APLIKASI ARIMA DAN ARFIMA PADA DATA KONSENTRASI BLACK CARBON PARTIKULAT UDARA HALUS 〖PM〗_(2.5) DI DAERAH LEMBANG BANDUNG.

(1)

Fitriasari Anisa, 2013

Aplikasi Arima Dan Arfima Pada Data Kondentrasi Balck Carbon Partikulat Udara Halus PM2,5 Di Daerah Lembang Bandung

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

APLIKASI ARIMA DAN ARFIMA PADA DATA KONSENTRASI

BLACK CARBON PARTIKULAT UDARA HALUS

DI DAERAH LEMBANG BANDUNG

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada

Program Studi Matematika

Oleh

Fitriasari Anisa

0902276

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

(2)

APLIKASI ARIMA DAN ARFIMA PADA DATA KONSENTRASI BLACK

CARBON PARTIKULAT UDARA HALUS DI DAERAH LEMBANG BANDUNG

Oleh Fitriasari Anisa

Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada

Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Oktober 2013

(3)

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu Skripsi ini tidak boleh diperbanyak seluruhya atau sebagian,

dengan dicetak ulang, difoto kopi, atau cara lainnya tanpa ijin dari penulis.

FITRIASARI ANISA

APLIKASI ARIMA DAN ARFIMA PADA DATA

YANG MENGANDUNG MISSING DATA

(Studi kasus pada data konsentrasi black carbon partikulat udara halus di daerah

Lembang Bandung)

DISETUJUI DAN DISAHKAN OLEH :

Pembimbing I:

Entit Puspita, S.Pd, M.Si

NIP. 196704081994032002

Pembimbing II

Dr. Bambang Avip Priatna M, M.Si

NIP. 196412051990031001

Mengetahui,

(4)

Drs. Turmudi, M.Ed., M.Sc., Ph.D

(5)

i

ABSTRAK

Time series (runtun waktu) merupakan serangkaian data pengamatan yang terjadi

berdasarkan urutan waktu. Metode Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA ) adalah metode yang sering digunakan untuk data yang tidak stasioner. Ada beberapa data yang tidak stasioner tetapi fungsi autokorelasi nya turun secara sangat lambat. Data seperti ini dikategorikan data yang mengandung jangka panjang (long memory) yang dapat dimodelkan menggunakan Autoregressive

Fractionally Integrated Moving Average (ARFIMA). Tujuan dari penelitian ini

adalah untuk mengatasi missing data pada data dengan menggunakan metode imputasi yaitu Multiple Imputation (MI) dengan menggunakan software Norm 2.03, selanjutnya akan dimodelkan melalui dua pendekatan yaitu model ARIMA dan ARFIMA. Hasil dari penelitian ini menunjukan model ARFIMA lebih baik dibandingkan model ARIMA. Diperoleh model terbaik yaitu model ARFIMA (0,0.4,1).

(6)

i

ABSTRACT

Time series is the occurrence of a series of observational data based on time sequence. Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA ) method is a method most commonly used for not stationary data. Some data are not stationary but the autocorrelation function descreased slowly. These data are categoried as long memory time series data that can be modeled using the ARFIMA. The purpose of this study is to overcome missing data in data with Multiple Imputation (MI) method using NORM 2.03 software, then modeled by ARIMA and ARFIMA. Result from this study show ARFIMA is better than the ARIMA model. Obtained the best model is a model ARFIMA (0,0.4,1).

(7)

v

2.2 Fungsi Autokovarians ... 7

2.3 Stasioneritas ... 7

2.4 Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial... 7

2.5 Metode Box-Jenkin’s ... 9

2.6 Model untuk Data Stasioner ... 10

2.7 Model untuk Data Nonstasioner ... 13

(8)

vi

BAB III MISSING OBSERVATIONS DAN PROSES RUNTUN

WAKTU JANGKA PANJANG ... 17

3.1. Missing Data ... 17

3.2. Proses Runtun Waktu Jangka Panjang ... 18

3.3. Proses ARFIMA ... 19

3.4. Pemodelan ARFIMA ... 21

3.5. Metodologi Penelitian ... 26

BAB IV STUDI KASUS ... 29

4.1 Sumber Data ... 29

4.2 Statistik Deskripsi Data ... 29

4.3 Missing Data dan Statistik Deskriptif Data ... 30

4.4 Uji Stasioneritas ... 31

4.5 Model ARIMA... 34

4.6 Model ARFIMA ... 40

4.7 Perbandingan Model Terbaik dari ARIMA dan ARFIMA ... 44

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ... 46

5.1 Kesimpulan ... 46

5.2 Saran ... 47

DAFTAR PUSTAKA ... 48

LAMPIRAN ... 50

(9)

vii

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 4.1 Statistik Deskriptif data konsentrasi BC ... 30

Tabel 4.2 Statistik Deskriptif data konsentrasi BC lengkap ... 30

Tabel 4.3 Pengujian Dicky-Fuller sebelum differencing... 33

Tabel 4.4 Pengujian Dicky-Fuller setelah differencing ... 35

Tabel 4.5 Persamaan Model-Model ARIMA ... 38

Tabel 4.6 Uji Keberartian Koefisien Model Box-Jenkin’s ... 38

Tabel 4.7 Uji Kecocokan (lack of fit) ... 39

Tabel 4.8 Uji Keberartian Koefisien ... 43

Tabel 4.9 Pemilihan Model ARFIMA Terbaik ... 43

Tabel 4.10 Perbandingan Model ARIMA dan ARFIMA ... 44

(10)

viii

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 4.1 Plot Box-Cox Data Konsentrasi Black Carbon ... 31

Gambar 4.2 Plot Box-Cox Data Konsentrasi BC setelah transformasi ... 32

Gambar 4.3 Plot time series data konsentrasi BC ... 32

Gambar 4.4 Fak Data Konsentrasi BC ... 33

Gambar 4.5 Fakp Data Konsentrasi BC ... 34

Gambar 4.6 Plot time series data konsentrasi BC diff 1 ... 34

Gambar 4.7 Fak Data Konsentrasi BC diff 1 ... 36

Gambar 4.8 Fakp Data Konsentrasi BC diff 1 ... 36

Gambar 4.9 Fak Data BC diff d=0.4 ... 41

(11)

ix

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran 1 Data Konsentrasi BC ... 50

Lampiran 2 Data Konsentrasi BC Interval Minggu... 55

Lampiran 3 Data Konsentrasi BC Interval Minggu Lengkap... 58

Lampiran 4 Data Konsentrasi BC setelah ditransformasi ... 61

Lampiran 5 Data Konsentrasi BC differencing 1 ... 63

Lampiran 6 Mengatasi Missing Data menggunakan Norm 2.03 ... 65

Lampiran 7 Output Minitab Estimasi Parameter Model ARIMA... 68

(12)

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Black carbon (BC) merupakan bentuk impuritas dari karbon hasil

pembakaran tidak sempurna bahan bakar fosil atau pembakaran biomassa.

Black carbon memiliki pengaruh yang signifikan terhadap perubahan iklim

melalui sifatnya yang mampu menyerap sinar matahari. Sumber utama BC

adalah antropogenik, termasuk pembakaran biomassa, kendaraan bermotor

(bensin dan diesel) serta sumber industri seperti pembakaran batu bara

(Lestiani at al.,2013).

Pencemar udara adalah masuknya/dimasukannya zat, energi,

dan/atau komponen lain ke dalam udara ambien oleh kegiatan manusia,

sehingga mutu udara ambien turun sampai tingkat tertentu yang

menyebabkan udara ambien tidak dapat memenuhi fungsinya (Peraturan

Pemerintah no.41, tahun 1999, pasal 1 angka 1).

Parameter utama pencemaran yang berdampak pada kesehatan

paru-paru dan jantung adalah particulat matter (PM). Partikulat udara yang

berukuran 2.5 < PM < 10 ( ) disebut atau partikulat kasar,

sedangkan partikulat udara yang berukuran 0 < PM < 2.5 ( ) disebut

atau partikulat halus. Konsentrasi BC umumnya 10-40% dari partikulat udara halus, partikulat halus ini yang dapat lolos terhirup oleh

hidung manusia sehingga mampu berpenetrasi ke dalam bagian paru-paru.

Bentuk kontribusi Teknik Analisis Nuklir (TAN) terhadap permasalahan

udara adalah dengan mengkaji kualitas udara di Indonesia. Pada penelitian

ini, BC pada ditentukan berdasarkan metode reflektansi

menggunakan alat EEL Smoke Stain Reflectometer. Pengambilan sampel

(13)

Hasil penelitian dan pengambilan sampel tahun 2003-2009 terhadap

konsentrasi black carbon di Lembang Bandung oleh BATAN Bandung

memperlihatkan data yang cenderung stabil, untuk itu sejak 2010 tidak

dilakukan lagi penelitian dan pengambilan sampel di daerah Lembang

Bandung, dengan pertimbangan penghematan tenaga, biaya dan karena data

yang didapat memperlihatkan polusi udara yang cenderung stabil.

Dikarenakan salah satu Program BATAN adalah memonitor kualitas

udara di Indonesia maka penting untuk dapat memodelkan data konsentrasi

black carbon diseluruh daerah, diantaranya di Lembang Bandung, dengan

harapan model peramalan yang diperoleh dapat memberikan gambaran

keadaan kualitas udara Lembang Bandung setelah pengambilan sampel

tidak dilakukan lagi.

Terdapat beberapa macam metode peramalan, salah satunya adalah

Analisis Runtun Waktu. Analisis runtun waktu (time series) merupakan

serangkaian data pengamatan yang terjadi berdasarkan waktu secara

runtun, baik data dalam interval tahun, bulan, hari, jam, menit atau detik.

Peramalan dilakukan dengan menganalisis dan mencocokan model

yang sesuai dengan data yang dimiliki. Hanya saja tidak jarang data yang

dimiliki tidak lengkap, kadang ditemukan data observasi yang terlewat

atau hilang yang dikenal dengan missing observations atau missing data.

Missing data merupakan informasi yang tidak tersedia dalam

sebuah subyek atau kasus. Dalam Statistical Package for The Sosial

Science (SPSS) missing data adalah adanya sel – sel kosong pada satu atau

beberapa variabel. Banyak hal yang menyebabkan terjadi missing data,

seperti peralatan yang tidak berfungsi dengan baik, kesalahan mekanis,

penolakan dari responden untuk menjawab kuisioner, dan tidak adanya

jawaban dari setiap pertanyaan yang spesifik sehingga tidak mengetahui

variabel yang dipermasalahkan(Hutrisah, 2013).

Metode untuk mengatasi missing data secara umum dapat dibagi

(14)

3

estimasi parameter dari missing data, dan Imputasi. Imputasi merupakan

proses pengisian atau penggantian nilai-nilai yang mungkin (plausible

values) berdasarkan informasi yang didapatkan dari data tersebut.

Dalam Skripsi ini untuk mengatasi missing data akan digunakan

kategori multiple imputation, dengan menggunakan software Norm 2.03.

Sedangkan metode runtun waktu digunakan untuk memodelkan peramalan

yang akan datang dapat dilihat dengan memperhatikan data masa lalu dan

dilakukan pemodelan data berdasarkan identifikasi Box-Jenkins,

manggunakan plot fungsi autokorelasi (fak) dan fungsi autokorelasi parsial

(fakp).

Pada data runtun waktu yang tidak stasioner, model ARIMA

(Autoregressive Integrated Moving Average) sangat efektif untuk

digunakan. _{Tetapi Adakalanya, plot fak dan fakp menunjukkan pola deret}

berkala jangka panjang (long memory), ini terlihat dari nilai-nilai

autokorelasi pada plot fak atau fakp turun secara lambat untuk lag yang

semakin meningkat. Identifikasi ini mengindikasikan bahwa nilai dari d

koefisien pembeda (differencing) bernilai pecahan, sehingga model yang

paling cocok adalah Model ARFIMA (Autoregressive Fractionally

Integrated Moving Average) (Darmawan, 2008).

Harus selalu diingat bahwa dalam praktek, model yang ditemukan

bukanlah model yang sebenarnya dari proses yang menghasilkan data yang

diamati, melainkan hanya merupakan pendekatan saja, sehingga

mengandung kesalahan (sesatan) baik dalam langkah identifikasi maupun

estimasi (Soejoeti, 1987). Dalam tugas akhir ini akan dilakukan

pemodelan ARIMA dan ARFIMA. Dimana untuk mengetahui model yang

terbaik adalah model yang menghasilkan sesatan (bias) terkecil.

Berdasarkan uraian di atas penulis tertarik untuk mengkaji model

runtun waktu dari data konsentrasi black carbon partikulat udara halus

(15)

Data Konsentrasi Black Carbon Partikulat Udara Halus di Daerah

Lembang Bandung”.

1.2 Batasan Masalah

Untuk mengatasi beberapa data hilang akan digunakan software

NORM 2.03 dan pendekatan yang digunakan adalah model ARIMA dan

ARFIMA.

1.3 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah yang telah diuraikan,

permasalahan yang akan diangkat pada skripsi ini adalah :

1. Bagaimana model ARIMA dan ARIFMA untuk data konsentrasi black

carbon partikulat udara halus di daerah Lembang Bandung ?

2. Bagimana perbandingan model ARIMA dan ARFIMA untuk data

konsentrasi black carbon partikulat udara halus di daerah

Lembang Bandung?

1.4 Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan pembuatan

tugas akhir ini adalah sebagai berikut :

1. Memodelkan data konsentrasi black carbon partikulat udara halus

di Lembang Bandung dengan ARIMA dan ARFIMA.

2. Mengetahui pemodelan terbaik dari data konsentrasi black carbon

partikulat udara halus di Lembang Bandung.

1.5 Manfaat Penulisan

(16)

5

Bagi para mahasiswa diharapkan skripsi ini dapat menjadi

media pembelajaran untuk menambah pengetahuan baru,

khususnya metode mengatasi data hilang (missing observations)

dan metode untuk meramalkan data yang mengandung pola jangka

panjang (Long Memory).

Model yang didapat diharapkan dapat membaca keadaan

konsentrasi black carbon Lembang Bandung sebagai gambaran

bagi pihak BATAN setelah pengambilan sampel diberhentikan.

1.2 Manfaat Teoritis

Menambah khazanah memodelkan dari data time series

(17)

17

BAB III

MISSING DATA DAN PROSES RUNTUN WAKTU

JANGKA PANJANG

3.1 Missing Data

Missing data merupakan hilangnya informasi atau data dalam suatu

subjek. Terdapat banyak hal yang menyebabkan terjadinya missing data,

yaitu dapat disebabkan salah penginputan, terkait respon dari perespon

ataupun terdapat kendala pada alat pengumpulan data.

Adapun tipe dari missing data diantaranya:

1. Missing Completely at Random (MCAR) yang berarti bahwa missing

data terjadi secara acak dari sampel lengkap,

2. Missing not at Random (MNAR) yang berarti bahwa probabilitas dari

sebuah observasi yang hilang tidak derkaitan dengan hasil observasi

lain. Sehingga nilainya tersebut berkaitan dengan dirinya sendiri, dan

3. Missing at Random (MAR) yang berarti bahwa probabilitas sebuah

observasi dari missing data biasanya berkaitan dengan informasi yang

diberikan responden dengan suatu alasan untuk tidak memberikan data.

(Donders, A.R.T at al., 2006 : 1088)

Terdapat beberapa metoda imputasi yang biasa digunakan seperti

imputasi rata-rata, imputasi maksimum maupun imputasi minimum dengan

menggunakan bantuan software SPSS. Hanya saja menurut John W.

Graham (2012:51) merekomendasikan untuk tidak pernah menggunakan

imputasi rata-rata karena memasukan rata-rata pada missing data dapat

mengurangi varians dari variabel yang bersangkutan dan dapat merusak

kovarians dan autokovariansnya. Untuk mendapatkan estimasi yang baik

pada missing data Jhon W.Graham merekomendasikan untuk menggunakan

Multiple Imputation dengan Norm 2.03 atau menggunakan Multiple

(18)

18

Pada skripsi ini digunakan metode Multiple Imputation (MI) yang

dapat menghasilkan inferensi valid untuk missing data pada software Norm

2.03, Data Augmentatin (DA) menganggap bahwa mekanisme missing data

adalah Missing at Random (MAR) yang mana data yang hilang tidak

tergantung pada nilai data yang hilang, tetapi tergantung pada nilai data

yang teramati.

3.2 Proses runtun waktu jangka panjang

Sebuah kasus khusus dari proses runtun waktu adalah proses jangka

panjang (long memory) atau long-range dependent processes. Terdapat

berbagai definisi dari long-range dependent, namun pada intinya

berdasarkan Hall (1997) dalam (Palma, Wilfredo, 2007:39) alasan semula

konsep jangka panjang ini erat hubungannya dengan kestasioneran pada

rata-rata.

(Haslet dan Raftery, 1989) mengatakan bahwa data yang

dikategorikan sebagai data long memory ditandai dengan plot fungsi

autokorelasi (fak) yang tidak turun secara eksponensial melainkan menurun

secara sangat lambat. Fenomena long memory didalam data runtun waktu

pertama kali diperkenalkan oleh Hurst (1951, 1956). Granger dan Joyeux

(1980), serta Hosking (1981), mengembangkan model Autoregressive

Fractionally Integrated Moving Average (ARFIMA) untuk memodelkan

long memory pada data runtun waktu.

Model ARFIMA merupakan model terbaik yang dapat menjelaskan

data deret waktu baik berupa short memory maupun long memory dengan

differencing yang dapat bernilai real ( Moulines dan Soulier, 1999).

Sehingga model ARFIMA dapat mengatasi kelemahan dari model ARIMA

yang hanya dapat menjelaskan short memory dengan differencing bernilai

bilangan bulat. Berikut adalah definisi daripada proses jangka panjang dari

(19)

Definisi 3.1

Sebuah proses dikatakan mengandung jangka panjang jika

∑ | | adalah tak hingga. (Pfaff, 2008:40)

Menurut Hall pada tahun 1997 dalam Palma (2007: 39) mengatakan

jika autokovarian suatu proses stasioner dapat dijumlahkan maka proses

tersebut memiliki proses jangka pendek Sedangkan jika autokovarian suatu

proses stasioner tidak dapat dijumlahkan (nilainya tidak terdefinisi) maka

proses tersebut memiliki proses jangka panjang.

Definisi 3.2

Misalkan adalah fungsi autokovarian pada lag ke-k

dari proses stasioner , long memory dapat didefinisikan sebagai: ∑| | ... (3.1)

(Palma, 2007 : 40)

3.3 Proses Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average

(ARFIMA)

Suatu deret dikatakan mengikuti model ARIMA jika penyelisihan

ke- yakni adalah proses ARMA. Jika adalah ARMA ( ,

maka adalah ARIMA( . Dalam prakteknya nilai yang digunakan

pada umumnya bernilai 1 atau paling banyak 3 (Wei, 1994).

Model Autoregresive Fractionally Integrated Moving Average

ditulis ARFIMA ( dapat memodelkan proses ketergantungan jangka

(20)

20

model ARIMA yaitu dan , dimana adalah parameter AR, adalah

parameter MA, sedangkan parameter pembeda berupa bilangan pecahan

, yang menyebabkan nilai-nilai fak turun secara hiperbolik. Model

ARFIMA ( yang dikenalkan oleh Granger dan Joyeux (1980) adalah

sebagai berikut,

... (3.2) Dimana,

t : indeks dari pengamatan

: parameter pembeda (bilangan pecahan)

: rata-rata dari pengamatan

: operator fraksional diferensi

berdistribusi identik independen

adalah operator

Untuk suatu nilai d bernilai pecahan, operator fraksional diferensi

didefinisikan sebagai berikut:

∑ ... (3.3)

Pada persamaan (3.3) untuk berbagai nilai , ekuivalen dengan:

(21)

Spectral density adalah sebuah fungsi real positif yang variabel

frekuensi nya dihubungkan dengan fungsi deterministik dari waktu. Dalam

(Palma, 2007 : 49), spectral density dari (3.2) adalah sebagai berikut:

( )

Dimana adalah fungsi gamma, dan fungsi autokorelasi (fak) adalah:

... (3.6)

Dan fungsi autokorelasi parsial (fakp) adalah sebagai berikut:

... (3.7)

Dengan untuk ukuran n yang besar.

Menurut Boutahar dan Khalfaoui (2011), karakteristik utama dari

sebuah model ARFIMA ( ) adalah sebagai berikut,

stasioner dimana fungsi autokorelasi menurun secara hiperbolik

menuju nol.

(22)

22

3.4 Pemodelan ARFIMA

Tahapan pemodelan ARFIMA melalui metode Box-Jenkins

dilakukan melalui tahap identifikasi, estimasi, verifikasi dan peramalan.

Berikut akan dijelaskan tiap tahapan Pemodelan ARFIMA.

3.4.1 Tahap Identifikasi Model ARFIMA

Identifikasi untuk model ARFIMA dilakukan dengan

memperhatikan plot data runtun waktu untuk melihat pola data, plot

fungsi autokorelasi (fak), plot fungsi autokorelasi parsial (fakp) dan

transformasi Box-Cox untuk data yang tidak stasioner dalam varians

(Wei, 1990 ).

Proses jangka panjang diidentifikasi bukan hanya melalui

fungsi autokorelasi (fak) dan fungsi autokorelasi parsial (fakp).

Namun diperlukan juga fungsi spectral density dari proses yang

diestimasi oleh periodogram.

Pada saat kondisi rata-rata tidak stasioner dilakukan

differencing ( ) untuk menstasionerkan data, untuk proses

short memory dilakukan dengan d bernilai bilangan bulat, sedangkan

untuk proses long memory dilakukan dengan . Pada saat

kondisi varians yang tidak stasioner dilakukan transformasi data,

salah satunya dengan transformasi Box-Cox (power transformation).

3.4.2 Tahap Estimasi Parameter Model ARFIMA

Metode estimasi parameter d yang akan digunakan adalah

metode GPH (Gawake and Poter-Hudak). Metode GPH pertama kali

diusulkan oleh Geweke dan Poter-Hudak pada tahun 1983, dimana

(23)

regresi kuadrat terkecil yang diperoleh dari sebuah penaksiran

persamaan regresi logaritma spectral density.

Kelebihan metode GPH dibandingkan dengan yang lainnya

seperti metode Maksimum Likelihood (Sowell, 1992) dan Metode

Nonlinear Least Square (Beran, 1995) adalah fleksibilitas dalam

penaksiran parameternya. Penaksiran parameter pembeda pada

metode GPH dapat dilakukan secara langsung tanpa mengetahui

nilai parameter dan terlebih dahulu. Pendekatan dengan

maksimum likelihood berkendala pada penurunan fungsi

autokovarians dari model ARFIMA (Darmawan,2008).

Irhamah (2007) telah melakukan penelitian mengenai

perbandingan metode-metode pendugaan parameter model

ARFIMA, yaitu metode Geweke and Poter Hudak (GPH), Estimasi

Maksimum Likelihood (EML) dan Nonlinear Least Square (NLS).

Hasil dari studi ini menyatakan bahwa penduga GPH

meminimumkan bias dan AIC tetapi memaksimumkan MSE,

sedangkan penduga EML untuk adalah efisien namum

memberikan bias dan AIC maksimum. Sebaliknya penduga NLS

paling efisien untuk .

Sebagaimana yang telah diketahui sebelumnya, fungsi

(24)

24

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu ( ) ( )[ ( )]

( ) ( )[ (

_)]

( ( ))

Misalkan ( ) [ ]

Karena maka [ ] dapat diabaikan, sehingga

persamaan di atas dapat ditulis kembali menjadi:

Dengan dan .

Estimasi dari parameter long memory , disimbolkan dengan

̂, didefinisikan sebagai berikut:

̂ ∑ ( ̅) ̅

∑ ̅ ... (3.8)

Dengan ̅ ∑ dan ̅ ∑ ,

3.4.3 Tahap Verifikasi

Tahap erifikasi meliputi pengujian terhadap residual

diantaranya dilakukan pengujian residual saling bebas, mempunyai

rata-rata nol dan varians konstan. Uji yang digunakan untuk asumsi

(25)

residual berdistribusi normal dengan menggunakan uji kolmogorov

smirnov.

3.4.4 Tahap Peramalan Model ARFIMA

Tahapan analisis data runtun waktu selanjutnya adalah

melakukan peramalan. Penaksir terbaik dari adalah ̂.

Teorema Dekomposisi Wold merupakan sebuah alat pokok

untuk menganalisis proses stasioner (Wold, 1938 dalam Palma,

2007).

Teorema 3.3

Beberapa proses stasioner merupakan penjumlahan dari sebuah

proses stokastik dan sebuah proses deterministik; kedua proses ini

adalah orthogonal dan dekomposisi unik.

(Palma, 2007 : 5)

Berdasarkan representasi teorema Wold, sebuah proses stokastik

stasioner dapat dituliskan sebagai berikut:

∑ ... (3.9)

Proses (1.1) dikatakan invertible, jika terdapat barisan koefisien

sedemikian sehingga:

∑ ... (3.10)

Asumsikan pada persamaan (3.10), proses dapat ditulis

sebagai:

∑ ... (3.11)

Berdasarkan persamaan (3.11), merupakan sebuah proses

invertible. Prediksi linier terbaik dari observasi adalah sebagai

berikut:

(26)

26

Dengan konsekuensi ̂ merupakan proses dengan

rata-rata nol dan varians konstan. Sehingga dapat diketahui untuk ̂

adalah sebagai berikut:

̂ _∑ ... (3.13)

Dari persamaan (3.13) diperoleh hasil sebagai berikut,

̂_∑ ,

̂ _∑

,

Dan seterusnya.

3.4.5 Tahap Pemilihan Model Terbaik

3.4.5.1. Mean Square Error (MSE)

Kriteria penentuan model terbaik berdasarkan residual

digunakan persamaan Mean Square Error (MSE)

... (3.14)

Dengan ∑ , merupakan banyaknya observasi

dan merupakan banyaknya parameter yang diestimasi.

3.4.5.2. Akaike’s Information Criterion (AIC)

Untuk menilai suatu kualitas dari pemilihan model,

Akaike pada tahun 1973 memperkenalkan kriteria informasi

yangg mempertimbangkan banyaknya parameter. Kriteria

tersebut dinamakan Akaike’s Information Criterion (AIC).

Dirumuskan sebagai berikut:

̂ ... (3.15) Dimana,

M : banyaknya parameter dalam model

: banyaknya observasi

̂ : estimasi dari Mean Square Error

(27)

3.5Metodologi Penelitian

3.5.1 Pengambilan Data

Data yang digunakan pada skripsi ini adalah data sekunder

yang diperoleh dari hasil penelitian di BATAN Bandung. (Lestani, et

al.,2007:331) menjelaskan bahwa Pengambilan sampel partikulat

udara dilakukan seminggu dua kali selama 24 jam menggunakan Gent

stacked filter unit sampler di lokasi sampling stasiun Badan

Meterologi dan Geofisika-BMG Lembang. Filter yang digunakan

adalah filter jenis Nuclepore polikarbonat yang berukuran dua macam

yaitu filter halus (berpori-pori 0,4 ) dan filter kasar (berpori-pori 8

). Penentuan konsentrasi dilakukan menggunakan metode gravimetri yang diperoleh dari pengurangan hasil penimbangan berat

sampel pada filter halus dengan berat filter halus kosong. Sebelum

dilakukan penimbangan, filter dikondisikan pada ruang bersih dengan

temperatur dan kelembaban maksimum kurang dari 55%.

Penentuan reflektansi dari filter sampel dilakukan menggunakan alat

EEL Smoke Stain Reflectometer, Diffusion System, Ltd, Model 43D.

Tata cara pengukuran reflektans BC menggunakan EEL smoke

stain reflectometer adalah sebagai berikut:

1. Sampel yang akan diukur harus disimpan (dikondisikan) minimal

12 jam pada kondisi yang sama dengan alat EEL Smoke Stain

Reflectometer.

2. Sampel yang akan diukur harus ditangani menggunakan pinset

yang bersih.

3. Alat dihubungkan dengan tegangan jala-jala 220-240V, tombol ON

ditekan lalu dibiarkan minimal selama ½ jam agar kondisi alat

(28)

28

4. Angka pada display diatur hingga menunjukan angka 00,0 dengan

memutar tombol ZERO tanpa memasang Reflectometer Lead (RL)

pada soket INPUT.

5. Kabel RL dipasang pada soket INPUT, kemudian Reflectometer

Lead (RL) diletakan di atas standar putih. Tombol COARSE atau

tombol FINE diputar hingga angka pada display menunjukan angka

100.

6. Untuk pengukuran filter halus sampel partikulat udara,

Reflectometer Lead (RL) diletakan di atas standar abu-abu,

kemudian tombol COARSE dan FINE diputar hingga angka pada

display menunjukan angka yang sesuai dengan nilai yang

didapatkan dari nilai pengukuran 5 filter halus kosong pada standar

abu-abu.

7. Untuk pengukuran filter kasar sampel partikulat udara,

Reflectometer Lead (RL) diletakan di atas standar abu-abu,

kemudian tombol COARSE dan FINE diputar hingga angka pada

display menunjukan angka yang sesuai dengan nilai yang

didapatkan dari nilai pengukuran 5 filter kasar kosong pada standar

abu-abu.

8. Sampel partikulat udara diletakan pada standar putih dengan posisi

sampel (debu) di atas, kemudian RL diletakan di atas sampel

tersebut.

9. Pengukuran dilakukan sebanyak 3 kali untuk masing-masing

sampel.

3.5.2 Statistika Deskriptif

3.5.3 Estimasi Missing Data

Metode yang digunakan untuk mengatasi missing data pada data

karakteristik black carbon partikulat udara halus di Lembang

(29)

bantuan software Norm 2.03. Sebagaimana telah dijelaskan pada

bagian 3.1.

3.5.4 Aplikasi Pemodelan ARIMA

Langkah-langkah pemodelan ARIMA adalah sebagai berikut:

1. Tahap Identifikasi Model

2. Tahap Estimasi Parameter

3. Tahap Verifikasi ( uji keberartian koefisien dan uji lack of fit)

4. Tahap Pemilihan Model Terbaik

3.5.5 Aplikasi Pemodelan ARFIMA

Langkah-langkah pemodelan ARFIMA hampir sama dengan

langkah-langkah pemodelan ARIMA. Perbedaannya hanya pada tahap

identifikasi, dimana untuk pemodelan ARFIMA melakukan

identifikasi long memory.

3.5.6 Pemilihan Model Terbaik

(30)

46

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Data konsentrasi black carbon partikulat udara halus di

Lembang Bandung menunjukan Plot data time series tidak stasioneran pada

rata-rata, serta fungsi autokorelasi terlihat turun secara lambat. Sehingga

dapat dimodelkan melalui pendekatan ARIMA dan ARFIMA:

a. Pendekatan aplikasi model ARIMA diperoleh model terbaiknya yaitu

ARIMA(0,1,1)

b. Pendekatan aplikasi ARFIMA diperoleh model terbaiknya yaitu

ARFIMA(0,0.4,1)

Perbandingan model ARIMA dan ARFIMA untuk data konsentrasi

black carbon partikulat udara halus di Lembang Bandung.

Tabel

Perbandingan Model ARIMA dan ARFIMA

Model AIC

ARIMA(0,1,1) 5191.37

ARFIMA(0,0.4,1) 5149,047

model ARFIMA (0,0.4,1) merupakan model terbaik untuk data konsentrasi

black carbon partikulat udara halus di Lembang Bandung yang

memiliki nilai AIC lebih kecil dibandingkan dengan model ARIMA (1,1,0) .

Model ARFIMA (0,0.4,1) dapat ditulis sebagai berikut:

(31)

5.2 Saran

1. Model yang telah diperoleh dapat menjadi bahan penelitian selanjutnya

untuk pembaharuan data.

2. Untuk penelitian selanjutnya dapat membandingkan keadaan hasil

pemodelan konsentrasi BC pada Lembang Bandung dengan

keadaan konsentrasi BC pada Kota Bandung

3. Untuk mengatasi missing data dapat menggunakan software lain yang

(32)

48

DAFTAR PUSTAKA

Agustiana,F.(2010).Perbandingan Penaksiran Pembeda (d) ARFIMA

Nonstasioner GPH dengan Modifikasi GPH (Geweke and Poter-Hudak).

Tesis Program Pasca Sarjana UNPAD Bandung: tidak diterbitkan

Boutahar,M. Dan Khalfaoui,R.(2011).Estimation of the Long Memory Parameter

in Non-Stationary Models: A simulation Study.GREQAM,version 1-23 May

2011.

Darmawan,G.(2008).Perbandingan Metode Peramalan pada Model

ARFIMA[online].Tersedia:httpml.scribd.com/doc/49757041/semnas-mipa-Matematika.

Donder, A.,Greet J.M.G, Theo Stijden dan Karnel G.M. Moon (2006). Special

Series : Missing Data [online]. Tersedia: http://os1.amc.nl/mediawiki [07

Maret 2013]

Graham,J.W,.(2012). Missing Data Analysis and Design.New York :Springer.

Grewal, M.S. and Angus, P.A.. (2001).Peramalan pembangkitan kaidah asosiasi

untuk berbagai kondisi dengan menggunakan teknik kombinasi dataset

[online]. tersedia : http: digilib.its.ac.id [07 Maret 2013]

Haslett,J and Reftery,A.E.(1989).Space-Time Modelling with Long Memory Dependence:Assesing Ireland’s Wind Power Resource[online],Vol.38(1), 50 halaman.Tersedia:http://epaa.asu.edu/epaa/v7n7.html[13 maret 2013].

Hutrisah S.M Sitohang et al. (2011). Estimasi Missing data dalam Multivariat

berdasarkan data yang teramati [online]. Tersedia: http:ejournal.unesa.ac.id

(33)

Lestiani,D.D.,Santoso,M. Dan Hidayat,A.(2007).Karakteristik Black Carbon

Partikulat Udara Halus di Bandung dan Lembang

2004-2005.Bandung:PTNBR-BATAN Bandung.

Moulines,E dan Soulier,P.(1999).Log Periodogram Regression of Time Series

with Long Range Dependence. Annal of Statistics,Vol 27(4),1415-1439.

Nurbaety Basmar et al. (2011). Pemodelan Residual Regresi yang mengandung

Missing Observations dan Long memory [online]. Tersedia: http:

digilib.its.ac.id [20 Februari 2013].

Palma,W.(2007).Long Memory Time Series Theory and Methods.Canada:Wiley.

Pfaff,B.(2008).Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with

R.Germany:Springer.

Presiden Republik Indonesia.(1999).Peraturan Pemerintah nomor 41 tahun 1999

tentang Pengendalian Pencemaran Udara [online].Tersedia:

http://jdih.menlh.go.id/pdf/ind/IND-PUU-3-1999-PP-41-1999[01 Oktober

2013]

Schafer,J.L.(1999).NORM User Guide. The Pennsylvania State University

Parameter [online].Tersedia: http://methodology.psu.edu.

Soejoeti, Zanzawi (1987).Analisis Runtun Waktu. Bandung: Jakarta; Karunika

Jakarta.

Wei,W.W.S.(1990).Time Series Analysis. Canada: Addison Wisley Publishing

Company.

Wei,W.W.S(1994).Time Series Analysis Univariate and Multivariate