APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE UNTUK SOLUSI FUNGSI
ALIH SISTEM PADA
REFRIGERATOR
Entjie Mochamad Sobbich
1ABSTRACT
Viewed as a thermal system, refrigerator that is available in every house can be divided in two parts, main refrigerator and the chilled part known as a freezer. Besides that, there are shelves to put hot objects into the refrigerator, called a pot roast. So, thermal environment in the system will unstable since the existence of pot roast will affect thermal circulation in the system. Based on free-body diagram, thermal analysis was done for the three components, i.e. main space of refrigerator, freezer, and pot roast, as well as derivation of transfer function which performs by using MATLAB so there can be got a visual of temperature behavior of the three system components. The result indicates that the temperature of pot roast down closer to the setting temperature of refrigerator, temperature on the freezer almost constant, and no much affected by pot roast.
Keywords: refrigerator, free-body diagram, transfer function
ABSTRAK
Refrigerator yang ada disetiap rumah-tinggal, dipandang dari sudut termal dapat dibagi menjadi dua bagian: bagian utama refrigerator dan bagian yang lebih dingin disebut freezer. Selain itu, terdapat rak untuk menaruh benda dari luar yang suhunya panas dan hendak didinginkan, disebut pot roast. Jadi, kondisi termal sistem akan tidak stabil karena adanya pot roast yang mengganggu sirkulasi termal dalam sistem. Berdasarkan pada diagram benda-bebas, dilakukan analisis termal untuk ketiga komponen: refrigerator, freezer, dan pot roast, serta penurunan fungsi alih yang dilakukan dengan bantuan MATLAB sehingga diperoleh gambaran perubahan suhu pada ketiga komponen sistem. Hasilnya adalah suhu pot roast akan terus-menerus turun mendekati suhu dari refrigerator saat diset sedangkan suhu dalam freezer konstan, tidak banyak terpengaruh oleh adanya gangguan pot roast.
Kata kunci: refrigerator, diagram benda-bebas, fungsi-alih
1
PENDAHULUAN
Panas dan termal adalah dua istilah yang dapat digunakan ‘saling tukar’, walaupun ada hal prinsip yang membedakan keduanya (Holman, 1981). Kondisi saling-tukar itu digunakan pula dalam artikel ini. Selain itu, hendaknya dibedakan antara panas dan suhu, yaitu panas adalah besaran energi (satuannya Joule) sedangkan suhu merupakan besaran yang menunjukkan derajat atau tinggi-rendahnya kondisi termal (satuannya derajat Celsius).
Refrigerator adalah mesin yang memanfaatkan konsep pengaliran termal (Sumanto, 1989). Dengan mengisikan pot roast dalam refrigerator berarti telah terjadi gangguan kesetimbangan termal di dalam refrigerator. Secara garis besar, sebuah refrigerator dapat dipilah menjadi tiga titik bersuhu berbeda, yaitu ruang dengan suhu sangat rendah yang umum disebut freezer, ruang dengan suhu agak lebih ‘panas’ dibandingkan freezer disebut ruang refrigerator, dan pot roast adalah tempat menaruh benda yang hendak didinginkan. Benda pot roast asal-muasalnya dari luar dan bersuhu ‘tinggi’ sehingga keberadaannya di dalam refrigerator diduga mengganggu kestabilan setting suhu yang ada di
freezer maupun di ruang refrigerator.
Artikel membahas solusi fungsi alih sistem perubahan kesetimbangan suhu dalam freezer
maupun ruang refrigerator, dengan metode transformasi Laplace serta diberikan contoh aplikasinya.
SISTEM TERMAL PADA
REFRIGERATOR
Dipandang dari dinamika sistem maka sistem termal adalah sistem yang menyajikan persamaan diferensial yang merelasikan perpindahan panas dari satu lokasi ke lokasi lainnya di dalam sistem. Contohnya adalah sebuah refrigerator (kulkas). Refrigerator beroperasi dengan memindahkan panas dari bagian-dalam dan mengalirkannya keluar lewat sistem koil menggunakan pompa kompresor dan katup ekspansi (lihat Gambar 1).
Refrigerator umumnya terbangun atas dua bagian terpisah - saling terisoliris: bagian utama
refrigerator dan bagian pendingin (freezer). Bagian itu didinginkan oleh 5 komponen sistem
refrigerator: kompresor, koil penukar panas yang ada di luar, katup ekspansi, koil penukar panas yang ada di dalam, dan refrigeran. Kompresor mengompres refrigeran ke dalam koil yang ada di luar. Disini panas yang dihasilkan dari kompresi menyebar ke sekeliling. Dari koil yang ada di luar refrigerant
disemprotkan lewat katup ekspansi yang menjadikan refrigerant sangat dingin (super-cool), ke dalam koil yang ada di dalam di bagian pendingin (freezer). Lalu refrigerant disirkulasi balik ke kompresor. Untuk mendinginkan refrigetor menyeluruh, sebuah kipas menghembuskan udara dari bagian pendingin (freezer) melalui ventilasi yang dapat diatur masuk ke dalam bagian refrigerator. Suhu bagian refrigerator dikendalikan oleh thermostat yang dapat diatur sehingga meregulasi aktivitas kompresor. Suhu dalam freezer dikendalikan oleh udara yang lewat ventilasi yang dapat diatur antara
Gambar 1 Komponen Utama Pemindah Panas dalam Refrigerator
Atas : tampak sisi dan perbesaran bagiannya Bawah : tampak belakang dan perbesaran bagiannya
Pada sistem ini, ventilasi mengontrol rasio suhu freezer dengan refrigerator. Saat vent tertutup, banyak udara dingin dalam freezer menrunkan rasio suhu. Ketika vent terbuka lebar, udara mengalir ke dalam refrigerator mengurangi selisih suhu antara kedua bagian ini. Thermostat akan berusaha memindahkan panas sehingga mengeset suhu refrigerator ke nilai setting yang diinginkan. Dalam contoh ini akan dipertimbangkan refrigerator yang pot roast panas baru saja ditaruh. Panas dari
pot roast ini bertindak sebagai pengganggu pada sistem termal. Keluaran yang dikontrol adalah suhu pada bagian refrigerator. Akan ada 3 persamaan diferensial untuk sistem ini, pertama mengontrol dinamika bagian refrigerasi, kedua mengontrol dinamika termal pada bagian freezer, dan ketiga mengontrol dinamika pertukaran panas pada koil-luar.
Diagram Benda Bebas
Diagram benda-bebas merepresentasikan interaksi antara pot roast, ruang, dan sekitar (situs: http://www.me.cmu.edu). Perpindahan panas terjadi secara konduksi dan konveksi. Perpindahan panas lewat dinding refrigerator terjadi secara konduksi. Konveksi antara refrigerator dan bagian freezer
Variabel Persamaan
Perpindahan panas q
Tahanan Termal R
Laju aliran ω Densitas ρ Panas Jenis σ Suhu θ Kapasitansi Termal C
Laju Perubahan Suhu θ'
Perpindahan panas lewat permukaan : : q = 1/R * (t1-t2)
Perpindahan panas dari adanya aliran : q = ω*ρ*σ*t
Kapacitansi : C = ρ*σ * V
Laju Perubahan Suhu : θ' = (1/C) * q
Variabel dibedakan oleh subscript, misalnya Qr2f_v untuk mengindikasikan variabel yang
merepresentasikan perpindahan termal dari bagian refrigerator "r" ke bagian freezer "f" dengan cara pemindahan konveksi "v". Hal yang serupa, Rc2f adalah tahanan termal saat pemindahan termal dari
koil "c" ke bagian freezer "f". Akhirnya, Cr untuk merepresentasikan kapasitansi pada bagian refrigerator.
r = bagian refrigerator
f = bagian freezer p = pot roast c = koil
e = sekitar/sekeliling 2 = menuju ke d = secara konduksi v = secara konveksi
Freezer
Ekspresi matematik perpindahan panas pada ruang freezer dalam tulisan, dapat ditunjukan sebagai berikut.
Pertukaran termal Notasi Bentuk matematis Arah
Koil Pendingin Qf2c d 1/Rc2f * (θc-θf) Keluar
Aliran udara dari refrigerator ke freezer Qr2f v ω*ρ*σ*θr Keluar
Termal dari lingkungan Qe2f d 1/Re2f * (θe-θf) Masuk
Termal dari refrigerator Qr2f d 1/Rr2f * (θr-θf) Masuk
Aliran udara dari freezer ke refrigerator Qf2r v ω*ρ*σ*θf Masuk
Gambaran pertukaran panas diagram tersebut sebagai berikut.
Jumlahan seluruh pertukaran panas pada badan secara bersama-sama dalam persamaan matematis menghasilkan persamaan termal berikut.
v r f d
c f v
f r d
f r d
f e f
f
Q
Q
Q
Q
Q
C
θ
&
=
2 _+
2 _+
2 _−
2 _−
2 _Refrigerator
Pertukaran termal Notasi Bentuk matematik Arah
Panas ke freezer Qr2f d 1/Rr2f (θr-θf) Keluar
Aliran udara dari freezer ke refrigerator Qf2r v ω*ρ*σ*θf Keluar
Panas dari lingkungan Qe2r d 1/Re2r (θe-θr) Masuk
Panas dari Pot Roast Qp2r d 1/Rp2r (θp-θr) Masuk
Aliran udara dari refrigerator ke freezer Qr2f v ω*ρ*σ*θr Masuk
Penggambaran pertukaran panas dari diagram sebagai berikut.
Jumlah pertukaran panas memberikan persamaan termal berikut.
v f r d
f r v r f d
r p d
r e r
r
Q
Q
Q
Q
Q
C
θ
&
=
2 _+
2 _+
2 _−
2 _−
2 _Pot Roast
Penukaran panas pot roast dijelaskan dengan uraian berikut.
Pertukaran termal Notasi Bentuk matematis Arah
Panas ke freezer Qp2r d 1/Rp2r (θp-θr) Keluar
Gambaran penukaran panas sebagai berikut.
Persamaan termal sebagai berikut.
d r p p
p Q
C
θ
& = − 2 _Persamaan Diferensial Ketiga Komponen
Setelah analisis diagram benda-bebas, selanjutnya persamaan diferensial untuk pertukaran panas dari bagian freezer, bagian refrigerator, dan pot roast disatukan kembali, dan hasilnya adalah sebagai berikut.
v r f d c f v f r d f r d f e f
f
Q
Q
Q
Q
Q
C
θ
&
=
2 _+
2 _+
2 _−
2 _−
2 _v f r d f r v r f d r p d
r e r
r
Q
Q
Q
Q
Q
C
θ
&
=
2 _+
2 _+
2 _−
2 _−
2 _d r p p
p Q
APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE
Fungsi Alih
Bagian ini memanfaatkan transformasi Laplace (Dawkins, P., 2005) untuk menentukan perubahan suhu dari pot roast, dari bagian refrigerator, dan dari bagian freezer untuk kondisi suhu awal sebagai berikut.
C
Terdapat satu set suhu yang akan diasumsikan tetap konstan selama siklus refrigerasi, yaitu suhu sekitar dan suhu koil freezer, seperti terlihat berikut ini.
C
Transformasi Laplace dari Persamaan yang Terbentuk
Sasarannya adalah mendapatkan ekspresi transformasi Laplace dari masing-masing variabel yang merepresentasikan suhu dari pot roast, dari bagian refrigerator dan dari bagian freezer dalam kondisi awalnya. Dari diagram benda-bebas, didapatkan persamaan diferensial dalam domain waktu sebagai berikut.
(
)
(
)
(
f c)
fKetiga persamaan tersebut bila dibagi oleh masing-masing kapasitansinya, lalu digabung berdasar koefisien dari masing-masing variabel suhu, didapatkan rumus berikut.
Hubungan antara transformasi Laplace dan turunan variabel adalah sebagai berikut.
Lakukan transformasi Laplace terhadap persamaan dan susun berdasar masing-masing theta besar (uppercase), dihasilkan rumus berikut.
)
Langkah berikutnya adalah memanfaatkan aturan Cramer (Kreyszig, 1986) untuk menyelesaikan tiga persamaan simultan. Untuk menjaga organisasi matematika substitusikan koefisien
Θf(s), Θr(s), dan Θp(s) menjadi: a11, a12, dan a13 dengan koefisien Θf(s), Θr(s), and Θp(s) pada
persamaan pertama; a21, a22, dan a23 dengan koefisien Θf(s), Θr(s), dan Θp(s) pada persamaan kedua;
a31, a32, dan a33 menjadi koefisien Θf(s), Θr(s), dan Θp(s) pada persamaan ketiga.
Selanjutnya, substitusikan b1, b2, dan b3 ke ruas-kanan dari persamaan pertama, kedua, dan
ketiga. Notasi kompak dihasilkan pada set persamaan berikut.
Dalam bentuk matrik sebagai berikut.
3
Solusinya seperti berikut ini.
3
Menggunakan aturan Cramer, masing-masing elemen vektor Θ dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut.
Untuk determinan lainnya, dapat dilihat berikut ini.
)
SOLUSI PERSAMAAN LINIER
Untuk penyelesaian persamaan linier simultan, dalam artikel ini diawali dengan perintah s = tf('s'), lalu tentukan konstanta seperti di bawah ini. Selanjutnya, tentukan variabel Laplace aij dan bk.
Langkah itu harus dilakukan di M-file karena panjangnya kode.
w = .0001; % m/s p = 1.2; % kg/m^3
sig = 1000; % kJ*derajat_C/kg
Cp = 240; % J/derajat_C Cr = 700; % J/derajat_C Cf = 200; % J/derajat_C
Rf2c = .1; % derajat_C*s/J Rp2r = 1; % derajat_C*s/J Re2r = 4.7; % derajat_C*s/J Re2f = 6.25; % derajat_C*s/J Rr2f = 4.5; % derajat_C*s/J
a11 = (s + (w*p*sig/Cf) + (1/(Cf*Rr2f)) + (1/(Cf*Re2f)) + (1/(Cf*Rf2c))); a12 = - (w*p*sig/Cf) - (1/(Cf*Rr2f));
a13 = 0;
a21 = - (w*p*sig/Cr) - (1/(Cr*Rr2f));
a22 = (s + (w*p*sig/Cr) + (1/(Cr*Re2r)) + (1/(Cr*Rp2r)) + (1/(Cr*Rr2f))); a23 = - (1/(Cr*Rp2r));
a31 = 0;
a32 = -(1/(Cp*Rp2r)); a33 = s + (1/(Cp*Rp2r));
b1 = (Te/(s*Cf*Re2f)) + (Tc/(s*Cf*Rf2c)) + Tf; b2 = (Te/(s*Cr*Re2r)) + Tr;
b3 = Tp;
detA = a11*(a22*a33-a23*a32)-a21*a12*a33;
det1 = b1*(a22*a33-a23*a32)-b2*(a12*a33)+b3*(a12*a23); det2 = a11*(b2*a33-a23*b3)-a21*(b1*a33);
det3 = a11*(a22*b3-a32*b2)-a21*(a12*b3-a32*b1); Thetaf = det1/detA
Thetar = det2/detA Thetap = det3/detA
Solusinya adalah (dituliskan diantara dua tanda >>) : >>
Fungsi alih untuk Freezer :
-7.403e008 s^5 - 4.365e007 s^4 - 2.462e005 s^3 - 126 s^2 ---
8.225e007 s^6 + 4.844e006 s^5 + 2.779e004 s^4 + 13.98 s^3
Fungsi alih untuk Refrigerator:
3.29e008 s^5 + 2.185e007 s^4 + 2.408e005 s^3 + 56.33 s^2 ---
8.225e007 s^6 + 4.844e006 s^5 + 2.779e004 s^4 + 13.98 s^3
Fungsi alih untuk Pot roast :
2.056e009 s^5 + 1.139e008 s^4 + 3.112e005 s^3 + 56.33 s^2 ---
8.225e007 s^6 + 4.844e006 s^5 + 2.779e004 s^4 + 13.98 s^3 >>
Thetaf = minreal(Thetaf) Thetar = minreal(Thetar) Thetap = minreal(Thetap) >>
Fungsi alih untuk Freezer :
-9 s^3 - 0.5306 s^2 - 0.002993 s - 1.532e-006 ---
s^4 + 0.0589 s^3 + 0.0003379 s^2 + 1.7e-007 s
Fungsi alih untuk Refrigerator :
4 s^3 + 0.2656 s^2 + 0.002928 s + 6.848e-007 ---
s^4 + 0.0589 s^3 + 0.0003379 s^2 + 1.7e-007 s
Fungsi alih untuk Pot roast :
25 s^3 + 1.385 s^2 + 0.003784 s + 6.848e-007 ---
s^4 + 0.0589 s^3 + 0.0003379 s^2 + 1.7e-007 s >>
Gunakan perintah impulse untuk mem-plot fungsi. Hal itu akan memberikan Laplace invers dari fungsi. Beri label agar segala sesuatunya nampak teratur.
clf figure(1)
tt = linspace(0,3600,361);
impulse(Thetaf, Thetar, Thetap, tt)
legend('Freezer temp', 'Refrigerator temp', 'Pot roast temp') title('Time evolution of refrigerator model')
xlabel('Time (sec)')
ylabel('Temperature (derajat C)')
HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil
Program yang panjang tersebut bila dieksekusi akan memberikan hasil berupa kurva pergerakan suhu dari ketiga komponen: refrigerator, freezer, dan pot roast. Adapun hasil yang dimaksud seperti ditunjukan pada grafik dalam Gambar 2.
Pembahasan
Di bidang rekayasa, sering kali analisis sistem memberikan bentuk model matematis yang terkandung di dalamnya turunan variabel bebas. Persamaan seperti itu umum dikenal dengan sebutan persamaan diferensial atau lengkapnya persamaan diferensial biasa (ODE = Ordinary Differential Equation). Mendapatkan solusi sebuah persamaan diferensial dapat dilakukan dengan memanfaatkan transformasi Laplace yang mengubah domain waktu t ke domain s.
Keseimbangan termal pada sistem refrigerator telah dianalisis sebelumnya dan memberikan persamaan diferensial untuk tiga komponen refrigerator. Bentuknya cukup rumit sehingga solusi dalam bentuk fungsi alih serta inversinya telah dilakukan dengan bantuan MATLAB yang sekaligus memberikan plot kurva pergerakan suhu ketiga komponen. Analisis kurva menunjukkan adanya kenaikan suhu pada ruang-refrigerator sebagai pengaruh adanya panas dari pot roast. Akan tetapi, suhu dalam freezer tidak nampak dipengaruhi oleh adanya panas dari pot roast. Hal itu ditunjukkan oleh kurva suhu yang terus mendatar selang waktu 3500 sekon, kecuali sedikit perubahan tak berarti pada selang waktu sekitar antara 200 sekon hingga 1200 sekon.
PENUTUP
Telah dilakukan penurunan persamaan termal dari sebuah mesin refrigerator dengan cara mendapatkan fungsi-alih tiga komponen: freezer, ruang-refrigerator, dan pot roast. Diawali dengan mengurai diagram benda-bebas, analisis, dan eksplorasi dilakukan dengan bantuan MATLAB. Hasil berupa fungsi-alih ketiga komponen tersebut diplot dengan memberikan simulasi suhu-masukan berupa sebuah impuls maka dihasilkan kurva perubahan termal, baik dalam freezer,
ruang-refrigerator, dan pot roast. Analisis kurva menunjukkan adanya kenaikan suhu pada
ruang-refrigerator sebagai pengaruh adanya panas dari pot roast. Akan tetapi, suhu dalam freezer tidak nampak dipengaruhi oleh adanya panas dari pot roast. Hal itu ditunjukkan oleh kurva suhu yang terus mendatar selang waktu 3500 sekon, kecuali sedikit perubahan tak berarti pada selang waktu sekitar antara 200 sekon hingga 1200 sekon.
DAFTAR PUSTAKA
Dawkins, P. 2005. “Differential Equations.” Diakses dari http://tutorial.math.lamar.edu
Holman, J.P. 1981. Heat Transfer. Singapore: McGraw-Hill Inc.
Kreyszig, E. 1986. Advanced Engineering Mathematics. New York, USA: McGraw-Hill Book Co.
