Pertemuan 7.fungsi distribusi&variabel.random

Pendahuluan

Dalam makalah ini akan dibahas pengertian variabel random (peubah acak), macam-macam peubah acak, fungsi distribusi, fungsi probabilitas dan fungsi kepekatan probabilitas. Pada pembahasan selanjutnya, kita dapat mengetahui perbedaan antara fungsi distribusi dan fungsi probabilitas serta fungsi kepekatan probabilitas. Mahasiswa setelah mempelajari makalah ini dengan baik, diharapkan secara keseluruhan mampu memahami konsep dasar dan penggunaan distribusi atau peubah acak, baik diskrit maupun kontinu.

Adapun tujuan pembelajarannya, mahasiswa diharapkan mampu: 1. membedakan peubah acak diskrit dan peubah acak kontinu,

2. menentukan fungsi distribusi dari sebuah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, 3. menggambarkan grafik dari fungsi distribusi untuk satu peubah acak, baik diskrit maupun

kontinu,

4. menghitung peluang dari sebuah peubah acak yang berharga tertentu, berdasarkan fungsi distribusinya,

5. menentukan distribusi peluang dan fungsi densitas dari sebuah peubah acak berdasarkan fungsi distribusinya,

6. membedakan fungsi distribusi dan fungsi probabilitas,

7. membedakan fungsi probabilitas dan fungsi kepekatan probabilitas dari definisi dan grafik, baik diskrit maupun kontinu,

8. menentukan fungsi probabilitas dari sebuah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, 9. membedakan fungsi probabilitas kumulatif diskrit dan fungsi probabilitas kontinu,

10. menggambarkan grafik dari fungsi probabilitas untuk satu peubah acak, baik diskrit maupun kontinu.

A. PengertianVariabel Random (Peubah Acak)

Suatu variabel random (acak) x adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada ruang sampel yang memetakan himpunan kejadian dalam S ke suatu bilangan real X(s) = x dengan S setiap hasil yang mungkin dalam S.

Pendefinisian variabel random bisa dijelaskan dalam gambar berikut:

x .

S = Ruang Sampel R(x) = Nilai-nilai yang mungkin dari X sesuai s nya.

Gambar 1.1 X Disebut Variabel Random

Contoh 1.1

Adit melakukan pelemparan dua buah mata uang logam Rp. 100 yang seimbang secara sekaligus. Jika X menunjukkan banyak huruf “BANK INDONESIA” yang terjadi, maka apakah X merupakan peubah acak?

Penyelesaian:

Ruang sampelnya adalah: S = ¿

dengan: G = Gambar “KARAPAN SAPI” H = Huruf “BANK INDONESIA” Untuk s1= HH, maka X(s1) = X(HH) = 2 Untuk s2 = GH, maka X(s2) = X(GH) = 1 Untuk s3 = HG, maka X(s3) = X(HG) = 1 Untuk s4 = GG, maka X(s4) = X(GG) = 0,

Jadi, nilai-nilai yang mungkin dari X, Rx = {0,1, 2}.

s Rx Gambar 1.2

Karena X memenuhi syarat-syarat sebuah fungsi, maka X disebut peubah acak.

Apabila kita bisa memperoleh sebuah peristiwa berkenaan dengan ruang sampel S dan sebuah peristiwa berkenaan dengan peubah acak X (yaitu himpunan bagian dari ruang hasil Rx), maka dua peristiwa itu akan ekuivalen.

B. Macam-Macam Variabel Random(Peubah Acak)

Dalam statistika ada dua macam peubah acak, yaitu peubah acak diskrit dan peubah acak kontinu.

a. Peubah Acak Diskrit HH.

HG.

GH.

GG.

. 2

. 1

Misalnya X adalah peubah acak. Jika banyak nilai-nilai yang mungkin dari X (yaitu ruang hasil Rx) berhingga atau tak berhingga tapi dapat dihitung, maka X dinamakan peubah acak diskrit.

Nilai-nilai yang mungkin dari X bisa ditulis sebagai: x1, x2, x3, …,xn, … Contoh 1.2

Coba lihat kembali contoh 1.1

Nilai-nilai yang mungkin dari X adalah Rx = {0,1, 2}.

Karena banyak anggota dari Rx berhingga, maka X termasuk ke dalam peubah acak diskrit. Contoh 1.3

Reni mengundi sebuah dadu yang seimbang. Jika peubah acak X menunjukkan banyak pengulangan percobaan sampai mata dadu 5 muncul pertama kali, maka nilai-nilai yang mungkin dari X adalah:

Rx = {1,2, 3,…}.

Karena banyak anggota dari Rx tak berhingga tapi dapat dihitung, maka X termasuk ke dalam peubah acak diskrit.

b. Peubah Acak Kontinu

Misalnya X adalah peubah acak. Jika nilai-nilai yang mungkin dari X (yaitu ruang hasil Rx) merupakan sebuah interval pada garis bilangan real, maka X dinamakan peubah acak kontinu.

Contoh 1.4

Sebuah universitas mempunyai mahasiswa berjumlah 25000 orang dan para mahasiswa itu diberi nomor induk mahasiswa mulai dari 00001 sampai 25000. Kemudian seorang mahasiswa dipilih secara acak dan ia diukur berat badannya. Dalam hal ini, ruang sampelnya: S = {s:s=00001, 00002,00003, 00004,… ,25000}

Misalnya X menunjukkan berat badan dari mahasiswa yang terpilih, maka ia akan ditulis sebagai: X(s), dengan s ∈S .

Kita asumsikan bahwa tidak ada mahasiswa di universitas tersebut yang mempunyai berat badan kurang dari 20 kg atau lebih dari 175 kg, sehingga ruang hasil dari X adalah:

Rx= {x:20≤ x ≤175}

Karena Rx merupakan sebuah interval, maka X termasuk ke dalam peubah acak kontinu.

C. Fungsi Distribusi

a. P(X<a)

b. P(a<X<b)

c. P(a≤ X ≤ b)

d. P(X>b)

e. P(X ≥ b)

f. P(X ≤ a)

g. P(a≤ X<b)

h. P(a<X ≤ b)

dengan a dan b adalah dua buah konstanta.

Jika kita memperhatikan bentuk P(X ≤ a), maka bentuk umumnya ditulis P(X ≤ x).

Dalam statistika matematis, bentuk P(X ≤ x) dinamakan fungsi distribusi kumulatif atau fungsi

distribusi saja.

a. Fungsi Distribusi Kumulatif

Misalnya X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu. Kita mendefinisikan F sebagai fungsi distribusi kumulatif dari peubah acak X, dengan:

F(x)=P(X ≤ x)

Dalam teori probabilitas dan statistik , fungsi distribusi kumulatif (CDF), atau hanya fungsi distribusi, menggambarkan probabilitas bahwa real-bernilai variabel acak X dengan diberikan distribusi probabilitas akan ditemukan pada nilai kurang dari atau sama dengan x. Secara intuitif, itu adalah "wilayah sejauh" fungsi distribusi probabilitas. Fungsi distribusi kumulatif juga digunakan untuk menentukan distribusi multivariat variabel acak.

Di bawah ini adalah grafik fungsi distribusi kumulatif untuk distribusi normal.

Gambar 1.3 Grafik Fungsi Distribusi Kumulatif

dimana sisi kanan merupakan probabilitas bahwa variabel acak X mengambil nilai kurang dari atau sama dengan x. Probabilitas bahwa X terletak pada selang (a, b], di mana b <, karena itu

Di sini notasi (a, b], menunjukkan interval semi-tertutup.

Jika variabel-variabel acak mengobati beberapa X, Y, ... dll huruf yang sesuai digunakan sebagai subskrip sementara, jika mengobati hanya satu, subskrip tersebut dihilangkan. Hal ini konvensional untuk menggunakan F modal untuk fungsi distribusi kumulatif, berbeda dengan huruf f digunakan untuk fungsi kepadatan probabilitas dan fungsi probabilitas massa. Hal ini berlaku ketika membahas distribusi umum: beberapa distro tertentu memiliki notasi sendiri konvensional mereka, misalnya distribusi normal. Fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak kontinu X dapat didefinisikan dalam hal fungsi kepadatan probabilitas f sebagai berikut:

Fungsi distribusi kumulatif ada dua macam , yaitu fungsi distribusi kumulatif diskrit dan fungsi kumulatif kontinu.

a). Fungsi Distribusi Kumulatif Diskrit

Misalnya X adalah peubah acak diskrit, maka fungsi distribusi kumulatif dari X berbentuk:

F(x)=P(X ≤ x)=

∑

t ≤ x

p(t)

dengan p(t) adalah fungsi peluang dari X di t.

Pada pembahasan selanjutnya, fungsi distribusi kumulatif dari peubah acak diskrit akan dinyatakan sebagai fungsi distribusi saja.

Jika peubah acak X mempunyai nilai-nilai yang banyaknya berhingga, yaitu x1, x2, x3, x4, …,xn dan masing-masing mempunyai peluangnya p(x1), p(x2), p(x3), p(x4), …,p(xn), maka fungsi distribusinya ditentukan sebagai berikut.

= p(x1) ; x1≤ x<x2

= p(x1) + p(x2) ; x2≤ x<x3

= p(x1) + p(x2)+p(x3) ; x3≤ x<x4

= p(x1)+p(x2)+p(x3)+…+p(xn)=1 ; xn≤ x

Jika kita memperhatikan bentuk fungsi distribusi di atas, maka nilainya berupa konstanta semua untuk setiap interval nilai x yang diberikan

Contoh 1.5

Dari kasus pelemparan dua buah dadu, kita ambil secara acak 4 dan 5. Tentukan fungsi distribusinya! Tentukan muncul mata dadu berjumlah 4 dan 5!

Penyelesaian:

a). P(x ≤4)=P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)

= P(2)+P(3)+P¿₄₎ = ₃₆1 +₃₆2 +₃₆3 = ₃₆6

= 1₆

b). P(x ≤5) = P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)

= P(2) + P(3)+P(4)+P(5)

= ₃₆1 +₃₆2 +₃₆3 +₃₆4 = 10₃₆= ₁₈5

Seperti halnya fungsi peluang atau distribusi peluang dan fungsi densitas, fungsi distribusi juga dapat digambarkan grafiknya. Dalam hal ini, grafik fungsi distribusi dari peubah acak diskrit berupa fungsi tangga.

Penentuan fungsi distribusi dan gambarnya dari peubah acak diskrit diperjelas melalui contoh berikut.

Contoh 1.6

Apabila kita mengundi dua mata uang logam Rp. 100 yang seimbang secara sekaligus, maka distribusi peluangnya berbentuk:

x 0 1 2

p(x) 1

4 12 14

b. Gambarkan grafik fungsi distribusinya. Penyelesaian:

a. Untuk x < 0 F(x)=0 Untuk 0≤ x<1

F(x)=

∑

t ≤0 p

(t)

= p(0) F(0)=1₄

Untuk 1≤ x<2

F(1)=

∑

t ≤1

p(t)

= p(0)+p(1) = 1₄+1₂

F(1)=3₄

Untuk 2≤ x F(2)=

∑

t ≤2 p(t)

= p(0)+p(1)+p(2) = 1₄+1₂+₄1

F(2)=1

Jadi, fungsi distribusi dari X berbentuk: F(x)=0; x<0

= 1₄;0≤ x<1 = 3₄;1≤ x<2 = 1; 2≤ x

b. Grafik dari fungsi distribusinya bisa dilihat dalam Gambar 1.4 berikut ini.

F(x)

1₄−¿

1₂−¿

1₄−¿

1 2 X

Gambar 1.4 Grafik Fungsi Distribusi Diskrit

Hal yang perlu diperhatikan dalam fungsi distribusi untuk peubah acak diskrit adalah penulisan notasinya. Notasi untuk fungsi distribusi bisa ditulis dengan huruf besar F, G, H, atau lainnya yang diikuti dengan nilai peubah acaknya.

1. Apabila fungsi peluang dari peubah acak X dinotasikan dengan p(x), maka notasi untuk fungsi distribusinya bisa ditulis dengan F(x).

2. Apabila fungsi peluang dari peubah acak X dinotasikan dengan p(x), maka notasi untuk fungsi distribusinya bisa ditulis dengan G(x).

3. Apabila fungsi peluang dari peubah acak X dinotasikan dengan p(x), maka notasi untuk fungsi distribusinya bisa ditulis dengan H(x).

4. Apabila fungsi peluang dari peubah acak X dinotasikan dengan p(x), maka notasi untuk fungsi distribusinya bisa ditulis dengan K(x).

b). Fungsi Distribusi Kumulatif Kontinu

Misalnya X adalah peubah acak kontinu, maka fungsi distribusi kumulatif dari X berbentuk:

F(x)=P(X ≤ x)=

∫

−∞ x

f(t)dt

dengan f(t) adalah nilai fungsi densitas dari X di t. Contoh 1.7

Variabel random X, memiliki fungsi kepadatan probabilitas sebagai berikut: f(x)=2x ,

(untuk 0<x<1¿. Tentukan P

(

1₂<x<3₄

)

! Penyelesaian:

P

(

1₂<x<3₄

)

=

∫

a b

=

∫

1 2 3 4

2x dx

=

[

x2

]1

2 3 4

=

(

3₄

)

2−

(

1₂

)

2

= ₁₆9 −1₄

¿₁₆5

Contoh 1.8

F(x)=4x2 (untuk : 0<x<2¿. Tentukan P(1<x<2)!

Penyelesaian: P(1<x<2)=

∫

a b

f(x)dx

=

∫

1 2

4x2dx

=

[

4₃ x3

]

1 2

=

[

4₃(2)3

]

−

[

₃4(1)3

]

= 32₃ −4₃ = 28₃

Pada pembahasan selanjutnya, fungsi distribusi kumulatif dari peubah acak kontinu akan dinyatakan sebagai fungsi distribusi saja.

Nilai fungsi distribusi untuk peubah acak kontinu biasanya berupa konstanta dan fungsi. Grafik fungsi distribusinya berupa kombinasi dari beberapa kemungkinan berikut ini: garis lurus, garis yang sejajar dengan sumbu datar, garis yang berimpit dengan sumbu datar, dan sebuah kurva.

Jadi, grafik fungsi distribusi untuk peubah acak kontinu mempunyai beberapa kemungkinan, di antaranya sebagai berikut.

1. Grafiknya berupa garis yang berimpit dengan sumbu datar dan kurva.

3. Grafiknya berupa garis yang berimpit dengan sumbu datar, kurva, dan garis yang sejajar dengan sumbu datar.

Penentuan fungsi distribusi dan grafiknya untuk peubah acak kontinu diperjelas melalui contoh berikut.

Contoh 1.9

Misalnya fungsi densitas dari peubah acak X berbentuk: f(x)=

(

3₈

)

x2;0<x<2

= 0 ; x lainnya. a. Tentukan fungsi distribusi F(x).

b. Gambarkan grafik dari F(x).

Penyelesaian: a. Untuk x<0

F(x)=0

Untuk 0≤ x<2

F(x)=

∫

−∞

0

f(t)dt+

∫

0

x

f(t)dt

=

∫

−∞

0

0dt+

∫

0

x

(

38

)

t2dt

= 0+

(

1₈

)

(t2)

]

t=0 2

F(x)=

(

1₈

)

x3 Untuk 2≤ x F(x)=

∫

−∞

0

f(1)dt+

∫

0 2

f(t)dt+

∫

2

x

f(t)dt

=

∫

−∞

0

0dt+

∫

0 2

(

38

)

t2dt+

∫

₂

x

0dt

= 0+

(

1₈

)

(t2)

]

t=0 2

+0

F(x)=1

=

(

1₈

)

x3;0≤ x<2 = 1;2≤ x

b. Grafiknya bisa dilihat dalam Gambar 1.5 F(x)

1

F(x) = X₈3

0 1 2 x

Gambar 1.5 Grafik Fungsi Distribusi

Jika kita memperhatikan Gambar 1.5, maka grafiknya berupa garis yang berimpit dengan sumbu datar, kurva, dan garis yang sejajar dengan sumbu datar.

Hal yang perlu diperhatikan dalam fungsi distribusi untuk peubah acak kontinu adalah penulisan notasinya. Karena dari definisi fungsi distribusi notasiyang digunakannya adalah F, notasi untuk fungsi distribusinya tidak selalu dengan F. Notasi untuk fungsi distribusinya bisa ditulis dengan huruf besar F, G, H, atau lainnya yang diikuti dengan nilai peubah acaknya dan sebaiknya disesuaikan dengan notasi fungsi densitasnya.

1. Apabila fungsi densitas dari peubah acak Y dinotasikan dengan g(y), maka notasi untuk fungsi distribusinya sebaiknya digunakan G(y).

2. Apabila fungsi densitas dari peubah acak Y dinotasikan dengan f(y), maka notasi untuk fungsi distribusinya sebaiknya digunakan F(y).

3. Apabila fungsi densitas dari peubah acak Y dinotasikan dengan h(y), maka notasi untuk fungsi distribusinya sebaiknya digunakan H(y).

4. Apabila fungsi densitas dari peubah acak Y dinotasikan dengan k(y), maka notasi untuk fungsi distribusinya sebaiknya digunakan K(y).

Perlu kita ketahui nilai peluang baik peubah acak diskrit maupun kontinu, dapat diperoleh berdasarkan fungsi distribusi. Hal ini bisa dilakukan dengan menggunakan rumus:

dengan a dan b adalah dua bilangan real dan a<b . _{Adapun perhitungan peluang dari peubah} acak berharga satu nilai dapat dilakukan dengan menggunakan rumus:

P(X=b)=Fx(b)−Fx¿

Pemahaman penggunaan rumus di atas untuk peubah acak diskrit dan kontinu masing-masing diperjelas melalui contoh berikut.

Contoh 1.10

Misalnya fungsi distribusi dari peubah acak X berbentuk:

F(x)=0; x<−1

= 125₂₁₆;−1≤ x<1

= 200₂₁₆;1≤ x<2

= 215₂₁₆;2≤ x<3

= 1 ; 3 ≤ x a. Hitung P(0≤ X<3)

b. Hitung P(X ≤0)

c. Hitung P(X>1)

d. Hitung P(−1≤ X<0)

e. Hitung P(X=1)

Penyelesaian:

a. P(0≤ X<3) = Fx(3)−Fx(0)

= 1−125₂₁₆

P(0≤ X<3)=₂₁₆91

b. P(X ≤0)=F(0)=125₂₁₆

c. P(X>1)=1−P(X ≤1)

= 1−F_x(1) = 1−200₂₁₆

P(X>1)=₂₁₆16

d. P(−1≤ X<0)=Fx(0)−Fx(−1)

= 125₂₁₆−125₂₁₆

e. P(X=1)=Fx(1)−Fx(−1)

= 200₂₁₆−125₂₁₆

P(X=1)=₂₁₆75

Contoh 1.11

Misal fungsi distribusi dari peubah acak X berbentuk: F(x)=0; x<0

= ₂x;0≤ x<1 = x−0,5;1≤ x<1,5 = 1;1,5≤ x

a. Hitung P(0,5<X<1,1)

b. Hitung P(X>0,7)

c. Hitung P(1,1<X ≤2)

d. Hitung P(X ≤1,4)

Penyelesaian:

a. P(0,5<X ≤1,1)=F(1,1)−F(0,5)

= (1,1−0,5)−0,5₂

= 0,6 – 0,5 P(0,5<X ≤1,1)=0,35

b. P(X>0,7)=1−P(X ≤0,7)

= 1−F(0,7)

= 1−0,7₂ = 1 – 3,5 P(X>0,7)=0,65

c. P(1,1<X ≤2)=F(2)−F(1,1)

= 1−(1,1−0,5)

= 1 – 0,6 P(1,1<X ≤2)=¿ 0,4

d. P(X ≤1,4)=F(1,4)

= 1,4−0,5

P(X=1)=0

c). Fungsi Distribusi Kumulatif Pelengkap (Distribusi Ekor)

Hal ini berguna untuk mempelajari pertanyaan berlawanan dan bertanya seberapa sering variabel acak di atas tingkat tertentu. Ini disebut fungsi distribusi kumulatif pelengkap (ccdf) atau hanya distribusi ekor atau exceedance, dan didefinisikan sebagai:

´

F(x)=P(X>x)=1−F(x)

Hal ini memiliki aplikasi dalam statistik pengujian hipotesis. Dengan demikian, ketentuan bahwa uji statistik, T, memiliki distribusi yang kontinu, satu-sisi hanya diberikan oleh fungsi distribusi kumulatif pelengkap: untuk nilai t diamati dari uji statistik,

p=P(T ≥ t)=P(T>t)=1−F_T(t)

Dalam analisis survival, _F´_{(x)disebut fungsi survival dan dilambangkan S(x), Catatan:}

1. Untuk variabel non-negatif acak kontinu dengan harapan, ketimpangan Markov menyatakan bahwa:

´

F(x)≤E(_xX).

2. Sebagai x → ∞ , F(x)→0 dan pada kenyataannya F(x)=o

(

1_x

)

.

Bukti: Dengan asumsi X memiliki fungsi kepadatan f, untuk setiap c>0,

E(X)=

∫

0

∞

xf(x)dx ≥

∫

0

c

xf(x)dx+c

∫

c ∞

f(x)dx

Kemudian, pada mengenali _F´_(c)=

∫

c ∞

f(x)dx dan menata ulang istilah,

0≤ c_F´ _{(c)≤ E(X)−}

∫

0

c

xf(x)dx →0as c → ∞.

Gambar 1.6 Contoh distribusi kumulatif dilipat untuk fungsi distribusi normal

Fungsi distribusi kumulatif dilipat disebut juga plot gunung, yang lipatan bagian atas seperti pada gambar grafik 1.6 sehingga menggunakan dua skala, satu untuk yang upslope dan satu lagi untuk downslope tersebut. Ini bentuk ilustrasi menekankan median dan dispersi (dengan deviasi absolut rata-rata dari median) dari distribusi atau hasil empiris.

e). Fungsi Distribusi Inverse (Fungsi Kuantil)

Jika F fungsi distribusi kumulatif adalah sangat meningkat dan terus menerus maka F−1

(y), y∈[0,1] adalah dengan x bilangan real sehingga F(x)=y .

Dalam kasus seperti ini, hal ini mendefinisikan fungsi distribusi invers atau fungsi kuantil. Sayangnya, distribusi tidak secara umum, memiliki invers. Satu dapat mendefinisikan, untuk y∈[0,1], maka fungsi distribusi umum invers adalah:

F−1

(y)=_xinf_∈R{F(x)≥ y}.

Kebalikan dari fungsi distribusi kumulatif disebut fungsi kuantil. Kebalikan dari fungsi distribusi kumulatif dapat digunakan untuk menerjemahkan hasil yang diperoleh untuk distribusi seragam untuk distribusi lainnya. Beberapa sifat dari fungsi distribusi kumulatif invers adalah:

1. F−1 _{tidak turun}

2. F−1(F(x))¿x 3. F(F(−1)(y))≥ y

5. Jika Y memiliki U[0,1] distribusi kemudian F−1(Y) didistribusikan sebagai F. Hal ini

digunakan dalam generasi nomor acak dengan menggunakan metode transformasi invers sampel.

6. Jika {Xa} adalah kumpulan independen F, didistribusikan variabel acak didefinisikan

pada ruang sampel yang sama, maka terdapat variabel acak Ya sehingga Ya

didistribusikan sebagai U[0,1] dan dengan probabilitas 1 untuk semua a F−1(Ya)=Xa.

f). Fungsi Distribusi Kumulatif Dalam Kasus Multivariate

Ketika berhadapan secara bersamaan dengan lebih dari satu variabel acak fungsi distribusi kumulatif gabungan juga dapat didefinisikan. Misalnya, untuk sepasang variabel acak X dan Y pada fungsi distribusi kumulatif bersama diberikan oleh: (x , y) → F(x , y) = P(X ≤ x ,Y ≤ y), dimana sisi kanan merupakan probabilitas bahwa variabel acak X mengambil

nilai kurang dari atau sama dengan x dan Y yang mengambil nilai kurang dari atau sama dengan y. Setiap fungsi distribusi kumulatif multivariat adalah:

1. Monoton non-menurun untuk setiap variabel yang 2. Kanan-menerus untuk masing-masing variabel tersebut. 3. 0≤ F(x1, … , xn)≤1

4. lim¿x1, … , xn→+∞ F(x1, … , xn)=1¿

¿ dan

lim ¿xi→−∞ F(x1, … , xn)=0¿

¿

D. Fungsi Probabilitas

Fungsi probabilitas

juga disebut fungsi kepadatan probabilitas atau kepadatan fungsi dari distribusi kontinu didefinisikan sebagai turunan dari fungsi distribusi kumulatif D(x).

D'(x)=[P(x)]−∞ x

= P(x)−P(−∞)

= P(x),

Jadi, D(x)=P(X ≤ x) =

∫

−∞ x

Sebuah fungsi probabilitas memenuhi, P(x∈B) =

∫

B

❑

P(x)dx dan dibatasi oleh kondisi

memenuhi P(−∞<x<∞)=

∫

−∞ ∞

P(x)dx=1.

Dalam kasus khusus,

P(a≤ x b)=

∫

a b

P(x)dx

P(a≤ x ≤ a+d a)=

∫

a a+da

P(x)dx

P(x=a)=

∫

a a

P(x)dx = 0

Untuk menemukan fungsi probabilitas dalam satu set variabel berubah, menemukan Jacobian. Sebagai contoh jika u=u(x),kemudian Pudu=Pxdx .

Jadi, Pu=Px

|

∂ x_∂u

|

.

Demikian juga, jika u=u(x , y)dan v=v(x , y), kemudian

Pu v=Px y

|

∂(x , y) ∂(u , v)

|

Mengingat n fungsi probabilitas P1(x), P2(y), … , Pn(z), dimana di distribusi sum X + Y

+ … + Z memiliki fungsi probabilitas,

P(t)=

∬

P1(x)P2(y)… Pn(z)δ((x+y+…+z)−t)dx dy ,

dimana δ(x) adalah fungsi delta. Demikian pula, fungsi probabilitas distribusi X Y … Z

diberikan oleh,

P(t)=

∬

P₁(x)P₂(y)… P_n(z)δ(x y … z−t)dx dy … dz ,

Di distribusi perbedaan X – Y, memiliki fungsi probabilitas sebagai berikut:

Sedangkan di rasio distribusi _YX memiliki fungsi probabilitas sebagai berikut:

P(t)=

∬

P1(x)P2(y¿δ

(

(

x

y

)

−t

)

dx dy

Fungsi Probabilitas Kumulatif (Fungsi Sebaran) untuk Satu

Peubah Acak

Sifat–sifat dari fungsi sebaran F(x) baik untuk peubah acak diskrit ataupun untuk peubah acak kontinu adalah sebagai berikut:

1. F(− )=P(X ≤− )=0

2. F(+ )=P(X ≤+ )=0

3. Monoton tidak turun: F(x1)≥ F(x2)untuk x1>x2

4. Kontinu dari sebelah kanan: lim¿0<h →0F(x+h)=F(x)¿ ¿

5. P(a<X ≤ b) = P(X ≤ b)−P(X ≤ a)

= F(b)−F(a)

6. P(a≤ X ≤ b)=P(X ≤b)−P(X<a)

= F(b)−F(a)+P(X=a)

7. P(a≤ X<b)=P(X<b)−P(X<a)

= F(b)−F(a)−P(X=a)+P(X=b)

8. P(a<X<b)=P(X<b)−P(X ≤ a)

= F(b)−F(a)+P(X=b)

A. Fungsi Probabilitas Kumulatif (Fungsi Sebaran) Diskrit

Misalkan X1, X2, X3, …, Xn merupakan peubah acak diskrit dengan fungsi probabilitas

p(x) > 0, maka fungsi sebaran bagi peubah acak tersebut dapat ditulis sebagai berikut,

F(x)=P(X ≤ x)=

∑

X ≤ x

Contoh 1.12

Peubah X1, X2, X3, X4 merupakan sampel acak berukuran 4 yang menyebar binomial

dengan probabilitasnya sama dengan 0.50 dan fungsi probabilitas p(x) sebagai berikut : P(x)=_{x !} 4!

(4−x)!

(

1 2

)

x

(

12

)

4−x

Tentukan probabilitas untuk seluruh nilai x dan sebaran probabilitas kumulatif, disertai gambar grafiknya!

Penyelesaian: p(x) :

P(0)=_0! 4!

(4−0)!

(

1 2

)

0

(

12

)

4

=₁₆1

P(1)=₁₆4 ;P(2)=₁₆6 ; P(3)=₁₆4 _{; dan} P(4)=₁₆1

Fungsi sebarannya adalah:

F(x)=P(X ≤ x),untuk x = 0, 1, 2, 3, 4 dapat diperoleh nilai-nilai F(x) sebagai berikut:

F(0)=₁₆1 ; F(1)=F(0)+P(1)=₁₆5

F(2)=F(1)+P(2)=11₁₆; F(3)=15_{16; dan} F(4)=16₁₆=1

Grafik dari P(X = x) = p(x) dan F(x) dapat dilihat sebagai berikut:

X

P(X)

1

2

3

4

0

4/16

8/16

16/16

X

F(X)

1

2

3

4

0

4/16

8/16

16/16

Gambar 1.8

B. Fungsi Probabilitas Kumulatif (Fungsi Sebaran) Kontinu

Bila X1, X2, X3, …, Xn merupakan peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan

probabilitas f(x) > 0, maka fungsi sebaran bagi peubah acak tersebut dapat ditulis sebagai berikut,

F(x)=P(X ≤ x)=

∫

−∞ x

f(x)dx

Contoh 1.13

Peubah X kontinu dengan fungsi kepekatan probabilitas f(x) sebagai berikut : f(x)=

{

2e

−2x

0 , x, x ≤>00

Tentukan:

a. Gambarkan grafik f(x)

b. Gambarkan F(x) = P( X  x )

c. Cari P ( 2 < x < 4 ) = P (2  X  4 ) berlaku untuk peubah kontinu, dimana e =

2,7182818  2,718.

Penyelesaian:

Fungsi kepekatan probabilitas dari peubah X yang kontinu adalah f(x), se-demikian rupa sehingga,

P(a<X ≤ b)=

∫

a b

f(x)dx _dengan f(x)≥0 _dan

∫

−∞ ∞

f(x)dx=1_.

Kurva f(x) dan P ( a  X  b ), f(x) = fungsi kepekatan Probabilitas, bukan fungsi

A

x

f ( x )

a

b

Gambar 1.9

A=P(a ≤ X ≤ b)=P(a<X<b)=

∫

a b

f(x)dx

= luas daerah yang diarsir

Apabila F(x) diketahui maka f(x) dapat ditentukan dengan, f(x)=dF_dx(x) turunan dari fungsi probabilitas kumulatif.

Fungsi kepekatan probabilitas

Selain disebut sebagai fungsi kepekatan probabilitas atau fungsi kepekatan peluang, ada pula yang menyebut fungsi ini dengan nama fungsi kerapatanprobabilitas, di mana fungsi ini merupakan turunan dari fungsi distribusi. Fungsi kepekatan probabilitas merupakan segolongan fungsi yang sering digunakan dalam statistika teoritis untuk menjelaskan perilaku suatu distribusi probabilitas teoritis. Suatu fungsi dikatakan sebagai fungsi kepekatan peluang apabila nilainya selalu positif untuk setiap titik absis dan fungsi primitifnya merupakan distribusi probabilitas atau dapat juga dinyatakan bahwa sebuah fungsi kerapatan probabilitas berharga tak negatif di mana-mana dan hasil integralnya yang merentang dari −∞ menuju +∞ bernilai 1.

Secara formal, sebuah distribusi probabilitas memiliki kerapatan f(x) jika f(x) adalah sebuah fungsi integrasi Lebesgue tak-negatif yang memetakan R → R, sehingga probabilitas

dalam interval [a, b] diberikan oleh,

Soal-soal Latihan

1. Berikan dua contoh mengenai peubah acak diskrit!

2. Berikan dua contoh mengenai peubah acak kontinu!

3. Budi mengundi sebuah dadu yang seimbang. Jika X menyatakan munculnya mata dadu. Apakah X merupakan sebuah peubah acak? Jika iya, apakah peubah acak diskrit atau kontinu?Jelaskan!

4. Dewi mengundi dua buah dadu yang seimbang secara sekaligus. Jika Y menyatakan jumlah dua buah mata dadu yang muncul. Apakah Y merupakan sebuah peubah acak?Jika iya, apakah peubah acak diskrit atau kontinu?Jelaskan!

5. Berdasarkan soal no. 3, tentukan fungsi distribusinya dan gambarkan grafik fungsi distribusinya!

6. Misalnya fungsi densitas dari Z berbentuk:

h(z)=₂z;0<z ≤1

= 1₂;1<z ≤2

=

(

1₂

)

(3−z);2<z ≤3

= 0; z lainnya.

a. Gambarkan grafik dari h(z)!

b. Tentukan fungsi distribusinya!

7. Misalnya fungsi distribusi dari X berbentuk:

F(x)=0; x ≤1

= 1₂;4≤ x<6

= 1 ; 10 ≤ x

Hitung P(2<X ≤6) dan P(X=4)!

8. Diketahui fungsi distribusi dari Y adalah:

F(y)=0; y<3

= 1₃;−3≤ y←1

= 2₃;−1≤ y<0

= 1; 0 ≤ y

a. Buktikan bahwa F(y) merupakan fungsi distribusi!

b. Hitung P(−2<Y ≤0) dan P(Y>−1,5)!

c. Gambarkan grafik dari F(y)!

Daftar Pustaka

Herrhyanto, Nar. (2009). Pengantar Statistika Matematis. Bandung: Yrama Widya.

Boediono. (2008). Teori dan Aplikasi Statistika dan Probabilitas. Bandung: Remaja Rosdakarya.

Rohana. (2008). Materi Pokok Statistika Dasar. Palembang: FKIP Universitas PGRI Palembang.