UKURAN KEBAIKAN MODEL BERDASARKAN DEVIASI PERIODE UNTUK MODEL MARKOV SWITCHING
Muhammad Fajar
Staf Seksi Statistik Sosial BPS Kab. Waropen
Abstrak
Dalam penelitian ini, penulis mengusulkan ukuran kebaikan model markov switching (new criteria for markov switching model) yang mengakomodir deviasi (penyimpangan) waktu yang dihasilkan model tersebut. Ukuran yang dimaksud adalah sum of squared period deviations (SSPD), ukuran ini dapat diterapkan jika urutan dan frekuensi kemunculan rezim (baik secara total maupun spesifik rezim) sama antara hasil prediksi model dan realitas, baik untuk dua atau lebih rezim yang didefinisikan.
Kata kunci: markov switching, smoothed probability, deviasi periode, periodisasi
I. PENDAHULUAN
Model markov switching – autoregressive adalah pemodelan time series autoregressive dalam mengakomodir perubahan rezim yang terjadi selama periode pengamatan, biasanya diterapkan dalam fenomena siklus bisnis, perubahan pada pergerakan variabel secara dramatis seperti perubahan pergerakan nilai kurs rupiah terhadap US dollar dari system mengambang terkendali menjadi system mengambang bebas atau sejenisnya.
Model markov switching – autoregressive bukan hanya melibatkan nilai aktual yang bersifat observable dalam proses estimasi, tetapi juga melibatkan probabilitas yang bersifat
hidden. Sehingga model markov switching bukan hanya menghasilkan fitted value tetapi juga
menghasilkan estimasi nilai probabilitas, yakni matriks transisi, filtered dan smoothed probability. Khusus smoothed probability, berguna untuk penanggalan siklus bisnis (Petturson, 2000).
Sebenarnya dari informasi Petturson (2010) dapat diketahui periodisasi rezim yang dihasilkan model markov switching – autoregressive. Hasil periodisasi rezim oleh model tersebut dapat dianggap sebagai suatu prediksi periode atau waktu rezim secara terurut. Jika tersedia informasi penanggalan suatu rezim secara resmi dari otoritas, maka dapat dibentuk suatu ukuran kebaikan untuk model markov switching – autoregressive bahkan model markov switching untuk time series secara umum. Oleh karena itu, dalam penelitian ini penulis membahas konstruksi ukuran kebaikan model tersebut.
II. KAJIAN PUSTAKA 2.1 Markov Switching Model
Andaikan variabel acak yang ingin diteliti adalah 𝑦𝑡 dan mengikuti sebuah proses yang
tergantung pada nilai dari rezim 𝑠𝑡yang bersifat diskrit dan tidak teramati. Diasumsikan terdapat N rezim, suatu kondisi berada pada rezim n di periode t ketika 𝑠𝑡= 𝑛, untuk 𝑛 = 1, … , 𝑁. Model switching mengasumsikan terdapat perbedaan model regresi pada setiap rezim. Diberikan
regresor 𝑋𝑡 dan 𝑍𝑡, conditional mean dari 𝑦𝑡 pada rezim n diasumsikan model linier:
𝜇𝑡(𝑛) = 𝑋𝑡′𝛽𝑛+ 𝑍𝑡′𝛿 … (1)
dengan 𝛽𝑛 dan 𝛿 masing-masing sebanyak 𝑘𝑋 dan 𝑘𝑍 vektor koefisien. Koefisien 𝛽𝑛 untuk 𝑋𝑡 yang
diberi indeks rezim n dan koefisien 𝛿 untuk 𝑍𝑡 adalah invariant rezim. Kemudian diasumsikan
bahwa eror dari regresi mengikuti distribusi normal dengan varians bergantung pada rezim, berikut pemodelannya:
dengan 𝑠𝑡 = 𝑛, 𝜀𝑡 (eror) i.i.d berdistribusi normal, 𝜎 adalah standar deviasi dari eror pada rezim n, 𝜎(𝑛) = 𝜎𝑛.
Fungsi likelihood atas persamaan (2) berikut pada periode t:
𝐿𝑡(𝛽, 𝛿, 𝜎, 𝛾) = ∑ 1 𝜎𝑛 𝑁 𝑛=1 𝜙 (𝑦𝑡− 𝜇𝑡(𝑛) 𝜎𝑛 ) 𝑃(𝑠𝑡 = 𝑛|𝐼𝑡−1, 𝛾) … (3)
dengan 𝛽 = (𝛽1, … , 𝛽𝑁), 𝜎 = (𝜎1, … , 𝜎𝑁), 𝛾 adalah parameter yang menentukan probabilitas
rezim, 𝜙(. ) Fungsi densitas normal standar, 𝐼𝑡−1 adalah set informasi pada periode 𝑡 − 1. Dalam
kasus sederhana 𝛾 merupakan probabilitas rezim. Dari persamaan (3) dapat dibentuk full log-likelihood sebagai berikut:
𝑙(𝛽, 𝛿, 𝜎, 𝛾) = ∑ log (∑ 1 𝜎𝑛 𝑁 𝑛=1 𝜙 (𝑦𝑡− 𝜇𝑡(𝑛) 𝜎𝑛 ) 𝑃(𝑠𝑡= 𝑛|𝐼𝑡−1, 𝛾)) 𝑇 𝑡=1 … (4)
dalam proses estimasi persamaan (4) dimaksimumkan terhadap (𝛽, 𝛿, 𝜎, 𝛾). Dalam kasus
sederhana, probabilitas bernilai konstan. Lebih umum, asumsi probabilitas bergerak (varying
probabilities) bahwa 𝑝𝑛 adalah sebuah fungsi dari vektor variabel eksogen 𝐺𝑡−1 dan koefisien 𝛾
diparameterisasi menggunakan spesifikasi logit multinomial
𝑃(𝑠𝑡 = 𝑛|𝐼𝑡−1, 𝛾) = 𝑝𝑛(𝐺𝑡−1, 𝛾) =
exp(𝐺𝑡−1′𝛾𝑛) ∑𝑁𝑗=1exp(𝐺𝑡−1′𝛾𝑛)
… (5)
untuk 𝛾 = (𝛾1 𝛾2… 𝛾𝑛) dengan mengidentifikasi normalisasi 𝛾𝑛= 0. Pada kasus khusus
probabilitas dianggap konstan dengan asumsi 𝐺𝑡−1= 1. Kemudian masukkan persamaan (5) ke
persamaan (4) menjadi: 𝑙(𝛽, 𝛿, 𝜎, 𝛾) = ∑ log (∑ 1 𝜎𝑛 𝑁 𝑛=1 𝜙 (𝑦𝑡− 𝜇𝑡(𝑛) 𝜎𝑛 ) 𝑝𝑛(𝐺𝑡−1, 𝛾)) 𝑇 𝑡=1 … (6)
Untuk proses estimasi parameter, maka persamaan (6) dimaksimukan terhadap (𝛽, 𝛿, 𝜎, 𝛾)
dengan menggunakan iterasi karena beberapa parameter tidak teramati (laten). 2.1.1 Filtering
Persamaan (6) tergantung pada one-step ahead probability pada sebuah rezim
𝑃(𝑠𝑡 = 𝑛|𝐼𝑡−1, 𝛾). Perhatikan, bahwa pengamatan nilai variabel dependen dalam periode yang
diberikan memberikan informasi tambahan tentang efek rezim yang masuk. Informasi tersebut digunakan untuk memperbaharui (updating) estimasi probabilitas rezim. Proses estimasi probablitias rezim yang diperbaharui secara iterasi disebut filtering. Dengan menggunakan teorema Bayes dan probabilitas bersyarat, maka filtered probability dirumuskan sebagai berikut:
𝑃(𝑠𝑡= 𝑛|𝐼𝑡) = 𝑃(𝑠𝑡 = 𝑛|𝑦𝑡, 𝐼𝑡−1) =
𝑓(𝑦𝑡|𝑠𝑡 = 𝑛, 𝐼𝑡−1)𝑃(𝑠𝑡 = 𝑛|𝐼𝑡−1) 𝑓(𝑦𝑡|𝐼𝑡−1)
… (7)
Sisi kanan persamaan (7) berhubungan dengan persamaan (5) sehingga:
𝑃(𝑠𝑡 = 𝑛|𝐼𝑡) = 1 𝜎𝑛𝜙 ( 𝑦𝑡− 𝜇𝑡(𝑛) 𝜎(𝑛) ) 𝑝𝑛(𝐺𝑡−1, 𝛾) ∑ 𝜎1 𝑗𝜙 ( 𝑦𝑡− 𝜇𝑡(𝑗) 𝜎(𝑗) ) 𝑁 𝑗=1 𝑝𝑗(𝐺𝑡−1, 𝛾) … (8)
2.1.2 Markov Chain
Asumsi Markov first order adalah probabilitas bahwa 𝑠𝑡 = 𝑗 tergantung dari dari masa lalu 𝑠𝑡−1 , dapat dituliskan:
𝑝(𝑠𝑡= 𝑗|𝑠𝑡−1= 𝑖, 𝑠𝑡−2 = ℎ, … ) = 𝑝(𝑠𝑡= 𝑗|𝑠𝑡−1= 𝑖) = 𝑝𝑖𝑗(𝑡) … (9)
Probabilitas pada persamaan (9) diasumsikan time invariant sehingga 𝑝𝑖𝑗(𝑡) = 𝑝𝑖𝑗 untuk semua t. Berdasarkan banyaknya rezim dan asumsi markov tersebut dapat dibentuk matriks transisi:
𝑝(𝑡) = (
𝑝11(𝑡) ⋯ 𝑝1𝑁(𝑡)
⋮ ⋱ ⋮
𝑝𝑁1(𝑡) ⋯ 𝑝𝑁𝑁(𝑡) )
dengan 𝑝𝑖𝑗 merepresentasikan bahwa probabilitas transisi bergerak dari rezim i pada periode 𝑡 − 1 ke rezim j pada periode t. Dengan mendefinisikan setiap baris ke-i pada matriks:
𝑝𝑖𝑗(𝐺𝑡−1, 𝛾𝑖) =
exp(𝐺𝑡−1′𝛾𝑖𝑗) ∑𝑁𝓈=1exp(𝐺𝑡−1′𝛾𝑖𝓈)
… (10)
Untuk 𝑗 = 1, … , 𝑁 dan 𝑖 = 1, … , 𝑁 dengan normalisasi 𝛾𝑖𝑁= 0. Umumnya, model markov
switching dispesifikasikan adalah probabilitas konstan, jadi 𝐺𝑡−1 hanya mengandung konstanta
(tetap). Akibat properti Markov dari probabilitas transisi harus dievaluasi secara rekursif. Secara singkat, setiap rekursi langkah dimulai dengan tahapan filtering pada probabilitas untuk periode sebelumnya. Diberikan filtered probability, 𝑃(𝑠𝑡−1 = 𝑛|𝐼𝑡−1), proses rekursi dapat dijelaskan ke
dalam empat langkah:
1. Pertama bentuklah prediksi one step ahead dari probabilitas rezim menggunakan rumus dasar probabilitas dan matriks probabilitas transisi:
𝑃(𝑠𝑡 = 𝑛|𝐼𝑡−1) = ∑ 𝑃(𝑠𝑡 = 𝑛|𝑠𝑡−1= 𝑗)𝑃(𝑠𝑡−1= 𝑗|𝐼𝑡−1) 𝑁 𝑗=1 = ∑ 𝑝𝑗𝑚(𝐺𝑡−1, 𝛾𝑗)𝑃(𝑠𝑡−1= 𝑗|𝐼𝑡−1) 𝑁 𝑗=1 … (11)
2. Selanjutnya, gunakan probabilitas one-step ahead dari sebelumnya ke bentuk densitas gabungan one-step ahead dari data dan rezim pada periode t:
𝑓(𝑥𝑡, 𝑠𝑡 = 𝑛|𝐼𝑡−1) = 1 𝜎𝑛
𝜙 (𝑦𝑡− 𝜇𝑡(𝑛)
𝜎(𝑛) ) 𝑃(𝑠𝑡= 𝑛|𝐼𝑡−1) … (12)
3. Kontribusi likelihood untuk periode t ditentukan dengan penjumlahan joint probability diantara rezim tidak teramati untuk mendapatkan distribusi marginal data teramati
𝐿𝑡(𝛽, 𝛿, 𝜎, 𝛾) = 𝑓(𝑦𝑡|𝐼𝑡−1) = ∑ 𝑓(𝑦𝑡,𝑠𝑡 = 𝑗|𝐼𝑡−1) 𝑁
𝑗=1
… (13)
4. Langkah akhir untuk untuk mendapatkan filtered probability dengan menggunakan persamaan (12) untuk memperbaharui prediksi one-step dari probabilitas:
𝑃(𝑠𝑡 = 𝑛|𝐼𝑡−1) =
𝑓(𝑥𝑡, 𝑠𝑡 = 𝑛|𝐼𝑡−1) ∑𝑁𝑗=1𝑓(𝑥𝑡, 𝑠𝑡 = 𝑗|𝐼𝑡−1)
… (14)
Langkah-langkah tersebut diulangi untuk setiap periode, 𝑡 = 1, … , 𝑇. Karena proses iterasi untuk
estimasi pada markov switching membutuhkan inisial filtered probability, 𝑃(𝑠0= 𝑛|𝐼0), atau
diperoleh dengan menjumlahkan persamaan (13), kemudian untuk mendapatkan estimasi dari parameter dengan memaksimumkan fungsi total likelihood terhadap (𝛽, 𝛿, 𝜎, 𝛾) dengan proses
iterasi.
2.1.3 Smoothing
Estimasi probabilitas rezim bisa ditingkatkan dengan menggunakan semua informasi pada sampel. Dalam proses smoothing, estimasi probabilitas rezim pada periode t menggunakan himpunan informasi pada periode final, 𝐼𝑇, hal ini berbeda pada tahap filtering yang
menggunakan informasi pada titik waktu tersebut (contemporaneous information) 𝐼𝑡. Secara
intuisi, penggunaan informasi tentang realisasi masa depan dari variabel dependen 𝑦𝑠(𝑠 > 𝑡)
dapat meningkatkan akurasi estimasi dalam rezim n pada periode t karena matriks probabilitas transisi berhubungan secara serempak pada fungsi likelihood pada periode yang berbeda-beda. Kim (1994) menunjukkan bahwa:
𝑃(𝑠𝑡 = 𝑖, 𝑠𝑡+1= 𝑗 |𝐼𝑇) = 𝑃(𝑠𝑡 = 𝑖 |𝑠𝑡+1 = 𝑗, 𝐼𝑇)𝑃(𝑠𝑡+1= 𝑗 |𝐼𝑇) … (15)
=𝑃(𝑠𝑡 = 𝑖, 𝑠𝑡+1= 𝑗 |𝐼𝑡) 𝑃(𝑠𝑡+1 = 𝑗 |𝐼𝑡)
𝑃(𝑠𝑡 = 𝑗 |𝐼𝑇) … (16)
Persamaaan (15) bergerak ke persamaan (16) menunjukkan bahwa jika 𝑠𝑡+1 diketahui, maka
tidak terdapat informasi tambahan tentang 𝑠𝑡 pada 𝑦𝑡+1, … , 𝑦𝑇 . Smoothed probability, 𝑃(𝑠𝑡 = 𝑖|𝐼𝑇), pada periode t ditentukan dengan memarjinalisasi joint probability terhadap 𝑠𝑡+1:
𝑃(𝑠𝑡 = 𝑖|𝐼𝑇) = ∑ 𝑃(𝑠𝑡= 𝑖, 𝑠𝑡+1= 𝑗|𝐼𝑇) 𝑁
𝑗=1
… (17)
Semua komponen pada sisi kanan persamaan (15) ditentukan sebagai bagian dari tahap filtering. Diberikan himpunan filtered probability, dengan memberikan inisial pada smoothed
probability menggunakan 𝑃(𝑠𝑇= 𝑗|𝐼𝑇) dan iterasi penghitungan persamaan (16) dan (17) untuk 𝑡 = 𝑇 − 1, … ,1 sehingga mendapatkan smoothed probability. Dalam proses iterasi komputasi
diperlukan inisialisasi pada filtered probability pada periode 0, 𝑃(𝑠0= 𝑛|𝐼0). Proses estimasi
parameter dalam model markov switching diawali pemberian initial value sebagai nilai awal parameter, kemudian proses selanjutnya adalah tahap filtering, lalu tahap smoothing. Proses iterasi berakhir ketika semua nilai estimasi untuk parameter mencapai kestabilan.
III. PEMBAHASAN
Model markov switching bukan hanya melibatkan nilai aktual yang bersifat observable dalam proses estimasi, tetapi juga melibatkan probabilitas yang bersifat hidden. Sehingga model
markov switching bukan hanya menghasilkan fitted value tetapi juga menghasilkan estimasi nilai
probabilitas, yakni matriks transisi, filtered dan smoothed probability. Khusus smoothed
probability, berguna untuk penanggalan siklus bisnis (Petturson, 2000), maksudnya periodisasi
rezim pada siklus bisnis (misalkan dari titik waktu 1996 Q1 sampai 2000 Q2 adalah periode rezim resesi, dan 2000 Q3 sampai 2015 Q2 adalah periode rezim ekspansi).
Jika didalam suatu penelitian menetapkan dua rezim, yaitu resesi dan ekspansi sehingga
smoothed probability bersifat mirroring, misalnya ketika pada titik waktu tertentu memiliki nilai smoothed probability resesi sebesar 0.2, maka smoothed probability ekspansi sebesar 0.8 dan
karena smoothed probability resesi kurang dari 0.5 (apabila nilai smoothed probability resesi kurang dari 0.5 (Hamilton, 1989), maka titik waktu tersebut termasuk dalam periode ekspansi. Kemudian apabila nilai smoothed probability resesi lebih dari atau sama dengan 0.5, maka titik waktu tersebut termasuk dalam periode rezim resesi.
Kemudian jika tersedia informasi penanggalan resmi perihal rezim, maka dapat dibentuk ukuran kebaikan model markov switching berdasarkan penyimpangan periode (waktu) antara
periode rezim hasil periodisasi yang didasarkan pada pergerakan smoothed probability yang dihasilkan model markov switching terhadap periode rezim hasil keputusan otoritas ekonomi (aktual). Namun, ukuran tersebut dapat dikonstruksi jika urutan dan frekuensi kemunculan rezim (baik secara total maupun spesifik rezim) sama antara hasil prediksi model dan realitas.
Misalkan secara hipotetik disajikan tabel periodisasi rezim realitas dan hasil prediksi model markov switching – AR (1), berikut (contoh dibuat sederhana agar diperolehan pemahaman): Tabel 1. Hipotetis Tahun Periodisasi Aktual (Berdasarkan Hasil Pengumuman Periodisasi Rezim pada Siklus Bisnis Oleh
Otoritas Ekonomi) Smoothed Probability Rezim Resesi Berdasarkan Model Markov Switching – AR (1)
Hasil Periodisasi yang didasarkan pada Pergerakan Smoothed
Probability yang dihasilkan Model
Markov Switching-AR(1) 2000 1 - - 2001 1 0.959 1 2002 1 0.999 1 2003 1 0.432 2 2004 2 0.321 2 2005 2 0.201 2 2006 2 0.103 2 2007 2 0.412 2 2008 1 0.789 2 2009 1 0.845 1 2010 1 0.995 1
Perlu diperhatikan hasil prediksi model markov switching – AR (d) maka terdapat perbedaan lag waktu sebanyak d unit waktu. Seperti pada tabel 1, periode observasi pertama adalah tahun 2000, maka fitted value maupun prediksi periodisasi rezim dari model markov – AR (d) dimulai pada tahun 2000 + d, dalam contoh di atas menggunakan model markov switching – AR (1), maka fitted
value maupun prediksi rezim dimulai dari tahun 2001 (2000 + 1). Pada tabel 1, anggaplah rezim
resesi diberi kode 1, dan rezim ekspansi diberi kode 2, lalu perhatikan urutan dari periodisasi aktual, yaitu resesi – ekspansi – resesi dan urutan periodisasi dari model: resesi – ekspansi – resesi, ternyata antara aktual dan prediksi model memiliki urutan rezim yang sama.
Kemudian frekuensi kemunculan rezim menurut periodisasi aktual, yaitu resesi terjadi dua kali selama periode pengamatan, dan ekspansi terjadi satu kali selama periode pengamatan. Periode resesi pada kemunculan pertama secara aktual adalah 4 tahun, namun agar seimbang dengan dimulainya hasil periodisasi model markov switching – AR (1) maka 4 tahun dikurangi 1 tahun menjadi 3 tahun (hanya untuk kemunculan pertama) dan periode resesi pada kemunculan kedua adalah 3 tahun. Periode ekspansi aktual pada kemunculan pertama (kemunculan ekspansi hanya satu kali selama periode pengamatan) adalah 4 tahun, Kemudian, prediksi periodisasi resesi hasil model pada kemunculan pertama dan kedua masing-masing adalah 2 tahun dan prediksi periode ekspansi hasil model pada kemunculan pertama selama periode pengamatan adalah 6 tahun.
Atas dasar tersebut dapat dibuat ukuran kebaikan model seanalogi dengan sum of squared
errors (SSE), berikut perumusan MSE:
𝑆𝑆𝐸 = ∑(𝑁𝑡− 𝑁̂𝑡)2 𝑇
𝑡=1
… (18)
dengan: 𝑁𝑡: nilai aktual; 𝑁̂𝑡: nilai prediksi.
Maka ukuran kebaikan berdasarkan penyimpangan periode yang dihasilkan model markov yang penulis sebut sum of squared period deviations (SSPD) dirumuskan sebagai berikut:
𝑆𝑆𝑃𝐷 = ∑ (𝑃𝑓(𝑟𝑒𝑠𝑒𝑠𝑖)− 𝑃̂𝑓(𝑟𝑒𝑠𝑒𝑠𝑖))2 𝑓𝑟𝑒𝑠𝑒𝑠𝑖 𝑓=1 + ∑ (𝑃𝑔(𝑒𝑘𝑠𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖)− 𝑃̂𝑔(𝑒𝑘𝑠𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖))2 𝑓𝑒𝑘𝑠𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖 𝑔=1 … (18) dengan:
𝑆𝑆𝑃𝐷 adalah sum of squared period deviations.
𝑃𝑓(𝑟𝑒𝑠𝑒𝑠𝑖) adalah periode aktual rezim resesi pada frekuensi resesi ke- f.
𝑃̂𝑓(𝑟𝑒𝑠𝑒𝑠𝑖) adalah prediksi periode rezim resesi dari model markov switching-AR (d) pada frekuensi
resesi ke-f.
𝑃𝑔(𝑒𝑘𝑠𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖) adalah periode aktual rezim resesi pada frekuensi ekspansi ke- g.
𝑃̂𝑔(𝑒𝑘𝑠𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖) adalah prediksi periode rezim resesi dari model markov switching-AR (d) pada
frekuensi ekspansi ke-g.
𝑓𝑟𝑒𝑠𝑒𝑠𝑖 adalah banyaknya kemunculan rezim resesi selama periode pengamatan. 𝑓𝑒𝑘𝑠𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖 adalah banyaknya kemunculan rezim ekspansi selama periode pengamatan.
Untuk contoh tabel 1, dapat dihitung SSPD untuk model markov switching – AR (1):
𝑆𝑆𝑃𝐷 = (3 − 2)2+ (4 − 6)2+ (3 − 2)2
Sehingga diperoleh SSPD sebesar 6. Tentu saja SSPD untuk model markov switching – AR (1), jika ada model markov switching lainnya maka nilai SSPD dari berbagai model perlu diamati dan pilihlah model yang menghasilkan SSPD minimum.
IV. APLIKASI RIIL
Sebagai contoh penerapan MSPD, penulis menggunakan kurs tengah rupiah terhadap dollar USA periode 1985 Q1 sampai dengan 2010 Q1, dimana 1985 Q1 – 1997 Q2 sebagai rezim mengambang terkendali dan 1997 Q3 sampai 2010 Q1 didefinisikan sebagai rezim sistem nilai tukar mengambang bebas. Penulis mengajukan model MSM (markov switching in mean)-AR (2), MSM-AR (3), MSM-AR (4) sebagai kandidat model, dimana MSM-AR (d) dirumuskan sebagai berikut:
(𝑔𝑡− 𝜖𝑠𝑡) = 𝜚1(𝑔𝑡−1− 𝜖𝑠𝑡−1) + ⋯ + 𝜚𝑑(𝑔𝑡−𝑑− 𝜖𝑠𝑡−𝑑) + 𝜄𝑡
dengan: 𝑔𝑡: kurs tengah Rupiah terhadap US Dollar pada waktu t, 𝜚𝑑: koefisien autoregressive
pada order d, 𝜖𝑠𝑡: mean kurs tengah Rupiah terhadap US Dollar pada rezim s, dan 𝜄𝑡: random eror. Tabel 2. Hasil Estimasi MSM-AR Berdasarkan Data Kurs Tengah Rupiah Terhadap US Dollar 1985 Q1 – 2010 Q1
MSM-AR(2) MSM-AR(3) MSM-AR(4)
𝜖1 2190.702 2197.587 2052.882 [0.000] [0.0000] [0.0000] 𝜖2 9076.943 9099.952 9182.149 [0.000] [0.000] [0.000] 𝜚1 0.165 0.489 0.489 [0.113] [0.000] [0.000] 𝜚2 0.503 0.134 0.164 [0.000] [0.258] [0.143] 𝜚3 - 0.104 0.213 [0.616] [0.056] 𝜚4 - - -0.326 [0.001] AIC 15.939 15.966 15.889 MSDP 0.0202 0.0204 0.0206
sumber: pengolahan penulis, menggunakan Eviews 9.5 versi Demo , [ . ] menyatakan p-value. Tabel 2 menyajikan hasil estimasi kandidat model MSM-AR (2), MSM-AR (3), dan MSM-AR (4). Berdasarkan tabel 3.4 AIC minimum dimiliki model MSM-AR (4), sedangkan MSDP minimum dimiliki model MSM-AR (2) (dimana perbedaan MSDP dari kandidat model sangat kecil). Pada
Deviasi Periode Rezim Resesi Kemunculan Pertama Deviasi Periode Rezim Resesi Kemunculan Kedua Deviasi Periode Rezim Ekspansi Kemunculan Pertama
kasus ini menunjukkan juga bahwa model yang memiliki AIC minimum belum tentu memiliki
MSDP minimum. Penggunaan MSDP dan AIC tergantung tujuan penelitian apakah untuk
mengidentifikasi periodisasi rezim atau peramalan nilai. Jika penelitian bertujuan untuk mengidentifikasi periodisasi rezim, maka gunakan MSDP, dan jika penelitian bukan bertujuan untuk periodisasi rezim, maka gunakan AIC atau sejenisnya.
Kemudian jika dilihat dari penyimpangan periode yang disajikan tabel 3 berikut: Tabel 3 Periode Resesi USA, 1951 Q1 – 1984 Q4
Realitas Periode Periode oleh MSM-AR(2) Periode oleh MSM-AR(3) Periode oleh MSM-AR(4) 1985 Q1 – 1997 Q2 (Mengambang Terkendali) 1985 Q3 – 1997 Q4 (Mengambang Terkendali) 1985 Q3 – 1997 Q4 (Mengambang Terkendali) 1985 Q3 – 1997 Q4 (Mengambang Terkendali) 1998 Q1 – 2010 Q1 (Mengambang Bebas) SSPD = 8 1997 Q3 – 2010 Q1
(Mengambang Bebas) 1998 Q1 – 2010 Q1 (Mengambang Bebas) 1998 Q1 – 2010 Q1 (Mengambang Bebas)
SSPD = 8 SSPD = 8
Sumber: Pengolahan Penulis
Berdasarkan tabel 3, ternyata dari model MSM-AR (2), MSM-AR (3) dan MSM-AR (4) memiliki nilai SSPD yang sama, yaitu 8, dan dari ketiga model tersebut tidak ada SSPD minimum sehingga untuk memilih model tersebut diperlukan informasi tambahan. Dalam kasus ini dapat dipilih berdasarkan prinsip kesederhanaan model atau MSDP, ditinjau dari kesederhanaan model bahwa MSM-AR (2) merupakan model yang sederhana dibandingkan MSM-AR(3) dan MSM-AR(4). Atau, jika dilihat dari MSDP, MSM-AR (2) memiliki nilai MSDP minimum dibandingkan model lainnya. V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Bahwa salah ukuran untuk memilih model markov switching terbaik yang mengakomodir penyimpangan periode adalah sum of squared period deviations (SSDP) yang analogi dengan SSE, berikut perumusan SSDP dari model markov switching:
𝑆𝑆𝑃𝐷 = ∑ (𝑃𝑓(𝑟𝑒𝑠𝑒𝑠𝑖)− 𝑃̂𝑓(𝑟𝑒𝑠𝑒𝑠𝑖))2 𝑓𝑟𝑒𝑠𝑒𝑠𝑖 𝑓=1 + ∑ (𝑃𝑔(𝑒𝑘𝑠𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖)− 𝑃̂𝑔(𝑒𝑘𝑠𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖))2 𝑓𝑒𝑘𝑠𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖 𝑔=1
Namun, SSPD dapat diterapkan jika urutan dan frekuensi kemunculan rezim (baik secara total maupun spesifik rezim) sama antara hasil prediksi model dan realitas, baik untuk dua atau lebih rezim yang didefinisikan. Kemudian jika nilai SSPD yang dihasilkan dari kandidat model – model bernilai sama, maka pemilihan model terbaik dapat ditinjau dari kesederhanaan model atau ukuran lain seperti MSDP.
5.2 Saran
Diperlukan pengembangan untuk SSPD, untuk kasus lainnya seperti jika urutan rezim berbeda antara hasil prediksi model dan realitas, namun total frekuensi kemunculan dari semua rezim sama antara aktual dan hasil prediksi mode ataupun frekuensi kemunculan rezim berbeda. Sehingga dapat dibentuk ukuran kebaikan model berdasarkan penyimpangan (deviasi) periode yang lebih fleksibel dan berlaku umum.
REFERENSI
Akaike, H. 1974. A New Look at the Statistical Model Identification. IEEE. Transaction on
Automatic Control, AC-19, 716-723
Goodwin, T.H. 1993. Business Cycle Analysis with a Markov switching Model. Journal of
Business & Economic Statistics 11 No. 3: 331-339.
Fajar, M. 2017. Mean Squared Deviation Probability. DOI: 10.13140/RG.2.2.16538.64968, Diakses melalui: https://www.researchgate.net/publication/317357111_MEAN_SQUARE_DEVIATION_P ROBABILITY_New_Criteria_for_Markov_Switching_Model?_iepl%5BviewId%5D=ghyqnI GHqWKZC3kdZ14YqZOR&_iepl%5BprofilePublicationItemVariant%5D=default&_iepl% 5Bcontexts%5D%5B0%5D=prfpi&_iepl%5BtargetEntityId%5D=PB%3A317357111&_ie pl%5BinteractionType%5D=publicationTitle
Hamilton, J.D. 1994. Time series Analysis. Princeton, Princeton University Press.
Hamilton, J.D. 1989. A New Approach to the Economic Analysis of Nonstationary time series and the business cycle. Econometrica 57: 357-384.
Hamilton, J. D. 1990. Analysis of Time Series Subject to Changes in Regime. Journal of
Econometrics 45: 39-70.
Hamilton, J. D., dan Quiroz, G.P. 1996. What Do the Leading Indicators Lead?. The Journal of
Business, Vol.69, No.1, pp. 27-49.
Hamilton, J. D. 2005. Regime-Switching Models (prepared for: Palgrave Dictionary of Economics). Melalui http://dss.ucsd.edu/~jhamilto/palgrav1.pdf [19/08/16].
Kim, C.J. 1994. Dynamic Linear Models with Markov-Switching. Journal of Econometrics 60(1): 1- 22.
Kim, C. J. dan Charles R. N. 1999. State-Space Models with Regime Switching. Cambridge, The MIT Press.
Petturson, T. G. 2000. Business Cycle Forecasting and Regime Switching. Central Bank
