SIDANG TERTUTUP TUGAS AKHIR MENENTUKAN KEANDALAN KOMPONEN MESIN PRODUKSI PADA MODEL STRESS-STRENGTH YANG BERDISTRIBUSI GAMMA

(1)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

SIDANG TERTUTUP TUGAS AKHIR

MENENTUKAN KEANDALAN KOMPONEN MESIN

PRODUKSI PADA MODEL STRESS-STRENGTH

YANG BERDISTRIBUSI GAMMA

Oleh :

Muh. Nurcahyo Utomo

1210 100 037

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

Dosen Pembimbing:

Dra. Farida Agustini W., MS.

(2)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

(3)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

Perindustrian

Kesalahan

pembuatan

produk

TEORI

KEANDALAN

Sebagai contoh PT

Petrokimia Gresik,

yang merupakan

perusahaan milik

negara dan

produsen pupuk

terlengkap di

Indonesia [1].

Keandalan

Komponen

Eksponensial

Distribusi

(4)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

Permasalahan yang dibahas pada tugas akhir ini

adalah:

1. Bagaimana menentukan fungsi keandalan

komponen pada Model Stress Strength?

2. Bagaimana menentukan fungsi keandalan

komponen bila Stress dan Strength

berdistribusi gamma?

3. Bagaimana analisa hasil dari studi kasus

keandalan komponen pada mesin pupuk PT

Petrokimia Gresik cabang Nganjuk?

(5)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

Pada tugas akhir ini, batasan masalahnya

sebagai berikut:

1. Model yang digunakan untuk mencari

fungsi keandalan komponen adalah Model

Stress Strength.

2. Stress berdistribusi gamma.

3. Strength berdistribusi gamma.

4. Stress sebagai tekanan beban dan Strength

sebagai kekuatan komponen mesin.

5. Data yang dipakai adalah data dari tekanan

beban dan kekuatan komponen mesin

(6)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

Berdasarkan rumusan masalah, tujuan dari

tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Menentukan fungsi keandalan

komponen pada Model Stress Strength.

2. Menentukan fungsi keandalan

komponen bila Stress dan Strength

berdistribusi gamma.

3. Menganalisa hasil dari studi kasus

keandalan komponen pada mesin

pupuk PT Petrokimia Gresik cabang

Nganjuk.

(7)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

Manfaat dari tugas akhir ini adalah sebagai

berikut:

1. Sebagai wawasan pemahaman mengenai

keandalan komponen yang dicari pada

Model Stress Strength dangan Stress dan

Strength berdistribusi gamma.

2. Sebagai bahan pertimbangan untuk PT

Petrokimia Gresik cabang Nganjuk

mengenai kondisi mesin pupuk yang saat

ini digunakan, agar dapat diantisipasi

kegunaannya dan menghasilkan produk

yang sesuai, sehingga dapat memberikan

(8)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

BAB I PENDAHULUAN

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB III METODOLOGI PENELITIAN

BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

(9)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

HOME

(10)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

Fungsi gamma didefinisikan sebagai berikut:

Γ 𝛼 = 𝑥

𝛼−1

𝑒

−𝑥

𝑑𝑥

∞

0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝛼 > 0.

Misalkan X suatu peubah acak kontinu berdistribusi

gamma dengan parameter 𝛼 dan λ, jika bentuk

fungsi padatnya

𝑓 𝑥 =

𝜆

𝛼

𝑥

𝛼−1

𝑒

−𝜆𝑥

Γ 𝛼

, 𝑥 > 0

0 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛

dengan 𝛼 > 0 dan λ > 0 [3].

(11)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

HOME

Distribusi eksponensial adalah distribusi

khusus dari distribusi gamma dengan 𝛼 = 1 ,

peubah acak kontinu X mempunyai distribusi

eksponensial dengan parameter 𝛽 , jika fungsi

padat peluangnya berbentuk [3]:

𝑓 𝑥 =

1 𝛽

𝑒

−𝑥

𝛽

_{, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥ 0}

0 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛

dengan 𝛽 > 0.

(12)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

Andal dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia

memiliki dua arti. Pertama, andal berarti dapat

dipercaya. Kedua, andal juga dapat berarti

memberikan hasil yang sama pada percobaan yang

berulang.

Keandalan suatu produk selayak sebuah

probabilitas yang bernilai 0-1. Terdapat tiga faktor

yang menentukan keandalan suatu mesin, yaitu:

fungsi mesin, keadaan tertentu (batasan mesin),

dan masa pakai mesin tersebut [2].

(13)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

HOME

Grafik laju kerusakan terhadap waktu bisa dilihat pada

Gambar 1.

(14)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

Keandalan suatu mesin dapat diketahui dan dinilai

dari data yang didapat dari analisis keandalan. Dalam analisis

keandalan, suatu mesin memiliki dua keadaan (state) yaitu,

keadaan baik dan keadaan buruk.

Model

yang

digunakan

untuk

menganalisis

keandalan suatu mesin adalah Model Stress Strength.

Analisis Stress Strength adalah salah satu model

menganalisis suatu mesin dengan memfokuskan pada aspek

Stress dan Strength. Analisis ini adalah analisis yang sering

digunakan. Strength memiliki maksud yaitu kekuatan

material penyusun mesin tersebut dan Stress adalah

batasan-batasan yang dimiliki oleh mesin tersebut (apabila di

luar batasan, kerja mesin akan menurun).

Nilai keandalan pada Model Stress Strength dapat

dihitung jika fungsi densitas (pdf) variable random stress dan

strength diketahui. Misalkan fungsi densitas untuk strength

(S) dinotasikan oleh 𝑓

_𝑆

(𝑆) dan fungsi densitas untuk stress (s)

dinotasikan dengan 𝑓

_𝑠

𝑠 [4].

(15)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

Posisi distribusi variable stress dan variable strength disajikan

dalam Gambar 2 [4]:

Gambar 2: Kurva interferensi stress-strength.

Daerah yang diarsir merupakan daerah dimana

kerusakan terjadi (daerah kegagalan). Kerusakan terjadi

apabila stress > strength. Bisa dikatakan, semakin kecil

daerah kegagalan, maka semakin andal mesin tersebut.

(16)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

𝑅 𝑡 = 1 − 𝐹 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

∞ 𝑡

.

Dengan:

Nilai R seperti probabilitas memiliki nilai dalam range 0 ≤ 𝑅 ≤ 1 [5].

𝑅(𝑡)

: keandalan mesin saat 𝑡.

𝑅

:1 menyatakan bahwa mesin bekerja dengan baik.

𝑅

:0 menyatakan bahwa mesin bekerja dengan buruk.

Kurva keandalan [5]:

Fungsi keandalan adalah fungsi yang berhubungan dengan waktu

(waktu pengoperasian mesin). Pada Gambar 3 disajikan kurva keandalan

terhadap waktu.

Gambar 3: Kurva keandalan terhadap waktu.

Fungsi keandalan memiliki beberapa sifat:

a. 0 ≤ 𝑅(𝑡) ≤ 1.

b. Kurva tidak monoton naik.

c. 𝑅 ∞ = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑅 0 = 1.

(17)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

HOME

(18)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

MULAI Identifikasi masalah dan

perumusan masalah

Penetapan tujuan

dan manfaat Studi literatur Pengumpulan Data

- Data yang digunakan adalah data dari tekanan beban dan kekuatan komponen mesin pupuk PT Petrokimia Gresik Cabang Nganjuk.

Penentuan Fungsi Keandalan

- Fungsi keandalan ditentukan dengan

Model

Stress-Strength.

Dan

dalam

menentukan fungsi keandalan, Model

Stress-Strength yang dipakai berdistribusi

gamma.

Studi kasus dan pengolahan data

Penarikan Kesimpulan Penulisan laporan Tugas akhir

(19)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

HOME

(20)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

Keandalan pada model Stress-strength merupakan

peluang bahwa Strength lebih besar dari Stress. Keandalan dapat

dihitung jika fungsi kepadatan peluang (pdf) variabel random Stress

dan Strength diketahui. Misalkan fungsi kepadatan peluang untuk

Strength (S) dinotasikan oleh 𝑓

_𝑆

𝑆 dan fungsi kepadatan peluang

untuk Stress (s) dinotasikan dengan 𝑓

_𝑠

𝑠 .

Keandalan didefinisikan sebagai peluang bahwa Stress

lebih kecil dari Strength. Jika ditulis dalam persamaan matematika

menjadi [6]:

𝑅 = 𝑃 𝑠 < 𝑆 = 𝑃 𝑆 > 𝑠 (1)

dengan 𝑅 adalah keandalan komponen.

Persamaan (1) dapat ditulis sebagai berikut [6]:

𝑅 = 𝑓

_𝑠

𝑠 𝑓

_𝑆

𝑆 𝑑𝑆

∞ 𝑠

𝑑𝑠

∞ −∞

(2)

(21)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

Selanjutnya dapat ditentukan persamaan untuk ketidakandalan (unreability)

yang menyatakan peluang bahwa komponen akan gagal yaitu:

𝑅 = 1 − 𝑅 = 𝑃 𝑆 ≤ 𝑠

Dengan mensubstitusikan R dari persamaan (2) diperoleh:

𝑅 = 𝑃 𝑆 ≤ 𝑠 = 1 − 𝑓

_𝑠

𝑠 𝑓

_𝑆

𝑆 𝑑𝑆

∞ 𝑠

𝑑𝑠

∞ −∞

= 1 − 𝑓

_𝑠

𝑠 1 − 𝐹

_𝑠

𝑠 𝑑𝑠

∞ −∞

= 1 − 𝑓

_𝑠

𝑠 𝑑𝑠 + 𝐹

_𝑠

𝑠 𝑓

_𝑠

𝑠 𝑑𝑠

∞ −∞ ∞ −∞

= 1 − 1 + 𝐹

_𝑠

𝑠 𝑓

_𝑠

𝑠 𝑑𝑠

∞ −∞

= 𝐹

_𝑠

𝑠 𝑓

_𝑠

𝑠 𝑑𝑠

∞

(22)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

Misal didefinisikan variable baru 𝑦 = 𝑆 − 𝑠, maka keandalan dapat didefinisikan sebagai:

𝑅 = 𝑃 𝑦 > 0

dan diasumsikan bahwa S dan s variable acak yang lebih besar atau sama dengan 0. Fungsi densitas dari variable y adalah:

𝑓_𝑦 𝑦 = 𝑓_𝑠 𝑦 + 𝑠 𝑓_𝑠 𝑠 𝑑𝑠 ∞ 𝑠 (3) = 𝑓_𝑠 𝑦 + 𝑠 𝑓_𝑠 𝑠 𝑑𝑠 ∞ 0 𝑓𝑠 𝑦 + 𝑠 𝑓𝑠 𝑠 𝑑𝑠 ∞ −𝑦

Karena itu peluang kegagalan komponen (ketidakandalan) menjadi: 𝑅 = 𝑓_𝑦 𝑦 𝑑𝑦 ∞ −∞ = 𝑓_𝑠 𝑦 + 𝑠 𝑓_𝑠 𝑠 𝑑𝑠 ∞ −𝑦 𝑑𝑦 0 −∞ Dan keandalan komponen dinyatakan dengan:

𝑅 = 𝑓_𝑦 𝑦 𝑑𝑦 ∞ −∞ = 𝑓𝑠 𝑦 + 𝑠 𝑓𝑠 𝑠 𝑑𝑠 ∞ 0 𝑑𝑦 ∞ 0

(23)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

Diketahui pdf Distribusi Gamma sebagai berikut:

𝑓 𝑥 =𝜆

𝑛_𝑥𝑛−1_𝑒−𝜆𝑥

Γ 𝑛 ; 𝑛 > 0, 𝜆 > 0, 0 < 𝑥 < ∞ (4)

dengan 𝜆 sebagai parameter skala dan 𝑛 sebagai parameter bentuk.

Untuk kasus 𝜆 = 1, persamaan (4) menjadi: 1. Pdf Strength Berdistribusi Gamma

𝑓𝑆 𝑆 =

1

Γ 𝑚 𝑆𝑚−1𝑒−𝑆 , 0 < 𝑆 < ∞, 𝑚 > 0

2. Pdf Stress Berdistribusi Gamma

𝑓𝑠 𝑠 =

1

Γ 𝑛 𝑠𝑛−1𝑒−𝑠 , 0 < 𝑠 < ∞, 𝑛 > 0

dengan menggunakan persamaan (3), dimana 𝑦 = 𝑆 − 𝑠 diperoleh:

𝑓𝑦 𝑦 = 𝑓𝑠 ∞ 0 𝑦 + 𝑠 𝑓𝑠 𝑠 𝑑𝑠 ; 𝑦 > 0 = 1 Γ 𝑚 ∞ 0 𝑦 + 𝑠 𝑚−1_𝑒− 𝑦+𝑠 1 Γ 𝑛 𝑠𝑛−1𝑒−𝑠𝑑𝑠 = 1 Γ 𝑚 Γ 𝑛 𝑦 + 𝑠 𝑚−1𝑒− 𝑦+𝑠 𝑠𝑛−1𝑒−𝑠𝑑𝑠 ∞ 0 = 1 Γ 𝑚 Γ 𝑛 𝑦 + 𝑠 𝑚−1𝑒−𝑦−2𝑠𝑠𝑛−1𝑑𝑠 ∞ 0 1 ∞

(24)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

Misal 𝑣 =

_𝑦𝑠

. Maka 𝑑𝑣 =

1_𝑦

𝑑𝑠. Sehingga diperoleh:

𝑓

_𝑦

𝑦 =

1 Γ 𝑚 Γ 𝑛

𝑦

𝑚+𝑛−1

𝑒

−𝑦

1 + 𝑣

𝑚−1

𝑒

−2𝑣𝑦

𝑣

𝑛−1

𝑑𝑣

∞ 0

Karena itu:

𝑅 = 𝑓

₀∞ _𝑦

𝑦 𝑑𝑦

=

1 Γ 𝑚 Γ 𝑛

𝑦

𝑚+𝑛−1

𝑒

− 1+2𝑣 𝑦

𝑑𝑦 1 + 𝑣

𝑚−1

𝑣

𝑛−1

𝑑𝑣

∞ 0 ∞ 0

Diketahui fungsi gamma sebagai berikut:

Γ 𝛼

𝑡

𝛼

= 𝑥

𝛼−1

𝑒

−𝑡(𝑥)

𝑑𝑥

∞ 0

Maka,

𝑦

𝑚+𝑛−1

𝑒

− 1+2𝑣 𝑦

𝑑𝑦

∞ 0

=

Γ 𝑚 + 𝑛

1 + 2𝑣

𝑚+𝑛

Sehingga didapatkan:

𝑅 =

Γ 𝑚 + 𝑛

Γ 𝑚 Γ 𝑛

1 + 𝑣

𝑚−1

𝑣

𝑛−1

𝑑𝑣

1 + 2𝑣

𝑚+𝑛 ∞ 0

(25)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

Dengan memisalkan:

𝑢 =

_1+2𝑣𝑣

Sehingga didapatkan:

𝑢 + 2𝑢𝑣 = 𝑣

𝑢 = 𝑣 − 2𝑢𝑣

𝑢 = 𝑣(1 − 2𝑢)

𝑣 =

𝑢

1 − 2𝑢

𝑑𝑣 =

𝑑𝑢 1 − 2𝑢 + 2𝑢 𝑑𝑢

1 − 2𝑢

2

𝑑𝑣 =

𝑑𝑢

1 − 2𝑢

2

Dan batas-batas integralnya menjadi:

Saat 𝑣 = 0 → 𝑢 = lim

𝑣→0 𝑣 1+2𝑣

= 0

Saat 𝑣 = ∞ → 𝑢 = lim

𝑣→∞ 𝑣 1+2𝑣

=

1 2

Maka fungsi keandalan menjadi:

𝑅 =

Γ 𝑚 + 𝑛

Γ 𝑚 Γ 𝑛

1 − 𝑢

𝑚−1

𝑢

𝑛−1

𝑑𝑢

1 2 0

(5)

Integral pada persamaan (5) merupakan fungsi Beta yang tidak lengkap,

sehingga didapatkan fungsi keandalan,

(26)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

Untuk kasus 𝜆 ≠ 1, persamaan (4) menjadi:

1. Pdf Strength Berdistribusi Gamma

𝑓

_𝑆

𝑆 =

𝜆

𝑚

Γ 𝑚

𝑆

𝑚−1

𝑒

−𝜆𝑆

, 0 < 𝑆 < ∞, 𝑚 > 0, 𝜆 > 0

2. Pdf Stress Berdistribusi Gamma

𝑓

_𝑠

𝑠 =

𝜇

𝑛

Γ 𝑛

𝑠

𝑛−1

𝑒

−𝜇𝑠

, 0 < 𝑠 < ∞, 𝑛 > 0, 𝜇 > 0

dengan menggunakan persamaan (3), dimana 𝑦 = 𝑆 − 𝑠 diperoleh:

𝑓

_𝑦

𝑦 = 𝑓

_𝑠 ∞ 0

𝑦 + 𝑠 𝑓

_𝑠

𝑠 𝑑𝑠 ; 𝑦 > 0

=

𝜆

𝑚

Γ 𝑚

𝑦 + 𝑠

𝑚−1

𝑒

−𝜆 𝑦+𝑠 ∞ 0

𝜇

𝑛

Γ 𝑛

𝑠

𝑛−1

𝑒

−𝜇𝑠

𝑑𝑠

=

𝜆

𝑚

𝜇

𝑛

Γ 𝑚 Γ 𝑛

𝑦 + 𝑠

𝑚−1

𝑒

−𝜆 𝑦+𝑠 ∞ 0

𝑠

𝑛−1

_𝑒

−𝜇𝑠

_𝑑𝑠

=

𝜆

𝑚

𝜇

𝑛

Γ 𝑚 Γ 𝑛

𝑦 + 𝑠

𝑚−1

𝑒

−𝜆 𝑦+𝑠 −𝜇𝑠 ∞ 0

𝑠

𝑛−1

𝑑𝑠

=

𝜆

𝑚

𝜇

𝑛

Γ 𝑚 Γ 𝑛

𝑦 + 𝑠

𝑚−1

𝑒

−𝜆𝑦−𝜆𝑠−𝜇𝑠 ∞ 0

𝑠

𝑛−1

𝑑𝑠

(27)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

Misal 𝑣 =

_𝑦𝑠

. Maka 𝑑𝑣 =

1_𝑦

𝑑𝑠. Sehingga diperoleh:

𝑓

_𝑦

𝑦 =

𝜆

𝑚

𝜇

𝑛

Γ 𝑚 Γ 𝑛

𝑦

𝑚+𝑛−1

𝑒

−𝜆𝑦

1 + 𝑣

𝑚−1

𝑒

−𝑣𝑦 𝜆+𝜇 ∞ 0

𝑣

𝑛−1

𝑑𝑣

Karena itu:

𝑅 = 𝑓

₀∞ _𝑦

𝑦 𝑑𝑦

=

𝜆

𝑚

𝜇

𝑛

Γ 𝑚 Γ 𝑛

𝑦

𝑚+𝑛−1

𝑒

− 𝜆+𝑣𝜆+𝑣𝜇 𝑦

𝑑𝑦 1 + 𝑣

𝑚−1 ∞ 0

𝑣

𝑛−1

𝑑𝑣

∞ 0

Diketahui fungsi gamma sebagai berikut:

Γ 𝛼

𝑡

𝛼

= 𝑥

𝛼−1

𝑒

−𝑡(𝑥)

𝑑𝑥

∞ 0

Maka,

𝑦

𝑚+𝑛−1

𝑒

−(𝜆+𝑣𝜆+𝑣𝜇)𝑦

𝑑𝑦

∞ 0

=

Γ 𝑚 + 𝑛

𝜆 + 𝑣𝜆 + 𝑣𝜇

𝑚+𝑛

Sehingga didapatkan:

𝑅 =

𝜆

𝑚

𝜇

𝑛

Γ 𝑚 + 𝑛

1 + 𝑣

𝑚−1

𝑣

𝑛−1

𝑑𝑣

∞

(28)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

Dengan 𝑟 = 𝜇_𝜆, maka: 𝑅 = 𝑟𝑛Γ 𝑚 + 𝑛 Γ 𝑚 Γ 𝑛 1 + 𝑣 𝑚−1_𝑣𝑛−1_𝑑𝑣 1 + 1 + 𝑟 𝑣 𝑚+𝑛 ∞ 0 Dengan memisalkan: 𝑢 = _{1+ 1+𝑟 𝑣}𝑟𝑣 Sehingga didapatkan: 𝑢 1 + 1 + 𝑟 𝑣 = 𝑟𝑣 𝑢 + 𝑢𝑣 + 𝑢𝑣𝑟 = 𝑟𝑣 𝑢 + 𝑣 𝑢 + 𝑢𝑟 = 𝑟𝑣 𝑢 = 𝑟𝑣 − 𝑣 𝑢 + 𝑢𝑟 𝑢 = 𝑣 𝑟 − 𝑢 + 𝑢𝑟 𝑣 = 𝑢 𝑟 − 𝑢 + 𝑢𝑟 𝑣 = 𝑢 𝑟 − 𝑢 1 + 𝑟 𝑑𝑣 = 𝑑𝑢 𝑟 − 𝑢 1 + 𝑟 − 𝑢 −1 − 𝑟 𝑑𝑢 𝑟 − 𝑢 1 + 𝑟 2 𝑑𝑣 = 𝑟 𝑑𝑢 − 𝑢 𝑑𝑢 − 𝑢𝑟 𝑑𝑢 + 𝑢 𝑑𝑢 + 𝑢𝑟 𝑑𝑢 𝑟 − 𝑢 1 + 𝑟 2 𝑑𝑣 = 𝑟 𝑑𝑢 𝑟 − 𝑢 1 + 𝑟 2

Dan batas-batas integralnya menjadi:

Saat 𝑣 = 0 → 𝑢 = lim 𝑣→0 𝑟𝑣 1+ 1+𝑟 𝑣 = 0 Saat 𝑣 = ∞ → 𝑢 = lim 𝑣→∞ 𝑟𝑣 1+ 1+𝑟 𝑣 = 𝑟 1+𝑟

(29)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

HOME

Maka fungsi keandalan menjadi:

𝑅 =

Γ 𝑚 + 𝑛

Γ 𝑚 Γ 𝑛

1 − 𝑢

𝑚−1

𝑢

𝑛−1

𝑑𝑢

𝑟 1+𝑟 0

(6)

Integral pada persamaan (6) merupakan fungsi Beta yang tidak

lengkap, sehingga didapatkan fungsi keandalan,

𝑅 =

Γ 𝑚 + 𝑛

(30)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

Untuk mengetahui tingkat keandalan komponen

masing-masing mesin, akan dilakukan perhitungan menggunakan fungsi

keandalan yang sudah didapatkan pada persamaan (34). Dengan

kekuatan komponen sebagai (𝜆), tekanan beban sebagai (𝜇), dinamo

sebagai (𝑚), dan perputaran mesin sebagai (𝑛)[7].

Perhitungan dilakukan dengan menggunakan software

Matlab, dan hasil dari perhitungan menggunakan GUI Matlab bisa

dilihat pada Tabel 4.1, Tabel 4.2, Tabel 4.3, dan Tabel 4.4.

Tabel 4.1: Hasil Perhitungan Tingkat Keandalan Mesin Pada Tanggal

1 November 2013.

Tabel 4.2: Hasil Perhitungan Tingkat Keandalan Mesin Pada Tanggal

8 November 2013.

Mesin Tingkat Keandalan

Penghalus 98,61%

Pan Granulator 98,09%

Pengering 95,88%

Pendingin 90,71%

(31)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

HOME

Tabel 4.3: Hasil Perhitungan Tingkat Keandalan Mesin Pada Tanggal

15 November 2013.

Tabel 4.4: Hasil Perhitungan Tingkat Keandalan Mesin Pada Tanggal

22 November 2013.

Pendingin 88,81%

(32)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

Grafik laju masing-masing mesin pada bulan November 2013 bisa

dilihat pada Gambar 4.1, Gambar 4.2, Gambar 4.3, dan Gambar 4.4.

Gambar 4.1: Laju Mesin Penghalus Pada Bulan November 2013.

(33)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

Gambar 4.3: Laju Mesin Pengering Pada Bulan November 2013.

(34)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

Prosentase tingkat keandalan masing-masing mesin

berpengaruh dengan hasil produksi masing-masing mesin.

Setiap mesin bekerja selama 8 jam/hari, 6 hari selama satu

minggu dan libur pada saat hari libur.

Hasil yang didapat menunjukkan bahwa

masing-masing mesin bekerja dalam kondisi prima, dan laju

kerusakan tergolong konstan. Hal ini disebabkan karena di PT

Petrokimia Gresik Cabang Nganjuk selalu dilakukan

perawatan rutin untuk masing-masing mesin, yaitu seminggu

sekali setiap hari Jum’at.

(35)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

HOME

(36)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB V

HOME

Berdasarkan keseluruhan hasil analisa yang telah dilakukan, dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut :

1. Dalam menentukan fungsi keandalan pada Model Stress Strength digunakan kurva interferensi dari Stress Strength tersebut. Dan didapatkan fungsi keandalan sebagai berikut: 𝑅 = 𝑓_𝑠 𝑦 + 𝑠 𝑓_𝑠 𝑠 𝑑𝑠 ∞ 0 𝑑𝑦 ∞ 0

2. Fungsi keandalan yang didapat bila Stress dan Strength berdistribusi Gamma adalah fungsi beta yang tidak lengkap.

untuk kasus 𝜆 = 1, didapatkan: 𝑅 = Γ 𝑚 + 𝑛

Γ 𝑚 Γ 𝑛 𝐵1₂ 𝑛, 𝑚 untuk kasus 𝜆 ≠ 1, didapatkan:

𝑅 = Γ 𝑚 + 𝑛

Γ 𝑚 Γ 𝑛 𝐵1+𝑟𝑟 𝑛, 𝑚

3. Dari hasil perhitungan studi kasus pada mesin pupuk PT Petrokimia Gresik Cabang Nganjuk menggunakan fungsi keandalan dengan bantuan sofware Matlab, didapat hasil bahwa masing-masing mesin bekerja dalam kondisi prima, dan laju kerusakan tergolong konstan. Hal ini disebabkan karena di PT Petrokimia Gresik Cabang Nganjuk selalu dilakukan perawatan rutin untuk masing-masing mesin, yaitu seminggu sekali setiap hari Jum’at.

(37)

BAB I

BAB II

BAB III

BAB IV

HOME

[1] http://www.petrokimia-gresik.com/ (diakses pada tanggal 28 Agustus 2013 pukul

14.38).

[2] Budiana Putri, Melati. (2010). “Teori Keandalan sebagai Aplikasi Distribusi

Eksponensial”. Program Studi Sistem dan Teknologi Informasi Sekolah Teknik Elektro

dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Hal 1-5.

[3] Walpole, dkk. (2007). “Probability & Statistics for Engineers & Scientists”. Pearson

Education International, Hal 194-195.

[4] http://repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/1870/1/matematikarosman.pdf

(diakses pada tanggal 28 Agustus 2013 pukul 18.33).

[5] Hines, William W, Montgomery, Douglas C. (1990). “Probabilita dan Statistik dalam Ilmu Rekayasa dan Manajemen”. Universitas Indonesia, Hal 593-599.

[6] Dhillon, Balbir S. (1979). “Stress-Strength Reliability Models”. University of Ottawa, Hal 513 [7] http://books.google.co.id/books?id=XWOdRbYRcSQC&pg=PA522&lpg=PA522&dq=stre ss+strength+reliability+component+of+gamma+distribution&source=bl&ots=FDld1iUw 2i&sig=izHdwwzx-UxZV0HJOzJZJHNjFnY&hl=id&sa=X&ei=eOG3UtbkLYTnoASA14LQCg&redir_esc=y#v=on epage&q=stress%20strength%20reliability%20component%20of%20gamma%20distrib