BAB 2
LANDASAN TEORI
Bab ini membahas teori penunjang yang berhubungan dengan penerapan metode average-based fuzzy time series pada sistem peramalan jumlah penjualan distributor telur.
2.1 Peramalan
Peramalan (forecasting) merupakan kegiatan memprediksi nilai-nilai sebuah variabel berdasarkan nilai yang diketahui dari variabel tersebut atau variabel yang berhubungan. (Ai, 1999).
Menurut sifatnya, teknik peramalan terbagi menjadi dua jenis yaitu teknik kualitatif dan teknik kuantitatif. Teknik kualitatif merupakan teknik peramalan berdasarkan pendapat suatu pihak, dan data pada teknik kualitatif tidak dapat direpresentasikan secara tegas ke dalam suatu angka atau nilai. Teknik peramalan tersebut misalnya adalah judgment forecast. Sebaliknya, teknik peramalan kuantitatif merupakan teknik peramalan berdasarkan data masa lalu atau disebut data historis dan dapat dibuat dalam bentuk angka (Jumingan, 2009).
Teknik kuantitatif dikelompokkan dalam dua jenis (Ai, 1999) :
1. Model Time Series (Runtun Waktu)
2. Model Regresi (Kausal)
Model ini merupakan suatu model yang mengasumsikan faktor yang diramalkan menunjukkan suatu hubungan sebab akibat dalam satu atau lebih variabel bebas dan menggunakannya untuk meramalkan nilai mendatang dari suatu variabel tak bebas. Keuntungan dalam menggunakan model ini adalah dapat menghasilkan tingkat keberhasilan yang lebih besar dalam pengambilan keputusan yang bijaksana.
Dalam ekonometrika, data dapat dikelompokkan ke dalam tiga jenis menurut waktu pengumpulannya, yaitu data time series (runtun waktu), data cross section (silang), dan data pooled (panel). Data tersebut tentunya sangat diperlukan dalam penelitian, maupun pengambilan keputusan. Pengumpulan data biasanya memerlukan waktu yang lama karena dapat melibatkan banyak aktivitas seperti mendatangi responden, menginput data, menyunting data, maupun menampilkannya dengan suatu alat analisis tertentu. Berikut akan dibahas beberapa jenis data berdasarkan waktu pengumpulannya (Winarno, 2007).
a. Data Time Series (Runtun Waktu)
Data Time series adalah data yang menggambarkan suatu objek dari waktu ke
waktu atau periode secara historis dan terjadi berurutan. Sebagai contoh adalah data harga saham, data ekspor, data nilai tukar (kurs), data produksi, dan lain
dunia tiap periode agar tampak apakah produksi kopi pada tahun selanjutnya bertambah atau berkurang. Seperti dapat dilihat pada Tabel 2.1.
Tabel 2.1 Produksi dan Selisih Produksi Kopi Dunia Tahun 2000-2005
Tahun Produksi Kopi (Ton) Selisih
2000 7.562.713 -
Data cross section (silang) terdiri dari beberapa objek data pada waktu tertentu. Misalnya pada suatu restoran terdiri dari data penjualan, data pembelian bahan baku, data jumlah karyawan, dan data relevan lainnya. Seperti dapat dilihat pada Tabel 2.2.
Tabel 2.2 Perbandingan antara Penjualan, Pembelian Bahan Baku, dan Jumlah Karyawan
Tabel 2.3 Data Pooled (Panel) Ekspor Impor Kopi Indonesia dan Malaysia Tahun 2005-2007
Nama Negara Periode Ekspor Impor
Indonesia 2005 443.366 1.654
Indonesia 2006 411.721 5.092
Indonesia 2007 320.600 47.937
Malaysia 2005 666 23.826
Malaysia 2006 1.490 35.368
Malaysia 2007 984 42.165
Adapun pola data pada data time series (runtun waktu) dikelompokkan menjadi empat jenis yaitu (Makridakis et al. 1992) :
1. Pola Horizontal (H) yaitu pola data yang terjadi jika data berfluktuasi di sekitar nilai rata-rata yang konstan. Suatu produk yang penjualannya tidak meningkat atau menurun selama waktu tertentu termasuk ke dalam jenis pola ini. Contoh pola data seperti ini dapat dilihat pada Gambar 2.1.
Pada Gambar 2.1 dapat dilihat bahwa jumlah penjualan beras pada bulan pertama sampai dengan bulan ke-12 Tahun 2011 pada suatu unit usaha pengecer beras berfluktuasi pada nilai rata-rata yang sama yaitu lima karung. Pola data yang sama biasanya juga dapat dijumpai pada jenis barang yang bersifat kebutuhan pokok lainnya seperti minyak goreng, telur,gula dan lain sebagainya.
2. Pola Musiman (S) yaitu pola data yang terjadi jika deret data dipengaruhi faktor musiman (misalnya kuartal tahun tertentu, bulanan, atau hari-hari pada minggu tertentu). Penjualan produk misalnya seperti es krim, seragam sekolah, atau pemanas ruangan masuk ke dalam pola data ini. Contoh pola data seperti ini dapat dilihat pada Gambar 2.2.
Gambar 2.2 Data Penjualan Seragam Sekolah per Bulan Tahun 2011 dengan Pola Musiman (S)
Pada Gambar 2.2 dapat dilihat bahwa jumlah penjualan seragam sekolah pada bulan pertama sampai dengan bulan ke-12 Tahun 2011 pada suatu toko penyedia seragam sekolah dipengaruhi oleh faktor musiman. Pada bulan pertama dan ketujuh dari setiap tahun adalah waktu dimulainya semester baru di sekolah sehingga kebutuhan dan permintaan seragam sekolah lebih meningkat dari bulan-bulan lainnya.
Gambar 2.3 Data Penjualan Mobil per Bulan Tahun 2000-2008 pada PT. Jaya Mandiri dengan Pola Siklis (C)
Pada Gambar 2.3 dapat dilihat bahwa jumlah penjualan mobil pada PT. Jaya Mandiri dipengaruhi faktor ekonomi Indonesia tiap tahunnya. Tahun 2002 dan 2008 merupakan tahun dimana perekonomian masyarakat Indonesia lebih baik dari tahun-tahun lainnya, sehingga penjualan mobil yang merupakan kebutuhan tersier juga ikut meningkat.
Gambar 2.4 Data Produk Domestik Bruto per Kapita dengan Pola Trend (T)
Produk domestik bruto (Gross Domestic Product) merupakan jumlah produk berupa barang dan jasa yang dihasilkan oleh unit-unit produksi di dalam batas wilayah suatu negara (domestik) selama satu tahun. Pada Gambar 2.4 dapat dilihat bahwa jumlah penjualan produk domestik bruto Indonesia mengalami kenaikan jangka panjang pada Tahun 2000-2011.
2.2 Himpunan Fuzzy
Menurut Kusumadewi dan Purnomo (2004), himpunan fuzzy merupakan generalisasi dari himpunan klasik (crisp) yang memiliki elemen-elemen dengan derajat
keanggotaan yang dibatasi dengan interval [0, 1].
Anggap Х merupakan suatu himpunan semesta yang memiliki elemen-elemen, dengan setiap elemen dinyatakan dengan x, sehingga Х = x. Himpunan fuzzy A dalam Х dinyatakan dengan fungsi keanggotaan µA(x) yang menghubungkan setiap elemen
pada interval [0, 1], dengan nilai µA(x) pada x menyatakan derajat keanggotaan dari x
dalam A. Nilai derajat keanggotaan terbesar dari x dalam A adalah nilai µA(x) yang
paling mendekati nilai 1 (Hernasary, 2007). Himpunan fuzzy dinyatakan sebagai berikut :
2.2.1 Fungsi Keanggotaan
Fungsi Keanggotaan (Membership Function) dalam himpunan fuzzy adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan elemen-elemen input data ke dalam nilai keanggotaannya (sering juga disebut derajat keanggotaan) yang memiliki interval 0 sampai 1 (Kusumadewi et al. 2004). Beberapa jenis fungsi yang biasa digunakan untuk mendapatkan nilai keanggotaan yaitu (Kusumadewi et al. 2004) :
1. Representasi Linier
Pada representasi linier, pemetaan input ke derajat keanggotaannya digambarkan sebagai suatu garis lurus. Ada dua jenis himpunan fuzzy yang linier, yaitu linier naik dan linier turun. Linier naik dimulai dari domain yang memilki derajat keanggotaan nol (0) lalu bergerak ke kanan menuju ke nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan yang lebih tinggi.
Gambar 2.5 Grafik Fungsi Keanggotaan pada Representasi Linier Naik
Fungsi keanggotaan untuk representasi linier naik :
Linier turun merupakan kebalikan dari linier naik. Linier turun dimulai dari domain yang memilki derajat keanggotaan paling tinggi lalu bergerak ke kanan menuju ke nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan yang lebih rendah.
Gambar 2.6 Grafik Fungsi Keanggotaan pada Representasi Linier Turun
Fungsi keanggotaan untuk representasi linier turun :
µ[x] =
(2.3)
2. Representasi Kurva Segitiga
Kurva segitiga pada dasarnya merupakan gabungan antara dua garis (linier).
Fungsi keanggotaan untuk representasi kurva segitiga :
µ[x] =
(2.4)
3. Representasi Kurva Trapesium
Kurva trapesium pada dasarnya seperti bentuk segitiga, hanya saja ada beberapa titik yang memiliki nilai keanggotaan 1.
Gambar 2.8 Grafik fungsi keanggotaan pada representasi kurva trapesium
Fungsi keanggotaan untuk representasi kurva trapesium :
µ[x] =
(2.5)
4. Representasi Kurva Bentuk Bahu
Gambar 2.9 Grafik Fungsi Keanggotaan pada Representasi Kurva Bentuk Bahu
Fungsi keanggotaan untuk representasi kurva bentuk bahu pada pembagian suhu temperatur :
Dingin :
µ[x] =
(2.6)
Sejuk :
µ[x] =
(2.7)
Normal :
Hangat :
µ[x] =
(2.9)
Panas :
µ[x] =
(2.10)
2.2.2. Notasi Fuzzy
Ketika himpunan semesta Х berbentuk diskrit, notasi yang digunakan untuk himpunan fuzzy A adalah (Hernasary, 2007):
= (2.11)
atau
(2.12)
Ketika himpunan semesta Х berbentuk kontinu, notasi yang digunakan untuk himpunan fuzzy A adalah :
(2.13)
2.2.3 Operasi Himpunan Fuzzy
Jika dinyatakan terdapat dua himpunan fuzzy di dalam himpunan semesta yaitu A1 dan
himpunan operasi gabungan, irisan, dan complement dinyatakan untuk A1dan A2 pada
himpunan semesta yaitu :
Gabungan :
µ
A1∪A2(x) = µ
A1(x)
∨
µ
A2(x)
(2.14)Irisan :
µ
A1∩A2(x)= µ
A1(x)
∧
µ
A2(x)
(2.15)Complement :
µ A
= 1- µ A
(2.16)2.2.4 Nilai Linguistik
Nilai Linguistik adalah nilai dalam bentuk kata atau kalimat, nilai linguistik dari suatu variabel biasanya dibuat berdasarkan nilai numerik variabel tersebut. Sebagai contoh :
“Young” adalah nilai linguistik dari variabel “Umur” yang dibuat berdasarkan nilai numerik variabel tersebut yaitu “5 Tahun” (Hernasary, 2007).
2.3 Peramalan dengan Metode Fuzzy Time Series
Fuzzy time series adalah metode peramalan data yang menggunakan prinsip-prinsip fuzzy sebagai dasarnya. Sistem peramalan dengan fuzzy time series menangkap pola
data pada masa lalu kemudian digunakan untuk memproyeksikan data pada masa yang akan datang (Anwary, 2011).
Jika diasumsikan Y(t); (t = 1,2…,n), adalah himpunan bagian dari U yang menjadi himpunan semesta dimana himpunan fuzzy fi(t); (i=1,2,…,n), telah
didefinisikan sebelumnya dan jadikan F(t) menjadi kumpulan fi(t); (i=1,2,…,n). Maka,
F(t) dinyatakan fuzzy time series terhadap Y(t); (t = 1,2…,n).
Dari defenisi tersebut, dapat dilihat bahwa F(t) bisa dianggap sebagai variabel yang mempunyai nilai linguistik dan fi(t); (i=1,2,…,n) bisa dianggap sebagai
kemungkinan nilai linguistik dari F(t), dimana fi(t); (i=1,2,…,n) direpresentasikan oleh
misalnya, nilai-nilai dari F(t) dapat berbeda bergantung bahwa kenyataan pada himpunan semesta, bisa berbeda pada waktu yang berbeda. Dan jika F(t) hanya disebabkan oleh F(t-1) maka hubungan ini digambarkan dengan F(t-1)→F(t). (Chen, 1996).
2.4 Penelitian Terdahulu
Model Peramalan time series secara statistik yang telah ada selama ini belum dapat secara efektif diterapkan untuk data historis dalam jumlah yang sedikit, maka metode fuzzy time series dikembangkan. Song dan Chissom (1993) mengusulkan model time
invariant untuk fuzzy time series. Mereka melakukan proses fuzzifikasi dalam hal pendaftaran di Universitas Alabama pada tahun 1993. Mereka jadi orang pertama yang melakukan peramalan dengan fuzzy time series.
Adapun langkah-langkah metode fuzzy time series dengan model time invariant yang dirumuskan oleh Song dan Chissom adalah (Huarng, 2000) :
1. Mendefenisikan himpunan semesta yang diasumsikan sebagai U dari variasi data historis yang ada.
2. Membagi himpunan semesta U menjadi sejumlah subhimpunan dengan panjang interval yang sama dengan jumlah subhimpuan yang ditentukan secara acak.
3. Mendefinisikan himpunan fuzzy Ai.
4. Fuzzifikasi data historis yang ada.
5. Menyatakan Fuzzy Logical Relationship (FLR).
6. Menjadikan relasi fuzzy orde pertama menjadi satu Fuzzy Logical Relationship Group (FLRG) dan menghitung relasi Ri untuk setiap fuzzy ke-i.
7. Meramalkan output peramalannya dan melakukan defuzzifikasi. 8. Menghitung peramalan.
1. Mendefenisikan himpunan semesta yang diasumsikan sebagai U dari variasi data historis yang ada.
2. Membagi himpunan semesta U menjadi sejumlah subhimpunan dengan panjang interval yang sama dengan jumlah subhimpuan yang ditentukan secara acak.
3. Mendefinisikan himpunan fuzzy Ai.
4. Fuzzifikasi data historis yang ada.
5. Menyatakan Fuzzy Logical Relationship (FLR). 6. Peramalan.
Selanjutnya Huarng (2000) melakukan penelitian lanjutan tentang apa yang telah diteliti Song dan Chissom pada data pendaftaran di Universitas Alabama. Dari penelitiannya, Huarng berhasil merumuskan model peramalan fuzzy time series baru yaitu model Heuristic.
Adapun langkah-langkah metode fuzzy time series yang dirumuskan oleh Huarng
adalah :
1. Mendefenisikan himpunan semesta yang diasumsikan sebagai U dari variasi data historis seperti yang dirumuskan oleh Song dan Chissom.
2. Membagi himpunan semesta U menjadi sejumlah subhimpunan dengan panjang interval yang sama dengan jumlah subhimpuan yang ditentukan secara acak.
3. Mendefinisikan himpunan fuzzy dengan persamaan
Dimana 0 atau 1 adalah derajat keanggotaan himpunan ui pada himpunan fuzzy
Ai,dan apabila derajat keanggotaan maksimum suatu data berada dalam
himpunan fuzzy Ai, maka nilai linguistik atau hasil fuzzifikasi data tersebut
adalah Ai (Haris, 2010).
4. Fuzzifikasi data historis yang ada.
5. Menetapkan Heuristic Fuzzy Logical Relationship Group. 6. Peramalan.
Adapun penelitian sebelumnya dirangkum pada Tabel 2.4 (Stevenson et al. 2009)
Tabel 2.4 Penelitian Fuzzy Time Series Terdahulu pada Peramalan Pendaftaran Universitas Alabama
No. Peneliti Model Fuzzy Time Series yang digunakan
Tingkat Error AFER
1. Song dan Chissom Time Invariant 4.3 %
2. Chen Arithmetic Operation 3.11%
3. Huarng Heuristic 1.5%
Adapun perbedaan metode fuzzy time series yang telah diteliti sebelumnya dengan metode average-based fuzzy time series yang akan diimplementasikan pada penelitian ini, terletak pada proses penentuan jumlah himpunan fuzzy yang akan digunakan. Pada penelitian ini jumlah himpunan fuzzy yang digunakan akan ditentukan menurut interval berbasis nilai rata-rata. Dan untuk peramalan, model yang diterapkan pada metode average-based fuzzy time series menerapkan model yang hampir sama dengan model yang diterapkan Chen pada Arithmetic Operation.
2.4 Peramalan dengan Metode Average-Based Fuzzy Time Series
fuzzy yang efektif belum ada, sehingga jumlah himpunan fuzzy ditentukan secara acak
(Hernasary, 2007). Xihao dan Yimin (2007) melakukan penelitian untuk menentukan jumlah himpunan fuzzy yang efektif , yaitu dengan penentuan interval berbasis nilai rata-rata. Proses penentuan interval inilah yang diterapkan dalam metode average-based fuzzy time series dan menjadi keunggulannya dibanding metode fuzzy time
series sebelumnya.
Adapun proses dalam metode average-based fuzzy time series dapat dilihat pada Gambar 2.10
Gambar 2.10 Proses dalam Metode Average-Based Fuzzy Time Series
2.4.1 Interval Berbasis Nilai Rata- rata ( Average-Based Lengths)
Interval berbasis nilai rata-rata berpengaruh dalam penentuan jumlah himpunan fuzzy yang akan digunakan dalam proses peramalan dengan metode average-based fuzzy
Menentukan himpunan semesta dari data historis lalu membaginya menjadi beberapa subhimpunan sesuai interval berbasis nilai rata-rata.
.Mendefinisikan himpunan fuzzydengan persamaan (2.17)
Menentukan derajat keanggotaan tiap data dan merubah data ke dalam nilai linguistik
fuzzy
Menentukan Fuzzy Logical Relationship (FLR)
Menentukan Fuzzy Logical Relationship Group (FLRG)
time series, Adapun langkah-langkah untuk menentukan interval berbasis nilai
rata-rata adalah (Xihao et al. 2007):
1. Kalkulasikan seluruh selisih absolute antara Dt+1 dan Dt (t=1,.., n). Dimana D
adalah data aktual dan t adalah periode. Lalu hitung nilai rata-ratanya. 2. Ambil setengah dari nilai rata-rata selisih absolute (langkah 1).
3. Sesuai nilai yang diperoleh (langkah 2) tetapkan basis nilai tesebut menurut Tabel 2.5.
Tabel 2.5 Pemetaan Basis Peramalan (Xihao et al. 2007).
Range Basis
0.1-1.0 0.1
1.1-10 1
11-100 10
101-1000 100
4. Bulatkan nilai yang diperoleh (langkah 2) sesuai dengan tabel pemetaan basis yang ada pada Tabel 2.5 untuk mendapatkan interval berbasis nilai rata-rata.
Sebagai contoh misalkan terdapat data time series penjualan telur dalam hitungan papan yaitu : 30, 50, 80, 120, 110, dan 70. Maka langkah-langkah untuk mendapatkan interval berbasis nilai rata-rata dari data time series tersebut adalah :
1. Selisih absolute tiap data adalah 20,30,40,10, dan 40 maka rata-ratanya adalah 28.
2. Ambil setengah dari nilai 28, maka diperoleh nilai 14. 3. Menurut Tabel 2.5 nilai 14 termasuk ke dalam basis 10.
2.4.2 Fuzzy Logical Relationship (FLR)
Jika terdapat relasi R (t, t+1 ) sehingga Ai(t+1) = Ai(t) × R (t,t+1) dengan simbol ×
adalah suatu operator maka Ai(t+1) disebabkan oleh Ai(t). fuzzy logical relationship
(FLR) yang ada antara Ai(t+1) dan Ai(t) dinotasikan dengan (Xihao et al, 2007) :
Ai(t) → Ai(t+1) (2.18)
Dimana Ai(t) disebut sebagai “sisi kiri” dan Ai(t+1) disebut “sisi kanan”.
2.4.3 Fuzzy Logical Relationship Group (FLRG)
Fuzzy logical relationship group (FLRG) pada metode average based fuzzy time
series adalah proses mengeliminasi fuzzy logical relationship (FLR) yang berulang dan menggabungkan FLR dengan sisi kiri yang sama kedalam satu grup (Xihao et al. 2007)
Contoh :
Untuk sisi kiri Ai yang sama dan berulang, FLRG dinyatakan sebagai berikut :
Ai→ A(i+1)
Ai→ A(i+1) Ai→ A(i+1), A(i+2) (2.19)
A i→ A(i+2)
… … …
Pada peramalan dengan metode average-based fuzzy time series, peramalan ditentukan dari fuzzy logical relationship group (FLRG). Jika terdapat FLRG
Ai→ A(i+1), A(i+2)
Maka dapat ditentukan data aktual pada periode t fuzzified pada himpunan fuzzy Ai,
dan untuk peramalan pada periode t+1 diramalkan data akan fuzzified di sekitar himpunan fuzzy A(i+1) dan A(i+2) (Xihao et al. 2007).
Defuzzifikasi adalah cara untuk mendapatkan hasil nilai tegas (crisp) dari himpunan fuzzy (Hernasary, 2007). Proses defuzzifikasi pada metode average-based fuzzy time series diasumsikan (Xihao et al. 2007) :
u
i⊂
U ; (i =1,2,…,n) (2.20)u
i∈
Ai ; (i =1,2,…,n) (2.21)Dimana U adalah himpunan semesta, ui merupakan subhimpunan ke- i dari U dan Ai
adalah himpunan fuzzy dari ui., maka defuzzifikasi pada metode peramalan
average-based fuzzy time series adalah sebagai berikut (Xihao et al. 2007) :
1. Jika hasil fuzzifikasi data pada periode t adalah Ai dan hanya ada satu fuzzy logical
relationship (FLR) dengan sisi kiri adalah Ai pada fuzzy logical relationship
group (FLRG) sebagaimana berikut :
Ai→ A(i+1)
Dimana Ai dan A(i+1) adalah himpunan fuzzy dan nilai maksimum derajat
keanggotaan fuzzy A(i+1) terdapat pada himpunan u(i+1), dan midpoint atau nilai
2. Jika hasil fuzzifikasi data pada periode t adalah Ai dan terdapat beberapa fuzzy
logical relationship (FLR) dengan sisi kiri adalah Ai pada fuzzy logical
relationship group (FLRG) sebagaimana berikut :
Ai→ A(i+1), A(i+2), A(i+3)
pada himpunan ui dan midpoint atau nilai tengah dari ui adalah m, maka hasil
peramalan untuk periode t +1 adalah m.
Dari teori yang telah dibahas sebelumnya, sistem komputasi untuk peramalan fuzzy time series dapat dilakukan secara lebih mudah dengan metode average-based
fuzzy time series, karena metode ini mempunyai model interval berbasis nilai rata-rata
