REVIEW PROPERTI OPERATOR MATEMATIKA MORPHOLOGI DALAM PEMROSESAN CITRA

REVIEW PROPERTI OPERATOR MATEMATIKA MORPHOLOGI

DALAM PEMROSESAN CITRA

Zaiful Bahri

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau, Pekanbaru zaifulbahri@unri.ac.id

ABSTRACT

This paper discusses some properties of mathematical morphology in image processing

(, ), where
(, ) is digital image that has function of light intensity two dimensions

(, ),  and  are spatial coordinats. Values of
(, ) on every point are gray level an

image.

Keywords : image, operator, mathematical morphology, grays level

ABSTRAK

Dalam tulisan ini dibahas mengenai beberapa properties operator matematika morphologi

dalam pemrosesan citra

(, ), di mana
(, ) adalah citra dijital yang merupakan

fungsi intensitas cahaya dua dimensi

(, ),  dan  menunjukkan koordinat spasial. Nilai

(, ) pada tiap titik menunjukkan tingkat keabuan (gray level) citra pada titik tersebut.

Kata kunci : citra, operator, matematika morphologi, gray level

1. PENDAHULUAN

Morphologi merupakan suatu pendekatan pada analisa citra berdasarkan pada

asumsi bahwa sebuah citra terdiri dari struktur yang bisa ditangani dengan teori

himpunan. Morphologi banyak digunakan dalam kajian tentang shape (bentuk).

Morphologi berdasarkan ide-ide yang dikembangkan oleh J. Serra dan G. Matheron pada

Ecole des Mines di Fontainebleau, Perancis. Masalah morphology ini juga dapat

ditemukan pada Serra (1986), Haralick, Sternberg dan Zhuang (1987) serta Haralick dan

Shapiro (1992). Morphologi menjadi popular beberapa tahun belakangan ini.

Matematika morphologi sebagian besar sesuai dengan teori matematika tentang

penggambaran bentuk menggunakan himpunan. Dala, pemrosesan citra, matematika

morpologi digunakan untuk menyelidiki interaksi antara sebuah citra dan suatu pemilihan

struktur element tertentu menggunakan operasi-operasi dasar erosion dan dilation.

2. METODE PENELITIAN

Perluasan morphologi pada citra tingkat abu-abu dalam hal ini adalah operasi

dasar,komplemen dilasi, erosi, opening dan closing. Operasi-operasi ini digunakan untuk

mengembangkan beberapa algoritma morphologi tingkat abu-abu dasar. Juga

(, ) adalah citra

input.

Citra digital dapat berupa citra dalam mode keabuan atau citra berwarna (color).

Setiap citra direpresentasikan dalam bentuk matrik berukuran m x n, dimana m

menunjukkan banyaknya elemen baris dan n untuk jumlah kolom pada matriks tersebut.

Berikut adalah persamaan representasi citra dijital berukuran m x n.

1 1 1 1

( ,

)

( ,

)

( , )

(

,

)

(

,

)

n m m n

f x y

f x y

f x y

f x

y

f x

y













=

















K K

M

O

M

M

O

M

L L

Fungsi

(, ) adalah struktur elemen (strel) yang merupakan fungsi sub citra.

Asumsinya adalah bahwa fungsi-fungsi ini adalah diskrit. Z merupakan himpunan real

integer, asumsi bahwa

(, ) adalah integer dari Z x Z sedangkan f dan b adalah fungsi

yang memberikan nilai level abu-abu untuk setiap pasang koordinat

(, ).

3. HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam praktek pengolahan citra, cukup untuk mengetahui bahwa morphologi bisa

diaplikasikan pada suatu set

berhingga jika

a. Elemen-elemennya bisa diurutkan secara parsial dimana urutan dinyatakan dengan

≤,

misalnya untuk semua

, , ∈ , berlaku :

 ≤ 

( ≤ ,  ≤ ) →  = 

( ≤ ,  ≤ ) →  ≤

b.

Dan setiap subset S yang tidak kosong mempunyai nilai maksimum dan minimum.

3.1

Komplemen dan Propertis Operator

Komplemen





dari set X didefinisikan sebagai semua elelment yang tidak termasuk

ke dalam X. Untuk sebuah citra

, komplemen



didefinisikan sebagai

dicerminkan

pada pusat garis nilai abu-abu, seperti terlihat pada gambar 3.1. Untuk sebuah citra

dengan interval komplemen {L, . . .,M} bisa ditulis sebagai :



_{(, ) =  +  −
(, )}

Sedangkan komplemen dua kali hasil pada set asli atau fungsi adalah

(



₎



_{= , dan (}



₎



₌

Gambar 3.1 Citra asli (kiri) dan Komplemen citra (kanan)

Gambar 3.2 Fungsi citra f (kiri) dan Komplemen fungsi citra (kanan)

Operator



dan



disebut dual jika penerapan



pada komplemen

sama

dengan komplemen hasil penerapan



pada

, maka berlaku :

∀
: ( (



_{) = ((
))}



Operator maksimum dan minimum pada sebuah citra adalah dual. Sebagai contoh;

misalkan

sama dengan :

5 0 1

5 0 1

4 0 3

3 3 5

maka



sama dengan :

0 5 4

1 5 2

2 2 0

Terlihat bahwa

max(



) = 5 dan min(
) = 0. Kemudian (min
)



= 5, sehingga :

Selanjutnya dapat dilihat juga bahwa nilai median untuk

adalah 3 dan median

untuk



adalah 2. Karena (2) = (3)



. Di sini, operator median adalah self-dual :

%&'()(



_{) = (%&'()(
))}



Sebuah operator

 disebut increasing jika operator tersebut mengubah urutan citra :

∀
, *: (
≤ * → (
) ≤ (*))

Suatu operator

 disebut extensive jika :

∀
: (
≤ (
))

output selalu “lebih besar” dari pada input. JIka dibalikan berlaku, maka

 adalah

anti-extensive :

∀
: ((
) ≤
).

Sebuah operator disebut idempotent jika operator tersebut diterapkan lebih dari satu kali

tidak mempunyai pengaruh terhadap citra :

∀
: (((
)) ≤ (
)).

3.2.

Erosi, Dilasi dan Propertisnya

Erosi citra

oleh strel flat b pada sebarang lokasi (x,y) didefinisikan sebagai nilai

minimum citra dalam daerah yang sama dengan b ketika b asli berada di (x,y). Bentuk

persamaan erosi (x,y) pada citra f dengan strel b dinyatakan oleh :

+,(
Ɵ).(, ) =

_(2,3∈4)/01

{
( + 6,  + 7)}

Dilasi citra

oleh strel flat b pada sebarang lokasi (x,y) didefinisikan sebagai nilai

maksimum citra dalam daerah utama oleh

9 di mana 9 asli pada posisi (x,y), dinyatakan

dengan :

Asumsikan strel citra adalah simetris. Berikut diberikan beberapa propertis dari erosi

dan dilasi :

a. Dual : erosi dan dilasi adalah operasi dual.

(@(
))



_{= ;(}



₎

dimana

9 = (−, −). Ini dapat dilihat pada gambar 3.3,

Gambar 3.3 Citra asli (kiri), erosi citra (tengah) dan komplemen erosi (tengah) citra

(kanan)

b. Increment : Baik erosi maupun dilasi merupakan operasi increment :

≤ * → A@(
) ≤ @(*)

_{;(
) ≤ ;(*)}

c. Ekstensivitas : Jika citra origin adalah bagian dari strel, dilasi adalah ekstensif

dan erosi adalah anti-ekstensif :

0@ → A@(
) ≤

_{; ≤ ;(
)}

d. Separabeliti : Strel yang simetris bisa dipisahkan dalam bagian satu dimensi.

Erosi atau dilasi bisa dibawa keluar menggunakan erosi dan dilasi satu

dimensi :

= ;

BC

() → D

@B(
) = @B

_C

(@B

_E

(
))

Komposisi operasi erosi dan dilasi mempunyai property yang menarik. Morphologi

opening

F dan closing G didefinisikan sebagai :

Opening

:

F(
) = ;(@(
))

Closing

:

G(
) = @(;(
))

Asumsikan bahawa strel adalah simtris.Opening dan Closing mempunyai beberapa

properti, di antaranya :

a. Dual

: Opening dan Closing adalah operasi dual.

b. Increment : Karena opening dan closing adalah komposisi dari operasi erosi

dan dilasi, maka opening dan closing juga increment.

c. Ekstensif : Opening anti-ekstendif dan closing ekstensif.

d. Idempotent: Opening dan closing keduanya operasi idempotent. Penerapan

operasi dua kali pada citra akan menghasilkan yang sama pada penerapan

satu kali operasi :

FF(
) = F(
)

GG(
) = G(
)

3.4.

Operasi Geodesi dan Rekonstruksi

Dilasi adalah suatu operasi ekstensif, struktur “tumbuh” pada batas citra. Ini sangat

bermanfaat untuk membatasi pertumbuhan dengan suatu cara sedemikian hingga struktur

tidak tumbuh di luar batas citra. Satu cara untuk melakukan ini adalah menggunakan

geodesi dilasi

;H(
), yang didefinisikan sebagai minimum dilasi sebarang ;(
) dan

sebuah kontrol citra

* yang memuat tengangan pembatas :

;H(
)=min(;(
), *)

Sebaliknya, erosi geodesi bisa didefinisikan dengan cara yang sama sebagi berikut :

@

H(
)=max(@(
), *)

3.5.

Gradien

Dapat dilihat bahwa operasi dilasi dan erosi dapat digunakan dalam kombinasi

dengan pengurangan citra untuk mendapatkan morphologi gradient citra, dinyatakan

dengan

*, didefinisikan dengan :

* = (
⊕ ) − (
Ɵ)

Dilasi akan menebalkan daerah dalam citra dan erosi menipiskannya. Perbedaan

keduanya mempertebal batas antar daerah. Menurut [3], Daerah homogen tidak

dipengaruhi (sepanjang strel relative kecil). Inner gradient

*

I

(
) melekat pada bagian

dalam objek, sedangkan outer gradient

*

J

(
) melekat pada bagian luar objek. Iner

gradient dan outer gradient didefinisikan sebagai :

*

I

_{(
) =
− @(
)}

*

J

_{(
) = ;(
) −}

Gambar 3.4 Citra asli (kiri), Citra hasil gradien (tengah) dan Citra hasil inner

gradient (kanan) dengan resolusi 256 x 256 menggunakan 3 x 3 strel bujur

sangkar.

Dari gambar 3.4 di atas dapat dilihat bahwa dengan gradient dapat dideteksi

daerah tepi sebuah citra.

3.6.

Transformasi Top-Hat dan Bottom-Hat

Mengombinasikan pengurangan citra dengan opening dan closing akan

menghasilkan transformasi top-hat dan bottom-hat. Transformasi top-hat citra grayscale

didefinisikan sebagai f dikurangi hasil opening :

KL>3(
) =
− F(
)

Sedangkan transformasi bottom-hat didefinisikan sebagai closing dikurangi dengan :

ML>3

= G(
) −

Satu aplikasi utama dari transformasi ini adalah menghilangkan objek dari citra

dengan menggunakan strel dalam operasi opening dan closing di mana objek tidak boleh

dilepas. Trasformasi top-hat digunakan untuk objek terang dengan latar belakang gelap,

sedangkan bottom-hat digunakan untuk objek gelap dengan latar belakang terang.

1. Matematika morphologi, yang berdaarkan pada set teori memberikan tool yang sangat

bermanfaat dalam pengolahan citra.

2. Walaupun matematika morphologi banyak digunakan untuk citra biner, namun

matematika morphologi bisa diadaptasi pada citra grayscale.

5. PUSTAKA

[1] Pierre Soille. Morphological Image Analysis: Principles and Applications. (Practical

approach);2003

[2] Serra,J dan Luc Vincent: An Overview of Morphological Filtering. (Mathematical

approach);1992

[3] Prasetyo:Pengolahan Citra Digital dan Aplikasinya menggunakan matlab:Andi

Yogyakarta;2011.