LIMIT DAN KEKONTINUAN

Matematika Dasar Page 134

LIMIT DAN KEKONTINUAN

10.1 PENDAHULUAN

Sebelum mambahas limit fungsi di suatu titik terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal terdapat suatu fungsi ( ) = + 4. Untuk menentukan harga bila mendekati bilangan ril tertentu, misal 2, kita dapat mengamatinya dengan bantuan tabel dan Gambar berikut :

x f(x) x f(x)

1,9 1,99 1,999 1,9999

5,9 5,99 5,999 5,9999

2,1 2,01 2,001 2,0001

6,1 6,01 6,001 6,0001

Gambar 10.1

6,0001

0,0001 y

x 6

5,9999 0,0001

0

0,0001 0,0001

1,9999 2,0001

Matematika Dasar Page 135 Dari Tabel atau Gambar 4.1 dapat dilihat bahwa untuk x mendekati 2 (baik dari arah kiri mulai dari 1,9 maupun dari arah kanan mulai dari 2,1) didapat harga f yang mendekati 6. Sedangkan untuk x = 2 harga f adalah 6.

Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa:

1. Jika sebuah fungsi terdefinisi pada suatu selang terbuka yang memuat bilangan ril c tertentu, kecuali mungkin di titik c itu sendiri, dan

2. bila f(x) mendekati bilangan ril L tertentu pada saat x mendekati c, maka dapat ditulis, limx→cfx=L

dibaca “limit adalah L bila x mendekati c” atau “f (x) mendekati L bila x mendekati c”.

10.2 DEFINISI LIMIT

Perhatikan Gambar 4.3 berikut!

Gambar 10.3

Untuk x < c , maka : 0 < c – x <δ atau 0 > x – c > -δ Untuk x > c , maka : 0 < c – x <δ

Dari kedua persamaan diatas didapat 0 < |x – c| <δ Untuk f(x) <L, maka L – f(x) <ε atau f(x) – L > -ε

Matematika Dasar Page 136 Untuk f(x) > L, maka f(x) – L <ε

Sehingga didapat |f(x) – L | <ε

Dari gambar 4.3 dan persamaan 4.1 s/d 4.3 maka didapat definisi sebagai berikut :

10.3 TEOREMA-TEOREMA 1. lim

x→c x=c 2. lim

x→c k=k=c 3. lim

x→cÄfx+gxÅ=lim_x→cfx+lim_x→c g(x) 4. lim

x→cÆfx-gxÇ=lim_x→c fx-lim_x→c g(x) 5. lim

x→cÈfx.gxÉ=lim_x→c fx.lim_x→c g(x) 6. lim

x→c f(x)

g(x)= ^{lim x→cf(x)}

x→clim g(x)

7. lim

x→cÄafxÅ = a lim_x→c fx

8. lim

x→c ÄfxÅ^M = Êlim_x→c fxË^M Contoh 10.1

a. lim

x→5x=5 b. lim

x→-7x=-7 Contoh 10.2

a) lim

x→-3 4 = 4 b) lim

x→2 9 = 9 Contoh 10.3

x→5limx+6=lim_x→5 x+lim

x→5 6=5+6=11

Pernyataan lim_™→ÂF = Ì, berarti untuk setiap ε> 0 terdapat δ> 0 Sedemikian rupa sehingga jika 0 < |x – c| <δ maka |f(x) – L| <ε

Matematika Dasar Page 137 Contoh 10.4

x→5lim®7-x°=lim_x→5 7-lim

x→5 x=7-5=2 Contoh 10.5

x→5limÈ7 −  + 1 = lim_x→57 − . lim_x→5 + 1 = 26 = 12 Contoh `10.6

x→-4lim



Ko= _lim^x→-4lim

x→-4Ko= ^o<_* = −^<_* Contoh 10.7

a. lim

x→e 9x = 9 lim_x→e x = 9e b. lim

x→π34 − x = 3 lim_x→π 4 − x = 34 − π

Contoh 10.8

x→2limx − 3^* = Êlim_x→2 x − 3Ë^* = 2 − 3^* = −1^* = −1

10.4 TEOREMA SANDWICH (TEOREMA APIT)

Misal terdapat f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) untuk setiap harga x pada suatu selang terbuka yang mengandung c, kecuali mungkin di titik c itu sendiri.

Jika lim

x→c fx = L = lim_x→c gx, maka lim_x→c hx = L Bukti :

Untuk setiap ε > 0 terdapat δ₁>0 dan δ₂>0 sedemikian rupa sehingga, Ñjika 0 < |x − c| < δ_: maka |fx − L| < Õ

jika 0 < |x − c| < δ₍ maka |gx − L| < ÕÖ (*) untuk δ = min (δ₁, δ₂) dan 0 < |x – c | <δ , maka ketidaksamaan (*) menjadi : -ε < f(x) – L < ε dan -ε < g(x) – L < ε

Sehingga : 0 < |x – c| < δ

L-ε < f(x) dan g(x) < L + ε

Karena f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), sehingga jika 0 < |x – c | < δ, maka L - ε < h(x) < L + ε atau |h(x) – L| < ε (terbukti)

Matematika Dasar Page 138 Contoh 10.9

Selesaikan lim

x→0-x²= cos¹

x Penyelesaian :

-1≤ cos¹_x≤1, x ≠ 0 -x²≤x²cos¹

x≤x² (kalikan semua suku dengan x²) Karena maka lim

x→0-x² = lim_x→0 x² = 0, maka lim_x→0 x²cos¹

x= 0 10.5 LIMIT SEPIHAK

limx→cÄfxÅ = L⇔ lim_x→½ ÄfxÅ = lim_x→ÂÀ ÄfxÅ = L x→c^- artinya mendekati c dari arah kiri

x→c⁺ artinya mendekati c dari arah kanan Contoh 10.10

jika fx= ×1-2x jika x<-2 x+7 jika x>-2Ö tentukan lim

x→-2fx, jika ada penyelesaian :

x→lim(^½ 1 − 2x = 5 (limit kiri)

x→lim(^À x − 7 = 5 (limit kanan)

Karena limit kiri = limit kanan = 5, maka lim

x→o( fx = 5 Latihan:

1. lim

x→2 √7 2. lim

x→√K 5 3. lim

x→-53x 4. lim

x→e 3 − 5x

5. lim

x→5 x⁽− 4x − 12

6. lim

x→1 x − 1x⁽+ 5x + 6

7. lim

x→4



o(

8. lim

x→π 5x − 9^K 9. lim

x→0 x⁽sin_^:_¢ 10. Tentukan lim

x→4 fx, jika f(x) = ×2x-5 jika x≤4 7-x jika x>4Ö

Matematika Dasar Page 139 y

x Q

T

r

P 0 0

10.6 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI 1. lim

x→0

]M 

 = 1 Bukti :

Perhatikan gambar 10.4

Gambar 10.4 Luas ∆OPQ < Sektor OPQ < ∆OPT (*) Luas ∆OPQ = r.¹

2r sin θ=¹

2r²sin θ (**)

Luas sektor ¹

2 θ r² (***)

Luas ∆OPT r.¹₂r tan θ =¹₂r²tan θ (****) Substitusi persamaan (**) s/d (****) ke persamaan (*) didapat,

r.¹₂r²sin θ<¹₂θr²<¹₂r²tan θ (#) jika pers.(#) dibagi dengan ¹

2r²sin θ, didapat 1<_{sin θ}^θ <_{cos θ}¹ atau 1>^{sin θ}_θ cos θ

gunakan teorema apit!

0→0lim1 = 1 dan lim_0→0 cos θ = 1, maka lim_0→0 ^{]M θ}_θ = 1 atau lim_x→0 ^{]M }_ = 1 2. lim

x→0cos x = 1 3. lim

x→0sin x = 0

0 < 0 <^Ø

(

Matematika Dasar Page 140 4. lim

x→0tan x = 0 Bukti lim

x→0 tan x = lim_x→0^{]M }_{ÙB }= lim_x→0 sin x . lim_{x→0ÙB }^:

= lim

x→0sin x ._lim^x→0lim

x→0ÙB  = 0^:_:= 0 (terbukti) 5. lim

x→0

¶/M 

 = 1

x→0lim

¶/M 

 = lim_x→0^{]M }_ ._{ÙB }^: = lim_x→0^{]M }_ . lim_{x→0ÙB }^: = 1.1 = 1 (terbukti) 6. lim

x→0



¶/M  = 1 Bukti : lim

x→0



¶/M = lim_x→0 ÚŒÛ Ü^:

Ü . cos x = 1.1 = 1 (terbukti) 7. lim

x→0

ÙB o:

 = 0 Bukti : lim

x→0

ÙB o:

 = lim_x→0^{ÙB¢Ÿ¢o]M}_ ^¢Ÿ¢o:=

x→0lim

o(]M^¢Ÿ_¢

 = lim_x→0^o(]M_(l^Ÿ¢Ÿ^{.]MŸ¢}

¢n = lim_x→0− sin^:₍x^]MŸ^Ÿ¢

¢ = 01 = 0 (terbukti)

10.7 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI INVERS 1. lim

x→0

/9ف]M 

 = 1 Bukti :

y = arcsin x ⇔ x = sin y untuk − 1 ≤ x ≤ 1 dan ^oπ₍ ≤ y ≤^π₍ jadi lim

x→0

/9ف]M 

 = lim_{y→0]M Þ}^Þ = lim_y→0ÚŒÛ ß^:

ß = 1 (terbukti) 2. lim

x→0

/9Ù¶/M 

 = 1 Bukti :

y = arctan x ⇔ x = tan y untuk nilai x dan ^oπ₍ < Á <^π₍ jadi lim

x→0

/9Ù¶/M 

 = lim_{y→0¶/M Þ}^Þ = lim_y→0 ÚŒÛ ß^:

ß =^y→0lim_lim^{ÙB Þ}

y→0 ÚŒÛ ß

ß = 1 (terbukti) 3. lim

x→0arcsin x = 0

Matematika Dasar Page 141 Bukti :

y = arcsin x ⇔ x = sin y untuk − 1 ≤ x ≤ 1 dan ^oπ₍ ≤ y ≤^π₍ jadi lim

x→0arcsin x = lim_y→0y = 0 (terbukti) 4. lim

x→0arccos x =₍^π Bukti :

y = arccos x ⇔ x = cos y untuk − 1 ≤ x ≤ 1 dan 0 ≤ y ≤ π jadi lim

x→0arccos x = lim_y→π/2y = ^π₍ (terbukti) 5. lim

x→0arctan x =^π₍ Bukti

y = arctan x ⇔ x = tan y untuk setiap x dan ^oπ₍ < Á < ^π₍ Jadi lim

x→0arctan x = lim_y→0y = 0 (terbukti) 6. lim

x→0arccot x =^π₍ (4.27)

y = arccot x ⇔ x = cot y untuk setiap x dan 0 < Á < á Jadi lim

x→0arccot x = lim_y→π/2y =^π₍ (terbukti)

Latihan Hitunglah limit berikut, jika ada!

1. lim

x→2

]M (

A 2. lim

x→0 (

]M K 3. lim

x→0

]M <

]M K 4. lim

x→0

]M^¼

^¢ 5. lim

x→0

^¢

]M^¢*

6. lim

x→0

:oÙB (

A 7. lim

x→4

¶/M K

< 8. lim

x→0

:oÙB(

]M(oπ 9. lim

x→0

/9ف]M K

* 10. lim

x→0

/9Ù¶/M  :o*

10.8 LIMIT TAK HINGGA

Jika kita lakukan pengamatan terhadap lim_x→c-fx dan limx→c⁺f(x) mungkin akan didapatkan bahwa f(x) membesar atau mengecil tanpa batas.

Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada gambar 10.5

Matematika Dasar Page 142 y

2 x 0

Gambar 10.5

X f(x) x f(x)

2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001

10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000

1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999

-10 -100 -1000 -10000 -100000 -1000000

Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa pada saat x mendekati titik 2 dari arah kanan maka f(x) membesar tanpa batas (menuju ∞). Sedangkan pada saat x mendekati 2dari arah kiri maka f(x) mengecil tanpa batas (menuju –∞).

Selanjutnya dikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati 2 dari arah kanan adalah ∞ atau lim

x→2⁺f(x)=∞. Sedangkan limit f(x) untuk x mendekati 2 dari arah kiri adalah –∞ atau lim

x→2^-

f(x)=-∞.

Contoh 10.11 Tentukan lim

x→∞

2x⁴m3x³mxo7 5x⁴mxo4 fx 1

x-2

Matematika Dasar Page 143 Penyelesaian :

a_m=2; bn=5;m=4;n=4 Karena m = n, maka lim

x→∞

2x⁴+3x³+x-7 5x⁴+x-4 =^am

b_n=²

5