65
SIFAT-SIFAT SEMIRING DAN KONSTRUKSINYA
Ana Rahmawati
Universitas Pesantren Tinggi Darul „Ulum (Unipdu) Jombang Kompleks Ponpes Darul ‟Ulum Rejoso Peterongan – Jombang Jatim 61481
rahmawatiana@gmail.com ABSTRAK
Semiring didefinisikan sebagai himpunan tak kosong dengan dua operasi biner (penjumlahan dan perkalian). Di bawah operasi penjumlahan semiring merupakan monoid komutatif, dan di bawah operasi perkalian merupakan semigrup, serta berlakunya sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan (distributif kiri dan kanan). Seperti sruktur ring, dalam semiring juga dikenal beberapa substruktur dan sifat-sifat serupa yang meliputi ideal; pembagi nol; invers; elemen identitas dan homomorfisme. Semiring dapat dikonstruksi dari hasil kali langsung semiring dengan operasi per-komponen dan latis distributif. Selanjutnya semiring yang dibangun dari aljabar Boole hingga dengan kardinalitas lebih dari dua merupakan semiring ketat, komutatif dengan kesatuan dan mempunyai pembagi nol. Pada bagian akhir, juga akan disajikan bahwa himpunan polinom dapat membentuk semiring polinom dengan operasi pada polinom.
Kata Kunci: semiring, hasil kali langsung semiring, latis distributif, aljabar Boole, semiring polinom atas semiring.
PENDAHULUAN
Dalam karya ilmiah ini, penulis akan membahas sifat-sifat semiring dan konstruksinya. Dari semiring yang telah didefinisikan, juga akan dibahas beberapa substruktur dan sifat-sifat yang serupa seperti struktur ring yang meliputi: ideal, pembagi nol, invers, elemen identitas dan homomorfisme. Semiring dapat dikonstruksi dari hasil kali langsung semiring dengan operasi per-komponen dan latis distributif. Semiring yang dibangun dari aljabar Boole hingga dengan kardinalitas lebih dari dua merupakan semiring ketat, komutatif dengan kesatuan dan mempunyai pembagi nol. Pada bagian akhir, juga akan disajikan bahwa himpunan polinom dapat membentuk semiring polinom dengan operasi pada polinom.
Kajian Teori Definisi 2.1:
Himpunan dikatakan hingga (finite set) jika merupakan himpunan kosong atau mempunyai
n
anggota, dengann
bilangan bulat positif. Dan himpunan dikatakan takhingga (infinite set) jika tidak merupakan himpunan hingga.
Definisi 2.2:
Misalkan
C
dan D adalah dua himpunan tak kosong. Maka hasil kali himpunan (product set) dariC
ke D, yang dinotasikan denganC
D adalah himpunan yang memuat semua pasangan terurut (c,d) dimanac
C
dan dD, atau secara matematis dituliskan sebagai:C
D}. , : ) , {(c d cC dD
Konsep dari hasil
kali himpunan ini dapat diperluas untuk sebanyak hingga dari himpunan dengan cara yang natural. Hasil kali himpunan-himpunan
n
C
C
C
1,
2,...,
dinotasikan dengan nC
C
C
1
2
...
yaitu pasangan berurutan darin
tupel, di mana secara formal dituliskan sebagai berikut:n
C
C
C
1
2
...
{(
c
1,
c
2,...,
c
n)
:
c
i
C
i untuk setiap i dengan1
i
n
}.Definisi 2.3:
Misalkan
f
:
C
D
; fungsi dari himpunanC
ke himpunanD
.
66
1. f dikatakan satu-satu (injektif) jika dan hanya jika untuk setiap dua elemen berbeda di
C
, maka peta (bayangan) kedua elemen tersebut berbeda.2. f dikatakan pada (surjektif) jika dan hanya jika setiap elemen di D merupakan peta (bayangan) suatu elemen di
C
.
3. f dikatakan berkorespondensi satu-satu
(bijektif) jika dan hanya jika f satu-satu dan pada.
Definisi 2.4:
Himpunan tak kosong H dengan operasi biner
, disebut semigrup jika memenuhi: (i). abH,a,bH(ii). (ab)ca(bc),a,b,cG. Semigrup H dengan operasi
dinotasikan dengan (H,).Definisi 2.5:
Semigrup(H,) yang memenuhi sifat H
e
eaaea,aH
disebut monoid.
e
merupakan elemen identitas.Jika operasinya bersifat komutatif, maka disebut monoid komutatif.
Definisi 2.6:
Sebuah relasi R dari himpunan
C
ke himpunan D adalah subhimpunan tak kosong dariC
D
.
Definisi 2.7:
R disebut relasi urutan parsial pada himpunan tak kosong P jika memenuhi aksioma-aksioma di bawah ini:
Jika a,b,cP, maka: 1.
aRa
(sifat refleksif)2. Jika
aRb
danbRa
makaa
b
(sifat antisimetri)3. Jika
aRb
danbRc
makaaRc
(sifat transitif).Biasanya relasi pada himpunan terurut parsial (poset) dinotasikan dengan ”” atau ””. Hal ini berarti ab(a,b)R atau
R b a b
a ( , ) dan
a
dikatakan lebihkecil atau sama dengan
b
, ataub
dikatakan lebih besar atau sama dengana
.
) ,
(P atau (P,) disebut himpunan terurut parsial (poset).
Definisi 2.8:
Himpunan terurut adalah himpunan yang diberi relasi urutan parsial.
Definisi 2.9:
Misalkan
C
himpunan terurut dengan relasi dan D subhimpunan dariC
.
Kita katakan
d
elemen terbesar dari D, jikaD
d
danx
d
untuk setiapx
D
.
Definisi 2.10:
Misalkan
C
himpunan terurut dengan relasi dan D subhimpunan dariC
.
Kita katakan
d
elemen terkecil dari D, jikaD
d
dand
x
untuk setiapx
D
.
Definisi 2.11:
D subhimpunan dari
C
dikatakan terbatas di atas jika ada sebuah elemenc
C
sedemikian sehinggax
c
,
untuk setiapD
x
danc
disebut batas atas dariD
.
Jika himpunan semua batas atas D mempunyai elemen terkecil, maka elemen tersebut disebut batas atas terkecil (supremum) dari D dan dinotasikan dengan sup (D), di mana bisa terjadi bahwa sup(D) bukan merupakan elemen dariD
.
Jika sup(D)D maka merupakan elemen terbesar dariD
.
Definisi 2.12:
D subhimpunan dari
C
dikatakan terbatas di bawah jika ada sebuah elemenc
C
sedemikian sehinggac
x
,
untuk setiapD
x
danc
disebut batas bawah dariD
.
Jika himpunan dari semua batas bawah D mempunyai elemen terbesar, maka elemen tersebut disebut batas bawah terbesar (infimum) dari Ddan dinotasikan dengan inf (D), di mana bisa terjadi bahwa inf(D) bukan merupakan elemen dari
D
.
Jika inf(D)D maka merupakan elemen terkecil dari
D
.
67 Definisi 2.13:
Himpunan terurut parsial (P,) disebut himpunan terurut total atau rantai jika
a
b
ataub
a
,a,bP.Definisi 2.14:
Misalkan (P,) himpunan terurut, dan
P
x
. Misalkan x dinotasikan sebagai segmen bawah darix
, yaitu} |
{yP yx dan x dinotasikan sebagai segmen atas
x
, yaitu {yP|x y}. Tinggix
didefinisikan sebagai banyak titik pada segmen bawahx
; dengan kata lain, tinggi elemenx
adalah banyak titik pada rantai terpanjang yang berakhir dix
.
Definisi 2.15:
Poset (L,) disebut himpunan terurut latis jika sup(x,y) dan inf (x,y) ada, untuk setiap x,yL.
sup(x,y) artinya adalah sup{x,y} dan inf )
,
(x y adalah inf{x,y} untuk setiap .
,y L
x
Akibat 2.16:
1. Setiap himpunan terurut total adalah himpunan terurut latis.
2. Pada himpunan terurut latis (L,) pernyataan-pernyataan berikut ekivalen untuk semua
x
dan y di, L a.
x
y
b. sup(x,y) y c. inf(x,y)x. Definisi 2.17:Latis aljabar (L,,) adalah himpunan tak kosong L dengan dua operasi biner (gabungan) dan
(irisan) yang memenuhi syarat-syarat sebagai berikut untuk semuaL z y x, , , berlaku:
.
1L
xy yx, , x y y x .
2L
x(yz)(xy)z, , ) ( ) (y z x y z x .
3L
x(xy)x , ) (x y x x .
4L
x
x
x
,.
x
x
x
Teorema 2.18:Misalkan (L,) himpunan terurut latis. Jika )
, inf(x y y
x dan xysup( yx, ) maka (L,,) adalah latis aljabar.
Teorema 2.19:
Misalkan(L,,) latis aljabar. Definisikan
y
x
, jika xyx (atau xy y). Maka (L,) himpunan terurut latis.Definisi 2.20:
L disebut latis rantai jika relasi ”” urutan total pada L dan (L,) himpunan terurut latis.
Pada latis rantai L berlaku untuk setiap L
b
a, maka kita punya
a
b
atau.
a
b
Definisi 2.21:
Misalkan L dan M dua latis. Pemetaan
M
L
f
:
disebut homomorfisme urutan,x y f(x) f(y) untuk semua. ,y L
x
Definisi 2.22:
Misalkan L dan M dua latis. Pemetaan
M
L
f
:
disebut isomorfisme urutan jika: f homomorfisme urutan, f injektif dan f surjektif.Definisi 2.23:
Latis L dikatakan distributif jika untuk
semua x,y,zL berlaku ) ( ) ( ) (y z x y x z x atau ) ( ) ( ) (y z x y x z x . Definisi 2.24:
Latis L dengan elemen terkecil 0 dan elemen terbesar 1 disebut berkomplemen jika untuk setiap
x
L
ada paling sedikit satu elemen y sedemikian sehingga xy 0 dan xy1, y disebut komplemenx
.
68
Akibat 2.25:
Jika L latis distributif, maka untuk setiap
L
x
mempunyai paling banyak 1 komplemen yang dinotasikan denganx
'.
Definisi 2.26:
Aljabar Boole adalah latis terurut dengan elemen terbesar 1 dan elemen terkecil 0 yang bersifat distributif dan berkomplemen. Pembahasan
Definisi 3.1:
Himpunan tak kosong
S
dengan dua operasi biner “+” dan “
” (penjumlahan dan perkalian), disebut semiring jika memenuhi beberapa aksioma berikut:1. (S,) merupakan monoid komutatif.
2. (S,) merupakan semigrup. 3. Operasi perkalian distributif terhadap
operasi penjumlahan, yaitu: (
a
b
)c(ac)(bc) ) ( ) ( ) (b c a b a c a , . , ,b c S a Semiring
S
dengan operasi pertama “+”, dan operasi kedua “
” dilambangkan dengan ( , ,
S ). Definisi 3.2:
Semiring (S,,) merupakan semiring komutatif jika semigrup ( S, ) adalah semigrup komutatif. Jika semigrup ( S, ) tidak komutatif, maka (S,,) disebut semiring non komutatif.
Definisi 3.3:
Diberikan semiring (S,,). Jika semigrup )
,
( S merupakan monoid, maka semiring (
, ,
S ) merupakan semiring dengan elemen identitas.
Definisi 3.4:
Misalkan (S,,) adalah semiring. Jika ada
N
m
sedemikian hingga ms0, artinya (... s s
s sebanyak m)0,
s
S
, maka kita mengatakan bahwa semiring ( , ,
S ) berkarakteristik
m
.
Pada kasusS
berkarakteristik
m
, kita tulis karS
m
.
Jika tidak ada
m
yang demikian, maka semiring (S,,) berkarakteristik nol dan kita tulis karS
0
.
Definisi 3.5:Misalkan
S
1 danS
2 dua semiring. Semiring1
S
S
2={(
s
1,
s
2)
|
s
1
S
1;
s
2
S
2}
merupakan hasil kali langsung
S
1 danS
2 dengan operasi per-komponen.Demikian juga
}
,...,
3
,
2
,
1
;
/
)
,...
,
,
{(
...
1 3 2 1 3 2 1n
i
S
s
s
s
s
s
S
S
S
S
i n n
juga merupakan semiring dengan operasi yang serupa dengan
S
1
S
2.Definisi 3.6:
Misalkan (S,,) semiring. P
,P
S
.
P disebut subsemiring dari
S
jika P di bawah operasi yang sama dengan operasi diS
membentuk semiring. Definisi 3.7:Misalkan
S
semiring. I
,I S. I disebut ideal kanan (kiri) diS
jika :1. I merupakan subsemiring.
2. isI(siI); untuk semua
i
I
dan
s
S
.
Definisi 3.8:
Misalkan (S,,) semiring. I
,I S. I dikatakan ideal diS
jika I merupakan ideal kanan dan ideal kiri diS
.
Definisi 3.9:
Misalkan (S,,) adalah semiring. }
0 { S
x disebut pembagi nol di
S
jika ada yS,y0xy0.Definisi 3.10:
Misalkan (S,,) semiring non komutatif dengan elemen identitas I .
x
S
dikatakan mempunyai elemen identitas kanan (kiri) jika ada yS xyI(yxI).Definisi 3. 11:
Misalkan (S,,) adalah semiring.
x
S
disebut idempoten jika xx x2 x.69 Definisi 3.12:
Misalkan
S
dan S' dua semiring. Pemetaan'
:
S
S
disebut homomorfismesemiring jika
(ab)
(a)
(b) dan ), ( ) ( ) (a b
a
b
untuk semua . ,b S a Definisi 3.13:Misalkan (S,,) semiring.
S
disebut semiring ketat (strict), jikaa
b
0
mengakibatkan
a
0
danb
0
.
Definisi 3.14:
Misalkan (S,,) semiring dengan identitas
.
I
x
S
dikatakan invertible ataumempunyai invers jika ada
. I x y y x S y Teorema 3.15 :
Misalkan (L,,) latis distributif dengan elemen terkecil 0, maka (L,,) adalah semiring.
Bukti:
Diketahui : (L,,) adalah latis distributif. Akan ditunjukkan (L,,) merupakan semiring.
1. (L,)merupakan monoid komutatif. i. Dari definisi latis, jelas bahwa L
tertutup di bawah operasi (). ii. Operasi ()asosiatif di L. iii. Operasi ()komutatif di L. iv. 0 merupakan elemen identitas L di
bawah operasi ().
Dari (i) - (iv), maka (L,)merupakan komutatif monoid.
2. (L,)merupakan semigrup.
i. Dari definisi latis, jelas bahwa L tertutup di bawah operasi (). ii. Operasi () asosiatif di L. Dari (i) dan (ii) maka (L,)merupakan
semigrup.
3. (L,,) merupakan latis distributif (diketahui).
Berdasarkan (1)-(3),maka (L,,) merupakan semiring.
Akibat 3.16:
Hasil kali langsung dari latis-latis distributif dengan elemen terkecil nol adalah semiring. Bukti:
Berdasarkan Definisi 3.10 hasil kali langsung semiring adalah semiring. Karena latis distributif dengan elemen terkecil nol adalah semiring (Teorema 3.25), maka hasil kali langsung latis-latis distributif adalah semiring.
Akibat 3.17:
Semua latis rantai adalah semiring. Bukti:
Dari penjelasan sebelumnya setiap latis rantai, distributif. Berdasarkan Teorema 3.15, maka semua latis rantai merupakan semiring.
Akibat 3.18:
Setiap aljabar Boole merupakan semiring. Bukti:
Karena setiap aljabar Boole distributif, berdasarkan Teorema 3.25 maka setiap aljabar Boole merupakan semiring.
Teorema 3.19:
Semiring yang merupakan latis distributif berkarakteristik nol.
Bukti:
Ada elemen L, katakan
a
0
yang bersifat . , 0 n N a na Definisi 3.20:Misalkan L latis dengan elemen nol.
a
L
disebut atom jika untuk semua bL,.
0
b
a
b
a
Akibat 3.21:Misalkan B aljabar Boole hingga dan misalkan A himpunan semua atom
B
.
MakaB isomorfik dengan P( A), himpunan kuasa A. Dengan kata lain,
). , ), ( ( ) , , (B P A Bukti:
Karena B aljabar Boole hingga, tinggi setiap atom di aljabar Boole 2. Berarti jika
a
atom, makaa
bukan elemen terbawah. Dapat dibuktikan bahwa setiap elemen tak nol di B merupakan gabungan atom-atom di70
bawahnya. Dengan kata lain,
x
B
dan ,0
x maka x{aB/a x&a adalah atom}
Karena B himpunan hingga, maka gabungan himpunan hingga selalu ada.
Misalkan y {aB|a x dan
a
atom} Dan Misalkanz xy'Jelaslah bahwa
y
x
sebab y merupakan gabungan elemen-elemen x.Andaikan
z
0
. Maka tinggiz
sekurang-kurangnya 2. Tetapi, di bawahz
ada paling sedikit 1 elemen katakanb
, yang tingginya 2. Dengan kata lain, ada atomb
b
z
.
Karena bz, maka kita punya: byzy dan y y x y z ( ') ) ' (y y x
x
0
0
Karena itu, by0.Jika
n
menyatakan banyak atom x dana
i atom- atom berbeda x, in maka1 1 0
...
a
a
a
ny
danjuga)
...
(
0
b
y
b
a
0
a
i
a
n1
(
b
a
0)
(
b
a
1)
...
(
b
a
n1)
Jadi
b
a
i
0
dan akibatnyab
a
i
0
n i
, . Tetapi ini berarti bahwa atom
b
berbeda dari setiap atoma
i. Sebab, jika
b
a
i, makab
a
i
b
0
.
Karena zx dan
z
b
makab
x
dan kita dapat menyimpulkan bahwab
adalah salah satu atom diantara atoma
i. Ini kontradiksi, sehinggaz
0
. Karenaz
0
, maka) ' ( 1 x y y x x (xy)(xy') (xy)0
xy Jadix
y
.
Karena
x
y
dany
x
, maka x y.Definisikan fungsi f :B
P( A), dengan ua B a u
f( ):{ | dan
a
atom} untuk semuau
B
.
Misalkan
u
,vBdan uv.1. Jika
a
atom dan au, maka av sebab uv. Ini berarti f(u) f(v)Jadi, f adalah fungsi yang homomorfisme urutan.
2. Ambil sebarang u,vB dengan ) ( ) (u f v f . Maka ) | { ) (u a A a u f , dan } | { ) (v a A a v f
Berdasarkan hasil sebelumnya,
u
v
sebab kedua-duanya merupakan gabungan atom-atom di f(u) f(v).Jadi f injektif.
3. Ambil sebarang X P( A). Tetapkan xX.
Akan ditunjukkan bahwa f(x) X. Jelaslah X f(x), sebab setiap
a
X
dana
atom, pastilah x.Sebaliknya, ambil sebarang atoma
di bawahx
.
Akan ditunjukkana
X
.
Misalkan
X
{
x
1,
x
2,...,
x
n}
dan andaikanX
a
. Makax
a
x
dan0
x
ia
. Karenaa
a
x
, kita mempunyai relasia
=a
(
x
1
x
2
x
3
...
x
n)
)
(
...
)
(
)
(
)
(
a
x
1
a
x
2
a
x
3
a
x
n
0
.
Jadi
a
0
; suatu kontradiksi sebaba
atom diB
.
Jadi, setiap atom di bawah
x
pasti elemen di X ; berarti, f(x) XKarena X f(x) dan f(x) X , maka kita dapat menyimpulkan f(x) X. Jadi,
f surjektif.
71 Jadi terbukti bahwa B isomorfik dengan
) ( A
P , yaitu (B,,)(P(A),,). Teorema 3.22:
Aljabar Boole hingga dengan | B|2, atau hasil kali langsung sejumlah hingga aljabar Boole hingga merupakan semiring ketat, komutatif dengan kesatuan dan mempunyai pembagi nol.
Bukti:
Telah kita buktikan bahwa setiap aljabar Boole adalah semiring. Untuk membuktikan bagian pertama teorema ini, cukup ditunjukkan keketatan, kekomutatifan, dan adanya elemen identitas serta pembagi nol. Ambil sebarang a,bB dengan
a
b
0
. Karena setiap elemen tak nol di aljabar Boole merupakan gabungan atom-atom di bawahnya, relasi ini mengakibatkana
0
dan
b
0
. Jelas dari definisi operasi
pada B bahwa operasi komutatif. 1 merupakan elemen identitas di bawah operasi.
Karena |B| 2, B memiliki paling sedikit dua atom, katakana
danb
.
Pastilah.
0
b
a
Dengan kata lain, sekurang-kurangnya atom-atom inilah yang merupakan pembagi nolB
.
Hasil kali langsung sejumlah hingga semiring merupakan semiring. Telah kita buktikan setiap aljabar Boole merupakan semiring, berarti hasil kali langsung sejumlah hingga aljabar Boole juga merupakan semiring. Untuk membuktikan bagian kedua dari teorema ini, cukup ditunjukkan keketatannya, kekomutatifan, dan adanya elemen identitas serta pembagi nol. Ambil sebarang n nB
B
B
x
x
x
x
{
1,
2,...,
}
1
2
...
dany
{
y
1,
y
2,...,
y
n}
B
1
B
2
...
B
n. dengan xy0. Dari kesamaan dua n-tupel, kita mendapatkan:0
1 1
y
x
,x
2
y
2
0
,...,x
n
y
n
0
.
Karena aljabar Boole merupakan semiring ketat, maka
0
,
0
1 1
y
x
,x
2
0
,
y
2
0
, ...,0
,
0
n ny
x
, sehingga0
}
0
,...
0
,
0
{
1 2
nx
dan.
0
}
0
,...
0
,
0
{
1 2
ny
Jelas dari definisioperasi
pada Bbahwa operasi
komutatif.{
1
1,
1
2,
1
3,...,
1
n}
merupakan elemen identitas di bawah operasi .2
|
|
B
1
, makaB
1 memiliki paling sedikit dua atom, katakanx
1 dany
1.n
B
B
B
x
x
{
1,
0
,...,
0
}
1
2
...
dan nB
B
B
y
y
{
1,
0
,...,
0
}
1
2
...
.Jelaslah
x
0
dan y 0, tetapi}
0
0
,...,
0
0
,
{
1
1
y
x
y
x
} 0 ,..., 0 , 0 { .
0
Definisi 3.23:Misalkan (S,,) semiring komutatif dengan elemen identitas, dan misalkan
x
suatu simbol. MisalkanS
x
semua simbol berbentuk s0 s1x...snxn, dengann
bilangan bulat non negatif dengan koefisien-koefisiens
0,
s
1,...,
s
n diS
.
Dua polinomm mx a x a a x p( ) 0 1 ... dan n nx b x b b x q( ) 0 1 ... di
S
x
dikatakan sama, ditulis p(x)q(x) jikai
i
b
a
; untuk setiap i. Kita mendefinisikant t i c x c c x q x p( ) ( ) 0 ... , dengan i i i
a
b
c
; untuk setiapi. Dan kita mendefinisikan k kx d x d d x q x p( ) ( ) 0 1 ... dengan
i t t i t i ab d 0untuk setiap
0
i
k
dann
m
k
. Teorema 3.24:Himpunan polinom
S
x
dengan dua operasi biner ”+” dan ”” (penjumlahan dan perkalian) membentuk semiring polinom komutatif.72
Semiring polinom
S
x
dengan operasi pertama ”+” dan operasi kedua ”” dilambangkan (S[x],,).Bukti:
Jelaslah dari definisi operasi penjumlahan dan perkalian yang ditentukan
di atas
S
x
tertutup di bawah kedua operasi ini.1.
(
S
x
,
)
merupakan monoid komutatif. i. Ambil sebarang p(x),q(x),r(x)S[x] dengan p(x)a0 a1x...amxm, q(x)b0 b1x...bnxn, dan ( ) 0 1 ... . s sx c x c c x r Kita mempunyai ) ( )] ( ) ( [p x q x r x ) ( ] ) ( ... ) ( ) [(a0 b0 a1 b1 x at bt xt r x dengant maks(m,n)...
)
)
(
)
)
[(
0
0
0
1
1
1
a
b
c
a
b
c
x
] ) ) (au bu cu xu dengan umaks( st, ). Karena operasi penjumlahan asosiatif di
S
, maka ] )) ( ( ... )) ( ( )) ( [(a0 b0c0 a1 b1c1 x au bu cu xu
p(x)[q(x)r(x)] Jadi operasi penjumlahan diS
x
asosiatif. ii. Ambil sebarang p(x),q(x)S[x]dengan p(x)a0 a1x...amxm q(x)b0 b1x...bnxn p(x)q(x) ] ) ( ... ) ( ) [( 0 0 1 1 t t t b x a x b a b a ] ) ( ... ) ( ) [( 0 0 1 1 t t t c x b x c b a b ; t maks(m,n) q(x) p(x)
Jadi operasi penjumlahan di
S
x
komutatif . iii. PilihO
(
x
)
0
0
x
0
x
2
...
0
x
n ] [x S . Maka n n x a x a a ) (0 ) ... (0 ) 0 ( 0 1 n nx a x a a 0 1 ... ) (x p , untuk setiap p(x)S
x
.Dari (i) – (iii ), kita mempunyai
S
x
merupakan monoid komutatif.2.
S
x
merupakan semigrup. i. Ambil sebarang p(x),q(x),r(x)S[x] dengan p(x)a0 a1x...amxm, q(x)b0 b1x...bnxn, dan r(x)c0 c1x...csxs. Maka (p(x)q(x) t tx d x d d0 1 ... dengan
i k k i k i a b d 0 ,0
i
t
dan n m t ( )] ( ) ) ( [p x q x r x ) ... ( 0 1 t tx d x d d
) ... ( 0 1 s sx c x c c ) ... ( 0 1 u ux e x e e dengan,
0
j l l j l jd
c
e
u j 0 dan ust. Karena
i k k i k i a b d 0 , berarti
l w w l w l a b d 0 , sehingga j l j l w l w l w ja
b
c
e
0 0 w l w j l l w j lc
b
a
0 0 dengan0l j;0
w
l
73 j l j l w l w l w
a
c
b
0 0 dan 0 ju p(x)[q(x)r(x)] Dengan memeriksa bahwa setiap suku dalam ruas yang satu merupakan suku ruas yang lain, kita dapatkan operasi perkalian asosiatif.Jadi operasi perkalian asosiatif di
S
x
. iii. Ambil sebarang p(x),q(x)S[x]dengan p(x)a0 a1x...amxm, dan q(x)b0 b1x...bnxn. (p(x)q(x) d0 d1x...dtxt dengan
i k k i k i a b d 0
i k k k i b a 0 q(x)p(x)Jadi operasi perkalian di
S
x
komutatif. Dari i - iii, kita mempunyaiS
x
merupakan semigrup komutatif.3. Ambil sebarang p(x),q(x),r(x)S[x] dengan p(x)a0 a1x...amxm q(x)b0 b1x...bnxn r(x)c0 c1x...csxs (p(x)q(x))(p(x)r(x)) k i k i k b a
0 + k i k i k c a
0
k i k a [ 0 k i b ( cik)]. )] ( ) ( [ ) ( (p x q x r x (p(x)r(x))(q(x)r(x)) k i k i k c a
0 + k i k i k c b
0
k k i k
i k c b a
0
) ( )] ( ( ) ( [(p x q x r x Operasi perkalian distributifterhadap operasi penjumlahan di
S
x
. Dari (1) – ( 3), kita menyimpulkan
x
S
merupakan semiring komutatif. Teorema 3.25:Jika
S
semiring ketat tanpa pembagi nol, maka demikian pula semiring polinomS
x
. DAFTAR RUJUKANJuniati, Dwi. 2003. Topologi. Surabaya: UNESA University Press.
Kandasamy, W. B. Vasantha, 2002.
Smarandache Semirings,
Semifields,and Semivector Spaces. Journal American Research Press. http://www.gallup.unm.edu/~smaranda che/Vasantha-Book3.pdf
Kusrini, Sukahar. 2001, Struktur Aljabar 1, Usaha Jurusan Matematika: UNESA Surabaya.
Lidl, Rudolf dan Pilz, Gunter. Applied Abstrak Algebra Second Edition, Springer Verlag: Berlin. http://www.books.google.co.id/books? isbn=0387982906
Makkai, Michael. 2007, Orders and Lattices, Department of Mathematics: McGill University.
http://www.math.mcgill.ca/makkai/MATH31 82007/318073S1.pdf
Makkai. 2007, Boolean Algebras and Propositional Logic, Department of Mathematics: McGill University. http://www.math.mcgill.ca/makkai/MATH31
82007/318074S1.pdf
Soebagio A, Suharti dan Sukirman .1993. Materi Pokok Struktur Aljabar: Modul 1-12. Jakarta: Penerbit Universitas Terbuki