i
TRIGONOMETRI
Supratman, S.Pd., M.Pd., C.VLD
PENERBIT CV.EUREKA MEDIA AKSARA
ii
TRIGONOMETRI
Penulis : Supratman, S.Pd., M.Pd., C.VLD Editor : Rahmat Hidayat & Sri Mitha Fitriani Desain Sampul : Eri Setiawan
Tata Letak : Via Maria Ulfah ISBN : 978-623-5382-56-2
Diterbitkan oleh : EUREKA MEDIA AKSARA, MEI 2022 ANGGOTA IKAPI JAWA TENGAH NO. 225/JTE/2021
Redaksi:
Jalan Banjaran, Desa Banjaran RT 20 RW 10 Kecamatan Bojongsari Kabupaten Purbalingga Telp. 0858-5343-1992
Surel : eurekamediaaksara@gmail.com
Cetakan Pertama : 2022
All right reserved
Hak Cipta dilindungi undang-undang
Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apapun dan dengan cara apapun, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya tanpa seizin tertulis dari penerbit.
iii KATA PENGANTAR
Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh.
Puji syukur kami limpahkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas pertolongan-Nya, kami dapat menyelesaikan penyusunan Bahan Ajar yang berjudul “Trigonometri”, tepat pada waktu yang telah direncanakan sebelumnya. Tak lupa sholawat serta salam kami haturkan kepada Nabi Muhammad SAW beserta keluarga dan sahabat, semoga selalu dapat menuntun kami pada ruang dan waktu yang lain.
Dalam penyusunan Buku ini tidak jarang kami menemukan kesulitan-kesulitan. Akan tetapi,berkat motivasi dan dukungan dari berbagai pihak, kesulitan-kesulitan itu akhirnya dapat diatasi.
Maka dari itu, melalui kesempatan ini kami menyemapaikan rasa terima kasih sebanyak-banyaknya kepada berbagai pihak yang telah membantu kami, yakni:
1. Tuhan Yang Maha Esa
2. Orang tua kami, yang dengan susah payah memberikan dukungan moral dan materi kepada penulis.
3. Kepada keluarga saya terutama istri saya Hj. Rukmana, S.KM., dan anak saya Muh. Faidil Zikri Ramadhan, S & Muh.
Keenan Hafidz Al-Hanan, S. Yang telah banyak mendoakan dan mendukung aktivitas saya serta menjadi penyemangat tersendiri dalam penyusunan buku bahan ajar ini.
4. Teman-teman dan pihak lain yang turut membantu baik secara moral maupun secara material
5. Seluruh pihak yang tidak dapat kami sebutkan satu persatu.
Penyusunan buku ajar ini didasarkan pada hasil kajian dan diskusi terhadap subtansimateri muatan yang terdapat di berbagai pelaksanaan perkembangan di bidang pendidikan matematika.
Adapun penyusunannya dilakukan berdasarkan pengolahan dari hasil studi kepustakaan, pendalaman materi secara komperehensif dengan para praktisi dan pakar di bidanganya, serta diskusi internal tim yang dilakukan secara intensif.
Kelancaran proses penyusunan buku ajar ini tentunya tidak terlepas dari keterlibatan dan peran seluruh Tim penyusun, yang
iv
telah dengan penuh kesabaran, ketekunan dan tanggung jawab menyelesaikan apa yang menjadi tugasnya. Untuk itu terimakasih atas ketekunan dan kerjasamanya.
Kami menyadari dengan selesainya Buku Referensi ini, masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, kritik dan saran yang bersifat membangun sangat kami harapkan. Akhirnya kami berharap agar Bahan ajar ini dapat bermanfaaat.
Kolaka, Mei 2022
Supratman, S. Pd., M.Pd., C.VLD
v DESKRIPSI TRIGONOMETRI
Pada mulanya trigonometri merupakan ilmu yang dikembangkan dari ilmu astronomi. Perkembangan awal trigonometri berasal dari permasalahan astronomi yang membutuhkan pemecahan masalah melalui ilmu terapan sains dan astronomi, sehingga muncullah trigonometri sebagai suatu ilmu yang berdiri sendiri. Sejarah awal trigonometri berasal dari zaman Mesir Kuno, Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Pertama kali dikaji melalui perhitungan aljabar untuk menghitung astronomi yang kemudian digunakanlah sebagai perhitungan trigonometri oleh matematikawan India. Lagadha menggunakan menggunakan geometri dan trigonometri untuk menghitung astronomi dalam bukunya tentang astronomi yaitu Vedanga Jyotisha yang saat ini sudah hancur karena penjajahan di India. Ada sumber lain yang menyebutkan bahwa Ilmuwan Yunani di masa Helenistik, Hipparchus (190 SM – 120 SM) diyakini adalah orang yang pertama kali menemukan teori tentang tigonometri untuk menyelesaikan segitiga dari keingintahuannya akan dunia. Lalu matematikawan Yunani yaitu Ptolemy pada tahun 100 SM, kemudian Hipparchus pada tahun 150 SM dengan tabel trigonometrinya yang terkenal. Juga ditahun 1595 matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah buku tentang trigonometri “Trigonometria brevis et perspicus” dan memperkenalkan istilah trigonometri kedalam bahasa Ingris dan Perancis.Istilah Trigonometri pertama kali digunakan tahun 1595 dan Trigonometri sendiri muncul sekitar ± 3000 tahun yang lalu. Sedangkan istilah Sinus, Cosinus, dan Tangen sudah muncul pada tahun 600-an. Jadi, Sinus, Cosinus, dan Tangen lebih awal muncul dari pada istilah trigonometri itu sendiri.
vi
Pada dasarnya, segitiga merupakan bentuk dasar dalam matematika terutama trigonometri. Karena, kata trigonometri sendiri mengandung arti ukuran tentang segitiga. Dimana berupa pengetahuan tentang bumi, matahari dan benda-benda langit lainnya sebenarnya juga diawali dari pemahaman konsep tentang rasio (ratios) pada segitiga. Sebagaimana contoh pada zaman dahulu(sebelum istilah trigonometri populer) keliling bumi sudah bisa ditentukan dengan menggunakan konsep segitiga siku-siku, meskipun hanya sebatas perkiraan saja. Waktu itu keliling bumi diperkirakan mencapai 25.000 mil, sedangkan bila menggunakan metode modern keliling bumi adalah 24.902 mil.
Dasar-dasar dari teori trigonometrik ini ternyata telah lama dikenal oleh ilmuan muslim terdahulu abad kesembilan Masehi.
Al-Biruni dikenal sebagai matematikawan pertama di dunia yang membangun dasar-dasar trigonometri. Landasan-landasan trigonometrik tersebut kemudian dikembangkan ilmuan Barat.
Dan diaplikasikan ke dalam beberapa cabang ilmu, seperti astronomi, arsitektur, dan fisika. Al-Biruni sendiri pernah mengaplikasikannya secara matematika untuk membolehkan arah kiblat ditentukan dari mana-mana tempat di dunia. Meskipun ilmu trigonometri telah dikenal di Yunani, akan tetapi pematangannya ada di tangan al-Biruni. Ia mengembangkan teori trigonometri berdasarkan pada teori Ptolemeus Meskipun dalam sejarah matematika aplikasi trigonometri berdasar pada konsep segitiga siku-siku, tetapi sebenarnya cakupan bidangnya sangatlah luas, dari tahun ke tahun trigonometri mengalami perkembangan maka ditemukan aturan sinus periode Alexandria (300 SM-30 SM), aturan cosinus Periode Alexandria (300 SM-30 SM) & Aryabhata (476-550 M), dan tangen dan cotangen ditemukan pada periode Ahmed ibn Abdallah yang diketahui merupakan pengembang tabel tangen dan kotangen pertama. Setelah itu Fungsi secan dan cosecan ditemukan oleh AL-Mervazi (Habash) di abad ke 15.
vii Berdasarkan deskripsi singkat trigonometri, tentu dapat kita ketahui penerapan trigonometri dalam kehidupan sehari hari seperti mengukur tinggi pohon tanpa harus memanjatnya apalagi menebangnya. Mengukur tinggi pohon dapat dilakukan dengan mengukur bayangan yang dibentuk oleh sinar matahari. selain itu trigonometri juga dapat digunakan dalam bidang sains untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit. Selain itu, trigonometri juga digunakan dalam teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, farmasi, kimia, teori angka/kriptologi, seismologi, meteorologi, oseanografi, fisika, survei daray fmdan geodesu, ekonomi, teknik elektro, teknik mekanik, teknik sipil, grafik komputer, dan sebagainya.
viii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR... iii
DESKRIPSI TRIGONOMETRI ... v
DAFTAR ISI ... viii
BAB 1 KONSEP DASAR TRIGONOMETRI ... 1
A. Pengukuran Sudut: Derajat dan Radian ... 2
B. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut Pada Segitiga Siku-Siku ... 7
C. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut- Sudut Istimewa... 9
D. Menentukan Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub ... 15
E. Identitas Trigonometri ... 17
BAB 2 GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI ... 21
A. Domain Fungsi Trigonometri Sederhana ... 22
B. Range Fungsi Trigonometri Sederhana... 23
C. Grafik Fungsi Trigonometri Sederhana ... 26
D. Grafik Fungsi kF(α ) dengan k € R, k ≠ 0 , atau k ≠ 1 ... 44
E. Grafik Fungsi 𝐅(𝐦𝜶), 𝐦 Bilangan Real 𝐦 ≠ 𝟎 atau 𝐦 ≠ 𝟏 ... 46
F. Grafik Fungsi 𝐅(𝜶 + 𝜽) dengan 𝜽 Adalah Sudut Konstan ... 50
G. Grafik Fungsi 𝐅(𝜶) = 𝐠(𝐚) + 𝐟(𝜶), 𝐠(𝐚) = Fungsi Konstan ... 51
H. Grafik Fungsi 𝐅(𝜶) = 𝐟(𝜶) ± 𝐠(𝜶) ... 52
BAB 3 IDENTITAS TRIGONOMETRI ... 58
A. Pengertian Identitas Trigonometri ... 58
B. Contoh Pembuktian Identitas Trigonometri ... 61
C. Petunjuk untuk Membuktikan Identitas ... 62
D. Contoh Soal... 62
BAB 4 JUMLAH DAN SELISIH SUDUT ... 86
A. Jumlah Dua Sudut ... 86
B. Rumus Pengurangan Sudut... 91
C. Rumus Tentang Sudut Kembar dan Sudut Pertengahan ... 95 D. Perubahan Jumlah atau Selisih Sudut Menjadi Hasil
ix
Perkalian Sudut ... 101
E. Menghitung Dua Sudut, Jika Diketahui Jumlah Sudutnya dan Perbandingan Sinus-sinus Sudut ... 104
F. Menghitung Dua Sudut, Jika Diketahui Jumlah dan Perbandingan Tangen-tangen Sudutnnya ... 105
G. Merubah Jumlah atau Selisih Menjadi Suatu Hasil Perkalian ... 106
H. Latihan Soal ... 108
BAB 5 PERSAMAAN TRIGONOMETRI DAN PEMAKAIAN FUNGSI TRIGONOMETRI... 117
A. Persamaan Trigonometri ... 117
B. Rumus Persamaan Trigonometri Sederhana ... 118
C. Persamaan Berbentuk sinpx = a, cospx = a dan tanpx = a ... 124
D. Pemakaian Fungsi Trigonometri ... 138
BAB 6 FUNGSI HIPERBOLIK ... 152
A. Hiperbolik ... 152
B. Grafik dari Fungsi Hiperbolik... 153
C. Menentukan Nilai Fungsi Hiperbolik ... 153
D. Fungsi Hiperbolik Invers ... 153
E. Bentuk Log dari Fungsi Hiperbolik Invers... 154
F. Identitas Hiperbolik ... 154
G. Hubungan antara Fungsi Trigonometrik dan Hiperbolik ... 155
BAB 7 FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMA ... 156
A. Definisi Eksponensial ... 156
B. Fungsi Eksponensial ... 161
C. Definisi Logaritma ... 162
D. Hubungan Fungsi Eksponensial Pada Diferensial Trigonometri ... 169
E. Hubungan Fungsi Logaritma Pada Integral Trigonometri ... 173
BAB 8 BILANGAN KOMPLEKS ... 178
A. Definisi Bilangan Kompleks ... 178
B. Operasi Bilangan Kompleks ... 182
C. Konjugate Bilangan Kompleks... 186
x
D. Teorema De Moivre ... 191
E. Akar Bilangan Kompleks Dan Rumus Euler (Eksponen) ... 192
F. Persamaan Pangkat Banyak dan Interprestasi Persamaan pangkat banyak ... 193
G. Latihan ... 205
BAB 9 DIFERENSIAL TRIGONOMETRI ... 207
A. Diferensial Trigonometri ... 207
B. Aturan Rantai Diferensial ... 211
C. Deferensial Trigonometri dengan Aturan Rantai ... 217
D. Diferensial Lanjutan ... 217
BAB 10 INTEGRAL TRIGONOMETRI ... 236
A. Integral TakTentu ... 236
B. Integral Trigonometri... 239
C. Integral Parsial... 251
D. Integral Lipat Dua ... 258
DAFTAR PUSTAKA ... 263
TABEL TRIGONOMETRI SIN, COS, TANGEN (00-900) ... 263
TABEL TRIGONOMETRI SIN, COS, TANGEN (910-1800)... 263
TABEL TRIGONOMETRI SIN, COS, TANGEN (1810-2700) ... 263
TABEL TRIGONOMETRI SIN, COS, TANGEN (2710-3600) ... 263
GLOSARIUM ... 274
BIODATA PENULIS... 276
1
BAB
1
Studi tentang trigonometri sebagai cabang matematika, lepas dari astronomi pertama kali diberikan oleh Nashiruddin al- Tusi (1201-1274), lewat bukunya Treatise on the quadrilateral.
Bahkan dalam buku ini ia untuk pertama kali memperlihatkan keenam perbandingan trigonometri lewat sebuah segitiga sikusiku (hanya masih dalam trigonometri sferis). Menurut O`Conners dan Robertson, mungkin ia pula yang pertama memperkenalkan Aturan Sinus (di bidang datar).
Di Arab dan kebanyakan daerah muslim, trigonometri berkembang dengan pesat tidak saja karena alasan astronomi tetapi juga untuk kebutuhan ibadah. Seperti diketahui, orang muslim jika melakukan ibadah sholat, harus menghadap ke arah Qiblat, suatu bangunan di kota Mekkah. Para matematikawan muslim lalu membuat tabel trigonometri untuk kebutuhan tersebut. Konsep trigonometri pada pembahasan ini diawali dengan pengukuran sudut derajat dan radian.
KONSEP DASAR
TRIGONOMETRI
21
BAB
2
Bidang koordinat adalah himpunan titik-titik {(x, y)| x ∈ R, y ∈ R}. karena fungsi f dapat dinyatakan sebagai f = { x, f(x) | x ∈ D} dengan D = domain dari f maka himpunan titik-titik yang didapat dari f = { x, f(x) | x ∈ D} dengan D ⊂ R disebut grafik fungsi f. Persamaan y = f (x)disebut persamaan grafik f. Pada fungsi trigonometri didefinisikan sebagai :
Sinus = {(α, sinα) ∣ sinα =y
r, α = ukuran sudut } Cosinus = {(α, cosα) ∣ cosnα =x
r , α = ukuran sudut } Tangen = {(α, tan α) ∣ tan α =y
x ,α = ukuran sudut } , dan seterusnya.
Apabila sudut dinyatakan dengan : a. Ukuran Radian
α = x radian dan y = sin x , maka fungsi sinus {(x, y)|y = sin x , x ∈ D} ditulis sinus = {(x, y)|y = sin x , x ∈ D} dengan D = {x rad|x ∈ R} dan grafik sinus adalah sedang y = sin x disebut persamaan grafik sinus.
b. Ukuran Derajat
α = x° dan y = sin x° ,maka fungsi sinus ditulis: Sinus = {(x∘, y) ∣ y = sin x∘, x ∈ D} dengan D = {x0 |x ∈ R} dan grafik sinus {(x∘, y) ∣ y = sin x∘, x ∈ D} sedang y = sin x∘ disebut persamaan grafik sinus
Jadi jika sudut α dinyatakan dalam radian dan α = x radian maka keenam fungsi trigonometri tersebut ditulis :
1. {(x, y) ∣ y = sinx, x ∈ D}
GRAFIK FUNGSI
TRIGONOMETRI
58
BAB
3
A. Pengertian Identitas Trigonometri
Terdapat dua fungsi trigonometri atau lebih yang walaupun memiliki bentuk berbeda, tetapi grafik fungsinya sama. Sebagai contoh, dua fungsi 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 dan
𝑦 =
1−𝑐𝑜𝑠1+𝑐𝑜𝑠42𝑥𝑥.
Yang tampaknya berbeda, tetapi kedua fungsi tersebut memiliki grafik fungsi yang dapat digambarkan sebagai berikut.
Sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa walaupun kedua fungsi tersebut tampak berbeda, tapi sebenarnya kedua fungsi tersebut sama. Hal ini berarti, untuk setiap nilai 𝑥.
x x
2 4 2
cos 1
cos 1
sin
Persamaan yang terakhir ini disebut sebagai identitas trigonometri, dan akan kita diskusikan pada pembahasan kali
IDENTITAS
TRIGONOMETRI
86
BAB
4
A. Jumlah Dua Sudut
Gambar 4.1. Segitiga ABC
Pada gambar 4.1 di atas, ∆𝐴𝐵𝐶 adalah segitiga yang salah satu sudutnya adalah 0 dan sudut tersebut siku-siku. Kerena
< 𝐶𝐵𝐴 = 0 dan misal 𝐴𝐵 = 𝑋, 𝐵𝐶 = 𝑌 , dan 𝐴𝐶 = 𝑟 , sehingga berdasarkan ∆𝐴𝐵𝐶 diperoleh enam perbandingan panjang suatu segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku.
Perbandingan dimaksud sesuai dengan gambar 4.1 adalah:
𝐵𝐶 𝐴𝐶 ,
𝐴𝐵 𝐴𝐶 ,
𝐵𝐶 𝐴𝐵 ,
𝐴𝐵 𝐵𝐶 ,
𝐴𝐶 𝐴𝐵 ,
𝐴𝐶 𝐵𝐶.
Keenam perbandingan tersebut dinamakan perbandingan gonometri. Karena 𝐴𝐵 = 𝑥, 𝐵𝐶 = 𝑦, 𝐴𝐶 = 𝑟 dan
< 𝐵𝐴𝐶 = 0 maka perbandingan goniometri di atas dapat dinyatakan dalam bentuk yang lain yaitu :
JUMLAH DAN
SELISIH SUDUT
117
BAB
5
A. Persamaan Trigonometri
Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat fungsi trigonometri dari suatu sudut yang belum diketahui.
Sebagai contoh 2 sin 2x 1 0 adalah persamaan trigonometri, karena x suatu sudut yang belum diketahui ukurannya dan sebagaimana telah diketahui bahwa ukuran sudut adalah derajat atau radian yang keduanya mempunyai hubungan 3600 2radian.
Persamaan trigonometri pada hakekatnya sama saja dengan persamaan linear maupun persamaan kuadrat, dimana himpunan penyelesaiannya merupakan nilai-nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan tersebut. Bedanya dalam persamaan trigonometri nilai pengganti 𝑥 merupakan suatu sudut
Dalam trigonometri dikenal istilah persamaan trigonometri invers. Jika cos x k adalah suatu persamaan trigonometri maka persamaan. Tersebut mempunyai selesaianx arccosk cos k .Bentuk-bentuk Persamaan sin x k, cos x k, tan x k disebut persamaan trigonometri Sederhana.
Bentuk Dasar Persamaan Trigonometri Contoh:
1. Tentukan penyelesaian dari persamaan trigonometri sederhana berikut ini : 2 sinx = 1 untuk 0 < x < 360°
Jawab:
sin x = 1
PERSAMAAN
TRIGONOMETRI DAN PEMAKAIAN FUNGSI
TRIGONOMETRI
152
BAB
6
A. Hiperbolik
Dalam masalah matematika terapan sering kita jumpai kombinasi kombinasi tertentu dari fungsi eksponen x e dan x e− sehingga kombinasi fungsi-fungsi tersebut diberi nama khusus. Untuk itu pada bagian ini akan dibahas secara khusus suatu fungsi yang memuat kombinasi dari kedua fungsi tersebut yakni fungsi hiperbolik.
1. Diketahui 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 𝑒𝑗𝜃dan 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑗 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 𝑒−𝑗𝜃 2. Maka 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =𝑒𝑗𝜃+𝑒2−𝑗𝜃cos θ =ejθ+e2-jθ
3. Jika 𝜃 = 𝑗𝑥θ = jx, maka 𝑐𝑜𝑠 𝑗 𝑥 =𝑒𝑗𝑗𝑥+𝑒2−𝑗𝑗𝑥=𝑒−𝑥+𝑒2 −𝑥cos jx =
ejjx+e-jjx
2 =e-x+e2 -x
4. Bagian real ini merupakan bagian genap dari fungsi eksponensial yang disebut kosinus hiperbolik
𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 =𝑒𝑥+𝑒2−𝑥
5. Bagian ganjil dari fungsi hiperbolik disebut sinus hiperbolik 𝑠𝑖𝑛 𝑥 =𝑒𝑥−𝑒2−𝑥
6. Rasio sinus hiperbolik terhadap kosinus hiperbolik disebut tangen hiperbolik
𝑡𝑎𝑛ℎ𝑥 =𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑥= 𝑒𝑥−𝑒−𝑥𝑒𝑥+𝑒−𝑥2
2
FUNGSI
HIPERBOLIK
156
BAB
7
A. Definisi Eksponensial
Eksponen adalah bentuk perkalian dengan bilangan yang sama yang diulang-ulang atau singkatnya adalah perkalian yang diulang-ulang. Ditinjau dari bentuknya bentuk an (dibaca a pangkat-n) dengan a disebut basis atau bilangan pokok dan n disebut eksponen atau pangkat.
Sebagaimana telah kita ketahui, bahwa notasi eksponen atau notasi pangkat sanngat berguna untuk menuliskan hasil kali sebuah bilangan dengan bilangan itu sendiri dalam bentuk yang lebih ringkas, misalnya :
1. 34= 3 × 3 × 3 × 3
2. (− 2)5= (− 2) × (− 2) × (− 2) × (− 2) × (− 2)
Sekarang sudah menjadi kelaziman untuk menuliskan perkalian sembarang bilangan real a sebanyak n kali, yaitu a×a×a× … ×a sebagai 𝑎𝑛. Dengan kata lain didefinisikan bahwa untuk setiap a ϵ R (himpunan bilangan real) dengan n bilangan bulat positif, notasi 𝑎𝑛 adalah hasil kali n buah factor a, atau 𝑎𝑛= a×a×a× … ×a
Ternyata kita masih ingat dengan baik, bahwa bentuk 𝑎𝑛 dibaca “a pangkat n” atau “a eksponen n”. bilangan a dinamakan bilangan pokok atau basis, sedangkan bilangan n dinamakan pangkat atau eksponen atau indeks.
Selanjutnya didefinisikan pula beberapa bentuk bilangan berpangkat diantaranya
1. 𝑎0 = 1 dengan a ≠ 0 dan a ϵ R dan n ϵ A.
FUNGSI
EKSPONENSIAL
DAN LOGARITMA
178
BAB
8
A. Definisi Bilangan Kompleks
Menurut struktur bilangan diatas , gabungan bilangan Real dengan Bilangan Imajiner adalah sebuah Bilangan Kompleks , yang didefenisikan sebagai berikut : Bilangan kompleks yang merupakan penggabungan dari bilangan real dan imajiner dapat kita notasikan sebagai hubungan penjumlahan
BILANGAN
KOMPLEKS
207
BAB
9
A. Diferensial Trigonometri
Rangkuman rumurs-rumus turunan fungsi trigonometri 1. f(x) = sin x ⟹ f′(x) = cos x
2. f(x) = cos x ⟹ f′(x) = − sin x 3. f(x) = tan x ⟹ f′(x) = sec2x 4. f(x) = cot x ⟹ f′(x) = −cosec2 x 5. f(x) = sec x ⟹ f′(x) = sec x tan x 6. f(x) = cosec x ⟹ f′(x) = −cosec x cot x
Soal
1. Mengapa turunan dari sin 𝑥 adalah cos 𝑥 ?
Untuk membuktikan ini, kita bisa gunakan definisi awal dari derivatif.
𝑓(x) = sin x
f′(x) = lim∆x→0f(x+∆x)−f(x)
∆x f′(x) = lim∆x→0sin(x+∆x)−sin x
∆x
sin v − sin w = 2 cos (v+w2 ) ∙ sin (v−w2 )
*note: rumus di atas harus dapat diturunkan sendiri.
Dengan demikian, persamaan 𝑓′(𝑥) menjadi: (Terbukti) 2. Mengapa turunan cos 𝑥 adalah − sin 𝑥 ?
Untuk membuktikan ini, kita bisa gunakan definisi awal dari derivatif.
𝑓′(𝑥) = lim∆𝑥→02∙cos(𝑥+∆𝑥2)∙sin(∆𝑥2)
∆𝑥
𝑓′(𝑥) = lim∆𝑥→0(cos (𝑥 +∆𝑥2) ×sin(∆𝑥∆𝑥2) 2 )
DIFERENSIAL
TRIGONOMETRI
236
BAB
10
A. Integral TakTentu
Integral merupakan bentuk operasi matematika yang menjadi kebalikan (invers) dari operasi turunan dan limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu. Berdasarkan pengertian tersebut ada dua hal yang dilakukan dalam integral sehingga dikategorikan menjadi 2 jenis integral. Pertama, integral sebagai invers/ kebalikan dari turunan disebut sebagai Integral Tak Tentu.Kedua, integral sebagai limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu disebut integral tentu. Integral tak tentu seperti sebelumnya dijelaskan merupakan invers/kebalikan dari turunan. Turunan dari suatu fungsi, jika diintegralkan akan menghasilkan fungsi itu sendiri. Perhatikanlah contoh turunan- turunan dalam fungsi aljabar berikut ini:
1. Turunan dari fungsi aljabar 𝑦 = 𝑥3 adalah 𝑦𝐼 = 3𝑥2 2. Turunan dari fungsi aljabar 𝑦 = 𝑥3+ 8 adalah 𝑦𝐼 = 3𝑥2 3. Turunan dari fungsi aljabar 𝑦 = 𝑥3+ 17 adalah 𝑦𝐼= 3𝑥2 4. Turunan dari fungsi aljabar 𝑦 = 𝑥3− 6 adalah 𝑦𝐼 = 3𝑥2
Seperti yang sudah dipelajari dalam materi turunan, variabel dalam suatu fungsi mengalami penurunan pangkat.
Berdasarkan contoh tersebut, diketahui bahwa ada banyak fungsi yang memiliki hasil turunan yang sama yaitu yI = 3x2. Fungsi dari variabel x3 ataupun fungsi dari variabel x3 yang ditambah atau dikurang suatu bilangan (misal contoh: +8, +17, atau -6) memiliki turunan yang sama. Jika turunan tersebutd integralkan, seharusnya adalah menjadi fungsi-fungsi awal sebelum diturunkan. Namun,dalam kasus tidak diketahui fungsi awal
INTEGRAL
TRIGONOMETRI
263 DAFTAR PUSTAKA
006. Email: globalmedia@dkpd.com
Anton, H. 1980. Calculus With Analytic Geometry. New York: John Wiley And Ayres Frank & Moyer E Robert.1998. Schaum’s Outline Series, Theory and
Ayres, Frank.1978. Differential and Integral Calculus 2/ed, McGraw-Hill Book Company, NewYork.
Ayres Frank & Moyer E Robert.1998. Schaum’s Outline Series, Theory and Problems of Trigonometry (Third Edition with calculator- Based Solutions). New York, San Fransisco, Washington D.C: A Division of the McGraw-Hill Comparies.
Barnes Andrew. 20017. Encyclopedia of Trigonometry (First Edition). New Delhi, India: Global Media Education for Everyone. Chandni Chowk, Delhi-110
Berkey, D. Dennis. 1988. Calculus, 2nd Edition. New York:
Sounders Collage Bernadeta Etty W, Suparno & Hutomo.
(1996). Bahan Ajar STM. Yogyakarta:
Chotim, M. 2004. Kalkulus 2. Semarang: Penerbit FMIPA Universitas Negeri Company, LTD.
Curtiss, R.D & Moulton J.E. 1942. Esensial of Trigonometry With Aplications. London: D.C Heath and Company, Copyright
@1942 Nortwestern University.
Donald E. Marshall. 2019. Complex Analysis (Cambridge Mathematical Textbooks). Cambridge University Press Fahruddin, A. Fariq. 2018. Trigonometri. Pusat penelitian dan
Publikasi Ilmiah LP2M Universitas Islam Negeri (UIN) Mataram. Mataram, Nusa Tenggara Barat: ISBN:978-623- 7090—0
264
Gibilisco Stan. 2003. Trigonometry Demystified. New York, Chicago, San Fransisco: A Division of the McGraw-Hill Comparies, Copyright@2003 by the McGraw-Hill Comparies, Inc.
Hayes, F. & Ottman Meery. L. 2011. CK-12 Trigonometry-Second Edition. United States: Flexbook next Generation texbooks, Copyright@2011 CK-12 Foundation, www.ck12.com
Howard, A. Heidi. 2005.Trigonometry.(Eight Edition). Boston, San pransisco, New York, United States Of America. University of Maryland, Publishing as pearson Addison Wesley, 75 Arlington Street, Boston MA 0216.
Hyatt, H.R. & Small,L. (1982). Trigonometry a Calculator Approach.
Canada: John Wiley and Sons, Inc.
Kenneth S. Miller & John B. Walsh. (1962). Elementary and Advanced Trigonometry. New York: Harper & Brothers Publisher.Leithold, L. 1993. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik Jilid 2, Edisi Kelima (diterjemahkan oleh Hutahean, Widianti Santoso, dan Koko Martono). Jakarta: Erlangga.
Ian Stewart and David Tall. 2018. Complex Analysis (second edition).Cambridge University Press
Maor, Eli. 1998. Trigonometric Delights. United States of America:
Princetion University Press, Chichester West Sussex.
Copyright @1998 by Princeton University Press
Saff, E.B. and Snieder, A.D. 1987. Fundamentals of Complex Analysis. New Jersey: Prentice-Hall, Inc.
Stewart, James. 1999. Calculus, Fourth Edition, Brooks/Cole Publishing Company.
Thomas, Christopher. 1991. Introduction to Exponents and Logarithms. Mathematic Learning Centre, University Learning Centre, NSW 2006.
265 PPPG Matematika.
Problems of Trigonometry (Third Edition with calculator-Based Solutions). New York, San Fransisco, Washington D.C : A Division of the McGrawHill Comparies.
Publishing.
Purcell, E. J. & Varberg, D. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitik Jilid 1 (diterjemahkan oleh I Nyoman Susila, Bana Kartasasmita, dan Rawuh). Jakarta: Erlangga.
Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. 2003. Kalkulus Jilid 1, Edisi kedelapan (diterjemahkan oleh I Nyoman Susila).
Jakarta: Erlangga.
Purnomo, Dwi. 2013. Trigonometri (Ilmu Ukur Sudut). Malang:
IKiP Budi Utomo Malang, Program Studi Pendidikanm Matematika
Richard G. Brown. (1994). Advanced Mathematics . California:
Houghton Mifflin Company.
Sons. Thomas, George. B. 1962. Calculus, 2nd. Tokyo: Japan Publications Trading
Tumisah P. Jono & Mukimin.(2002). Trigonometri Bahan Ajar Matematika SMK. Yogyakarta: PPPG Matematika.
Winarno & Al. Krismanto. (2001). Bahan Standarisasi SMU Trigonometri. Yogyakarta: PPPG Matematika.
266
TABEL TRIGONOMETRI SIN, COS, TANGEN (00 - 900)
Sudut sin cos Tan Sudut sin cos Tan
0 0.0000 10.000 0.0000 45 0.7071 0.7071 10.000 1 0.0175 0.9998 0.0175 46 0.7193 0.6947 10.355 2 0.0349 0.9994 0.0349 47 0.7314 0.6820 10.724 3 0.0523 0.9986 0.0524 48 0.7431 0.6691 11.106 4 0.0698 0.9976 0.0699 49 0.7547 0.6561 11.504 5 0.0872 0.9962 0.0875 50 0.7660 0.6428 11.918 6 0.1045 0.9945 0.1051 51 0.7771 0.6293 12.349 7 0.1219 0.9925 0.1228 52 0.7880 0.6157 12.799 8 0.1392 0.9903 0.1405 53 0.7986 0.6018 13.270 9 0.1564 0.9877 0.1584 54 0.8090 0.5878 13.764 10 0.1736 0.9848 0.1763 55 0.8192 0.5736 14.281 11 0.1908 0.9816 0.1944 56 0.8290 0.5592 14.826 12 0.2079 0.9781 0.2126 57 0.8387 0.5446 15.399 13 0.2250 0.9744 0.2309 58 0.8480 0.5299 16.003 14 0.2419 0.9703 0.2493 59 0.8572 0.5150 16.643 15 0.2588 0.9659 0.2679 60 0.8660 0.5000 17.321 16 0.2756 0.9613 0.2867 61 0.8746 0.4848 18.040 17 0.2924 0.9563 0.3057 62 0.8829 0.4695 18.807 18 0.3090 0.9511 0.3249 63 0.8910 0.4540 19.626 19 0.3256 0.9455 0.3443 64 0.8988 0.4384 20.503 20 0.3420 0.9397 0.3640 65 0.9063 0.4226 21.445 21 0.3584 0.9336 0.3839 66 0.9135 0.4067 22.460 22 0.3746 0.9272 0.4040 67 0.9205 0.3907 23.559 23 0.3907 0.9205 0.4245 68 0.9272 0.3746 24.751 24 0.4067 0.9135 0.4452 69 0.9336 0.3584 26.051 25 0.4226 0.9063 0.4663 70 0.9397 0.3420 27.475
276
BIODATA PENULIS
Supratman, lahir pada hari kamis, 29 Juni 1989 di Kolaka, Kabupaten Kolaka, Sulawesi Tenggara, Indonesia. Pecinta matematika ini telah menamatkan pendidikan TK Islam Perwanida Kolaka, SDN 03 Balandete, SMP Negeri 1 Kolaka, dan SMA Negeri 1 Kolaka, kemudian Tahun 2007, penulis menempuh pendidikan pada program Sarjana di Universitas Sembilanbelas November Kolaka dengan mengambil jurusan Pendidikan Matematika pada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan (FKIP), dan melanjutkan penddikan pada Program Magister Pascasarjana Universitas Halu Oleo tahun 2012 dengan mengambil Jurusan Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan (FKIP), dan saat ini telah menempuh Program Doktoral Pascasarjana Universitas Negeri Surabaya (UNESA) dengan mengambil jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA). Ia saat ini tinggal di Lingkungan V, Kelurahan Anaiwoi, Kecamatan Tanggetada, Kabupaten Kolaka bersama istri dan anak-anaknya.
Terhitung Oktober 2014, ia menjadi Dosen di Universitas Sembilanbelas November Kolaka pada Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas keguruan dan Ilmu Pendidikan (FKIP), dan mengajar pada mata kuliah Kalkulus I, Kalkulus II, Trigonometri, Aljabar Linear & Matriks, serta Statistika dan Probabilitas, ia juga merupakan dosen lintas fakultas di Fakultas Sains & Teknologi (FST) dan Fakultas Teknologi Informasi (FTI), selain itu ia juga aktif sebagai dosen MKDU di sekolah Tinggi Teknologi Mekongga Kolaka (STTM) dan aktif sebagai tutor di Universitas Terbuka (UT) UPBJJ Kendari.
Penulis merupakan putra pertama-dari dua bersaudara- pasangan Supu, A.Md., Pd dan Hj. Rosmiati Beddolo. Dan memiliki
277 istri bernama Hj. Rukmana, SKM yang berdinas di UPTD Puskesmas Tanggetada, Kecamatan Tanggetada, Kabupaten Kolaka, serta memiliki 2 orang putra yang bernama Muh. Faidil Zikri Ramadhan, S dan Muh. Keenan Hafidz Al-Hanan, S.
Saat ini Ia tekun menulis beberapa buku ajar seperti Statistika dan aplikasinya dalam bidang pendidikan, Problem Solving Ability Mathematics, dan Kajian Filsafat Pendidikan Matematika, dan kajian Filsafati Merdeka Belajar Pendidikan Matematika, Beberapa hasil penelitian diraih pada Program SIMLITABMAS dan Pengabdian Kepada Masyarakat (PKM) serta aktif dalam menulis artikel/jurnal yang terakreditasi SINTA.
Di tahun 2021, penulis juga tercatat sebagai Asesor IASP BAN S/M Provinsi Sulawesi Tenggara yang merupakan salah satu lembaga dibawah naungan kementerian pendidikan, kebudayaan, riset, dan teknologi (KEMENDIKBUDRISTEK) dan memperoleh wewenang dan bergerak di bidang Akreditasi Sekolah dan Madrasah yang bermutu dan Profesional, Selain itu Penulis Juga telah mengikuti Rangkaian Pelatihan Keahlian dalam bidang Virtual Learning Design dan memperoleh Sertifikat & Gelar Non Akademik (C.VLD)
Alamat Penulis
Rumah : Lingkungan V, Kelurahan Anaiwoi, Kecamatan Tanggetada, Kabupaten Kolaka, Provinsi Sulawesi
Tenggara, kode pos 93563
surat elektronik : supratmanmathusnkolaka@gmail.com supratmansupu.mat1989@gmail.com
blog pribadi : sciencemathematicseducation.wordpress.com facebook : Supratman Supu
handphone dan whatsapp : 085342823753