakan adalah posisi pada representasi ketiga simpul tersebut, yaitu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Jadi
* + merupakan himpunan pembeda bintang dengan kardinalitas sama dengan dan simpul-simpul elemen membentuk graf bintang . Akan
tetapi, belum tentu memiliki kardinalitas yang minimum. Oleh karena itu, dapat dikatakan sebagai batas atas dimensi metrik bintang ( ) atau dapat ditulis ( ) .
Untuk mendaptkan batas bawah, akan ditunjukkan bahwa jika kurang dari , misalkan maka pasti terdapat sedikitnya dua simpul yang mempunyai representasi sama. Perhatikan dua kasus berikut:
i. Simpul elemen adalah simpul pusat dan simpul tepi. Jika demikian, maka terdapat sedikitnya dua simpul yang memiliki representasi sama. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan * + maka sedikitnya terdapat dua simpul yang mempunyai representasi sama, yaitu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dan ( ) ( ) ( ).
ii. Simpul elemen adalah simpul tepi dan simpul tambahan. Jika demikian, maka terdapat sedikitnya dua simpul yang memiliki representasi sama. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan * + maka sedikitnya terdapat dua simpul dengan representasi yang sama, yaitu ( ) ( ) ( ).
Dari kasus i dan ii menunjukkan bahwa dengan bukan merupakan himpunan pembeda bintang. Oleh karena itu, batas bawah dimensi metrik bintang ( ) .
Oleh karena batas atas dan batas bawah dimensi metrik bintang ( ) . Jadi dimensi metrik bintang ( ) . Graf bintang yang dibentuk oleh himpunan pembeda bintang adalah graf bintang , seperti pada Gambar 1.3.
295
v1
w1 w6
Gambar 1.3 Graf Bintang
SIMPULAN
Dari hasil kajian yang sudah dilakukan dapat diambil kesimpulan bahwa perbedaan yang diperoleh yaitu pada tahap menentukan himpunan pembeda. Yaitu untuk mendapatkan dimensi metric ( ) kita bisa menentukan himpunan pembeda disemua titik tanpa harus membentuk graf bintang, sedangkan untuk mendapatkan dimensi metrik bintang ( ) kita harus menentukan himpunan pembeda bintang yang terhubung dan membentuk graf bintang .
SARAN
Dimensi metric dan dimensi metric bintang untuk sebarang graf terhubung adalah masalah terbuka. Untuk mendapatkan dimensi metric dan dimensi metric bintang bisa diperoleh pada sebarang graf terhubung.
DaftarPustaka
Amalia, R. (2012). Dimensi Partisi pada Graf Serupa Roda dengan Penambahan
Anting.Tugas Akhir, Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi
Sepuluh Nopember (ITS), Surabaya.
Chartrand, G., Eroh, L., Johnson, M., & Oellermann, O. (2000). Resolving in Graph and The Metric Dimension of a Graph. Discrete Applied
Mathematics(105), 99-113.
Darmaji. (2012). Dimensi Partisi Graph Multipartit dan Graph Hasil Corona Dua
296 Dewi, N. R. (2013). Pelabelan Total Super (a, d) Sisi Antimagic pada Graf Siput.
Skripsi, FKIP Universitas Jember, Jember.
Gross, J., & Yellen, J. (2006). Graph Theory and Its Aplications (second
edition).Chapman & Hall/CRC Taylor & Francis Graph, New York.
Habibi,W. (2011). Dimensi Metrik Garf Kincir. Skirpsi, Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim, Malang.
Harraay, F., & Melter, R. (1976). On The Metric Dimension of a Graph. Ars
combin. 2 1076, 191-195.
Ibrahim, N. (2013). Pengantar Kombinatorika & Teori Graf. Graha Ilmu, Yogyakarta.
Mutia, N. (2015). Dimensi Metrik Bintang dari Graf Serupa Roda.Tesis, Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS), Surabaya.
Permana, A. (2012). Dimensi Metrik Graf Pohon Bentuk Tertentu. Jurnal
Politeknik Pomits, 1(1), 1-4.
P. A. Johanes. (). Dimensi Metrik pada Pengembangan Graph Kincir dengan Pola Tugas Akhir, Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS), Surabaya.
Slamin. (2009). DESAIN JARINGAN Pendekatan Teori Graf. Jember University Press, Jember.
Wahyudi, S. (2012). Dimensi Metrik Pengembangan Graf Kincir Pola K1+mK6 dan aplikasi Dimensi Metrik untuk Meminimumkan Pemasangan Sensor Kebakaran Sebuah Gedung. Seminar Nasional Pascasarjana (SNPS XII)
ITS, Surabaya, 12 Juli 2012.
Widodo, B. (2013). Dimensi Metrik pada Graf Sun, Graf Helm, dan Graf Double
Cones.Skripsi, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
