Pengolahan Sinyal Digital Dengan Pemograman Matlab

]AIqAN

PAN

UMUR

@*nAHATLMU

PENGOIAHAN

SINYAL

DIGITAL

lr$t8fi]t

Pffi

n0snfimffi

mmm[

Dadang Gunawan

PENCOLAHAN SI NYAL DICITAT

dengan Pemrograman MATTAB

Oleh

:

DadangGunawan Filbert Hilman Juwono

Edisi Pertama

Cetakan Pertama, 2012

Hak Cipta @ 2A12 pada penulis,

Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik

perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari penerbit.

GRAHA ILMU

Ruko Jambusari No. 7A Yogyakarta 55283 i I I I ! t I I Telp Fax. : 027 4-88983 6; O27 4-889398 : 0274-889O57

E-mail

: info@grahailmu.co.id

Gunawan, Dadang; ,Juwono,

Filbert

Hilman

PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL; Dengan Pemrograman !4ATLAB/Dadang Gunawan;

Filbert

Hifman Juwono

-

Edisi

Pertama

_-

Yogyakarta;

Graha

Ilmu,

2012

x + 266, 1 Jj-l.

z

26

cm.

ruTAPE]YGANTAR

engolahan Sinyal Digital _{telah banyak digunakan dalam berbagai aplikasi. Sebagai contoh,}

aplikasi-aplikasi tersebut meliputi teknik pengenalan suara, kompresi sinyal (data, gambar), dan

juga

televisi dan telepon digital. Pengolahan Sinyal Digital

juga

sangat membantu dalam

penanganan bencana alam, seperti dapat diciptakannya teknologi pemantau gempa dan tsunami. Selain iftl

juga

_{aplikasi biomedik, seperti sinyal electrocardiography (ECG) dan electroencephalogram (EEG),}

sangat terbantu dengan adanya teknologi digital.

Buku

ini

memberikan dasar-dasar teknik yang digunakan dalam Pengolahan Sinyal Digital. Buku

ini

terbagi menjadi

7

bab.

Bab

I

memberikan gambaran mengenai sinyal, yaitu jenis-jenis sinyal.

Walaupun dibahas mengenai sinyal kontinu, penekanan masih tetap pada sinyal diskrit. Bab 2 membahas

mengenai sistem dan operasinya. Pengolahan Sinyal Digital memang merupakan suatu bagian khusus dari

subjek Sinyal dan Sistem sehingga penekanan intinya tidak lepas dari topik tersebut. Bab 3 membahas

mengenai Sistem

LTI

waktu diskrit.

Sistem

LTI

sering diasumsikan karena

paling

mudah untuk diaplikasikan. Bab

4

membahas mengenai transformasi dari domain waktu ke domain frekuensi yang

dinyatakan sebagai representasi Fourier dengan penekanan pada Discrete Fourier Transform (DFT) dan

Discrete'Time Fourier Transform (DTFT). Bab 5 membahas mengenai hansformasi z, suatu transformasi

yang berguna untuk menganalisis sistem

diskrit. Bab

6

membahas mengenai

filter Finite

Impulse

Response (FiR) sedangkan bab 7 membahas mengenai filter Infinite Impulse Response

(IIR).

Tiap-tiap bab

juga

dilengkapi dengan program

MATLAB

yang mendukung penjelasan-penjelasan yang ada.

Diharapkan Anda dapat mengembangkan program

MATLAB

tersebut

jika

telah memahami betul teori-teori yang disajikan.

vi

Dosar Pengolahan Sinyal Digitol

Akhirnya. kami berharap buku ini'dapat merijadi dasar untuk aplikasi dari Pengolahan Sinyal Digital dan kami juga berharap dapat memberi manfaat bagi pengembangan ilmu.

Jakarta, September 201 I

DAFTARlS'T

KATA

PENGANTAR DAFTAR

ISI

BAB

1

SIR{YAI,

1.1

Pendahuluan

1.2

Macam-macam Sinyal

1.3

Operasi lJasar Sinyal

1.4

Sinyal-sinyal Dasar

1.5

IV1engapa Pengolahan _{Sinyal Digital?}

1.6

Kerangka Isi Buku

Soal-soal

BAB

2

SISTEM

2.1

Pendahuluan

2.2 Klasifikasi Sistem Soal-soal

BAB

3

SISTEM

LTI

_{WAKTU-DISKRIT DALAM DOMAIN WAKTU}

3.1

Komponen Dasar Sistem

3.2

Persamaan Perbedaan

3.3

_{Konversi Sinyal Analog Menjadi Digital}

3.4

Konvolusi

3.5

Korelasi

3.6

Interkoneksi Sistem

LTI

v

vii

1 I 2

I

15 26 28 34 37 37 38 45 49 49

5l

58 68 76 82

wtI Dasar Pengolahan Sinyol Digital 84 84 90 93 93 94 98 100 103 113 113

t23

129 133 133 138 146 148 159 161

t64

165 166 172

l7s

t75

t76

178 179 181 183 183

t94

t97 20r 208

3.7

Rangkuman Operasi Sinyal dan Notasinya

3.8

Konvolusi Sinyal Kontinu

Soal-soal

BAB

4

REPRESENTASI

FOURIER:

DISCRBTE FOURIER TRANSFORM

4.1

Pendahuluan

4.2

Fourier Series (FS)

4.3

Fourier Transtbrm (FT)

4.4

Discrete-Time Fourier Transform

_@fFf)

4.5

Discrete Fourier Transform

_@Ff)

4.6

Properti Representasi Fourier

4.7

Fast Fourier Transform

_FFf)

4.8

lrwers Fast Fourier Transform (IFFT)

Soal-Soal

BAB

5

TRANSFORMASI

Z

5.1

Pendahuluan

5.2

Properti Transformasi Z

5.3

Fungsi Sistem

LTI

5.4

Invers Transformasi Z

5.5

TransformasiZ Satu Sisi

5.6

Respons Sistem Pole-Zero dengan Kondisi Awal Tidak Nol

5.7

Kausalitas dan Stabilitas

5.8

Penghilangan Pole-Zero

5.9

Stabilitas Sistem dengan Lebih Dari Satu Pole Soal-soal

BAB

6

FILTER

DIGITAL:

FIR

6.1

Pendahuluan

6.2

Respons Fasa

6.3

Tipe Filter FIR

6.4

Perancangan Filter

6.5

Spesifikasi Filter

6.6

Penghitungan Koefisien Filter

6.7

Metode Windowing

6.8

Metode Optimal

6.9

Metode Sampling Frekuensi 6. I 0 Transformasi Frekuensi Soa[-soal

Daftar lsi

BAB

7

FILTER

DIGITAL: IIR

7.1

Pendahuluan

7.2

Metode Penempatan Pole-Zero

7.3

Metode Impulse Invariant

7.4

Metode Matched Z-transforrn (lv[Zf)

7.5

Metode Bilinear Z-transforn (BZT)

7.6

Filter Analog

7.7

BZT dengan Filter Analog

Soal-soal DAFTAR PUSTAKA TENTANG PENTILIS ix 211

2tt

212

2t6

220 222 229 237 260 263 265

-oo0oo-BAB

1

Sinyal

1,1

PENDAHULUAN

inyal

banyak dijumpai dalam keseharian

kita

seperti suara, musik, gambar, video. Selain itu, fenomena alam _{seperti temperatur, kelembapan, arah angin}

juga

termasuk sinyal.

Jika

kita memeriksakan

diri

ke dokter biasanya akan diukur tekanan darah dan

jika

kita masuk ke ruang

ICU kemungkinan kita melihat denyut jantung seseorang yang ditampilkan dalam layar peralatan medis. Tekanan darah dan denyutjantung dapatjuga digolongkan sebagai sinyal.

Sinyal didefinisikan sebagai kuantitas

fisik

yang membawa pesan atau informasi. Satu hal yang

membedakan antara

sinyal

dan gelombang adalah masalah informasi;

sinyal

membawa infonnasi

sedangkan gelombang tidak. Sinyal biasanya direpresentasikan secara matematik dalam bentuk fungsi

satu atau lebih variabel. Sinyal yang hanya mempunyai satu variabel disebut sinyal satu dimensi

(l-D),

sebagai contoh adalah sinyal suara yang amplitudonya hanya tergantung pada satu variabel yaitu waktu.

Untuk

sinyal

l-D,

variabel bebasnya biasanya adalah waktu. Sinyal dengan dua atau lebih variabel disebut sinyal

multi

dimensi

(M-D).

Sebagai contoh, sinyal gambar (image) merupakan fungsi dua

variabel ruang (koordinat

x

dan

y).

Contoh lain adalah intensitas medan

listrik

dapat dinyatakan dalam

variabel waktu dan ruang.

Sinyal yang paling mudah

diukur

dan sederhana adalah sinyal

listrik

sehingga sinyal listrik

biasanya dijadikan kuantitas fisik referensi. Sinyal-sinyal lain seperti temperatur, kelembapan, kecepatan

angin, dan intensitas cahaya _{biasa diubah terlebih dahulu menjadi sinyal}

_listrik

_{dengan menggunakan} transducer.

Dosar Pengolahan Sinyol Digital

Istilah pengolahan sinyal berhubungan dengan metode-metode analisis, modifikasi, atau ekstraksi

informasi dari suatu sinyal. Secara umum, pengolahan sinyal merupakan representasi matematik dan

algoritma untuk melakukan proses-proses analisis, modifikasi, atau ekstraksi informasi seperti yang disebutkan

di

atas. Sinyal diolah

di

dalarn suatu sistem yang akan dibahas pada bab berikutrya.

Sedangkan istilah digital berarti bahwa pengolahan sinyal tersebut dilakukan menggunakan komputer

atau perangkat digital.

1.2

MACAM-MAEAM SINYAL

Di sini akan dibatasi sin"ral satu dimensi yang bernilai tunggal, yaitu untuk satu waktu hanya terdapat satu

nilai saja, baik nilai

riil

maupun kompleks. Berbagai klasifikasi sinyal adalah sebagai berikut:

l.

Sinyal waktu-kontinu, waktu-diskrit, analog, dan digital

Sinyal waktu-kontinu adalah sinyal yang variabel bebasnya kontinu, terdef:nisi pada setiap waktu.

Sedangkan sinyal wakru-diskrit adalah sinyal yang variabel bebasrya diskrit, yaitu terdefinisi pada

waktu-waktu tertentu dan karena itu merupakan suatu deretan angka (sequence of numbers).

Sinyal analog adalah sinyal waktu-kontinu dengan amplitudo yang kontinu. Contohnya adalah sinyal

suara. Sinyal digital adalah sinyal rvaktu-diskrit dengan amplitudo bernilai-diskrit yang digambarkan dalam dalam

jumlah digit

yang terbatas. Contohnya adalah sinyal inusik

yarg

terdigitasi yang

tersimpan dalam CD-ROM.

Selain itu, terdapat juga sinyal data-tercacah dan sinyal boxcar. Sinyal data-tercacah (sampled-data

signal),

yaitu sinyal

waktu-diskrit

yang

dengan amplitude

bernilai kontinu. Sinyal

boxcar terkuantisasi (quantized boxcar signafi yaitu sinyal waktu-kontinu dengan amplitudo bernilai-diskrit. Sinyal-sinyal tersebut digambarkan dalam Gambar

l.l.

Bab 1: Sinyal

Si nyBl dtsta-tercacdh Si nyal boxcrr terkuanti s asi

Gambar 1,1 Sinyal waknt-kontinu, sinyal digital, sinyal data-tercocah, dan sinyal boxcar terkuantisosi Sinyal waktu-kontinu variabel bebas kontinunya dilambangkan dengan

l,

sementara sinyal

waktu-bebas variabel bebas diskritnya dilambangkan dengan n. Sebagai contoh, x(t) menggambarkan suatu

sinyal waktu-kontinu dan x[n] menggambarkan suatu sinyal waktu-diskrit. Setiap anggota, x[n], dari

suatu sinyal waktu-diskrit disebut sampel.

Secara matematik, sampel unfuk sinyal waktu-kontinu x(l) pada saat

t:

nT, adalah

xln)= x(nT) dengan n ₌ 0,

*

l,!2,...

(1.1) dengan

I,

adalah periode sampling.

Contoh 1.1

Kita

akan menentukan tiga sampel positif pertama untuk sinyat

x(r)=sin(al)

dengan periode

sampling 0,5 detik.

Berdasarkan persamaan (1.1) maka

Sinyal digital

4 Dosar Pengolohan Sinyal Digital

untuk n

:

A,

xlnf=.r(0) = sin(0) = 0

untuk n =

l,

x[ru] _{=.r(0,5r) =} sin(0,52r) = 1

untuk n

:2,

xln)= x(ri) = sin(n) = 0

Srnyai genap dan sinyal ganjil

Sinyal waktu-kontinu

x(l)

disebut sinyal genap

jika

x(-t)

=

x(t)

untuk semua

'

dan disebut sinyal ganjil

jika

x(-t)

=

-x(t)

untuk semua

'

Secara geometrik, sinyal genap akan simetris terhadap sumbu

y

dan sinyal ganjil akan antisimetrik

terhadap

titik

O(0,0). Contoh yang paling sederhana untuk sinyal genap adalah sinyal kosinus dan

untuk sinyal ganjil adalah sinyal sinus'

Setiap sinyal waktu-kontinu x(r) mempunyai komponen sinyal genap dan ganjil sehingga

x(r)=

x"(t)+

x"(t)

t

,, (1.2) (1.3) (1.4) dengan

x"(t)

adalah komponen sinyal genap dan .r,

(r)

adalah komponen sinyal ganjil. Dengan

menyubstitusi

l=

-t

padapersamaan (1.4) akan menjadi

,(-f)

=x"(-t)+x,(-r)

dan dengan menggunakan persamaan (1.2) dan (1.3) akan menjadi

'(-l)

=

x"(t)-

*,(t)

Jika dilakukan eliminasi antarapersamaan (1.4) dan (1.5) akan menghasilkan

*,(t)

=*l.tt+

x(-r)]

,,(r)=

ll-tl-,(-r)]

persamaan _(1.2)

_-

_{(1.7) juga berlaku untuk sinyal diskrit.} Jika

x(f)

merupakan sinyal kompleks,

yaitu

x(t)

=

o(t)+

jb(t)

maka sinyal tersebut dikatakan simetri konjugat

jika

(1.s)

(1.6)

(1.7)

Bob 1: Sfnyal

dengan

_"r"(r)

adalah konjugat Oari

x(l).

Dongan menyubstitusi nilai-nilai pada persamaan

(l.g)

didapat

"(*r)

+

;b(-t)

=

a(t)- ib(r)

. oengan kata lain, sinyal simetri konjugat didapatkan

jika

bagian riilnya merupakan sinyal genap dan bagian imajinernya merupakan sinyal ganjil.

Contoh 1.2

Bagian genap dau ganjil dari

sinyal

xlnl=lcos(arrz)+Bsin(aron)

dapat ditentukan sebagai

berikut.

*l-"1

_{= A} eos (atarr)

_-

a sin ( aror)

*

"frl

=|

[,

t

r:

+ x

[-r]]

=

_]

[,]

"o.

{

aon)

+B

sin ( aror ) +

A

cos (aon )

-

r

sin ( aron

)]

=

|1,

_^

rrs

(ar,r)]

=

A

cos

(aon)

*,ln)=

f,l-lr1-

,

[-r]]

=

]

[,r ,o,

{

aon)

+B

sin (aroz)

_{- r}

cos (aron ₎ + B sin

(oon)]

=

j;zrrin

(r',)l=

B

sin(a,n)

Contoh 1.3

Bagian genap dan

ganjil

oari

x[r]=

{:

4 ? 0 6 3 g

5}

dapat ditentukan sebagai

berikut. Tanda panah ke atas

_f

menunjukkan nilai untuk indeks n = 0.

,[-,]={s

s

3 6

_{o ? -4}

3}

*"1,f=)l.u.,t-,tl={i

Z

i

i

-2 ? -z

Z

1,

Z

il

3.

Dosar Pengolahan Sinyal Digital

Sinyal periodik dan sinyal aperiodik Sinyal

x(r)

periodik jikamemenuhi

x(r)=

x(t

+r)

(l'e)

dengan

I

adalah suatu konstanta positif yang menyatakan periode sinyal tersebut.

Nilai

Z terkecii yang memenuhi persamaan (1,9) disebut sebagai periode dasar. Kebalikan dari

I

disebut sebagai

frekuensi.

^l

t

--'T

(1.10)

Frekuensi pada persamaan (1.10) dinyatakan dalam satuan Hz {hertz,) atau siklus per detik. Cara lain

menyatakan frekuensi adalah dengan satuan radian per detik yang disebut sebagai frekuensi sudut

(angular).

.l-a=2nf=""

_"T

(l.ll)

(1.12)

Erktu ,

Gambar 1,2 Contoh sinyal periodik dengan periode 0,2 detik

Sinyal yang tidak memenuhi persamaan (1.9) disebut sinyal aperiodik.

Mirip

dengan sinyal waktu-kontinu, untuk sinyal waktu-diskrit periodik memenuhi

Contoh sinyal periodik dengan periode 0,2 detik ditunjukkan pada Gambar 1.2.

x[n)=

x[n

+

N]

dengan N adalah konstanta bilangan bulat positif. Nilai Nterkecil yang memenuhi persamaan (1.12)

disebut periode dasar untuk sinyal waktu-diskrit

x[n].

Frekuensi sudut dasamya diberikan oleh

a=Z

N

Contoh sinyal periodik diskrit dengan periode

N:

8 ditunjukkan pada Gambar 1.3.

xlrl

Bob 1: Sinyal

Gambar 1.3 Contah sinyal waktu-diskrit periodik dengan periode

I

detik

Jika

x,[n]

adalahperiodikdenganperiode

N,

dan

*rlr)

adalahperiodikdenganperiode

N,

maka

xfnl=

r,

_[r]n

ortnj

dan

hfnl=

x,lnfxr[z]

jrs,

periodik dengan periode dasar

N*

N,Nt

_(1.14)

7

gcd (.1r, , ,rr, ₎

dengan

gcd(N,,

N,

₎

adalah pembagi bersama terbesar (greatest common divisor) dari

l[,

dan 1/, .

Contoh 1.4

Jika

x[n]

_{=cos(ntrlI2)+sin(nnll8)}

maka periodenya dapat dicari sebagai berikut. Sinyal

x[n]

merupakan penjumlahan dari 2 sinyal, sinyal pertama mempunyai periode

Nt

₌₂₄

dan sinyal kedua mempunyai periode Nz

_=36.

Karena itu periode

x[z]

adarah

,

₌

,affi

=4ff

=r,

r

4.

Sinyal deterministik dan sinyal acak

Sinyal deterministik didefinisikan sebagai sinyal yang dapat ditentukan melalui suatu proses tertentu

seperti ekspresi matematis atau aturan tertentu atau tabel look-up. Sedangkan sinyal acak adalah

sinyal yang dibangkitkan dengan cara acak dan tidak dapat diprediksi untuk waktu yang akan datang.

Gambar

1.2

merupakan

contoh

sinyal

deterministik.

Sinyal

derau (noise)

dan

EEG (electroencephalogram) yang ditunjukkan pada Gambar 1.4 adalah contoh sinyal acak.

Dasar Pengolahan Sinyol Digitol

5.

Sinyal energi dan sinYal daYa

Daya sesaat yang diserap (daya disipasi) pada sebuah hambatan didefinisikan sebagai

v'(t\

plt)=t

(1.15)

atau

p(/)=

nil

(t)

(r.16)

Dalam banyak sistem nilai R biasanya dinormalisa

si

unity (1 ohm), sehingga, secara umum daya

berbanding lurus dengan kuadrat tegangan atau arus. Oleh sebab

itu,

untuk

sinyal

x(t),

tanpa

memandang apakah sinyal tersebut merupakan tegangan atau arus, daya sesaatnya diberikan oleh

p(t)=

*'(t)

(1.17)

Energi total dari sinyal waktu-kontinu merupakan integral dari daya sesaat, yaitu

(1. l 8)

o

=

_!x'(t)dt

Daya rata-rata didefinisikan sebagai energi total dibagi total waktu sehingga dapat ditulis secara

matematik sebagai

,

Tl2

"

=

l,1g*

-

_-rl2

[

x'(t)at

(r.re)

Jika sinyal

x(t)

periodik dengan periode dasar 7 maka dayarata-tata menjadi

T11

a _'

t-p

₌₊

!

x'(t)at

(1.20)

'

-rlz

Untuk sinyal waktu-diskrit, persamaan (1.18)

_-

(1.20) diubah menjadi persamaan (1.21)

_-

(1.23).

E=i *'ln)

(1.21)

Bab 1: Sinyal

P=

_lim+

i

*'ln|

N--+* _{)|tl nu^.} t

P=*;o

_t't

(t.22)

(1.23)

Sinyal energi adalah sinyal yang mempunyai energi terbatas, atau dengan kata

lain

memenuhi

0 < .A <

o,

Jika melihat persamaan (1.19) maka sinyal energi mempunyai daya nol. Sebaliknya,

jika

sinyal mempunyai daya terbatas, atau 0 < P < oo maka disebut sinyal daya. Sinyal daya mempunyai

energi yang tak terbatas.

Contoh 1.5

Daya ruta-rata untuk sinyal pada Gambar 1.2 dapat dicari dengan menggunakan persamaan (1.20)

sehingga didapatkan

P=

|

0,2

=

o!'13'

= r 0,2

lut

0

I

1.3

OPERASI DASAR SINYAL

Ada dua macam operasi dasar yang biasanya dilakukan terhadap sinyal, yaitu operasi terhadap

variabel terikatnya (variabel tak bebas) dan operasi terhadap variabel bebasnya. Operasi pada variabel terikatnya meliputi:

l.

Penskalaanamplitudo

Jika

x(f

₎

adalah sinyal waktu-kontinu maka suatu penskalaan amplitudo diberikan oleh:

v(t\=

_"x(t)

(r.24)

dengan.c adalah skala. Begitu juga untuk sinyal waktu-diskrit

Yl'tl=

cxln)

O'25)

Contoh aplikasi dari operasi ini adalah amplifier.

2.

Penjumlahan

Penjumlahan dari dua buah sinyal, baik sinyal waktu-kontinu maupun sinyal waktu-diskrit adalah

10

)t[n]=

x,[n]+

xrlnl

Dasar Pengolahan Sinyal Digital

(1.27)

(l.28)

(t.2e\

(1.30) Contolr divais yang menggunakan prinsip penjurnlahan adalah ttudio mixer.

3.

Perkalian

Operasi perkalian ini salah satunya digunakan pa<ia modulasi AM. Clperasi perkalian dua buah sinyal diberikan oieh:

v(t\=

aQ)x,(t)

tlnl=

x,[n]x,lnl

4.

Diferensiasi

Jika

x(l)

adalali sinyal vvaktu-kontinu maka diferensial terhadap waktu diberikqn oleh

y(t)=fi.{,)

Operasi diferensiasi

ini

terdapat pada induktor, yailu beda tegangan antara ujung-ujung induktor

merupakan turunan pertama arus yang lewat pada induktor tersebut terhadap waktu dikalikan dengan

induktansi.

5.

Integrasi

Jika

x(r)

adalah sinyal waktu-kontinu maka integral terhadap waktu diberikan oleh

(1.31)

Salah satu contoh operasi integrasi terdapat pada kapasitor, yaitu beda tegangan antara ujung-ujung kapasitor sebanding dengan integral arus yang lewat pada kapasitor tersebut terhadap waktu.

Operasi pada variabel bebas meliputi:

l.

Pergeseran

Sinyal

x(t-to)

merupakan

x(r)

_vane digeser sejauh

lo.

Jika lo >

0

maka sinyal

x(l)

aigeserke

kanan, sebaliknya

jika

lo <

0

maka digeser ke

kiri.

Hal tersebut ditunjukkan pada Gambar 1.5 yang

menunjukkan sinyal kotak yang digeser ke kanan dengan lo ₌

I

(ditunjukkan dengan dash

*)

dan digeser ke

kiri

dengan lo ₌

_-1,5

(ditunjukkan dengan

titik

..). Sinyal yang mengalami pergeseran ke

kiri biasanya terdapat pada radar dan sonar.

Bab 1: Sinyol _t1

Gambar 1.5 Pergeseran sinyal ke kanan dan ke

kiri

Contoh 1.6

Jika sinyal

x(r)

aiUerit<an oleh

I

t+1,

-1<r<0

,\ | ,,

o<t<2

x\t)=1-,*r,

2<t<3

I

L 0,

yang lain

Maka sinyat

x(t

_-2)

dan

x(t

+3)

dapat dicari sebagai berikut.

Yang pertama adalah dengan menggeser sinyal ke kanan sebanyak 2 satuan, dapat diperoleh dengan

mengganti t = t

-2

sehingga didapatkan

I t-1, l<t<2

x(t

_-z)=

]

_,1r.

,^:,,::

I o,

yang lain

Yang ke dua adalah dengan menggeser sinyal ke

kiri

sebanyak 3 satuan. Dengan cara yang sama

didapat

It++, -4<t<-3

x(,+3)=]

l;,

j,:i:;

I o,

yang lain

12 Dasar Pengolahan Sinyal Digitol

2.

Pencerminan

Sinyal

,(-f)

didapatkan dari sinyal

x(f

₎

aengan _{melakukan pencerminan terhadap I =}

0

seperti

ditunjukkan pada Gambar 1.6. Aplikasi dari operasi

ini

adalah jit<a

x(f)

merepresentasikan sinyal video yang keluar dari suatu video recorder maka sinyal

,(-t)

merepresentasikan pemutaran balik (rewind) video tersebut (dengan asumsi kecepatan putar dan rewind adalah sama).

x(r)

Y(r) = x(-t)

,1,_

-Tr O

rz

-Tz

0

Ir

(a) (b)

Gambar 1.6 Operasi pencerminan

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya,

jika

x(-t)=r(r)

untuk semua

t

maka sinyal tersebut

adalah sinyal genap; sebaliknya,

jika

x(-f)=-x(/)

untuk semua

t

maka sinyal tersebut adalah

sinyal ganjil. Contoh 1.7

Jika sinyal diskrit

fl,

n=l

,[r]=]-r,

n=-l

[0,

r=0dan

_lrlrt

Kita akan membuktikan

yl"l=

xln)+

*l-rl.

" Sinyal

*l-nl

dapat diberikan sebagai

[-t,

n:r

*l-"1=l

l,

n

=-l

[0,

n=0danlrlrr

Sehingga jika dijumlahkan dengan

x[n]

hasilnya adalah 0 untuk semua,?.

Bob 1: Sinyal 13

3.

Penskalaan waktu

Jika sinyal

x(l)

ingin dibentuk menjadi

x(Zt)

*rl ,(;r)

maka pada sinyal tersebut dilakukan penskalaan waktu seperti ditunjukkan pada Gambar 1.7. Secara umum penskalaan waktu dapat

ditulis sebagai

Y(t)

=

x(at)

Y[n]=*1k"1,

k>o

(1.32) (1.33) v(0 I

,

_(i,)

_! 0 !

_')

')

(b)

(c)

Gambar 1.7 Penskalaan waktu pada sinyal waktu-kontinu

Untuk sinyal waktu-kontinu terlihat

jika

a >

1

maka sinyal tersebut akan terkompresi, sedangkan

jika

0 < a

<l

sinyal akan terekspansi. Unfuk sinyal waktu-diskrit,

jika

fr > l maka sebagian nilai akan

hilang.

Hal

tersebut ditunjukkan pada Gambar 1.8.

Untuk

k=2,

sinyal-sinyal untuk

n =

*1,t3,!5,...

akan hilang.

o (b)

Gambar 1.8 Penskalaan waktu pada sinyal waktu-diskrit

Jika operasi pergeseran dan penskalaan waktu dikombinasikan, yaitu untuk mendapatkan sinyal

y(t)=x(at-b)

maka langkah pertama yang dilakukan adalah pergeseran

v(t)=x(t-b)

aan langkah kedua baru penskalaan waktu

y(t)

₌

v(at)

₌

x(at

_-

b) .

o (a)

14 Dasar Pengolohan Sinyal Digital

Contoh 1.8

Diketahui sinyal

x(r)

seperti pada Gambar 1'9(a). Sinyal

y(t)=x(Zt+3)

dapat dicari dengan

langkah-langkah sebagai berikut. Langkah pertama adalah melakukan pergeseran 3 satuan ke kiri,

menjadi seperti pada Gambar 1.9(b). Langkah kedua adalah dengan melakukan penskalaan waktu 2

kali, yaitu sinyal akan terkompresi 2 kali, seperti pada Gambar 1'9(c).

I

n=-l

n=-2

yang lain

*1 0 I

_-44-A-l

A

-'3-4-l

O

(a)

(b)

(c)

Gambar 1.9 Langkah-langkah pembentukan

y(t)

₌

x(Zt

+l)

Contoh 1.9

Suatu sinyal diskrit diberikan oleh (lihat Gambar 1.10(a))

I

t,

n

=1,2

I

x[n

_]=

j-1,

n

_{= -7,-2}

I

o,

r

=0

dan

lnlrz

maka untuk menentukan

yl"7:

xlZn+3]

hngkah-langkahnya adalah sebagai berikut. Pertama kali dilakukan pergeseran tiga ke

kiri

sehingga didapatkan (Gambar 1.10(b))

It,

n=-1,-2

vlnf=xln+:l={-t,

_LJLJI

n=*4,-5

I

o,

n:

-3,fl

2

-l,n

<

-5

Langkah ke dua adalah penskalaan dua kali, yang akan mengkompresi sinyal menjadi seperti pada

Gambar 1.10(c).

lt'

yrn)=

vlznl=

hl,

tub

1: Sinyol

Gambar

l.l0

Pembentukan sinyal

yl"]=

xl2n$1,

contoh 1.8

1.4

SINYAL-SINYAL DASAR

Beberapa sinyal dasar yang sering dijumpai dalam

topik

sinyal dan sistem diantaranya adalah

sinyal eksponensial, _{sinusoidal ,} unit step, impuls, dan ramp.

l.

Sinyal eksponensial

Secara umun sinyal ini mempunyai bentuk

x(t)=

3r*

(1.34)

dengan

B

dan

a

adalah konstanta. Parameter

B

disebut amplitudo.

Jika

a >

0

maka sinyal eksponensial tersebut akan

naik;

sebaliknya

jika a<0maka

sinyal eksponensial tersebut akan menurun. Hal ini ditunjukkan pada Gambar 1.1l.

15 x(r) o.t 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0"7 raktu, @)

a>0

saktu ,

Gambar

1.ll

_{Sinyal el*ponensial @) a}

<0

vltrI=][a+3]

Y[n] = v[2nl

15 Dasar Pengolohan Sinyol Digital

Untuk sinyal eksponensial waktu-diskrit

xfnf=

6v"

(1.3s) dengan

r=ea.Untuk

0<r<l

sinyalakanmenurun,sedangkanuntuk

r>1

sinyalakannaik.Hal

tersbut ditunjukkan pada Gambar 1.12. Jika

r

<

0

sinyal akan mempunyai nilai postif dan negatif

berselang-seling, nilai positif ketika n genap, dan negatif ketika n ganjil.

4 3 1 I 0

_:t0

-8 -6 -4 -2

0 :10 _{-E -4}

_-20

2 waktu n rvaktu n

Gambar

l.l2

Sinyal eksponensial dislvit (o) 0 <

r <1

(b)

r

> I

2.

Sinyal sinusoidal

Secara umum, sinyal sinus dan kosinus disebut sebagai sinyal sinusoidal. Sinyal kosinus pada

dasarnya adalah sinyal sinus yang digeser nf

2

radian

ke

kiri.

Sehingga, sinyal kosinus dapat

dinyatakan dalam sinus dan begitu juga sebaliknya. Dalam buku ini sinyal sinusoidal referensi yang digunakan adalah kosinus yang secara umum dinyatakan sebagai

,(r)=

Acos(att+fi)

(1.36)

dengan

A

adalah amplitudo,

a

adalah frekuensi sudut dalam radiar/detik, dan _$ adalah sudut fasa

dalam radian.

Sinyal sinusoidal adalah sinyal periodik dengan periode

)r

Dalam bentuk diskrit sinyal sinusoidal diberikan oleh

x[n]=

Acos(an+Q)

dengan frekuensi sudutdis\rit dalan: radian/siklus diberikan oleh

'

':. x[nl 4.5 4 3.5 3 2.5

rlnl

2 t.5 I 0.5 r0 (1.37) (1.38)

Bob 1: Sinyal

O_

2nm nx,N

:

bilangan bulat (1.3e) Tidak semua _{sinyal sinusoidal diskrit periodik. Untuk periodik frekuensi sudutnya harus merupakan}

kelipatan

2n

seperti ditunjukkan oleh persamaan (1.39). Contoh sinyal sinusoidal kontinu dan

diskrit ditunjukkan pada Gambar 1.13 dan 1.14.

5

r(r)

O -5

o.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0.7 r')iral*u, _,

Gambar

l.l3

Sinyal sinusoidal kontinu

I 0.8 0.6 0.4 0.2

xlnl

o -0.2 -o.4 -0.6 -0.8 0

:t0 -8 -6 -4

-2 n'afitu n

Gambar

l.l4

Sinyal sinusoidal diskrit

Bentuk

sinyal

sinusoidal seperti pada persamaan (1.36) _{disebut sebagai bentuk}

polar.

Sinyal sinusoidal juga _{dapat dinyatakan dalam bentuk rectangular, yaitu terdiri dari komponen sinus dan}

kosinus, seperti ditunjukkan persamaan ( I .40).

t7

18 Dasar Pengolahan Sinyal Digital

Acos(at

*

_0):

I

cos

(/)

cos (ror)

_-

,a sin

(/)

sin(at)

=ccos(cot)+Dsin(or)

(1.40)

dengan

C=Acos(q)

aan

D=-Asin(l).

O."gun mengambil bentuk kuadrat dari parameter C

dan

D

didapat C2 = A2

ror'(/)

dan D2 = A2 sin2

(/).

o."gu,

menjumlahkan kuadrat

c

dan

D

didapat nilai untuk parameter A, yaitu

C2 + D2 =

A'(cos' S+sin'

Q)

A2

_{=C2 +D2}

e

A=JC\D'

Sudut fasa diperoleh dengan menggunakan

/=cos-'(;)=',"

_[+)

Jika dua sinyal sinusoidal yang mempunyai frekuensi yang sama dijumlahkan maka hasilnya juga

merupakan sinusoidal dengan frekuensi yang sama pula. Jika diberikan x,

(') =

_'qrcos (arf

+

_Qr) dan

*r(t) =

Arcos(att

+

Qr) maka

(1.43)

(r.44)

(1.4s)

dengan

Sinyal sinusoidal kompleks dapat dinyatakan sebagai

x(t)=

1"i(o't+0)

- Aeiteiat -oo(l

(oo

=

Acos(att

*

d)*

jAsin(at

+ Q)

dengan

ei,,

adalahsinusoidal kompleks dengan amplitudo

I

dan fase

0

dan

Aeit

adalah amplitudo

kompleks.

Jika sinyal sinusoidal dikalikan dengan sinyal eksponensial menurun akan didapatkan sinyal yang disebut sebagai sinyal sinusoidal teredam eksponensial (exponentially damped sinusoidal signal)

x(t)

=r,

(r)+

*r(t)

=

Acos(att + Q)

A=@

-,

I'

sin

(il*

Arsin(Qr)

Q=tan@

(1.4r)

(1.42)

Bab 1: Sinyal

yang

ditunjukkan

persamaan (1.47).

pada Gambar 1.15.

Sinyal

sinusoidal teredarn

x(l)=

Ae-"'sin(at+Q)

a>o

19

Gksponensial diberikan oleh

(t.47)

60 50 40 30 20

r(r)

l0 0 -10 -20 -30 -,*0₀

_{0.1 o.2}

_I),3

_0.4

_0.5

_{0.5 0.7 0.8}

_0.9

_I wrttu I

Gambar

l.l5

Sinyal cinusoidal teredam el<sponensial

3.

Sinyal unit step

Sinyal unit step kontinu dan diskrit didefinisikan oleh

l't.

t

>O

u(tl=1'

"t'/-|0 t<O

(1'48)

"bt={:,

:1i

,4s)

Sinyal unit step kontinu dan diskrit ditunjukkan pada Gambar 1.16. Sinyal unit step kontinu tidak terdefinisi pada saat I ₌ 0, karena pada waktu tersebut terjadi lonjakan tibatiba dari 0 ke 1.

20 Dasar Pengolohan Sinyol Digitat

(a) (b)

Gambar l.16 Sinyal unit step (a) kontiru (b) diskrit Contoh 1.10

Sinyal rectangular dapat dibentuk dari penjumlahan dua sinyal

unit

step. Secara umum, rectangular dengan amplitudo ,4 didefinisikan sebagai

A

rect(tf

2a) ₌

AlrQ

+

a)-u(t -

a)f

Untuk sinyal rectangular seperti pada Gambar 1.17 terbentuk dari persamaan-persamaan

sinyal (1.s0) sehingga menjadi

',

(r)

=

Au(t

+0'5)

*r(t)=

_{-Au(t -0,5)}

x(r)

=

r,

(r)* *r(t)

=

Au(t

+0,5)-

Au(t

-0,s)

=

A rect(t)

-0.5

0

I

,)

A

x(

I

Bab 1: Sinyal

Contoh 1.11

Fungsi signum didefinisikan sebagai

21

[],

l>o

sgnr=]

o,

t=o

[-r

,<o

(l.sl)

(r.s3)

Fungsi tersebut dapat dilihat pada Gambar I . I 8 dan dapat juga dinyatakan dalam unit step sebagai

sSpl

₌

_-l+zu(t)

_(t.s2)

I

Gambar

l.l8

Sinyal signum

4.

Fungsi unit imptils

Sinyal unit impuls sering disebut sebagai fungsi Dirac delta, atau fungsi delta. Sinyal jenis ini banyak

digunakan untuk pemodelan berbagai fenomena fisik, diantaranya adalah tegangan/arus yang terjadi

dalam waktu yang sangat singkat. Fungsi Dirac delta didefinisikan sebagai

t2

[*1t1a1t1at

=

r(o)

t,

<o

<t2

ll

dengan syarat

x(l)

tontinu pada x =

0.

Beberapa properti untuk fungsi Dirac delta tersebut adalah:

l.

a(o)=

r

22 Dasor _{Pengolohan Sinyal Digital}

3.

_Id(t)at=t

4.

d(r)

adalah tungsi genap karena

d(r)=

6(-t)

Bentuk diskrit dengan mudah dapat ditulis

u4={t:

_:=:

_{r

s4)

[0,

n

*0

Fungsi Dirac delta kontinu dan diskrit ditunjukkan pada Gambar 1.19.

0

(a)

0

(b) Gambar

l.l9

Fungsi Dirac delta (a) kontinu (b) diskrit

Fungsi impuls merupakan turunan pertama dari fungsi

unit

step, dan sebaliknya

juga unit

step

merupakan integral dari fungsi impuls.

d(t)=*,al

u(t)='jo(r)at

Properti penyaringan (sfting property).Properti penyaringan diberikan oleh

(l.ss)

(1.s6)

"-

{

*(ro),

_tt

_{< to < tz}

Bab

1:

SinYal,

23

Terlihat dari persamaan (1.57)

jika

sinyal

x(f)

a*aikan

dengan

d(r-rr)dan

diintegral selama

selang waktu antara

/,

dan

l,

maka sinyal akan 'tersaring' sehingga hanya terdefinisi pada t

=to'

selainnyaadalahnol,dengancatatantoadadalamrentangt|<to<t2.

Properti pencuplikan (sampling property)'Jika

x(r)

kontinu pada /o maka

x(t)a(t-t)

=

x(ro)a(r

-ro)

(1.58)

persamaan (1.58) menggambarkan bahwa jika mengalikan sinyal

x(f

)

aengun 6

(t

-

t')

maka akan

dihasilkan srnyal x(to

₎

Vaitu hanya terdefinisi pada saat sinyal unit impulse terdefinisi'

Properti penskalaan (scalirzg property).Ptoperti penskalaan pada unit impulse dapat ditulis sebagai

d(at+r1:frr(,.*)

(1.5e)

Turunan fungsi impulse. Turunan fungsi

unit

impulsedisebut unit doublet' didefinisikan sebagai

l2

'[*(t)d'(t

-to)dt

=

-r'(lo),

tt <to <t2

,l

dengan kondisi

x(f

₎

m"mpunyai turunan pada x ₌ lo . Beberapa properti dari unit doublet adalah:

1.

x(t)A'(t-lo)

=

x(to)5'(t-rr)-''(rr)a'(r-r,)

t

2.

_{Iu'(r-t)dr=a(r-r,)}

3.

u'r*+b)

=

!u(,*l)

r. "\"._/

_{lrl \ ,/}

Turunan kedua

unit

impulsedisebut triplet.Turunan ke-a dari unit impulse diberikan

sebagai

t2

ir(r)a(')

(t

-to)at=

(-t)'

r(')

(ro),

tt < to

<tz

ll

Representasi unit doublet ditunjukkan pada Gambar 1'20'

(1.60)

d'(r)

24

Dosar _{Pengolahan Sinyat Digitat}

Gambar 1.20 Representasi unit doublet Contoh 1.12

l4

Nilai

dari

_{!(t+*)d(t-3)dt}

_dan

lp+t')d(t-z)at

dapat dicari dengan langkah-langkah

-z _2

I

berikut'

untuk

_{I(t+t')a(t-3)dt,}

_{berdasarkan persamaan (1.56)}

_{nilai /o}

_tidak

berada dalam

-2

rentang

t,1to

1r,

sehingga

menghasilk*

i(,

+r)d(t

-l)dt=

0. untuk '!(t

+r)d(,

-z)dt

,

-2

_2

nilai

to

_{berada daram rentang}

_{tt < to <}

_tz

_sehingga

menghasilkan I

lQ

+

f)u

(,

-3)

dt = (t +

t)1,=,

₌ 3 + 32 ₌

tZ

-2

5.

Fungsi ramp

Fungsi ramp didefrnisikan oleh

,to={,;

,,.oo

Fungsi ramp dapat juga didapatkan dengan mengintegrarkan _{fungsi unit step.}

'r

t

Iu(r)ar

=

!0,

=,(r)

Fungsi _{ramp dittnjukkan} pada Gambar 1.21.

(t.62)

Bab 1: Sinyal

waktu I

Gambar

l,2l

Fungsi ramp

6.

Fungsi sampling

Fungsi yang paling sering muncul pada spektrum frekuensi adalah fungsi sampling

Sa(x)

_,

yang didefinisikan sebagai

25

sa(x)=*

(1.64)

Fungsi

Sa(x)

merupakan fungsi sinus yang teredam karena

nilai

pembilangnya terbatas, yaitu

lsinxlSl,

namun penyebutnya akan terus naik. Fungsi

Sa(x)

ditunjukkan pada Gambar 1.22. Terlihat fungsi tersebut adalah fungsi genap dan memiliki puncak pada saat x ₌

0

dan akar-akar

pada x

_=*nfi

.

-2n

-tt

tT

2n

26

Dasor Pengolahan Sinyal Digital

Fungsi yang berkaitan dengan fungsi sampling adalah fungsi

sinc(x),

yaitu

sinc(x)

=ry=

saQrx)

(1.65)

Fungsi

sinc(x)

ditunjukkan pada Gambar 1.23 yang menunjukkan fungsi

sinc(x)

adalah tungsi

Sa(x)

yang dikompresi dengan faktor kompresi zr.

Gambar 1.23 Fungsi

sinc(x)

1.5

MENGAPA PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL?

Teknik

pengolahan

sinyal

digital

pada dasarnya sudah

dimulai

sejak abad

ke-17

ketika

ditemukannya

metode-metode

numerik

untuk

menyelesaikan masalah-masalah

fisik

seperti

variabel

dan

fungsi kontinu. Terlebih

lagi,

sejak berkembangnya komputer

digital

pada tahun

1950an.

Sejak

tahun

1960an pengolahan

sinyal

digital

sudah

mulai

dipertimbangkan

dan dikembangkan.

Pengolahan

sinyal

digital dari

sinyal

analog pada dasarnya

meliputi tiga

tahapan, yaitu:

konversi

sinyal

analog menjadi

digital,

mengolah

sinyal

secara

digital, dan

kemudian mengembalikan

lagi

sinyal

digital

menjadi analog. Proses digitalisasi, atau sering disebut proses

Bab 1: Sinyol

pulse

code modulation

_{(PCM) terdiri dari}

proses

sampling, kuantisasi, dan

koding.

proses

sampling biasanya diperoleh dengan proses sample-and-hold,hasil dari proses sampling disebut

sinyal data-tercacah, atan sering

juga

disebut sinyal pulse amplitude modulation

(pAM).

proses

kuantisasi

dan

koding

biasanya

disebut

sebagai

analoglo-digital

converter

(ADC).

Pengembalian

dari sinyal

digital

menjadi

sinyal

analog adalah proses sebaliknya

yaitu

dengan

digital-to-analog

converter

(DAC)

dan

filter

lowpass. Proses tersebut ditunjukkan pada Gambar

L24.

Gambar 1.24 Pengolahan sinyal digital dari sinyal analog

Beberapa

keunggulan sistem

digital

dibandingkan

dengan

analog

diantaranya adalah 'sebagai _berikut:

l.

Sistem digital tidak harus bekerja dengan nilai yang benar-benar tepat sehingga sinyal digital kurang

sensitif

terhadap toleransi. Dengan demikian sistem

digital lebih

tahan terhadap perubahan temperafur dan parameter-parameter eksternal lainnya.

2.

Dengan berkembangnya

sirkuit

very large scale integrared

(VLSI)

maka dimungkinkan untuk

membuat sistem pengolahan _{sinyal digital} yang cukup kompleks hanya pada satu chip.

3"

Dalam

pernrosesan

digital

dimungkinkan

terjadi

pembagian-waktu (timesharing)

dalam

satu

prosesor. Konsep timesharing adalah menggabungkan dua sinyal digital menjadi satu dengan

time-division multiplexing. Sinyal multiplexing tersebut kemudian dikirimkan ke prosesor. Dengan adanya

timesharing maka akan menurunkan biaya pengolahan per sinyal.

4.

Sinyal digital _{dapat disimpan dalam media penyimpan (magnetic tape, disk,}

_optical

_{disk) dalam}

jangka waktu yang lama tanpa ada kerusakan/hilang informasi. Sinyal yang sudah disimpan tersebut

'

dapat diolah secara off-line. Berbeda halnya dengan sinyal analog yang

jika

disimpan tidak tahan

lama dan jika terjadi kerusakan tidak dapat diperbaiki.

5.

Dapat mengolah sinyal yang mempunyai frekuensi sangat rendah, seperti sinyal gempa (seismic)

yang

jika

diolah dengan menggunakan sistem analog akan memerlukan induktor dan kapasitor

dengan ukuran yang besar.

Sinyal digital juga tidak terlepas dari kelemahan, diantaranya adalah meningkatnya kompleksitas sistem

jika

mengolah sinyal analog sebab perlu adanya tambahan perangkat seperti analog-to-digital canverter

(ADC)

dan digital-to-analog converter (DAC) seperti ditunjukkan pada Gambar L.24.

yang

kedua adalah adanya keterbatasan frekuensi yang dapat diolah. Hal

ini

berhubungan dengan syarat dari

27

dnyd

28 Dasar Pengolahan Sinyal Digital

frekuensi sampling yang akan dibahas kemudian. Yang terakhir adalah sistem digital dibangun dengan

menggunakan divais aktif (seperti transistor) yang akan meningkatkan konsumsi daya listrik.

1.6

KERANGKA lSI

BUKU

Bab 1 dan bab 2 buku ini membahas mengenai dasar-dasar sinyal dan sistem, baik kontinu maupun

diskrit. Bab

3

membahas mengenai sinyal

LTI

diskrit dalam domain waktu yang meliputi penjelasan

proses sampling, diagram

blok,

representasi sistem dengan menggunakan persamaan perbedaan, dan

kunci

utama DSP

yaitu

konvolusi dan korelasi. Sebagai tambahan

juga

dibahas sedikit mengenai

konvolusi untuk sinyal kontinu (sebagai pengayaan)'

Bab

4

akan membahas mengenai representasi

Fourier yang

digunakan

untuk

mengubah

sinyal dari domain waktu ke domain frekuensi. Pada dasarnya ada 4 macam representasi Fourier

yaitu Fourier

Series (FS),

Fourier

Transform

(FT),

Discrete-Time

Fottier

Series

(DTFS),

dan

Discrete-Time

Founer

Transform

(DTFT).

Semuanya

akan

dibahas,

namun

akan

menitik-beratkan pada DTFS dan DTFT.

Bab

5

akan membahas mengenai transformasi

Z

yang akan

banyak

digunakan dalam

filtering.

Bab 6 akan membahas mengenai

filter

digital

yaittfinite

impulse responsse

(FIR)

dan

Bab 7 membahas mengenai

filter digital infinite

impulse responsse

(IIR).

Pojok

MATLAB

Untuk menyatakan fungsi unit step diskrit pada MATLAB, kita dapat menggunakan perintah ones (1,N)

dengan Nadalah panjang unit step yang terdefinisi oleh

N

> 0. Berikut contoh programnya:

% Program 1.1

?

Menggambar

fungsi unit step diskrit

% Menentukan paniang

signal

5

N

=

input

('masukkan panjang

sinyal : ')

x :

0: (N-1);

y:

ones(1,N);

% Mel-akukan

plot

sinYa1

stem (x, Y)

axis (

_[-1

N -0

.2 1.2]l

xfabel- ( _'sampel' )

Bab 1: Sinyal

Jika,dibei input N

=

10

maka didapatkan hasil seperti pada Gambar 1.25.

Perintah

axis ( _[xmin xmax ymin ymax] )

digunakan untuk menyetel batas minimum dan maksimum sumbu x dan sumbu y.

smp€t

Gambar 1.25 Fungsi unit step kontinu

Fungsi unit impuls dengan panjang Ndengan

N

>

0

dapat dinyatakan menggunakan perintah

unit_impuls = [1

zeros (N-1) _]

Berikut contoh programnya.

% Program 1.2

E Menggambar

fungsi unit

impuls

% Menentukan panjang

signal

z

N

=

input('masukkan panjang

_{sinyal : ';}

x =

0: (N-1);

delta = [1

zeros (1,N_1)

_];

30 Dasar Pengolahan Sinyal Digital

I

Melakukan

plot sinyal

s tem ( x, delta ₎

axj-s([-1

N

-0.2

1.2])

x1abe1 ('sampel' )

ylabeJ- (

_'amplitudo'

)

Dengan menggunakan panjang sinyal yang sama dengan contoh sebelumnya, kita akan mendapatkan hasil

seperti pada Gambar 1.26.

sampel

Gambar 1.26 Fungsi step diskrit

Beberapa fungsi untuk membangkitkan sinyal juga dapat dilakukan dengan MATLAB, yaitu

exp

(x) , sin (x)

,

cos (x)

_,

square (x)

,

sawtooth (x)

Sebagai contoh kita akan membangkitkan fungsi eksponensial kompleks seperti pada program berikut:

% Program 1.3

% Membangkitkan

fungsi

eksponensial konpleks

y[n] :

C

*

exp(jkn)

% Menentukan konstanta-konstanta

6

C:input

('masukkan

konstanta

C

: ')

k=input('masukkan

konstanta

k =')

N:input('masukkan panjang

sinyal :

I

) f--i t i I I I 0.6 o t f .= E. E t _0.4

Bab 1: Sinyal

--1 . \1 .

y =

C*exp (j *k*n) ; z

?

Melakukan

plot sinyal

a

stem(n,

real

(y) ,

'b')

hold

on

stem (n, imag (V) _,

_{'rd: ')}

xIabeI ( _'waktur )

y1abel ( _'ampli-tudo' )

Iegend('bagian

real','bagian imajiner'

)

Jika kita memasukkan

C:

2,

k:0.5,

dan

t/:

20 maka didapatkan hasil seperti Gambar 1.27. Fungsi real(x) dan imag(x) menentukan bagian

riil

dan imajiner dari suatu sinyal kompleks x berturut-turut.

Z ' bagian real

1.5-

i

,, 1.1 _I 1/

i-lli

)|

''ili ld) 5 -0.5 r

I'

I -r I -1.5 1, ,.1.1 \j, ,. 2' - r i] r --'i I- ..L L , | +, 0246810121416t8 31 o ! = E. E 6

h

waktu

Gambar 1.27 Bagian real dan imajiner suatu sinyal kompleks

Selanjutnya

kita

akan mencoba membuat sketsa dari fungsi sinc(-r), seperti pada Gambar 1.23. MATLAB menyediakan perintah dengan narnayang sama, yaitu

32

Berikut adalah contoh programnya:

% Program 1.4

% Melakukan

plot fungsi

sinc (x)

z

* = -l*pi:0.2:2*pi

y =

sinc (x) ;

% Melakukan

plot sinyal

plot(x,y,'b')

hold

on

stem (x, y,

_'rd:

' )

xlabef

( rwaktu' )

ylabel

(

_'amplitudo'

₎

Iegend

'kcntinur

,

'diskrit')

Hasilnya dapat dilihat pada Gambar 1.28.

1:-- --.T

0.8 i

0.6 _i

/i' _r

dari x = -2pi

sampai dengan

x =

2pi

Dasar Pengolahan Sinyal Digital

kontinu diskrit 1 0.4 F o f E. E

"

o.zf l 0 -o.2

\.

I -0.4 I -- i' -8 -6 -4 -2 0 waktu

Gambar 1"28 Fungsi sinc(x)

Kita akan melakukan pergeseran _{sinyal. Jika diberikan sinyal}

_,,

₌

[+

menentukan gambar grafik dari

x,

₌

x,ln-

5] . frogramnya adalah sebagai be

23

rikut.

Bob 1: Sinyal

% program 1.5

% Menentukan pergeseran

_{sinyal x2 = xltn _}

_5l z

x1 = f1 2 tl.

N1

:

0:2; % _{Menghitung siny.al}

x2:

_IA

0 0 0

O

x1]; %xlin _

_5l N2

:

0:7; z st.em (N1,

xi

) ,.

hofd

on

stem(N2,x2,,r1\

Hasilnya ditLrnjukkan pada _Garnba

_r

_1.2g.

Gambar 1.29 Pergeseran _{sinyal xz =}

_xtl"

_-51

33 3r i z.s I, i 2l

34

Dosar Pengolahon _{Sinyol Digitat}

Soal-Soal

L

'

Tunjukkan _{apakah sinyal-sinyal berikut periooik}

atau tidak. Jika periotlik tentrrkan periodenya.

a.

x(r)=

,in?I,

r

rrin!9rL

t .2n

b.

x(t)

₌

3r'

u' -t

_2e-'i''

c.

x[n)=zcos(J1r)

d.

xln)=5sin(0,

_{ttrn)t-4sin(0, 9rn)*cos(0,}

gan)

e.

x(r)=

_v(l+r(-r)

,cengan

,,(r)=

_cos(r)u(r)

2.

Tentukan bagian genap dan _{ganji! dan sinyai berikut:}

a

.lrl={-z

12

5

o

a,i

u

r}

b.

hlnf=n'

Sinyal _{sinusoidal dinyatakan sebagai}

_{x(l) =}

_Acos(att+

/),

Tentukan _{daya rata-ratasinyal tersebut.} Tentukan energi total dari:

a.

Sinyal raisecl-cosineyatlgdtnyatakan _sebagar

11.

x(

t\

_=]

;1.",

(ar)+tl,

*re

lo

< r <

rf

at

\

_/

l-l.

0,

yang iain

i.

4.

b.

Sinyal trapezoidal

ls-,.

4<r

<5

I

*(r'\=J

_\/

l'

-4<r<4

lt+S.

-5<r_<-4

I

C,

yang lain

Bab 1: Sinyal

s.

Gambarlah

x(Zt),

35 imajiner 6. 7. 8. 9.

x(:r

+

2), x(-2t

_-

1), dan xf 3r) +

x(lt +2)

dari sinyal berikut

Gambarlah

xlZnldan

_"r[3r-1]

untuk sinyal

11,

x=*l

I

12

r

_=*2

xlnl

_L

₌ I

-'

I 13,

x=t3

I

[0,

yang lain

Sinyal sinusoidal kompleks

x(r)

mempunyai <iua komponen, yaitu komponen

riil

dan sebagai berikut:

ne{x(r)}

₌ ro

(r)

=

Acos(at + _0')

Im{x(r)}

=

*,(t)=

lsin

(att +

₆₎

Amplitudo

x(l)

Oltentukan sebagai

x'?*+xi.

nrktit<an bahwa arriplitudo ilu besarnya adalah

A

dan

tidak tergantung pada sudut fasa

_/.

Sinyal sinusoidal

x[z]

mempunyai periode dasar

N

:

10 sampel. Tentukan frekuensi sudut C) terkecil supaya

x[n]

_Reriodik.

Tentukan daya dan energi dari sinyal-sinyal di bawah ini. Dan tentukan juga apakah termasuk sinyal

daya alau sinyal energi.

a.

x(r)=

ttlu(t

_-

a)-u(t

+

a)f

b.

,(t)=r(t)-r(r-t)

36

10.

Tentukan nilai dari integral berikut

@

a

_{J(,*r)a(t-t)ar}

-:.,-

\ ,

\

b.

_j\z

l[

L,+sinr

lal

,-

Lla,

/\

4)

c.

_!e'5(r

+2)dr

Dosar Pengolahon Sinyal Digital

-oo0oo-B^82

Sistem

PENDAHULUAN

istem dapat didefinisikan sebagai suatu proses yang mengubah sinyal masukan menjadi sinyal

keluaran yang baru, yang berbeda dengan sinyal masukan semula. Sistem merupakan suatu proses

sehingga sistem dapat direpresentasikan menjadi berbagai macam proses seperti _filtering, modulasi, dan lain sebagainya. Secara

fisik

sistem dapat berupa suatu transmitter, kanal, receiver, dan

sebagainya.

Sistem dapat dibagi menjadi sistem waktu-kontinu dan sistem

waktu-diskrit.

Sistem waktu-kontinu mengubah sinyal masukan waktu-kontinu menjadi sinyal keluaran waktu kontinu; begitu

juga untuk

sistem

waktu-diskrit yaitu

sistem

yang

mengubah

sinyal

masukan

waktu-diskrit

menjadi

sinyal

keluaran waktu-diskrit. Sistem waktu-kontinu

dan

sistem

waktu-diskrit

ditunjukkan pada Gambar

2.1

danGambar 2.2.

2.1

s

Gambar 2.1 Sistem waktu-kontinu

Dasar Pengolahan Sinyal Digital

Secara matematis, hubungan alttara siir,val keluaran dan sinyal masukan pada suatu sistem,

baik sistem waktu-kontinu maupurr sistenr wakttr-diskrit adalah

y(t)

_=a

_{x(r)}

_e.D

ylnl=

H

{,1,1\

_Qz)

dengan

H

adalahproses dari sistem tersebut.

2.2 KLASIFIKASI

SISTEM

Sistem,

baik

sistem

u,aktu-kontinu riiaripun

sistL-m .,rraktu-diskrit, dapat diklasifikasikan

berdasarkan properti sistem tersebut sebagai

berikutl:

1.

Linearitas

Suatu sistem dikatakan linear jika memenulii prinsip srq:erposisi dan homogenitas.

a.

Superposisi. Jika suatu sistem diberikan inasukan x, (f

₎

maka akan menghasilkan keluaran

yr(t)

au"jika diberikan masukan x,

(r)

amn menghasilkan keluaran

yr(t).

Jika sistem yang

sama diberikan

masukat

xt(t)+xr(t)

akan menghasilkan keluaran

yr\)+yr(t)

maka sistem ini disebut memenuhi prinsip superposisi.

b.

Homogenitas. Jika suatu sistem diberikan masukan

x(l)

maka akan menghasiikan keluaran

l(t)

.lit<asistem yang sama diberikan masukan

ax(t),

dengan u adalah suatu konstanta, akan menghasilkan keluaran

dyU)

maka sistem ini disebut memenuhi prinsip homogenitas.

Dari kedua hal tersebut,

jika

digabungkan maka dapat disirnpulkan suatu sistem disebut linear

jika

memenuhi

ax,(t)+

_f

xz(,)-

dy,(t)+

_fry,(t)

(2.3) dengan

o

_{dan B adalah konstanta. Sistem yang} tidak memenuhi persamaan (2.3) disebut sistem

nonlinear. Persamaan (2.3) berlaku juga untuk sistem diskrit.

Bab 2: Sistem

Contoh 2.1

Sistem

y(t)=x(t)x(t-l)

adalah sistem nonlinear. Ketika sistem itu diberikan masukan

axr(t)

akan menghasilkan keluaran

yr(t)=axr(t)axr(r-t)

_{-a'*r(t)xr(t-t)}

_{dan ketika diberikan} masukan

_B*r(t)

akan

menghasilkan keluarany,

(t)=

_{/xr(t)frxr(r-r)}

=

Frxr(t)xr(t-t).

Jika

diberikan masukan

ax,(t)+pxr(t)

_{akan menghasilkan keluaran}

_{y(t)=(or-r-r0)+Bxr(r))}

(our (r

_-

l) + _{B.x2 0}

_-

l))

*

_lt

+

_lz

I

Contoh 2.2

Sistem

ylrl=!t-1"]+xfn-tl+x[n-Z])

_adalah sistem

linear. Ketika

diberikan masukan

axr(t)

akan menghasilkan keluaran

y,ln]

₌

!@.,ln]

+ a

x,l,

-

tl+

a

x,fn

-

zl)

t,

=

i

o

(*,ln)

+

x,[, -

t]+

x,{n

-

2))

Ketika

diberikan masukan

_B*r(t)

akan menghasilkan keluaran

yzlnf=JOfr,

_{fu)+x.rln-t)+}

xzLn

_-

2l) . Jika diberikan masukan

axr(t)+

_|xr(r)

aun

menghasilkan keluaran

t

lnl

=

I@

*,[n]

+ p

x,ln)

+ a

x,t,

-

tl

+ 0 x,

l,

-

t) + a

x,ln

-

2l

*

p

x,fn

-

zl)

=

_ir(r,

_lnl+

x,[n

_-r]+

x,ln-zl)*

IOQ,lnl+

x,[r-r]

+

x,fn-21)

=

lr

*

lz

I

2.

Sistem time-varying dan sistem time-invariant

Suatu sistem yang

jika

diberikan masukan

x(r)

akan menghasilkan keluaran

_l(r)ateUut

time-invariant (atau secara umum,

jika

variabel bebasnya bukan waktu, disebut shift-invariant)

jika

memenuhi

x(t-to)-+

y(t-4)

_e.4)

Dasar Pengolahan Sinyol Digitol

Dengan kata lain, sistem disebut time-invariant jika _sinyal masukannya digeser sebesar

lo

maka keluarannya juga akan bergeser sebesar lo

.

Sistem yang tidak memenuhi persamaan (2.4) disebut

t im e, -v ary i n g. Imp lementasi pergeseran adalah d e I ay (p enlndaan).

Prosedur untuk menentukan apakah sistem time-invariant atau time-varying adalah sebagai berikut:

a.

Misalkan

yr(t)

aaabh keluaran untuk

,r(l)

b.

Definisikan masukan ke dua sebagai xz =

xt(,

_-ro)

dan tentuka"

_.rr(t)

c.

Carilah

yr(t

*ro

₎

Oan bandingkan dengan

yr(t)

d.

Jika

_!2(t)

=

lr(,

-

ro) _{maka sistem tersebut time-invariant, jikatidak disebu t time-vorying}

Logika prosedur

di

atas ditunjukkan pada Gambar

2.3

yang menjelaskan bahwa sistem

time-invariant,

jika

dilakukan delay (pergeseran)

_/o

pada masukan terlebih dahulu kemudian baru dimasukkan ke sistem H akan menghasilkan keluaran yang sama dengan keluaran sistem H di-detay

sebesar lo.

x2(l) =

xr(r)

x1(l

_-

16)

Iz(r)

.rr(t)

tr(r)

_;,:-.i

_h(r

_-

ro)

<>

Dele]

-+

H +

----i-

_H

-"+

Deiay

---p

{a)

(bi

Gambar 2.3 Sistem time-invariant (a) Delay dilakukan sebelum masuk ke sistem (b) Delay dilakukan

setelah masuk sistem

Contoh 2.3

Sistem

y(t)=cosx(f)

adalah sistem time-invariant sedangkan sistem

y(t)=x(l)cosr

adalah sistem time-varying. Pembuktian dapat dilakukan dengan menerapkan keempat prosedur di atas.

Y(t)=cosx(r)

a.

Untuk masukan x, (f

₎

maka keluarannya

yr(t)

= cos x, (f ₎

b.

Untuk masukan xz =

xr(,

-

rr) maka keluarannya y2

=

cos x2(f _{) =}

.ot

r,

(,

_-

ro)

Bab 2: Sistem

Dari langkah a. didapatka

n

y, (t

_-

ro _{) =} cos x, (r

_-

ro

₎

Membandingkan hasil langkah b. dan c. maka

yr(t

_-

_h)

₌

y,

sistem time-invariant

Y(t) =x(r)cos

r

Untuk masukan x,

(l)

maka keluarannya

yr(t)

_{= x,} (r)cos r

Untuk masukan x2 ₌

xr(,

-

ro) maka keluarannya

_lz

₌

xz(f _)cos f ₌

xr(t

_-

ro _)cos

t

Dari langkah a. didapatkat y, (,

_-

r

r)

= *, (t

-

ro ₎ cos (r

_-

lo ₎

Membandingkan hasil langkah b. dan c. maka

_),r(t

_-

_h)

*

y,

maka sistem time-varying

r

3.

Sistem dengan dan tanpa memori

Sistem disebut tanpa memori, atau sesaat (instantaneor;s)

jika

nilai

keluaran saat

ini

hanya

bergantung pada

nilai

masukan saat

ini.

Sebaliknya, sistem dengan memori

jika

keluarannya berganfung pada nilai masukan masa lalu atau masa depan.

Contoh sistem tanpa memori adalah sistem resistor yang menggambarkan hubungan antaramasukan (arus) dan keluaran (tegangan) sebagai berikut:

Y(t)=

n*(,)

(2.5)

Contoh sistem dengan memori adalah sistem kapasitor yang menggambarkan hubungan antara masukan (arus) dan keluaran (tegangan) sebagai berikut:

41 c. d. a. b. c. d. 1 t.

y(t)=

s

J*k)a,

dengan

C

adalah kapasitansi. Dari persamaan (2.6)jelas bahwa nilai keluaran tergantung dari nilai

masukan masa lalu.

Contoh 2.4

Sistem

y(t)=x(t-a)

dengan

a>0

adalah sistem dengan memori sebab

jika

kita

ingin

mendapatkan

nilai

pada saat t

₌₀

akan memberikan

hasil

y(0)

_=x(-a),yan1

bergantung dari

nilai masukan sebelumnya.

Dasar Pengolahan Sinyal Digital

Sistem kausal dan non-kausal

Sistem dikatakan kausal, atau disebut

juga

nonanticipatory,

jika

keluaran dari sistem

itu

hanya

tergantung dari nilai masukan saat ini dan masa lalu (yaitu

x(t),x(t

_-l),x(t

_-2),...

₎ tetapi tidak tergantung masukan masa depan (yaitu

x(t+I),x(t+2),...).

Sistem kausal juga dikenal sebagai

sistem yang dapat direalisasikan secara fisik. Hal

ini

masuk akal sebab nilai masukan masa depan

tidak akan pernah diketahui. Sistem yang tidak memenuhi syarat kausal disebut sistem nonkausal

atau anticipatory. Contoh 2.5

Sistem

ylrl= xln)-

xln-ll,

_flnl=

_i

,[f

_]

,

dan

ylnf

₌

a*lnf

adalah sistem kausal karena

t={

hanya tergantung dari nilai masukan saat

ini

dan masa lalu saja. Sistem

ylnl=xfnl+3xln+4f

,

ylrl=

*ln')

adalah sistem nonkausal sebab untuk semua nilai n keluarannya tergantung dari nilai masa depan. Untuk sistem

yl"l=

xlZn)

adalah sistem nonkausal sebab untuk

nilai

n>

0 akan

tergantung dari masukan masa depan. Untuk sistem

yl")=

*l-"1

merupakan sistem nonkausal

sebab untuk nilai n <

0

tergantung dari masukan masa depan.

5. Sistem invers

Sistem disebut mempunyai invers (invertible)

jika

dengan menginvestigasi menentukan masukannya. Sistem invers dapat dilihat pada Gambar 2.4.

I

keluarannya kita dapat

Gambar 2.4 Konsep sistem invers

Jika dua masukan yang berbeda menghasilkan keluarana yang sama maka sistem tersebut tidak mempunyai invers. Persamaan yang menggambarkan sistem invers adalah sebagai berikut

Bab 2: Sistem

Contoh 2.6

Sistem

y(t)

₌

Zx(t)

mempunyai invers

z(t\

_\,/

=

!

y(r\.

Sistem

y(t) =cosx(l)

tidak mempunyai

2tv

invers karena x (r

₎

aan _{x (r )} +

2tt

mempunyai nilai keluaran yang sama (sistem periodik dengan

periode 2tr ).

r

6.

Sistem stabil

Sistem yang stabil adalah

jika

memenuhi bounded-input bounded-output (BIBO), yaitu

jika

sistem

diberikan

masukan

yang

terbatas

(nilainya) maka

keluarannya

juga

akan

terbatas. BIBO didefinisikan sebagai

Keluaran

/(l)

memenuhi

ll(r)l< M,

1*

untuk semua

t

Q.s)

ketika masukan

x(r)

memenuhi

lr(r)l=

M,1@

untuk semua

t

(2.s)

Contoh 2.7

Diberikan sistem

ylr)=

_f

_ln

_{-tl+ x[n]}

dengan asumsi

_{/ [-t]}

₌ 0 . Ambil sinyal terbatas sebagai

rtasukan, misalnya

xln)=C6fnl

dengan

C

adalah konstanta.

Nilai

keluaran untuk

n=0

adalah

/[0]=

y'l-ll+Cd[O]=C,

untuk

n

=l

adalah

_{/[1]=/'[0]+Cd[t]}

_=C2,

dan seterusnya.

Sehingga didapatkan

/[0]

= C

,

ylrl-

C'

,

yl2l=

Co _{, ...,}

tlnf

₌

gz'

Jelas bahwa keluaran akan semakin besar (tidak terbatas) untuk nilai _{masukan I < lCl a}

*

sehingga sistem ini tidak stabil.