Teori Antrian
Antrian
Antrian timbul karena orang/sesuatu material/bahan tiba di
suatu fungsi service atau pelayanan/proses produksi
lebih
cepat
dibandingkan waktu mereka dilayani
Hal ini terjadi karena konsumen datang dalam rentang waktu
yang tidak tentu dan waktu pelayanan setiap konsumen juga
tidak konstan.
Sehingga antrian secara kontinuitas menjadi bertambah
dan berkurang panjangnya dan kadang-kadang kosong
Garis tunggu atau
antrian
Fasilitas
pelayanan
Struktur Sistem Antrian
1
2
3
n
Sistem antrian
Pelanggan masuk
ke dalam sistem
antrian
Contoh Sistem Antrian
Sistem
Antrian/ Garis
Tunggu
Fasilitas
Pelayanan
Lapangan terbang
Pesawat menunggu
di landasan
Landasan pacu
Bank
Nasabah (orang)
Kasir/ teller
Pencucian mobil
Mobil
Tempat pencucian
mobil
Bongkar muat
barang
Kapal dan truk
Fasilitas bongkar
muat
Sistem komputer
Program komputer
CPU, printer, dll
Bantuan
pengobatan darurat
Orang
Ambulance
Perpustakaan
Member
Pegawai
Komponen Sistem Antrian (1)
•
Populasi masukan (input populasi)
•
Distribusi kedatangan
•
Constant arrival distribution
•
Arrival pattern random
•
Disiplin pelayanan
•
FCFS (first come, first served)
•
LCFS (last come, first served)
•
Prioritas
•
Fasilitas pelayanan
•
Single channel
Komponen Sistem Antrian (2)
•
Distribusi pelayanan
•
Berapa banyak pelanggan yang dapat dilayani per satuan waktu
•
Berapa lama setiap pelanggan dapat dilayani
•
Kapasitas sistem pelayanan
•
Terbatas
•
Tidak terbatas
Notasi Dalam Sistem Antrian
•
n = jumlah pelanggan dalam sistem
•
Pn = probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem
•
λ = jumlah rata-rata pelanggan yang datang per satuan waktu
•
μ = jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani per satuan waktu
•
Po = probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem
•
P = tingkat intensitas fasilitas pelayanan
•
L = jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dalam sistem
•
Lq = jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan menunggu dalam
antrian
•
W = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalam sistem
•
Wq = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama menunggu dalam
antrian
•
1/ μ = waktu rata-rata pelayanan
•
1/ λ = waktu rata-rata antar kedatangan
•
S = jumlah fasilitas pelayanan
Single Channel Model (M/M/1)
•
M
pertama
: rata-rata kedatangan yang mengikuti distribusi
probabilitas Poisson
•
M
kedua
: tingkat pelayanan yang mengikuti distribusi
probabilitas Poisson
Asumsi M/M/1
•
Populasi input tidak terbatas
•
Distribusi kedatangan pelanggan potensial
mengikuti distribusi Poisson
•
Disiplin pelayanan mengikuti pedoman FCFS
•
Hanya ada satu fasilitas layanan dan Distribusi
pelayanan mengikuti distribusi Poisson (
λ < μ)
•
Kapasitas sistem diasumsikan tak terbatas
Contoh Soal
•
UD ABC mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu
orang pekerja yaitu Ali. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan
mengikuti distribusi Poisson yaitu 20 kendaraan/jam. Ali dapat
melayani rata-rata 25 kendaraan/jam. hitunglah:
1.
Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan
2.
Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem
3.
Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian
4.
Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam
sistem
5.
Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu
dalam antrian
Mobil antri menunggu pelayanan
s
1 pompa bensin melayani 25 mobil per
jam
Kedatangan mobil, 20 per
jam
Mobil Keluar
UD ABC
Mobil antri menunggu pelayanan
s
1 pompa bensin melayani 25 mobil per
jam
Kedatangan mobil, 20 per
jam
Mobil Keluar
UD ABC
Jawaban Soal
•
Diketahui: λ = 20, μ = 25
1.
p = λ / μ
= 20/25 = 0.80
Bahwa Ali akan sibuk melayani kendaraan selama 80% dari waktunya,
sedangkan 20% dari waktunya (1-p) untuk istirahat
2.
L = λ / (μ – λ)
= 20 / (25-20) = 4, atau
L = p / (1-p)
= 0.80 / (1-0.80) = 4
Angka 4 menunjukkan bahwa Ali dapat mengharapkan 4 kendaraan yang
berada dalam sistem
3.
Lq = λ
2/ μ (μ – λ)
= (20)
2/ 25(25-20) = 3.2
Jadi kendaraan yang menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 3.2
kendaraan
4.
W = 1 / (μ – λ)
= 1 / (25-20) = 0.2 jam atau 12 menit
Jadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menit
5.
Wq = λ / μ (μ – λ)
= 20 / 25(25-20) = 0.16 jam atau 9.6 menit
Latihan soal 1:
Dalam suatu ruang praktek dokter, setiap 4 menit datang 1 pasien. Untuk melayani setiap pasien dibutuhkan waktu 2,5 menit. Jam kerja
praktek dokter adalah jam 15.00 – 18.00. Hitunglah:
a) Banyaknya pasien yang bisa dilayani selama jam kerja. (72 pasien)
b) Rata-rata banyaknya pasien dalam sistem. (1,66 pasien)
c) Rata-rata panjang antrian. (1,04 pasien) d) Rata-rata waktu
menunggu seorang pasien dalam sistem.(6,66 menit) e) Rata-rata waktu
Latihan soal 2:
Kedatangan penelpon ke suatu telepon umum
mengikuti fungsi poisson dengan rata-rata waktu 10
menit antara kedatangan satu dengan lainnya. Lamanya
satu pembicaraan telepon rata-rata 3 menit dan mengikuti
distribusi eksponensial. Hitunglah:
a) Probabilitas bahwa seorang penelpon yang datang ke telepon umum
tersebut harus menunggu.
(
0,3
)
b) Rata-rata panjang antrian yang tidak kosong.
(
1,43 penelpon
)
c) Perusahaan telepon akan mendirikan tempat telepon umum yang
kedua dengan syarat waktu menunggu suatu kedatangan penelpon
hingga memperoleh giliran paling sedikit 3 menit. Berapa
Asumsi M/M/S
•
Populasi input tidak terbatas
•
Distribusi kedatangan pelanggan potensial
mengikuti distribusi Poisson
•
Disiplin pelayanan mengikuti pedoman FCFS
•
Ada beberapa fasilitas pelayanan (S)
•
Distribusi pelayanan mengikuti distribusi Poisson
(
λ < sμ)
•
Kapasitas sistem diasumsikan tak terbatas
Persamaan
µ = rata-rata tingkat pelayanan untuk setiap fasilitas pelayanan
Contoh Soal
•
Suatu rental komputer mempunyai tiga pengetik. Setiap pengetik dapat
mengetik rata-rata 6 surat/jam. Jika surat-surat yang masuk rental
tersebut sebanyak 15 surat/jam, tentukan:
1.
Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan?
2.
Jumlah rata-rata surat yang diharapkan dalam antrian?
3.
Jumlah surat yang diharapkan menunggu dalam sistem?
4.
Waktu yang diharapkan oleh setiap surat selama dalam antrian ?
5.
Waktu yang diharapkan oleh setiap surat untuk menunggu dalam
sistem?
surat menunggu dalam antrian untuk
diketik
s
3 saluran pelayanan
surat datang (rata-rata 15 surat per jam)
Jawaban Soal
•
Diketahui: λ = 15, μ = 6, s=3
1.
p = λ / sμ = 15/(3)(6) = 0.833
Bahwa para pengetik akan sibuk mengetik surat selama 83,3%
dari waktunya,
2.
= 3,5113
jumlah rata-rata surat yang diharapkan dalam antrian adalah
sebanyak 3,5113
3.
= 6,01124
Jawaban Soal
4.
=
0,2341
dimana
=
0,04494
Jawaban Soal
5.
= 0,2341 + (1/6)
= 0,40075
MODEL BIAYA TOTAL
TC
=
SC
+
WC
TC
= Biaya total harapan (expected total cost)
per satuan waktu
SC
= Biaya pelayanan harapan (expected service cost)
per satuan waktu
MODEL BIAYA PELAYANAN
SC
=
C
1
S
C
1
= Biaya per Satuan Pelayan per satuan waktu
Model Biaya Menunggu
Tergantung pada model antrian
WC
=
C
2
Ls
C
2
= Biaya Menunggu per Pelanggan per satuan
waktu
CONTOH:
•
MCM cling cuci motor memiliki
S
pelayan
bagian pencucian motor. Masing – masing
pelayan mampu mencuci 12 motor / jam,
sedangkan pelanggan yang datang rata-rata
20 pelanggan / jam. Model antrian
(M/M/s/FCFS/∞/∞). Jika biaya pelayan per
unit C1=6/jam (dalam ribuan rupiah, dan
Perhitungan:
Untuk s= 1
λ = 20, µ = 12
p = λ / sμ
= 20/ (1)(6) = 1.667
Perhitungan:
Perhitungan:
Perhitungan:
Perhitungan:
Takehome
•
Diskusikan mengenai kultur antrian yang ada di Indonesia.
Sam Certo adalah seorang dokter hewan yang mengelola klinik vaksinasi untuk penyakit anjing gila. Sam dapat menyuntik seekor anjing pada setiap 3 menit. Telah diperkirakan bahwa anjing-anjing datang secara terpisah dan acak di sepanjang hari dengan kedatangan 1 anjing setiap 6 menit menurut distribusi poisson. Asumsikan juga bahwa waktu penyuntikan Sam berdistribusi eksponensial. Hitunglah karaktersitik berikut :
a. Probabilitas waktu luang Sam b. Proporsi waktu sibuk Sam
c. Jumlah anjing yang sedang divaksinasi dan sedang menunggu untuk divaksinasi rata-rata
d. Jumlah anjing yang menunggu untuk divaksinasi rata-rata e. Waktu tunggu anjing sebelum divaksinasi rata-rata
Garcia-Golding Recycling I nc. mengumpulkan kaleng aluminium dan botol bekas di New York City. Pengemudi truk saat ini menunggu kurang lebih selama 15 menit sebelum dapat mengosongkan isi truk mereka untuk di daur ulang. Biaya pengumudi truk dan truk untuk menunggu dalam antrian adalah $ 60/ jam. Sebuah alat yang baru dapat dibeli untuk
memproses muatan truk pada tingkatan yang tetap yaitu 12 truk per jam (berarti 5 menit untuk setiap truk). Truk datang dengan distribusi poisson rata-rata 8 kedatangan per jam. Jika mesin baru ini digunakan, biaya
