Pemanfaatan Teori Graf untuk Menguraikan Permasalahan
dalam Pemodelan Persoalan Penjadwalan Kereta Api
Muhammad Dhito Prihardhanto - 13507118
Prodi Teknik Informatika, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika (STEI)
Institut Teknologi Bandung, Jalan Ganeca 10 Bandung, email: muh_dhito@students.itb.ac.id
Abstract – Teori graf merupakan sebuah ilmu yang
terbukti dapat membantu menyelesaikan beberapa permasalahan dalam berbagai disiplin ilmu maupun permasalahan sosial dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu bidang yang banyak memanfaatkan teori graf adalah dunia perkeretaapian. Dalam perkereta-apian graf digunakan dalam merepresentasikan jaringan perkeretaapian yang menghubungkan berbagai kota di suatu negara, merepresentasikan persilangan jalur rel kereta api, dan sebagaimana yang akan diulas pada makalah ini, yaitu dimanfaatkan untuk membantu menyelesaikan permasalahan yang ada dalam penjadwalan kereta api demi mendapatkan sebuah jadwal kereta api yang optimum dan tepat. Namun, dalam makalah ini tidak akan mengulas hingga ke terbentuknya jadwal kereta api yang tepat, tetapi hanya ingin menunjukkan bagaimana graf dapat menyelesaikan permasalahan yang dihadapi dalam penyusunan jadwal kereta api saja.
Kata Kunci: teori graf,penyusunan jadwal, kereta api
1. PENDAHULUAN
Dewasa ini aplikasi graf telah banyak digunakan oleh manusia untuk merepresentasikan permasalahan yang ada agar lebih mudah dipecahkan. Ilmuwan kimia menggunakan graf dalam memodelkan molekul senyawa karbon, orang teknik elektro menggunakan graf dalam perancangan integrated circuit, serta masalah kemacetan lalu lintas dapat diselesaikan dengan memodelkan jalan raya dalam graf.
Ilmu terapan graf tersebut terus berkembang hingga saat ini. Kini graf juga dapat digunakan untuk optimisasi dalam masalah penjadwalan kereta api. Persoalan itulah yang ingin diulas dalam makalah ini. Para peneliti di Eropa, khususnya Jerman dan Italia, dan dengan disponsori oleh perusahaan kereta api di sana telah berusaha menemukan metode untuk menentukan jadwal perjalanan kereta api-kereta api dengan menggunakan teori graf dengan tetap mengindahkan permasalahan yang ada di lapangan seperti kapasitas jalur rel kereta api dan kendala yang lainnya.
Kereta api tersebut harus memenuhi syarat, yaitu memiliki jadwal perjalanan yang bersifat periodik, sebagai contoh, Kereta Api Turangga yang memiliki jadwal perjalanan Bandung-Surabaya setiap hari pukul 19.00. Selain itu, dalam permasalahan ini, atau yang
biasa disebut dengan the Train Timetabling Problem
(TTP), hanya berlaku untuk jaringan kereta api dengan
rel tunggal satu arah yang menghubungkan dua stasiun besar, dengan sejumlah stasiun kecil di antara keduanya. Di sinilah peran teori graf dalam menguraikan permasalahan tersebut.
2. PEMODELAN TTP
Dalam pemodelan TTP ini waktu tempuh kereta api, atau yang disebut waktu saja, bersifat diskrit dan diekspresikan sebagai bilangan bulat (integer) dari 1 sampai q, di mana q merepresentasikan lamanya waktu tempuh tiap periode dalam 1 hari itu. Selanjutnya, didefinisikan pula waktu sesaat dan
selang waktu.
Diberikan S = {1,…,s} yang merepresentasikan himpunan dari stasiun kereta api, yang memiliki nomor sesuai dengan urutan stasiun tersebut sepanjang jalur rel yang dilalui kereta api. Stasiun awal dilambangkan dengan nomor 1 dan stasiun akhir dilambangkan dengan s. Selanjutnya, diberikan T = {1,…,t} yang melambangkan himpunan kereta api yang akan melakukan perjalanan pada setiap periode dari horizon waktu yang diberikan. Untuk setiap
kereta api j ∈ T, diberikan stasiun awal fj dan stasiun
akhir sebagai lj (lj > fj). Diberikan lagi Sj = { fj,…, lj} ⊆ S merupakan himpunan stasiun yang dilalui secara
berurutan oleh kereta api j.
Sebuah jadwal kereta api, untuk setiap j ∈ T, terdiri
atas waktu keberangkatan dari fj, waktu kedatangan di
lj, serta waktu keberangkatan dan kedatangan untuk
stasiun fj + 1,…, lj + 1. Waktu tempuh dari kereta api
j pada jadwal tersebut didefinisikan sebagai lamanya
waktu yang dilalui sejak keberangkatan j dari fj dan
kedatangan j di lj.
Dari pemodelan tadi akan didapatkan jadwal yang
ideal untuk setiap kereta api, tetapi masih
memungkinkan untuk dimodifikasi karena
menyesuaikan permasalahan yang ada di lapangan, seperti terbatasnya kapasitas jalur rel. Dengan demikian, akan dimungkinkan pula, sebuah kereta api diperlambat perjalanannya atau menambah waktu berhenti kereta api di stasiun agar sesuai dengan jadwal ideal yang didapatkan tadi. Selain itu juga, akan dimungkinkan pula sebuah kereta api harus
diubah waktu keberangkatannya atau bahkan
akhir dari TTP ini akan dirujuk untuk dijadikan sebagai jadwal perjalanan kereta api yang sebenarnya yang akan diterapkan dalam kehidupan nyata.
Terkait dengan masalah kapasitas jalur rel kereta api yang hanya bisa dilalui satu kereta api saja, maka ada kemungkinan untuk terjadi susul-menyusul kereta api. Tapi tentu saja itu terjadi hanya ketika kereta api pertama sedang berhenti di stasiun saja. Akibatnya, dimungkinkan sebuah kereta api untuk berhenti di stasiun antara (walaupun dalam jadwal ideal kereta api tidak seharusnya berhenti di stasiun tersebut) supaya memberikan kesempatan bagi kereta api lain di belakangnya untuk menyusulnya. Dalam kehidupan nyata itu sangat sering terjadi. Seperti di Indonesia, kereta api kelas ekonomi harus berhenti di stasiun agar kereta api kelas eksekutif di belakangnya bisa
menyusul. Lagipula, untuk setiap stasiun i ∈ S,
terdapat batas bawah ai dan di pada selang waktu
antara dua kedatangan berturutan dan dua
keberangkatan berturutan.
Karena kecepatan kereta api diasumsikan konstan, maka selang waktu antara dua kereta api yang berjalan berturutan pada jalur rel yang menghubungkan stasiun
i dan i + 1 sedikitnya adalah nilai maksimum dari
{di,ai+1}. Hanya saja, yang perlu diperhatikan, terkait
dengan terbatasnya kapasitas rel kereta api ini, sedangkan jadwal ini akan berulang setiap periode, maka apabila kasus seperti itu selalu terjadi, mungkin saja salah satu kereta api harus dibatalkan penjadwalannya agar mendapatkan solusi yang mungkin.
Persyaratan kondisi lain yang harus dipenuhi dalam pemodelan TTP ini adalah kereta api j harus datang di stasiun tidak lebih lama dari waktu yang diberikan dan berangkat dari stasiun tidak lebih awal dari waktu yang diberikan. Dengan demikian, kondisi ini akan dapat membantu dalam menjamin ketepatan hubungan antar kereta api lain yang juga sedang berjalan. Dalam formulasi yang disusun, bertujuan untuk mencari keuntungan (profit) yang sebesar-besarnya dengan penjadwalan kereta api tersebut, yang akan dijelaskan selanjutnya. Keuntungan yang didapatkan dari tiap kereta api j bergantung kepada keuntungan
ideal (ideal profit) kereta api πj, pada shift vj,
didefinisikan sebagai nilai mutlak dari selisih waktu
antara waktu keberangkatan dari stasiun fi pada jadwal
ideal dengan jadwal sebenarnya, dan stretch µj,
didefinisikan sebagai nilai mutlak dari selisih waktu antara waktu perjalanan pada kenyataan dan jadwal ideal. Secara formal, keuntungan kereta api j dapat dituliskan
π
j-
φ
j(v
j) -
γ
jµ
j, (1)di mana φj (.) adalah fungsi dari shift kereta api vj
(dengan φj (0) = 0, nilai dari fungsi selalu naik
membesar), dan γj adalah parameter bukan negatif.
Jadi, apabila keuntungan kereta api j yang dihasilkan adalah negatif, maka akan lebih baik kereta api tersebut tidak dijadwalkan.
Dalam jurnal-jurnal yang membahas TTP memang mengangkat permasalahan yang berbeda-beda. Pada makalah ini batasan yang diambil adalah waktu bersifat diskrit dan jalur rel hanya satu arah. Untuk alasan ini, ada sebuah pembuktian eksplisit
NP-hardness untuk permasalahan yang diulas dalam
makalah ini. Pembuktian tersebut akan menunjukkan bahwa bagaimanapun algoritma aproksimasi waktu polinomial dengan kinerja terburuk tidak akan berguna dalam TTP kecuali jika P=NP. Itu dapat diturunkan dari NP-hard Max-Independent Set
Problem (MISP), yaitu diberikan graf tidak berarah H = (N,E), di mana N adalah himpunan simpul, dan E
adalah himpunan sisi, sebut himpunan bagian S ⊆ N
dengan kardinalitas maksimum sehingga (i,j) ∉ E
untuk semua i,j ∈ S.
Proposisi 1. Untuk sembarang MISP dapat diubah
secara polinomial ke bentuk TTP sehingga ada penyelesaian korespondensi satu-satu antara MISP dan TTP, dan penyelesaian korespondensi memiliki nilai yang sama.
Pembuktian. Diberikan H = (N,E) adalah graf MISP,
dengan E = {e1, e2,…,em}, di mana ei = (ji,ki) untuk I =
1,…,m. Kita definisikan TTP sebagai berikut. Setiap kereta api berkorespondensi dengan sebuah simpul di
N. Kita akan menentukan apakah setiap kereta api
akan dijadwalkan sesuai dengan jadwal idealnya, atau
dibatalkan. Untuk j ∈ T, akan kita berikan πj = 1,
φj(0) = 0, dan φj(x) = 1 untuk x ≠ 0, dan γj = 1. Perlu
diperhatikan, karena waktu dinyatakan sebagai bilangan bulat (integer), setiap jadwal yang tidak ideal akan mempunyai shift atau stretch kurang dari 1 menit, dan akibatnya keuntungan akan menjadi negatif. Jumlah stasiun adalah m + 1 dan kita berikan
fj = 1, lj = m+1 untuk setiap kereta j ∈ T. Selain itu, selang waktu minimum ai dan di antara kedatangan
dan keberangkatan dari setiap stasiun diubah menjadi 1.
Jadwal ideal akan didefinisikan sehingga jadwal ideal dari dua kereta api j dan k tidak kompatibel (yaitu dua kereta api tidak dapat memiliki jadwal yang sama) jika
dan hanya jika (j,k) ∈ E. Untuk setiap sisi ei ∈ E,
dalam jadwal ideal, kereta api ji dan ki berangkat pada
saat yang sama dari stasiun i dan tiba pada saat bersamaan di stasiun i+1. Tentu saja ini tidak mungkin terjadi dalam kehidupan nyata karena hanya terdapat satu jalur rel kereta api.
Untuk lebih tepatnya, ambil sisi pertama dari graf H adalah e1 = (j1,k1). Supaya jadwal kereta api j1 dan k1
tadi menjadi kompatibel, ubah waktu keberangkatan j1
dan k1 menjadi j1 dari stasiun 1, sedangkan untuk
setiap kereta j ≠ j1, waktu keberangkatan k1 dari
stasiun diubah menjadi j; Semua kereta api datang di stasiun 2 setelah keberangkatan mereka dari stasiun 1. Dengan cara yang serupa, dua kereta api yang tidak
kompatibel dengan sisi e2 = (j2,k2) dimodelkan dengan
mengubah waktu keberangkatan kereta api j2 dan k2
dari stasiun 2 menjadi t+1+j2, sedangkan untuk semua
stasiun 2 diubah menjadi t+1+j; Sebagaimana sebelumnya, semua kereta api tiba di stasiun 3 satu menit setelah keberangkatan mereka dari stasiun 2. Dengan langkah yang sama seperti di atas, akan diselesaikan permasalahan untuk stasiun 3,4,…m dan untuk pasangan kereta api (j3,k3), (j4,k4),…, (jm,km).
Lebih tepat lagi, untuk i = 1,…,m diberikan waktu
keberangkatan dari stasiun i sama dengan (i-1)(t+1)+ji
untuk kereta api ji dan ki dan sama dengan (i-1)(t+1)+j
untuk j ≠ ji, ki, dan kedatangan di stasiun i+1 selalu
satu menit setelah keberangkatan semua kereta dari stasiun i. Langkah-langkah di atas ini akan menghasilkan sebuah TTP sesuai dengan yang diharapkan.
Gambar 1: Transformasi dari MISP menjadi TTP, H =(N,E) dengan N = {1,2,3,4} dan E = {(1,2),(1,3),(,4),(2,3),(3,4)}. Jumlah stasiun adalah 6.
3. PEMODELAN GRAF
Selanjutnya, terdapat sebuah ilustrasi permasalahan matematik yang disebut keuntungan maksimum (maximum-profit) dari himpunan lintasan pada sebuah graf ganda (multigraph). Diberikan G = (V,A) adalah graf-ganda asiklik berarah yang didefinisikan sebagai berikut (lihat gambar 2 sebagai ilustrasi). Himpunan
simpul V memiliki bentuk {σ,τ } ∪ (U2∪ … ∪ Us) ∪
(W1∪ … ∪ Ws-1), di mana σ dan τ adalah simpul asal
buatan (artificial source node) dan simpul terminal buatan (artificial terminal node), sedangkan himpunan
Ui, i ∈ S \ {1}, dan Wi, I ∈ S \ {s}, merepresentasikan
himpunan waktu di mana kereta api dapat datang dan
berangkat dari stasiun i. Simpul-simpul dalam U2 ∪
… ∪ Us dan W1 ∪ … ∪ Ws-1 disebut simpul
kedatangan (arrival node) dan simpul keberangkatan
(departure node).
Diberikan θ(v) adalah waktu yang diasosiasikan
dengan simpul v ∈ V. Selain itu, juga diberikan ∆(u,v)
= θ(v) - θ(u) jika θ(v) ≥θ(u), dan ∆(u,v) = θ(v) - θ(u)
+ q jika θ(v) < θ(u). Karena horizon waktu bersifat
siklik, kita katakan bahwa simpul u mendahului
simpul v jika ∆(v,u) ≥∆(u,v) (yaitu jika selang waktu
siklik antara θ(v) dan θ(u) lebih kecil dari pada selang
waktu siklik antara θ(u) dan θ(v)).
Gambar 2: Contoh lintasan kereta api-kereta api dalam graf G (dengan s = 4, t = 3, f1 = 2, l1 = 4, f2 = 1, l2 = 4, f3 = 1, l3 = 3). Sementara itu, himpunan sisi A dipartisi menjadi
himpunan A1,…,At, setiap himpunan bagian tersebut
adalah untuk setiap kereta api j ∈ T. Untuk setiap
kereta api j ∈ T, Aj memiliki:
Sebuah himpunan sisi permulaan (starting
arc) berbentuk (σ,v), untuk setiap v ∈ W fj
berkorespondensi ke keberangkatan kereta api j dari stasiun fj.
Sebuah himpunan sisi stasiun (station arc)
berbentuk (u, v), untuk setiap u ∈ Ui dan v ∈
Wi sehingga i ∈ Sj \ { fj, lj}, dan ∆(u,v) adalah
setara dengan waktu pemberhentian
waktu pemberhentian di stasiun i dalam jadwal ideal).
Sebuah himpunan sisi bagian berbentuk (v,u),
untuk setiap v ∈ Wi dan u ∈ Ui+1 sehingga i
∈ Sj \ {lj}, dan ∆(v,u) adalah setara dengan
waktu perjalanan minimum kereta api j dari stasiun i ke stasiun i+1 (yaitu waktu perjalanan dalam jadwal ideal).
Sebuah himpunan sisi akhir berbentuk (u,τ),
untuk setiap u ∈ Ulj berkorespondensi ke
kedatangan kereta api j di stasiun lj.
Dari konstruksi tersebut, graf G adalah asiklik dan
setiap lintasan Pj dari σ menuju τ dalam graf G yang
hanya menggunakan sisi-sisi dalam Aj
berkorespondensi ke jadwal yang mungkin untuk kereta api j (lihat gambar 2). Dengan kata lain semua kemungkinan kendala yang akan dihadapai kereta api secara implicit telah termasuk dalam struktur graf G. Untuk setiap kereta api j kita asosiasikan dengan
keuntungan (profit) pa dengan setiap sisi a ∈ Aj,
didefinisikan sebagai berikut. Untuk setiap sisi
permulaan (starting arc) berbentuk (σ,v), v ∈ W fj,
diberikan ν(v) adalah shift yang diasosiasikan dengan
simpul v, yaitu,
ν(v) = |θ(v) – [waktu keberangkatan ideal kereta api j
dari stasiun fj]|
Keuntungan sisi (σ,v) adalah sama dengan p(σ,v) = πj -
φj(ν(v)). Sedangkan keuntungan setiap sisi stasiun
(u,v), u ∈ Ui, v ∈ Wi, i ∈ Sj \ { fj, lj}, adalah p(u,v) =
-γjµ(u,v), di mana µ(u,v) adalah stretch yang
diasosiasikan dengan sisi (u,v), yaitu,
µ(u,v) = ∆(u,v) – [waktu pemberhentian ideal kereta
api j di stasiun i].
Dengan analogi yang sama, keuntungan setiap sisi bagian (v,u), v ∈ Wi , u ∈ Ui+1, i ∈ Sj \ {lj},
didefinisikan sebagai p(v,u) = -γjµ(v,u), di mana µ(v,u)
adalah stretch yang diasosiakan dengan sisi (v,u), yaitu,
µ(v,u) = ∆(v,u) – [waktu perjalanan ideal kereta api j
dari stasiun I ke stasiun i+1].
Sedangkan keuntungan sisi akhir (u,τ), u ∈ Ulj, adalah
sama dengan nol.
Keuntungan keseluruhan dalam penjadwalan kereta api didapatkan dari penjumlahan keuntungan sisi-sisi pada lintasan graf G yang berkorespondensi kepada kereta api yang dijadwalkan.
Gambar 3: Pasangan sisi yang tidak kompatibel
Dari, gambar 2 di atas terdapat beberapa pasangan sisi, diasosiasikan dengan dua kereta api yang berbeda, yang tidak memenuhi kendala kapasitas jalur kereta api, sehingga tidak dapat dimasukkan ke dalam solusi keseluruhan. Adalah cukup untuk menyatakan bahwa untuksetiap pasangan sisi kereta api j, k dan untuk setiap stasiun i ∈ (Sj \ {lj}) ∩ (Sk \ {lk}), dua
sisi bagian (v1, u1) ∈ A j dan (v2, u2) ∈ A k , v1, v2∈ W i ,
u1, u2 ∈ Ui+1, tidak dapat diambil karena sedikitnya
memenuhi satu kondisi di bawah ini:
Selang waktu antara waktu sesaat yang
diasosiasikan dengan v1 dan v2 adalah lebih
kecil daripada di (yaitu ∆(v1,v2) < di), lihat
gambar 3(a).
Selang waktu antara waktu sesaat yang
diasosiasikan dengan u1 dan u2 adalah lebih
kecil daripada ai+1 (yaitu ∆(u1,u2) < ai+1), lihat
gambar 3(b).
Dua sisi saling bersilang satu sama lain, lihat
gambar 3(c).
Pasangan sisi seperti yang digambarkan pada gambar 3 itu disebut tidak kompatibel, sedangkan pasangan sisi lainnya yang tidak digambarkan dalam gambar 3 itu berarti kompatibel.
Selanjutnya, semua permasalahan di atas yang telah diuraikan, akan diselesaikan dengan berbagai model alternatif. Keterbatasan kapasitas jalur rel kereta api yang menjadi problem di atas dapat dimodelkan dengan menggunakan variabel yang diasosiasikan dengan simpul graf G ataupun sisi-sisi graf G. Pemodelan itu dikenal dengan Lagrangian relaxation. Selanjutnya kita akan mengenal apa yang disebut
dengan Lagrangian profit yang diasosiasikan dengan simpul graf G. Cara itu lebih baik daripada dengan menggunakan sisi-sisi graf G sebagai asosiasi dengan
Lagrangian profit. Lalu, di samping dengan metode
Lagrangian tadi, juga digunakan metode heuristik untuk menghitung solusi heuristik dengan meranking kereta api berdasarkan nilai Lagrangian profitnya. Kemudian, melakukan penjadwalan kereta api satu persatu. Akhirnya, diperolehlah jadwal kereta api yang ideal. Di Eropa sendiri, contoh negara yang telah menerapkan ini adalah Italia.
4. KESIMPULAN
Dari ulasan di atas, telah ditunjukkan bahwasannya teori graf ternyata sangat berguna dalam membantu menguraikan permasalahan yang ada di dunia
perkeretaapian, khususnya dalam masalah
penjadwalan kereta api untuk mendapatkan
penjadwalan yang tepat dan ideal. Permasalahan yang ada di dalam penjadwalan kereta api seperti terjadinya susul-menyusul kereta api, keterbatasan kapasitas rel
kereta api, dan banyaknya stasiun yang dilalui dapat
dimodelkan dengan graf, baik dengan cara
menentukan stasiun sebagai simpul, kereta api sebagai simpul, lintasan kereta api sebagai sisi, dan sebagainya. sehingga permasalahan dapat lebih mudah diselesaikan, meskipun terdapat berbagai asumsi yang berlaku dalam kasus TTP ini.
DAFTAR REFERENSI
[1] A. Caprara, M. Fischetti, P. Toth, “Modelling and
Solving the train Timetabling Problem”,
Operations Research 50(5), Bologna University,
Padova University, Italia, 2002.
[2] B. Erol, M. Klemenz, T. Schlechte, Soren Schultz, A. Tanner. “TTPlib 2008 – A Library for Train Timetabling Problems”, ZIB-Report 08-19, Germany, 2008.
[3] Rinaldi Munir, Matematika Diskrit, Penerbit
Informatika,2005.
[4] Wikipedia, Graph Theory <http://en.wikipedia.
org/wiki/Graph_theory>, diakses tanggal 4
