BANDUNG FE INSTITUTE
WORKING PAPER
WPT2003
Multifraktal
TELKOM, INDOSAT, HMSP
Multifraktal:
Telkom, Indosat, dan HMSP
Yun Hariadi dan Yohanes Surya Bandung Fe Institute
Abstrak. Paper ini menggunakan analisa R/S untuk mendapatkan eksponen Hurst beserta
dimensi fraktal dari data return saham Telkom, Indosat, dan HMSP. Selanjutnya eksponen Hurst digunakan untuk melihat apakah data return saham tersebut bersifat multifraktal, atau memiliki gerak Brown, atau gerak Brown sebagian. Hal yang diperoleh dari paper ini adalah, ketiga data saham memiliki memori pendek yang artinya tidak bertahan pada trend yang panjang dan bersifat multifraktal.
Kata kunci: analisa R/S, eksponen Hurst, multifraktal, gerak Brown, gerak Brown
sebagian.
1. Pendahuluan
Tahap awal meramal data yang terselang dalam urutan waktu dengan tingkat perubahan/volatilitas tinggi membutuhkan sebuah perangkat untuk menentukan apakah data tersebut memiliki hubungan terhadap data sebelumnya. Hubungan yang terjalin tersebut bisa diartikan, apakah perubahan data pada saat t dipengaruhi oleh perubahan data pada saat t-1, lebih umum, apakah perubahan data pada saat t dipengaruhi oleh perubahan data pada saat t-k. lebih dari itu, apakan hubungan yang terbentuk, katakanlah trend memiliki pengaruh terhadap trend di waktu yang akan datang dan jika memiliki hubungan bagaimana hubungan itu terbentuk?.
Beberapa perangkat statistik telah dikembangkan untuk mengukur tingkat pengaruh diantara data, salah satu perangkat yang telah berkembang cukup lama adalah model otokorelasi. Dalam perkembangan lebih lanjut model dasar ini dikembangkan dengan memperhatikan selang waktu. Data tidak lagi dianggap sebagai satu kelompok yang utuh, tetapi dikelompokkan menjadi beberapa bagian. Keuntungan dalam model ini adalah terhindar prasangka awal, bahwa seperangkat data dalam satu selang waktu memiliki karakteristik yang sama, misalnya nilai rata-rata. Dengan dipecahnya data menjadi beberapa kelompok data, memungkinkan untuk memperlakukan data secara lebih unik. Modifikasi data yang akan digunakan pada analisa ini, bukanlah pada data awal/data nilai saham, tetapi terhadap data return. Salah satu alasan penggunaan data return karena model analisa R/S menggunakan pendekatan model distribusi power law, sedangkan sifat distribusi return adalah bukan normal(not normal) tapi lebih pada model distribusi dengan ekor gemuk (Razdan, 2002).
Analisa R/S digunakan untuk menghasilkan eksponen Hurst, yang akan dikembangkan lebih lanjut untuk menyelidiki sifat multifraktal dalam data deret waktu. Telah banyak diyakini bahwa data return akan memiliki sifat multifraktal (Turiel, A.,2002). Sifat multifraktal ini penting untuk memperlihatkan pola selft-similarity dalam data deret waktu. Hal ini makin menegaskan bahwa perubahan nilai data dengan volatilitas tinggi tidaklah sepenuhnya acak.
Paper ini disusun sebagai berikut: bagian ke dua paper ini menjelaskan eksponen Hurst dan hubungannya dengan sifat multifraktal, pada bagian ke tiga paper ini dilakukan simulasi terhadap data saham Telkom, Indosat, dan HMSP, dan diakhiri dengan kesimpulan terhadap hasil simulasi.
2. Eksponen Hurst dan Multifraktal
Ide dasar dari pengembangan eksponen Hurst adalah model otokorelasi. Pada otokorelasi biasa menggunakan data sebagai satu kesatuan waktu terurut, sedangkan pada analisis R/S (sebutan untuk mendapatkan eksponen Hurst) data dipecah menjadi beberapa bagian, dan analisis R/S dilakukan terhadap masing-masing data yang terpecah.
Misalkan kita memiliki data terurut Y1, …,YN, data ini kemudian dipecah menjadi
beberapa bagian dengan panjang sama, dengan masing-masing bagian terdiri y1,…,yn dan
2 1 1 2 1 ) ( 1 ) ( ) , ( min ) , ( ) ( ) ( ) , ( ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −< > = − = > < − =
∑
∑
= = n i n i t i n i y y n n S n t X n t makX n R y y n t Xeksponen Hurst diperoleh melalui perbandingan antara nilai R dan S yang memenuhi
H n S R ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2
dengan H sebagai eksponen Hurst. Secara umum 0≤ H ≤1, nilai H memberi informasi apakah suatu data tertentu memiliki kecenderungan untuk bertahan pada suatu trend atau tidak. Untuk 0.5<H<1 maka data memiliki kecenderungan untuk bertahan pada suatu trend dalam jangka waktu yang lebih lama, artinya kenaikan trend pada saat ini memiliki peluang yang besar untuk diikuti kenaikan trend pada saat yang akan datang. Hal sebaliknya terjadi jika 0.5>H>0, pada kondisi demikian data memiliki kecenderungan untuk tidak bertahan pada suatu trend. Hal ini berarti, naiknya trend pada saat sekarang akan diikuti oleh menurunnya trend pada masa yang akan datang dan sebaliknya juga berlaku.
Perilaku data terhadap trend memberi informasi lain terhadap hubungan masing-masing dalam data tersebut, muncul tidaknya trend merupakan perilaku akhir yang menandai ada tidaknya hubungan saling mempengaruhi pada data waktu terurut.
Eksponen Hurst memilliki hubungan langsung dengan dimensi fraktal, hubungan tersebut dinyatakan dalam persamaan sederhana
Df = 2-H
Nilai Df=1.5 menyatakan bahwa data tersebut bersifat acak. Jika 1<Df<1.5 data memiliki
kecenderungan untuk bertahan pada trend dan bersifat sebaliknya jika 1.5<Df<2.
Salah satu sifat menarik dari perilaku data keuangan atau saham adalah ketidakacakkannya terhadap perubahan nilai, sekalipun memiliki volatilitas yang tinggi dan memiliki frekuensi dan volume transaksi yang tinggi pula. Meski tidak menunjukkan sifat acak murni namun prediksi terhadap sebuah nilai data tertentu amat lah sulit hal ini sedikit terbantu jika kita mampu mengamati pola yang muncul dari perilaku data tersebut. Gerak Brown menjadi kandidat yang menarik untuk menjadi dasar model perilaku data keuangan atau saham, karena sifat gerak brown itu sendiri yang mampu memadukan unsur stokastik dan unsur deterministik, selain mampu menampilkan sifat self-similarity/fraktal yang menjadi salah satu sifat khusus dari data keuangan atau saham. Berikut ini adalah salah satu metode yang dikembangkan untuk menyelidiki apakah data keuangan atau saham bisa dimodelkan dalam gerak Brown, lebih khusus lagi gerak Brown sebagian. Hal ini menyatakan bahwa tidak secara keseluruhan data waktu terurut dapat dimodelkan dalam gerak Brown, bahkan kalaupun mungkin, hanya sebagian dari data itu yang bisa dimodelkan dalam gerak brown.
Pertama dibangun model
) ( ) ( ) ( ~ ) ( ) ( ) ( ) ( q m q q q n n S t Y n t Y n S =< + − >
dengan q menyatakan derajat, untuk q=1 ditetapkan m(q)=H, dengan H eksponen Hurst. Fungsi yang terbentuk m(q) memberi informasi tentang sifat fraktal dalam data waktu terurut. Jika m(q) membentuk fungsi tak-linier maka data bersifat multifraktal. Jika m(q) membentuk fungsi linier maka ada sifat gerak Brown atau gerak Brown sebagian dalam data tersebut. Gerak Brown ditandai oleh fungsi m(q)=q/2 dan gerak Brown sebagian ditandai oleh m(q)=qH.
3. Hasil Simulasi
Berikut ini merupakan hasil simulasi terhadap data saham Telkom, Indosat, dan HMSP. Pada masing-masing data saham dicari eksponen Hurst-nya untuk menentukan apakah data tersebut memiliki kecenderungan untuk bertahan pada trend atau tidak, termasuk ditentukan dimensi fraktalnya.
Eksponen Hurst yang diperoleh pada simulasi sebelumnya digunakan untuk menyelidiki sifat masing-masing saham apakah memiliki sifat multifraktal atau gerak Brown atau juga gerak Brown sebagian.
Nama Saham Eksponen Hurst Dimensi Fraktal
Telkom 0.2853 1.7147 Indosat 0.2838 1.7162
HMSP 0.2373 1.7627 Ketiga saham memperlihatkan eksponen Hurst dibawah 0.5 hal ini menyatakan bahwa trend tidak bisa dijadikan dasar peramalan, atau perilaku saham hanya memiliki memori yang pendek artinya perubahan nilai saham tidak dipengaruhi oleh perubahan nilai saham yang terpisah dalam selang waktu lama. Dimensi fraktral lebih dari 1.5 mendukung pennyataan pertama, bahwa ketika saham tidak memiliki kecenderungan untuk bertahan pada trend tertentu. Kedua nilai mendekati sama yang ditunjukkan oleh saham Telkom dan Indosat menyatakan bahwa kedua saham tersebut memiliki perilkau yang hampir sama dibanding perilaku mereka dengan saham HMSP.
gambar 1
nilai dan return saham Telkom, Indosat, dan HMSP
pola yang ditunjukkan nilai saham terhadap waktu tidak menunjukkan adanya kemiripan, hal ini sungguh berbeda dengan yang ditunjukkan pada grafik return. Pola yang ditunjukkan Telkom dan Indosat menunjukkan adanya kemiripan, hal ini sesuai dengan yang didapat pada diagram pertama, yaitu eksponen Hurst yang hampir sama antara Telkom dan Indosat.
gambar 2
plot m(q) vs q pada ketiga return saham
Bentuk tak linier (meskipun hampir linier) yang ditunjukkan oleh fungsi m(q) menyatakan bahwa ketiga data saham menunjukkan perilaku multifraktal. Perilaku multifraktal ini menjamin munculnya self-similarity dalam data deret waktu. Meski hal ini masih menyisakan masalah yaitu mencari keberadaan self-similarity tersebut, namun hal ini telah berhasil memperlihatkan pola yang terjadi dalam nilai return ketiga saham.
4. Kesimpulan
Data return saham Telkom, Indosat, dan HMSP memperlihatkan perilaku pendek memori, tidak begitu terpengaruh oleh trend, hal ini ditunjukkan oleh eksponen Hurst dibawah 0,5 dan dimensi fraktal diatas 1,7. Lebih jauh perilaku Telkom dan Indosat lebih menunjukkan kemiripan dibanding dengan HMSP.
Sifat multifraktal yang muncul dalam ketiga data return saham yang ditandai dengan ketidaklinieran fungsi m(q) mempermudah dalam pemodelan berikutnya. Salah satu kandidat cukup kuat dalam pemodelan selanjutnya adalah memodifikasi dasar gerak Brown, hal ini karena gerak Brown mampu menunjukkan self-similarity yang cukup bagus.
5. Daftar Pustaka
1. Bouchaud, J.P., et al. Apparent Multifractality in Financial Time series. The European Physical Journal B, EDP Science Springer-Verlag 2000.
2. Cizeau, F. et al. Volatility distribution in the S&P500 stock Index. Cond-mat/9708143 19 Aug 1997.
3. Hsieh, D.A. Nonlinear Dynamics in Financial Markets: Evidence and
Implications. Institute for Quantitative Research in Finance.(1994)
4. Mandelbrot, B. et al. A Multifractal Model of Asset Return. Cowles Foundation Discussion Paper. (1996)
5. Mantegna, R.N. and Stanley, H.E. Modeling of Financial Data: Comparison of
Truncated Levy Flight and the ARCH(1) and GARCH(1,1) processes. arXiv.cond
mat/9804126v1 11 April 1998.
6. Matia, K., Ashkenazy, Y., and Stanley, H.E. Multifractal properties of price
fluctuations of stocks and commodities. Europhys. Lett., 61 (3), pp. 422-428
(2003)
7. Razdan Ashok. Scaling in the Bombay Stock exchange Index. Pramana Journal of
Physics. Indian Academy of Science.(2002).
8. Schmitt, F. et al. Multifractal Fluctuatioons in Finance. Int. J. Theror. Appl. Fin,. Vol 3/3 (2000).
9. Turiel, A. et al. Multifractal geometry in Stock Market time series. Elseiver Science.(2002).
PETUNJUK PENGGUNAAN DOKUMEN BFI
1. Tentang Dokumen
Dokumen ini adalah hasil riset sebagai sikap umum dari Bandung Fe Institute (BFI). Dokumen ini telah melalui proses seleksi dan penjurian yang dilakukan oleh Board of
Science BFI bersama dengan penulisnya dan beberapa narasumber terkait.
Tanggung jawab terhadap kesalahan yang mungkin terdapat dalam isi dari masing-masing makalah berada di tangan penulisnya.
2. Tentang Ketersediaan & Penggunaan Dokumen
• Dokumen ini disediakan secara gratis dalam bentuk kopi elektronis yang dapat diakses melalui alamat web: http://www.bandungfe.scripterz. Siapapun yang berkeinginan untuk melihat dan memiliki kopi elektronis dari dokumen ini dapat memperolehnya secara gratis dengan men-download dari alamat tersebut.
• Dokumen yang di-download dapat diperbanyak, didistribusikan, ataupun dikutip untuk penggunaan non-komersil, pengayaan riset ilmiah, dan keperluan pendidikan tanpa perlu meminta izin tertulis dari BFI. Khusus untuk pengutipan, dapat dilakukan tanpa izin tertulis dari BFI namun harus menyebutkan dengan baik sumber kutipan, meliputi nama penulis, nomor seri dokumen, penerbit BFI Press, dan tahun penerbitan sesuai dengan standar penulisan bibliografi di mana kutipan dilakukan.
• Hard-Copy dari dokumen ini dapat diperoleh dengan permintaan tertulis kepada Kantor Administrasi BFI pada alamat di bawah. Hard-Copy dapat diperoleh dengan membayar uang pengganti cetak dokumen. Hard-Copy dapat diperbanyak, didistribusikan, ataupun dikutip untuk penggunaan non-komersil, pengayaan riset ilmiah, dan keperluan pendidikan tanpa perlu meminta izin tertulis dari BFI. Khusus untuk pengutipan, dapat dilakukan tanpa izin tertulis dari BFI namun harus menyebutkan dengan baik sumber kutipan, meliputi nama penulis, nomor seri dokumen, penerbit BFI Press, dan tahun penerbitan sesuai dengan standar penulisan bibliografi di mana kutipan dilakukan.
Pelanggaran terhadap ketentuan-ketentuan tersebut di atas adalah pelanggaran hukum dan mendapat ancaman hukuman/sanksi sesuai peraturan perundangan yang berlaku di Indonesia Hal-hal di luar petunjuk yang diatur di sini harus dikonsultasikan terlebih dahulu ke Kantor Administrasi BFI dengan alamat: BANDUNG FE INSTITUTE
Jl. Cemara 63 Bandung 40161 JAWA BARAT – INDONESIA
URL: http://www.bandungfe.scripterz.org Mail: [email protected]
Ph. +62 22 2038628
