ESTIMASI PARAMETER BATAS PENGENDALI EWMA X R

(1)

commit to user

i

ESTIMASI PARAMETER BATAS PENGENDALI

EWMA

X -R

Oleh :

ERNITA DWI HASTUTI

M0106040

SKRIPSI

Ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar

Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET

(2)

commit to user

(3)

commit to user

iii MOTO

“

Tuhan pasti kan menunjukkan kebesaran dan kuasaNya

bagi hambaNya yang sabar dan tak kenal putus asa”

(4)

commit to user

iv

PERSEMBAHAN

Karya ini saya persembahkan untuk

Orang tuaku tercinta atas doa, kasih sayang, kesabaran, semangat dan pengorbanan yang diberikan.

(5)

commit to user

v ABSTRAK

Ernita Dwi Hastuti, 2011. ESTIMASI PARAMETER BATAS PENGENDALI EWMA & − . Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.

Grafik pengendali Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) ialah sebuah grafik yang digunakan untuk mengendalikan proses secara statistik dan sebagai alat untuk mempertimbangkan apakah proses terkendali secara statistik atau tidak. Grafik pengendali EWMA sangat efektif untuk pergeseran proses yang kecil karena grafik EWMA menggunakan informasi dari sampel sebelumnya. Dalam suatu proses produksi tidak ada dua unit produk yang identik, sehingga adanya variansi tidak dapat dihindarkan. Oleh karena itu dibutuhkan dua grafik pengendali EWMA, yaitu grafik pengendali EWMA untuk mendeteksi pergeseran proses mean dan grafik pengendali EWMA untuk mendeteksi pergeseran proses variansi.

Dalam penelitian ini dikaji grafik pengendali EWMA untuk mean dan variansi secara terpisah dan grafik pengendali EWMA & − untuk memonitor proses mean dan variansi secara bersama-sama. Grafik pengendali EWMA untuk mean dan variansi secara terpisah dapat dibuat dengan mencari statistik yang digambarkan pada grafik pengendali. Sedangkan statistik yang digambarkan pada grafik pengendali EWMA & − merupakan maksimum nilai mutlak dari statistik untuk mean dan variansi. Untuk memperjelas kajian teori digunakan contoh kasus data netto kemasan air minum Makhoa 240 ml. Hasil penelitian menunjukkan bahwa grafik pengendali EWMA untuk memonitor proses mean dan variansi secara bersama-sama dan secara terpisah memberikan hasil yang sama yaitu prosesnya terkendali namun batas pengendalinya yang berbeda. Namun grafik pengendali EWMA & − akan lebih efisien bila dibandingkan dengan grafik pengendali EWMA secara terpisah, karena grafik pengendali EWMA & − memiliki lebar batas pengendali yang lebih sempit.

(6)

commit to user

vi ABSTRACT

Ernita Dwi Hastuti, 2011. ESTIMATION OF PARAMETER EWMA & − CONTROL LIMITS. Mathematics and Natural Sciences Faculty, Sebelas Maret University.

Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) control chart is a chart which is used for statistical processing control and as a tool to consider whether the process is controlled statistically or not. EWMA control chart is very effective for a small shift because EWMA chart using information from previous samples. There is no identical of two units product in the production process, so the variance is inevitable. So that we need two EWMA control chart, i.e. EWMA control chart to detect the shift of mean process and EWMA control chart to detect the shift of variance process.

In this study we assessed EWMA control charts for mean and variance separately and EWMA & − control charts to monitor the process mean and variance simultaneously. We can made EWMA control chart for mean and variance separately by finding the statistics that plotted on control chart. Otherwise, the statistics that plotted on EWMA & − is the maximum absolute value of the statistics for the mean and variance. To clarify the theoretical studies we used the example of the net data packaging of 240 ml Makhoa drinking water. The result shows that the EWMA control chart for monitoring process of mean and variance jointly and separately gave similar results that the process is in control but the control limits are different. However, EWMA & − control chart would be more efficient than EWMA control chart separately, because the EWMA& − control chart has a widercontrol limits.

(7)

commit to user

vii

KATA PENGANTAR

Puji syukur senantiasa penulis panjatkan ke hadirat Alláh SWT. atas

segala limpahan rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan

skripsi ini. Penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Dra. Sri Sulistijowati H, M.Si dan Drs. Muslich, M.Si selaku Pembimbing I

dan Pembimbing II atas kesediaan dan kesabarannya dalam membimbing dan

memotivasi penulis dalam penyusunan skripsi ini.

2. Ibu Wiwik selaku manajer Makhoa yang telah memberikan ijin kepada penulis

untuk melakukan penelitian dan pengambilan data.

3. Semua pihak yang telah membantu menyelesaikan skripsi ini.

Semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi pembaca pada

umumnya, dan bagi penulis pada khususnya.

Surakarta, April 2011

(8)

commit to user

2.1.4 Interval kepercayaan untuk variansi ... 6

2.1.5 Pengendalian kualitas statistik ... 7

2.1.6 Pengendalian proses statistik ... 7

2.1.7 Grafik pengendali ... 8

(9)

commit to user

ix

2.1.9 Grafik pengendali Shewhart ... 9

2.1.10 Grafik pengendali X -R ... 9

2.1.11 Distribusi normal ... 12

2.1.12 Distribusi uniform ... 12

2.1.13 Uji kenormalan ... 12

2.1.14 Uji independensi ... 13

2.2 Kerangka Pemikiran ... 14

BAB III. METODE PENELITIAN BAB IV. PEMBAHASAN 4.1 Grafik pengendali EWMA ... 17

4.1.1 Grafik pengendali EWMA untuk proses mean ... 17

4.1.2 Grafik pengendali EWMA untuk proses variansi ... 19

4.2 Grafik pengendali EWMA X -R ... 20

4.2.1 ARL (Average Run Length) ... 24

4.2.2 Merancang grafik pengendali EWMA X -R ... 25

4.3 Contoh kasus ... 26

4.3.1 Grafik pengendali EWMA untuk proses mean ... 28

4.3.2 Grafik pengendali EWMA untuk proses variansi ... 29

4.3.2 Grafik pengendali EWMA X -R_... ₂₉

BAB V. PENUTUP 5.1Kesimpulan ... 33

5.2Saran ... 34

DAFTAR PUSTAKA ... 35

(10)

commit to user

x

DAFTAR TABEL

Tabel 1

Tabel 2

Tabel 3

Data sampel netto kemasan air minum Makhoa 240 ml dengan

ukuran sampel (n = 5) ………...

Nilai CDF tiap sampel ………...

Nilai A_i,B_i,Z_i dan W_i………... 27

30

(11)

commit to user

xi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1

Gambar 2

Gambar 3

Gambar 4

Gambar 5

Gambar 6

Grafik pengendali ………...

Plot probabilitas normal data netto air minum ………

Plot independensi data netto air minum ………..

Grafik pengendali EWMA untuk proses mean ……….

Grafik pengendali EWMA untuk proses variansi ……….

Grafik pengendali EWMA X -R ………... 9

26

28

29

(12)

commit to user

v : Derajad bebas distribusi Chi-kuadrat

d

: Pergeseran proses mean

b : Pergeseran proses variansi

i

Z : Statistik EWMA untuk proses mean

'

i

R : Range/ rentang dari distribusi normal

2

i

S : Statistik EWMA untuk proses variansi

i

(13)

commit to user

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang Masalah

Kualitas suatu produk mempunyai hubungan yang sangat erat dengan

kepuasan pelanggan. Untuk mempertahankan kualitas, secara kontinu proses

produksi harus dimonitor dan dikendalikan. Kualitas suatu produk dapat diamati

dari beberapa karakteristik dengan suatu alat yang wajib dimiliki oleh suatu

perusahaan untuk meningkatkan kualitas produksinya. Salah satu alat yang

digunakan untuk meningkatkan kualitas produksi adalah grafik pengendali.

Grafik pengendali merupakan metode statistika yang digunakan untuk

mengontrol agar produk yang dihasilkan sesuai dengan target dan memiliki

variabilitas tidak terlalu besar.

Menurut Ariani (2005) statistik merupakan metode pengambilan keputusan

tentang suatu proses dalam populasi berdasarkan pada analisis informasi yang

terkandung di dalam sampel dari populasi tersebut. Metode statistika mempunyai

peranan yang sangat penting dalam pengendalian kualitas. Metode statistika

digunakan untuk menentukan cara-cara pengambilan sampel produk, menguji

serta mengevaluasi informasi di dalam data untuk mengendalikan dan

meningkatkan kualitas produksi.

Karakteristik kualitas yang berupa variabel, biasanya digunakan dua grafik

pengendali, yaitu grafik Ú, untuk memonitor proses mean dan grafik pengendali R atau grafik pengendali S, untuk memonitor proses variansi. Pada awalnya

banyak dikembangkan grafik pengendali untuk memonitor proses mean dan

proses variansi secara terpisah, yaitu grafik pengendali Shewart, Cumulative Sum

(CUSUM), dan Exponentially Weighted Moving Average (EWMA), akan tetapi

menurut Costa dan Rahim (2006) jika menggunakan dua grafik pengendali

secara terpisah kurang efisien dalam memonitor proses, sehingga dikembangkan

pula grafik pengendali tunggal untuk memonitor proses mean dan proses variansi

(14)

commit to user

2

secara bersama-sama. Menurut Montgomery (2005) grafik pengendali tersebut

diklasifikasikan sebagai grafik pengendali tipe Shewart, tipe CUSUM dan tipe

EWMA. Grafik pengendali tipe Shewart hanya menggunakan informasi sampel

yang terakhir sehingga kurang sensitif terhadap pergeseran proses yang kecil,

sedangkan grafik pengendali tipe CUSUM dan tipe EWMA lebih sensitif terhadap

pergeseran proses yang kecil, karena menggunakan informasi dari beberapa

sampel.

Grafik pengendali tunggal dibuat dengan menggabungkan grafik

pengendali Ú dan grafik pengendali R. Dalam membentuk grafik pengendali Ú dan grafik pengendali R, nilai mean dan nilai variansi diestimasi dengan mean

sampel dan variansi sampel. Menurut Montgomery (2005) untuk ukuran sampel

kecil, misal ≤ 10 menghitung nilai variansi dengan range sampel akan lebih efisien dibandingkan dengan standar deviasi, sehingga nilai variansi diestimasi

dengan range sampel.

Dalam skripsi ini penulis tertarik untuk mengkaji grafik pengendali EWMA

untuk mean dan variansi secara terpisah dan mengkaji ulang penelitian yang telah

dilakukan oleh Khoo et al. (2009) khususnya merancang grafik pengendali

EWMA Ú − untuk mendeteksi pergeseran proses mean dan variansi secara bersama-sama dengan menggunakan mean dan range sampel. Dalam merancang

grafik pengendali EWMA Ú − dilakukan dengan menyusun grafik pengendali untuk mean dan variansi secara terpisah terlebih dahulu kemudian menyusun

grafik pengendali dengan menggabungkan dua grafik pengendali sekaligus.

Selanjutnya untuk memperjelas kajian akan diterapkan pada data kemasan air

(15)

commit to user

3

1.2Perumusan Masalah

Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana merancang

grafik pengendali EWMA dengan mengestimasi parameter batas pengendali

Ú − secara terpisah dan bersama-sama untuk mendeteksi pergeseran proses mean dan variansi.

1.3Batasan Masalah

Pada penelitian ini, batasan masalah yang digunakan adalah penggunaaan

tabel nilai , dan hasil penelitian Khoo et al. (2009).

1.4Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah mengkaji ulang estimasi parameter batas

pengendali Ú − secara terpisah dan bersama-sama dalam pembuatan grafik pengendali EWMA untuk mendeteksi pergeseran meandan variansi.

1.5Manfaat

Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah memberikan informasi

ilmiah tentang penerapan grafik pengendali EWMA untuk mendeteksi pergeseran

(16)

commit to user

4

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada landasan teori ini akan dibahas dua subbab, yaitu tinjauan pustaka dan

kerangka pemikiran. Tinjauan pustaka berupa hasil-hasil penelitian yang telah

dilakukan peneliti terdahulu dan ada hubungannya dengan penelitian yang akan

dilakukan, selain itu juga diberikan teori-teori yang melandasi dalam kajian di

pembahasan.

2.1 Tinjauan Pustaka

Grafik pengendali adalah alat yang digunakan untuk mengendalikan proses

secara statistik dan untuk mempertimbangkan apakah proses terkendali statistik atau

tidak. Grafik pengendali Shewhart merupakan grafik pengendali yang pertama kali

dikembangkan, grafik ini diperkenalkan oleh W. A Shewhart (1931). Grafik

pengendali Shewhart kurang sensitif terhadap pergeseran proses yang kecil. Hastuti

(2002) dalam skripsinya yang berjudul “ Grafik pengendali Shewhart dan EWMA

terhadap data berkorelasi “ membahas bahwa grafik pengendali EWMA lebih sensitif

terhadap pergeseran proses yang kecil bila dibandingkan dengan grafik pengendali

Shewhart.

Karakteristik kualitas yang berupa variabel biasanya digunakan dua grafik

pengendali EWMA, yaitu untuk memonitor proses mean dan variansi. Menurut

Reynold dan Staumbos (2004) serta Costa dan Rahim (2006) grafik pengendali untuk

mean dan variansi secara terpisah kurang efisien dalam memonitor pergeseran proses,

karena harus membuat dua grafik pengendali untuk memonitor proses mean dan

variansi, sehingga dikembangkan grafik pengendali tunggal untuk memonitor proses

mean dan variansi secara bersama-sama. Chen et al. (2001) mengembangkan grafik

pengendali MaxEWMA yang merupakan grafik pengendali tunggal untuk memonitor

proses mean dan variansi dalam satu grafik pengendali. Grafik pengendali

MaxEWMA sangat efektif untuk mendeteksi pergeseran proses mean dan variansi.

Khoo et al. (2009) merancang grafik pengendali «Ǵanö − untuk memonitor

(17)

commit to user

5

proses mean dan variansi secara bersama-sama. Grafik pengendali «Ǵanö − merupakan pengembangan dari grafik pengendali MaxEWMA, tetapi grafik

pengendali «Ǵanö − menggunakan range sampel sedangkan grafik pengendali

MaxEWMA menggunakan variansi sampel.

Untuk mengkaji grafik pengendali «Ǵanö − diperlukan teori-teori yang mendukung sebagai berikut.

2.1.1 Variabel Random

Menurut Bain dan Engelhardt (1995), suatu variabel random, dinotasikan X,

jika X merupakan fungsi yang didefinisikan dari seluruh ruang sampel S, yang

menghubungkan suatu bilangan asli ö = dengan setiap hasil yang mungkin di S. Variabel random dibedakan menjadi dua, yaitu variabel random diskrit dan

variabel random kontinu.

1) Variabel Random Diskrit

Variabel random ö disebut variabel random diskrit jika himpunan semua nilai yang mungkin dari variabel tersebut adalah himpunan yang terhitung yaitu

n X X

X1, 2,..., . Fungsi

f

( )

x

=

P

(

X

=

x

)

dengan X1,X2,...,Xn disebut fungsi kepadatan peluang (Bain dan Engelhardt, 1995).

2) Variabel Random Kontinu

Menurut Bain dan Engelhardt (1995), suatu variabel random X dikatakan variabel

random kontinu jika terdapat fungsi ( ) sebagai fungsi kepadatan peluangdari X

dan disajikan sebagai

= ∞_∞ é .

2.1.2 Interval Kepercayaan

Menurut Montgomery (2005) estimasi interval untuk parameter adalah

interval antara dua statistik yang dengan probabilitas tertentu memuat nilai yang

sebenarnya. Misalkan, untuk mengestimasi interval nilai mean, maka harus dicari

(18)

commit to user

6

≤ ¶ ≤ = 1− .

Interval ≤ ¶ ≤ disebut interval kepercayaan 100 1− %, dan adalah limit kepercayaan bawah dan atas, dan 1− adalah peluang yang sebenarnya. Interpretasi dari interval konfidensi adalah apabila banyak kali interval semacam itu dibentuk

masing-masing hasil dari suatu sampel random, maka 100 1− % dari interval-interval ini akan memuat nilai sebenarnya dari ¶.

2.1.3 Interval Kepercayaan untuk Mean

Menurut Montgomery (2005) misal ö sampel random dengan observasi. Untuk besar, mean sampel ö mendekati distribusi normal dengan mean ¶ dan

Menurut Montgomery (2005) Misalkan ö adalah variabel random berdistribusi normal dengan mean ¶ dan variansi yang nilainya tidak diketahui dan variansi sampel dihitung dengan rumus

=∑ ö − ö

− 1 ,

digunakan sebagai penaksir untuk , dan akar positif sebagai penaksir untuk .

Untuk menaksir interval kepercayaan untuk digunakan distribusi . Misalkan ö ,ö , … ,ö adalah sampel random dari populasi normal maka variabel = ∑

= dinamakan distribusi dengan derajad bebas − 1 .

Sehingga diperoleh interval kepercayaan 100 1− % untuk variansi adalah

,( )

≤ ≤

,( )

(19)

commit to user

7

2.1.5 Pengendalian Kualitas Statistik

Menurut Montgomery (2005), ada dua segi umum tentang kualitas yaitu

kualitas rancangan dan kualitas kecocokan. Kualitas rancangan adalah istilah teknik

yang digunakan untuk variasi yang memang disengaja, sedangkan kualitas kecocokan

adalah seberapa baik produk itu sesuai dengan spesifikasi dan kelonggaran yang

disyaratkan oleh rancangan itu.

Pengendalian kualitas adalah aktivitas keteknikan dan managemen dan

dengan aktivitas itu dapat diukur ciri-ciri produk, membandingkannya dengan

spesifikasi atau persyaratan dan mengambil tindakan penyehatan yang sesuai apabila

ada perbedaan antara penampilan sebenarnya dan yang standar.

2.1.6 Pengendalian Proses Statistik

Menurut Ariani (2005), pengendalian proses statistik merupakan teknik

penyelesaian masalah yang digunakan sebagai pemonitor, pengendali, penganalisis,

pengelola dan memperbaiki proses menggunakan metode-metode statistik. Selain

karakteristik kualitas, terdapat beberapa sumber yang berpengaruh terhadap hasil

produksi, yaitu

1. Bahan baku (raw material)

2. Operator (men)

3. Mesin (machine)

4. Lingkungan (measurement)

5. Metode (method)

Sasaran pengendalian proses statistik adalah mengadakan pengukuran

terhadap variasi-variasi atau kesalahan-kesalahan proses. Variasi proses terdiri dari

dua penyebab, yaitu penyebab tidak terduga (common cause) dan penyebab terduga

(assignable cause). Penyebab tidak terduga merupakan pengaruh kumulatif dari

banyak sebab-sebab kecil, seperti kondisi emosional karyawan, penurunan suhu udara

(20)

commit to user

8

seperti kesalahan operator, penyimpangan dalam penggunaan mesin, bahan baku

yang cacat, kesalahan perhitungan dan lain sebagainya.

Menurut Montgomery (2005) untuk memeriksa grafik pengendali dan

menyimpulkan bahwa prosesnya tak terkendali apabila dipenuhi satu atau beberapa

kriteria berikut

1. Satu atau beberapa titik di luar batas pengendali.

2. Suatu giliran dengan paling sedikit tujuh atau delapan titik, dengan macam

dapat dibentuk giliran naik atau turun, giliran di atas atau di bawah garis

tengah, atau giliran di atas atau di bawah median.

3. Dua atau tiga titik yang berurutan di luar batas peringatan 2-sigma tetapi

masih dalam batas pengendali.

4. Empat atau lima titik yang berurutan di luar batas 1-sigma

5. Pola tak biasa atau tak random dalam data.

6. Satu atau dua titik dekat satu batas peringatan atau pengendali.

2.1.7 Grafik Pengendali

Grafik pengendali adalah metode statistik yang membedakan adanya variasi-

variasi penyimpangan yang dipengaruhi oleh sebab tak terduga dan sebab terduga.

Penyimpangan yang dipengaruhi sebab terduga biasanya berada di luar batas

pengendali, sedangkan penyimpangan yang dipengaruhi oleh sebab tak terduga

berada di dalam batas pengendali (Ariani, 2005).

2.1.8 Grafik Pengendali Variabel

Menurut Montgomery (2005), untuk karakteristik kualitas yang dapat

dinyatakan dengan angka, misal diameter sekrup dapat diukur dengan mikro meter

dan juga berat bubuk coklat dapat ditimbang dengan timbangan mikro. Suatu

karakteristik yang mempunyai variasi nilai seperti dimensi, berat atau volume

dinamakan variabel. Apabila bekerja dengan karakteristik kualitas variabel sudah

(21)

commit to user

Menurut Montgom

garis tengah yang merupa

keadaan terkendali. Dua g

(BPA) dan batas pengendal

omery (2005), bentuk dasar grafik pengendali

pakan nilai rata-rata karakteristik kualitas terte

a garis mendatar yang lain disebut batas peng

li bawah (BPB). Seperti ditunjukkan pada Gamb

Gambar 1. Grafik pengendali

omery (2005), misalkan karakteristik kualitas b

(22)

commit to user

10

Karena nilai ¶ dan biasanya tidak diketahui, maka nilai-nilai itu harus ditaksir dari sampel-sampel pendahuluan yang diambil ketika proses itu diduga

terkendali. Misalkan tersedia Ư sampel, masing-masing memuat observasi pada karakteristik kualitas itu. Jika ö ,ö , … ,ö adalah rata-rata tiap sampel, maka penaksir terbaik untuk rata-rata proses ¶ adalah mean keseluruhan, yaitu

ö =ö + ö +⋯+ö Ư

dan ö akan dijadikan garis tengah grafik ö itu.

Untuk ukuran sampel kecil, misal ≤ 10 estimasi nilai standar deviasi biasanya menggunakan metode range. Misal ö ,ö _,….,ö adalah sampel random dari n observasi yang berdistribusi normal dangan mean ¶ dan variansi , range sampel

Terdapat hubungan antara rentang suatu sampel dari distribusi normal dan deviasi

standar distribusi itu. Misal didefinisikan variabel random Ǵ= yang dinamakan rentang relatif. Parameter distribusi Ǵ adalah fungsi ukuran sampel . Menurut Tippett (1925) mean Ǵ bernilai é dari variabel random berdistribusi normal, sehingga penaksir untuk adalah =

(23)

commit to user

11

= é

Jika digunakan ö sebagai penaksir untuk ¶ dan _é sebagai penaksir untuk , maka

batas pengendali grafik ö dengan batas 3-sigma adalah

4 n= ö −

√ .

ð2 = ö 4 4= ö −

√ .

Diketahui bahwa rentang sampel berhubungan dengan deviasi standar

proses. Oleh karena itu, variabilitas proses dapat dikendalikan dengan

menggambarkan nilai-nilai dari sampel-sampel yang berurutan pada grafik

pengendali. Grafik pengendali ini dinamakan grafik . Batas pengendali grafik

dapat ditentukan dengan mencari garis tengahnya dan standar deviasi . Dengan

menganggap bahwa karakteristik kualitas berdistribusi normal, estimasi untuk

dapat diperoleh dari distribusi rentang relatif Ǵ = . Menurut Tippett (1925) deviasi standar Ǵ bernilai é yang merupakan fungsi yang diketahui. Nilai é berbagai ukuran sampel diberikan dalam lampiran.

Jadi karena

=Ǵ maka deviasi standar adalah

=é .

Karena tidak diketahui, maka dapat ditaksir dengan

=é .

(24)

commit to user

12

4 n= + 3 = + 3é é

ð2 =

4 4= − 3 = − 3é .

2.1.11 Distribusi Normal

Distribusi normal atau disebut juga distribusi Gaussian, adalah salah satu

distribusi penting dalam aplikasi statistik. Variabel random ö berdistribusi normal dengan mean¶ dan variansi dapat dituliskan ö~ (¶, ) dengan fungsi densitas probabilitas ( Montgomery, 2005).

= 1

√2 ,

dengan 0≤ ö ≤ 1 0≤ ¶ ≤ 1 ≥ 0

2.1.12 Distribusi Uniform

Bain dan Engelhardt (1995) memberikan definisi bahwa variabel random X

dikatakan mempunyai distribusi Uniform pada interval , jika mempunyai fungsi

densitas probabilitas

ö; , = 1

−

untuk <ö < dan 0 untuk nilai ö yang lain. Variabel random yang berdistribusi Uniform dinotasikan ö~ ( , ).

2.1.13 Uji Kenormalan

Menurut Montgomery (1992) untuk memeriksa kenormalan data dapat

dilakukan dengan melihat plot antara data dengan nilai probabilitas kumulatifnya.

Untuk membentuk plot normal dapat dilakukan dengan menggambarkan kenaikan

(25)

commit to user

13

dan adalah banyaknya observasi. Jika plot yang dihasilkan terletak pada pita

kenormalan atau mendekati garis lurus maka dapat dikatakan asumsi kenormalan

sudah dipenuhi. Uji kenormalan dapat juga dilakukan melalui uji

Kolmogorof-Smirnov yang dapat dilihat dari nilai p-value dengan langkah-langkah sebagai berikut

a) Membuat hipotesis

:data berdistribusi normal

:data tidak berdistribusi normal

b) Menentukan tingkat signifikasi %

c) Menentukan statistik uji

=Ư ö − − 1, − ö

dengan adalah fungsi distribusi kumulatif observasi.

d) Membuat daerah kritis yaitu menolak jika p-value lebih kecil dari

tingkat signifikansi .

e) Mengambil kesimpulan

2.1.14 Uji Independensi

Menurut Montgomery (1992) data dapat dikatakan independen apabila nilai

data suatu pengamatan tidak dipengaruhi data dari pengamatan lain. Untuk menguji

keindependenan suatu data dapat dilihat dari plot antara data dan order observasi. Bila

data berpola acak maka data tersebut bersifat independen.

2.2 Kerangka Pemikiran

Untuk karakteristik kualitas produk yang berupa variabel biasanya

digunakan dua grafik pengendali EWMA, satu grafik pengendali EWMA untuk

memonitor proses mean dan yang lain grafik pengendali EWMA untuk memonitor

variansi. Grafik pengendali EWMA memerlukan asumsi bahwa pengukuran

karakteristik kualitas harus memiliki distribusi normal dan independen. Dalam

membentuk grafik pengendali EWMA secara terpisah maupun secara bersama-sama,

(26)

commit to user

14

pengendali EWMA untuk proses mean dilakukan dengan menentukan statistik EWMA

untuk proses mean dengan terlebih dahulu menentukan nilai lalu menggambarkan

statistik tersebut pada grafik pengendali. Untuk membentuk grafik pengendali EWMA

untuk proses variansi dilakukan dengan menentukan statistik EWMA untuk variansi

dengan terlebih dahulu menentukan nilai lalu menggambarkan statistik tersebut

pada grafik pengendali. Untuk menggabungkan dua grafik pengendali untuk proses

mean dan variansi secara bersama-sama diperlukan transformasi untuk setiap sampel.

Transformasi setiap sampel digunakan untuk menentukan statistik EWMA untuk

mean dan variansi. Kemudian menentukan statistik untuk EWMA ö − yang merupakan maksimum nilai mutlak dari statistik EWMA untuk mean dan variansi,

(27)

commit to user

15

BAB III

METODE PENELITIAN

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur, yaitu dengan

mempelajari berbagai referensi dari buku dan jurnal-jurnal yang bersesuaian dengan

tujuan penelitian.

Adapun langkah- langkah yang ditempuh dalam penelitian ini adalah

1. Mengkaji penaksiran parameter ¾ dan

2. Mengkaji pembuatan grafik pengendali EWMA untuk proses mean

dengan langkah sebagai berikut

a. Menentukan nilai .

b. Menentukan statistik EWMA untuk proses mean.

c. Menentukan batas pengendali.

d. Menggambarkan statistik EWMA pada batas pengendali

3. Mengkaji pembuatan grafik pengendali EWMA untuk proses variansi

dengan langkah sebagai berikut

a. Menentukan nilai .

b. Menentukan statistik EWMA untuk proses variansi.

c. Menentukan batas pengendali.

d. Menggambarkan statistik EWMA pada batas pengendali.

4. Mengkaji pembuatan grafik pengendali EWMAº − untuk memonitor

proses mean dan variansi secara bersama-sama, dengan langkah sebagai

berikut

a. Memilih nilai , dan L yang dapat ditentukan berdasar

penelitian Khoo et al, (2009).

b. Melakukan transformasi untuk tiap sampel.

c. Menentukan statistik EWMA untuk mean dan variansi.

(28)

commit to user

16

d. Menentukan statistik EWMAº − yang merupakan maksimum

nilai mutlak dari statistik EWMA untuk mean dan variansi.

e. Menggambarkan statistik EWMAº − pada batas pengendali.

5. Menerapkan pada data kemasan air minum “Makhoa” 240 ml

karakteristik kualitas netto di mana data merupakan data primer yang

diambil dari PDAM Tirta Gemilang Kabupaten Magelang pada hari

Rabu sampai Sabtu, tanggal 20-24 Desember 2010. Data yang diambil

sebanyak 30 sampel dengan ukuran sampel yang diambil adalah 5 untuk

setiap sampel. Pengambilan sampel dilakukan setiap 20 menit. Analisis

data dilakukan dengan bantuan software Minitab 16 for Windows dan

(29)

commit to user

17

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Grafik Pengendali EWMA

Grafik pengendali EWMA sangat efektif untuk pergeseran proses yang kecil,

karena grafik pengendali EWMA menggunakan informasi dari sampel sebelumnya.

Untuk karakteristik kualitas yang berupa variabel, biasanya menggunakan dua grafik

pengendali ĆĖōB, yaitu grafik EWMA untuk memonitor proses mean dan grafik

EWMA memonitor proses variansi.

4.1.1 Grafik Pengendali EWMA untuk Memonitor Proses Mean

Menurut Montgomery (2005) statistik EWMA dari *_> didefinisikan sebagai

Persamaan (4.1) dapat ditulis kembali sebagai berikut

â> = *>+ 1− *> + 1− â> .

Jika *_> adalah variabel independen dengan variansi Ƽ , maka variansi â_> adalah

(30)

commit to user

dan diperoleh deviasi standar dari â_> adalah

Ƽ _t =Ƽ 1− 1− > . (4.3)

Dari persamaan (2.1) dan (4.3) interval konfidensi untuk grafik pengendali EWMA

− ±Ƽ ₍₂₋ ₎ 1− (1− ) > ≤ ≤ +±Ƽ

(2− ) 1− (1− ) > ,

sehingga diperoleh batas pengendali grafik EWMA untuk proses mean

7.B= + ±Ƽ

(2− ) 1− (1− ) >

=

7.7= − ±Ƽ

(2− ) 1− (1− ) >

dengan adalah rata-rata dari variabel random yang berdistribusi normal, dan L

adalah lebar batas pengendali.

(31)

commit to user

19

lim

>→ Ƽ t = lim_>→ Ƽ ₂₋ 1− 1− >

=Ƽ .

Sehingga diperoleh batas pengendali sebagai berikut

7.B= + ±Ƽ

(2− )

=

7.7= − ±Ƽ

(2− )

4.1.2 Grafik Pengendali EWMA untuk Memonitor Proses Variansi

Mac. Gregor dan Haris (1993) mendiskusikan dasar statistik grafik

pengendali EWMA untuk memonitor proses variansi. Misal *_> berdistribusi normal

dengan mean dan variansi Ƽ , exponentially weighted mean square error (EWMS),

> didefinisikan sebagai berikut

> = *>− + 1− > , = 1,2, …

dengan = 0

*_>: observasi ke i

: konstanta smoothing (0≤ ≤ 1).

Untuk nilai yang besar maka Ć( _> ) =Ƽ , hal ini dapat ditunjukkan dengan

mensubtitusi − 1 untuk i pada persamaan (2.1)

> = *> − + 1− > ,

sehingga persamaan (2.1) dapat ditulis kembali sebagai berikut

> = *>− + 1− *> − + 1− > .

Selanjutnya dengan mengganti = 2,3, … diperoleh

(32)

commit to user

20

Karena nilai ∑> 1− >+ 1− = 1, maka

Ć > =∑> *>− =Ƽ . (4.4)

Bila observasi berdistribusi normal dan independen maka t akan mendekati

distribusi Chi- kuadrat dengan derajad bebas = 2− / . Jika Ƽ adalah nilai

target dari proses variansi, _> dapat digambarkan pada grafik pengendali. Menurut

Eyvazian et al. (2008) percentil ke 100(1− ) dari distribusi Chi- kuadrat dengan

derajad bebas dapat digunakan untuk membentuk batas pengendali. Dari persamaan

(2.2) dan (4.4) maka diperoleh interval kepercayaan 100 1− % untuk grafik

EWMA adalah

Ƽ , ( )≤ Ƽ ≤ Ƽ , .

Sehingga diperoleh batas pengendali untuk grafik EWMA untuk proses variansi

7.B=Ƽ ,

7.7 =Ƽ , ( ).

4.2 Grafik pengendali ¸WMA −

Khoo et al. (2009) menggabungkan dua grafik pengendali EWMA menjadi

satu grafik pengendali yang disebut grafik pengendali EWMA * − R yang lebih

efektif dalam mendeteksi pergeseran mean dan variansisecara bersama-sama.

Misalkan *_> , dengan = 1,2, … dan = 1,2, … , _> adalah hasil pengukuran

dari karakteristik kualitas yang memiliki distribusi normal dengan = + Ƽ dan

standar deviasi Ƽ = Ƽ , dengan i dan j adalah sampel dan urutan pengamatan.

Menurut Khoo et al. (2009) proses dalam keadaan terkendali jika = 0 dan = 1

sehingga

= + Ƽ

(33)

commit to user

pengamatan random dari sampel i yang memiliki distribusi Uniform (0,1). Misal

R>′= >(e>)− >( ) = (*_>e_t)− (*_> )

adalah range sampel ke i untuk pengamatan _> , _> , … . , _>e dimana _> adalah sampel

terkecil dan _>e adalah sampel terbesar. Sampel ini didefinisikan

B> =

dari cdf range sampel sebagai berikut

r′

> = > , >e = >e e− 1− 1− > e.

Diketahui bahwa B_>~ (0,1), ketika = 0 dan = 1 rata-rata dari n pengukuran

independen dari distribusi normal adalah independen (Daly, 1946), sehingga * dan

(34)

commit to user

22

Untuk membentuk grafik pengendali tunggal yang dapat mendeteksi

pergeseran mean dan variansi secara bersama-sama, statistik EWMA di definisikan, Ė> = B>+ (1− )Ė> (4.8)

dan

â> = 7>+ (1− )â> (4.9)

dengan Ė =â = 0 adalah nilai awal, dan adalah konstanta smoothing.

Kemudian kedua statistik tersebut didefinisikan dengan ō_> diberikan oleh

ō> = max |Ė>|,|â>| , = 1,2, … (4.10)

Jika ō_> positif, grafik EWMA* − R dapat dibentuk dengan menggambarkan statistik

ō> pada batas pengendali

7.B=Ć ō_> +± rō_> . (4.11)

sehingga fungsi kepadatan peluang dari ō_> adalah

= ′

=

t∅ t 2∅ t − 1 + t∅ t 2∅ t − 1 .

Misalkan Ƽ _>=r dan Ƽ _>= maka

(35)

commit to user

23

Nilai ekspektasi dari ō_> adalah

Ć ō_> = ∞

= ∞ ∅ 2∅ − 1 + ∅ 2∅ − 1 .

Misalkan = maka

Ć ō_> = 2 ∞ 2 ∅ 2∅ − 1 + ∅ 2∅ − 1 .

Dengan menggunakan softwareMatematica5.0 diperoleh

Ć ō_> = .

Dengan mensubtitusikan Ƽ _>=r dan Ƽ _>= maka

Ć ō_> = t t . (4.12)

Diperoleh nilai Ć ō_> sebagai berikut

Ć ō_> = ∞

= ∞ ∅ 2∅ − 1 + ∅ 2∅ − 1 .

Misalkan = maka

Ć ō_> = ∞ 2r ∅ 2∅ − 1 + ∅ 2∅ − 1 .

Dengan menggunakan software Matematica 5.0 diperoleh

Ć ō_> = r + r+ .

Dengan mensubtitusikan Ƽ _>=r dan Ƽ _>= maka

Ć ō_> = Ƽ _> t

t + Ƽ >+Ƽ >

t t ,

sehingga

rō_> = Ƽ _> t

t − 1 +Ƽ >

t

t − 1 +Ƽ >Ƽ > (4.13)

(36)

commit to user

24

Ƽ >= 1− 1− > dan Ƽ > = 1− 1− >

dengan , adalah konstanta smoothing.

Dari persamaan (4.12) dan (4.13) diperoleh batas pengendali

7.B= t t +± Ƽ _> t

variansi jauh dari nilai target yang diharapkan.

Grafik pengendali ĆĖōB* − R memiliki keuntungan dengan transformasi

yang dilakukan pada persamaan (4.6) dan (4.7) yaitu:

i. Masalah ukuran sampel variabel dapat dihandel dengan mudah karena

distribusi dari B_> dan 7_> adalah independen untuk ukuran sampel n, ketika

Menurut Montgomery (2005), karakteristik dari grafik pengendali pada

umumnya dilihat dari nilai Run Length (RL) yang menunjukkan nilai dari sampel

yang harus digambarkan dalam grafik sampai ditemukan nilai yang jatuh diluar

kontrol. Nilai RL dapat dihitung dengan

. R±= = 1− , = 1,2, …

dengan adalah probabilitas bahwa sampel berada di luar batas pengendali. Average

Run Length (ARL) adalah banyaknya titik sampel rata-rata yang digambarkan

sebelum suatu titik menunjukkan keadaan tidak terkendali. ARL didefinisikan

(37)

commit to user

25

BR±=Ć(R±)

=∑ ..(R± = )

= + 2 1− + 3 1− + 4 (1− )3+⋯

= [1 + 2 1− + 3 1− + 4 1− 3+⋯]

= ∑_e + 1 1− e.

Menurut Martono (1999) jika jari-jari kekonvergenan deret pangkat ∑_e _e*e

adalah r > 0 maka fungsi =∑_e _e*e terdeferensiabel pada –r,r dengan

′ =∑_e _e*e . Sehingga akan diperoleh,

BR± = = .

4.2.2 Merancang Grafik Pengendali ¸WMA −

Grafik pengendali ĆĖōB * − R dapat dibentuk dari langkah-langkah

berikut:

i. Jika nilai tujuan dari parameter proses tidak diketahui, maka harus diestimasi

dari data sampel yang berada dalam batas pengendali dengan diestimasi

dengan rumus *=∑_> dan standar deviasi Ƽ diestimasi dengan rumus

=∑_> t dimana =

= e ⋯ e

dengan m adalah jumlah sampel yang digunakan untuk mengestimasi.

ii. Memilih nilai , , ± berdasarkan nilai ARL dan nilai n. Dihitung nilai

B>,7> ,Ė>,â> dan ō> menggunakan persamaan (4.6)-(4.10) untuk masing-

masing sampel dengan Ė =â = 0 untuk nilai awal.

iii. Menghitung nilai 7.B dengan persamaan (4.11).

iv. Menggambarkan sampel i ketika ō_> ≤ 7.B untuk mengindikasikan proses

(38)

commit to user

26

dan B_> > 0 maka proses mean meningkat namun bila B_> < 0 berarti proses

mean menurun. Jika |â_>|>7.B dan 7_> > 0 berarti proses variansi meningkat

namun bila 7_> < 0 maka proses variansi menurun.

v. Mencari penyebab dari setiap sampel yang di luar batas pengendali dan dicari

penanganannya.

4.3 CONTOH KASUS

PDAM Kabupaten Magelang memproduksi Air Minum dalam kemasan

(AMDK) dengan merk “Makhoa”, salah satu kemasan Makhoa adalah cup 240 ml.

data netto air minum Makhoa dapat diterapkan pada grafik pengendali EWMA. Data

berupa data primer yang diambil dari PDAM Kabupaten Magelang dengan data

seperti pada Tabel 1. Sebelum dibuat grafik pengendali EWMA terlebih dahulu data

harus diuji asumsinya, meliputi uji kenormalan dan uji independensi.

1. Uji kenormalan

Gambar 2. Plot probabilitas normal data netto air minum

Karena diperoleh nilai p-value = 0.15 dan = 0.05 sehingga data netto air

(39)

commit to user

27

(40)

commit to user

Gambar 3. Plot independensi data netto air minum

Karena data berpola acak maka data netto air minum dikatakan independen.

4.3.1 Grafik Pengendali EWMA untuk Proses Mean

Dari software Minitab 16 for windows diperoleh grafik pengendali untuk proses

Gambar 4. Grafik pengendali EWMA untuk proses mean

Dari Gambar 4 tampak bahwa semua sampel berada dalam batas pengendali, pada

batas pengendali _{3 tidak ada pola tren sedangkan untuk}s _BPA ₂s =₂₃₃_.₄_tidak

(41)

commit to user

29

4.3.2 Grafik Pengendali EWMA untuk Proses Variansi

Dari software Minitab 16 for windows diperoleh grafik pengendali untuk

proses variansi sebagai berikut

BPA = 8.632

BPB = 0

Gambar 5. Grafik pengendali EWMA untuk proses variansi

Dari Gambar 5 terlihat bahwa semua sampel terletak dalam batas pengendali

dan tidak ada pola tren maka dapat disimpulkan bahwa prosesnya masih

terkendali.

4.3.3 Grafik pengendali EWMA X -R

Berikut langkah-langkah untuk membuat grafik EWMA X -R

a. Estimasi nilai mean adalah =* = 232.3067,

estimasi nilai standar deviasi adalah Ƽ = = 2.

. 32= 2.7515.

b. Dengan menggunakan tabel nilai ARL hasil penelitian Khoo et al untuk

kombinasi pergeseran proses mean dan variansi maka dipilih menurut Khoo et

al. (2009) untuk grafik pengendali EWMA * − R biasanya dipilih nilai ARL

pada kondisi terkendali BR± = 250 dan , = 0.25, 1.5 . kemudian

dipilih konstanta smoothing , = 0.3,0.3 dan nilai ± = 3.13.

c. Dengan menggunakan teorema limit pusat, jika diasumsikan *_> mengikuti

distribusi normal, 232.3067 ,2.7515 untuk = 1,2, … ,15 dan =

1, 2, . . ,5. Diasumsikan . adalah fungsi distribusi dari *_> dan _> = *_>

maka dengan software Minitab 16 for windows diperoleh seperti pada Tabel

(42)

commit to user

30

Tabel 2. Nilai CDF tiap sampel

(43)

commit to user

13 1.051029 0.013181 0.601197 0.230216 0.601197

14 -0.89938 -0.73754 0.151023 -0.06011 0.151023

15 1.701167 -0.76721 0.616066 -0.27224 0.616066

16 -1.54952 -0.06093 -0.03361 -0.20885 0.20885

17 1.376098 1.85011 0.389302 0.40884 0.40884

18 0.075822 1.00175 0.295258 0.586713 0.586713

19 0.400891 0.13181 0.326948 0.450242 0.450242

(44)

commit to user

32

Dari persamaan (4.11) diperoleh nilai _BPA=1.1708_dan _BPB=₀_sehingga

dapat digambarkan dalam grafik pengendali tampak pada Gambar 5.

Gambar 6. Grafik Pengendali EWMA _X -_R untuk data netto air minum

Dari Gambar 6, terlihat bahwa semua sampel jatuh di dalam batas pengendali 7.B= 1.1708, tidak ada pola tren dan untuk 7.B 2Ƽ = 1.08 ada 1 titik di luar batas 2Ƽ yaitu pada data 29, untuk 7.B 1Ƽ = 0.82 ada 3 titik yang berada

di luar batas 1Ƽ yaitu pada data 26, 29, 30, maka dapat disimpulkan bahwa

prosesnya masih terkendali.

Dari Gambar (4), (5) dan (6) terlihat bahwa prosesnya terkendali tetapi

mempunyai batas pengendali yang berbeda yaitu untuk grafik pengendali

EWMA untuk proses mean diperoleh 7.B = 233.857 dan 7.7= 230.756,

untuk grafik pengendali EWMA proses variansi diperoleh 7.B= 8.632 dan

7.7= 0, sedangkan untuk grafik pengendali EWMA _X - _R diperoleh 7.B= 1.1708 dan 7.7 = 0. Grafik pengendali EWMA _X - _R _memiliki

lebar batas pengendali yang lebih sempit, hal ini berarti grafik pengendali

EWMA _X - _R lebih sensitif bila dibandingkan dengan grafik pengendali

EWMA untuk mean dan variansi secara terpisah.

(45)

commit to user