Aplikasi Turunan. Applied Derivatives A. Menentukan kemiringan (gradien) garis singgung kurva. Persamaan garis singgung kurva y = f ( x)

Teks penuh

(1)

1 @xroff_Mathsumaries

Aplikasi Turunan

A. Menentukan kemiringan (gradien) garis singgung kurva.

Persamaan garis singgung kurva y= f

( )

x di titik T( , ) adalah

(

( )

1

)

(

1

)

1 ' y x x x f ys = − + Atau ysy1 =m

(

xx1

)

dengan

( )

1 ' x f m=

Contoh_a.1. Persamaan garis singgung kurva y=−x2 +5x+6 di titik T(1, 10)! Penyelesaian:

§ Kemiringan garis singgung: y' =−2x+5 dengan x=1,→m= y' =−2

( )

1 +5=3,didapatkan gradien: m=3

§ Garis singgung: ys −10=3

(

x−1

)

Jadi persamaan garis singgungnya ys =3x+7 Grafik:

B. Titik Stasioner

Jika terdefinisi pada interval I dan , maka titik stasioner dicapai ketika ( ) = 0

Contoh_b1. Tentukan titik stasioner pada kurva y=−x2 +5x+6 Penyelesaian:

Diketahui y =−x2 +5x+6

Titik stasioner dicapai jika y' =0, yaitu −2 + 5 = 0. Didapatkan = , kemudian susbstitusikan ke =− 2 +5 +6

x x

y dan kita dapatkan

4 49 4 24 50 25 6 2 5 5 2 5 2 + = − + + =       +       − = y

Jadi titik stasionernya adalah ,

Contoh_b.2. Tentukan titik stasioner pada kurva y =x3+2x2 −4x+12. Penyelesaian:

(2)

2 @xroff_Mathsumaries ⇔ 3x2+4x−4=0 ⇔

(

x+2

)(

3x−2

)

=0 ⇔ x1 =−2 dan 3 2 2 =

x (ada dua titik stasioner)

Substitusikan masing-masing nilai pada y=x3 +2x2 −4x+12untuk mendapatkan y1 dan

2 y . i. x1 =−2 → y=

( )

−2 3+2

( )

−2 2 −4

( )

−2 +12=20, titik stasioner (-2,20) ii. 3 2 2 = x → 10,519 27 284 27 324 72 24 8 12 3 2 4 3 2 2 3 2 3 2 = = + − + = +       −       +       = y , titik stasioner       27 284 , 3 2 Grafik:

C. Menentukan fungsi naik, fungsi turun, dan mendatar (stasioner).

Misalkan kurva = ( ) kontinu dan terdefinisi di setiap titik pada interval I. Kurva = ( ) memiliki tiga kemungkinan:

§ monoton naik jika ( ) > 0

§ monoton turun jika ( ) < 0, dan § mendatar jika ( ) = 0 (stasioner)

Contoh_c.1. Tentukan interval x di mana kurva y= x3 +2x2 −4x+12 naik dan atau turun. Penyelesaian: y= x3 +2x2 −4x+12, didapatkan y' =3x2 +4x−4

§ 3x2 +4x−4>0 →

(

x+2

)(

3x−2

)

>0 dipenuhi pada < −2 dan > § 3x2 +4x−4<0 →

(

x+2

)(

3x−2

)

<0 dipenuhi pada −2 < <

(3)

3 @xroff_Mathsumaries

D. Ekstrim Maksimum , Ekstrim Munimum, dan Titik belok. Menentukan jenis titik ekstrim

Misalkan kurva = ( ) kontinu dan terdefinisi di setiap titik pada interval I. Kurva = ( ) memiliki tiga kemungkinan: (catatan: adalah turunan kedua)

§ Ekstrim minimum jika ( ) > 0

§ Ekstrim maksimum jika ( ) < 0, dan

§ Titik belok jika ( ) = 0

Contoh_d1. Tentukan titik ekstrim dan jenisnya kurva y=x3 +2x2 −4x+12 Penyelesaian: y= x3 +2x2 −4x+12, didapatkan y' =3x2 +4x−4

⇔ Titik ekstrim: y'=3x2 +4x−4=0 →

(

x+2

)(

3x−2

)

=0 → x1 =−2 dan 3 2 2 = x Substitusikan ke = 6 + 4 i. (−2) = 6(−2) + 4 = −8 (ekstrim maksimum)

ii. = 6 + 4 = 8 (ekstrim minimum)

(4)

4 @xroff_Mathsumaries

Contoh_d2. Tentukan titik ekstrim dan jenisnya kurva = 3 −3 2 +3 +5

x x x y Penyelesaian: y= x3 −3x2 +3x+5 → y' =3x2 −6x+3 § Titik ekstrim: ' =0 y → 3x2 −6x+3=0 → 3

(

x2 −2x+1

)

=3

(

x−1

)

2 =0 ⇔

(

x−1

)

2 =0, didapatkan = 1 § Jenis titik ekstrim: y'' =6x−6

i. (1) = 6(1) − 6 = 0 (berupa titik belok)

Grafik:

Aplikasi dalam Bidang Ekonomi

A. Laju Pertumbuhan dan tingkat perubahan fungsi kontinu. i. Marginal Revenue (MR)

(5)

5 @xroff_Mathsumaries

§ Marginal Revenue (tambahan penerimaan setiap perusahaan menaikkan penjualan satu unit produk):

= ( ) = ( ) = ′ C Coonnttoohh__ii11:: DDiikkeettaahhuuii ffuunnggssii ppeerrmmiinnttaaaann ssuuaattuu bbaarraanngg → PP==1616–– 22QQ ,, ddeennggaann QQ jjuummllaahh b baarraanngg((uunniitt))ddaannPPhhaarrggaaddaallaammjjuuttaaaannrruuppiiaahh..BBeerraappaakkaahhbbeessaarrnnyyaappeenneerriimmaaaannmmaakkssiimmuumm?? ü ü PPeennyyeelleessaaiiaann:: § § FFuunnggssiiPPeenneerriimmaaaannTToottaall((TTRR))==[[hhaarrggaappeerrmmiinnttaaaann]]××[[jjuummllaahhbbaarraannggtteerrjjuuaall]] TR TR==PP××QQ==((1616–– 22 ))×× == 1616 –– 22 ((jjuuttaaaannrruuppiiaahh)) § § PPeenneerriimmaaaannMMaarrjjiinnaall = ( ) = ( ) = = 16 − 4 = 16 − 4 = § § TTRRaakkaannmmaakkssiimmuummjjiikkaaTTRR’’==00aattaauuMMRR==00 → 1166––44QQ==00 →44QQ==1166→QQ==44 T TRR((MMaakkss..))ddiiccaappaaiikkeettiikkaaQQ==44uunniitt.. T TRR==1166QQ––22QQ22 = =1166((44))––22((44))22==3322((jjuuttaaaannrruuppiiaahh)) J JaaddiibbeessaarrnnyyaappeenneerriimmaaaannttoottaallmmaakkssiimmuummsseebbeessaarrRRpp3322..000000..000000,,0000

ii. Marginal Cost (MC)

Misalkan fungsi biaya total (total Cost): = ( )

§ Marginal Cost (tambahan biaya setiap produksi bertambah 1 unit): = ( ) = ( ) = ′ Contoh_ii.1. BBiiaayyaattoottaall((TTCC))==gg((QQ))==QQ3333QQ22++11..550000QQ++440000..000000,,ddeennggaannQQjjuummllaahhpprroodduukk ( (rraattuussaann uunniitt)) ddaann TTCC ddaallaamm rruuppiiaahh.. PPaaddaa ttiinnggkkaatt pprroodduukkssii bbeerraappaakkaahh bbiiaayyaa mmaarrjjiinnaall m miinniimmuumm??BBeerraappaabbeessaarrnnyyaabbiiaayyaammaarrjjiinnaallmmiinniimmuummtteerrsseebbuutt?? ü ü PPeennyyeelleessaaiiaann:: § § BBiiaayyaaMMaarrjjiinnaall((MMCC))==TTCC’’==33QQ2266QQ++11..550000..DDiiddaappaattkkaannMCMC==33QQ 66QQ++11..500500 § § MMCCmmiinniimmuumm jjiikkaaMMCC‘‘==00 §

§ ==66 66→ 66 −−66==00 → QQ==11((ratusanratusanunitunit)) § § MMCC((mmiinniimmuumm))yyaaiittuukkeettiikkaa ==100100→MC = 3(100 ) − 6(100) + 1.500 = 30.900 J Jaaddiibbeessaarrnnyyaabbiiaayyaammaarrjjiinnaallmmiinniimmuummsseebbeessaarr RRpp3300..990000,,0000ppaaddaattiinnggkkaatt pprroodduukkssii110000 u unniitt..

iii. Marginal Propensity to Consume (MPC)

Misalkan fungsi pengeluaran untuk konsumsi adalah C = f

( )

Y atau C =a+bY

(6)

6 @xroff_Mathsumaries

( )

dY

Y

df

dY

dC

MPC

=

=

dengan 0 < ≤ 1

iv. Marginal Propensity to Save (MPS)

Misalkan fungsi tabungan adalah = − = − ( )

§

(

( )

)

( )

dY Y df dY dY dY Y f Y d dY dS MPS = = − = − . Karena

( )

MPC dY Y df = , maka berlaku hubungan

( )

MPC dY Y df MPS =1− =1−

MP

MPS

=

1

v. Marginal Physical Product (MPP)

Misalkan fungsi produksi adalah = ( , ) dengan K(variabel modal/kapital) dan L (variabel tenaga kerja/ labour)

a) MPP jika modal berubah, tenaga kerja tetap:

(

)

dK

L

K

df

dK

dQ

MPP

K

=

=

,

b) MPP jika modal tetap, tenaga kerja berubah:

(

)

dL

L

K

df

dL

dQ

MPP

L

=

=

,

vi. Biaya Rata-rata dan Biaya Marginal

Contoh_vi1. DDiikkeettaahhuuiiffuunnggssiibbiiaayyaattoottaallTCTC==QQ ––88QQ++100100ddeennggaannQQuunniittpprroodduukkddaannTTCC d

daallaammrraattuussaannrriibbuu..

• Tentukan jumlah produksi agar biaya minimal. (Biaya minimal=MC).

• Tentukan fungsi biaya rata-rata dan besarnya biaya rata-rata (AC).

• Tentukan biaya marginal dan biaya rata-rata minimum. ü Penyelesaian:

• Biaya minimum jika TC′ = 0 → 2Q– 8 = 0 → diadapatkan = 4 unit (jumlah produk agar biaya minimum)

• Biaya rata-rata AC = =QQ22––88QQ++100100 = − 8 + → AC = − 8 +

Biaya rata-rata ketika Q=4 unit adalah ̅ = 4 − 8 + = −4 + 25 = 21 (ratusan ribu). Jadi biaya rata-rata adalah Rp 2.100.000,00 per unit. (Bukan biaya rata-rata minimum, tetapi menyebabkan biaya total minimum).

(7)

7 @xroff_Mathsumaries

Biaya marginal: = = 2 − 8,

Biaya rata-rata minimal: dicapai jika AC’=0 → AC′ = 1 − 0 − = 0 1 − = 0 , → 1 = → = 10

Biaya rata-rata (minimum pada Q=10): substitusi ke AC = − 8 + dan = 2 − 8 ü AC = 10 − 8 +

= 12 (ratusan ribu) atau AC= Rp 1.200.000,00 dan

ü = 2(10)− 8 = 12 (ratusan ribu) atau MC= Rp 1.200.000,00

Jadi ketika biaya rata-rata minimum, besarnya biaya rata-rata sama dengan biaya

marginal yaitu Rp 1.200.000,00

B. Menghitung Laba Maksimum

Misalkan suatu fungsi penerimaan: = ( ) dan fungsi biaya total = ( ) Laba ( )=[Penerimaan] – [Biaya] → = ( ) − ( ) atau = TC − TR

Laba maksimum dicapai jika = 0

Contoh_b1. DDiikkeettaahhuuiiffuunnggssiippeenneerriimmaaaannTRTR==−−22QQ ++11..000000QQ ddaannffuunnggssiibbiiaayyaattoottaall TC TC==QQ ––5959QQ ++13151315QQ++22..000000..BBeerraappaakkaahhllaabbaammaakkssiimmuummyyaannggmmeemmuunnggkkiinnkkaann?? ü ü PPeennyyeelleessaaiiaann:: = TC − TR==((--22QQ22++11000000QQ))((QQ335599QQ22++11331155QQ++22..000000)) = =--QQ33++5577QQ22--331155QQ22..000000 § § LLaabbaammaakkssiimmuummddiiccaappaaiijjiikkaaπ’’==00 π ’’==--33QQ22++111144QQ331155==00,,sseeddeerrhhaannaakkaannddeennggaannccaarraammeemmbbaaggii--33sseettiiaappssuukkuu.. Q Q22--3388QQ++110055==00→→ffaakkttoorrkkaann ( (QQ--33))((QQ--3355))==00 →QQ11 ==33ddaannQQ2 2==3355 ((ttiittiikkeekkssttrriimm)) § § TTeennttuukkaannjjeenniissttiittiikkeekkssttrriimm((mmaakkssiimmuummaattaauummiinniimmuumm))..UUjjiiddeennggaannπ ’’’’ ′′ ′′==--66QQ++111144 i i.. UUjjiippaaddaaQQ==33 →π ’’’’==--66QQ++111144==--66((33))++111144== 9966>>00→→ ′′′′>>00 ((mmiinniimmuumm)) i iii.. UUjjiippaaddaaQQ==3355 →π ’’’’==--66QQ++111144==--66((3355))++111144==--9966<<00→→ ′′′′<<00 ((mmaakkssiimmuumm)) B BeerraarrttiippaaddaaQQ==3355,,ddiiccaappaaiillaabbaammaakkssiimmuumm § § LLaabbaaMMaakkssiimmuumm π ==--QQ33++5577QQ22--331155QQ22..000000==((--3355))33++5577((3355))22331155((3355))22..000000 π ==1133..992255 J JaaddiiLLaabbaammaakkssiimmuummsseebbeessaarrRRpp..1133..992255,,0000ppaaddaajjuummllaahhppeennjjuuaallaannpprroodduukk3355uunniitt.. C. Elastisitas

(8)

8 @xroff_Mathsumaries

Misalkan fungsi permintaan = ( )

Elastisitas permintaan (point elasticity of demand):

P Q dP dQ P dP Q dQ d d d d d = × ε atau d d d

Q

P

dP

dQ

×

=

ε

Keterangan: i. dP

dQd adalah marginal fungsi permintaan

ii.

P Qd

adalah rata-rata permintaan iii. Elastisitas (ε ) adalah d

i ivv.. EEllaassttiiss→ jjiikkaaεd >0 v v.. IInneellaassttiiss →jjiikkaaεd <0 v vii.. UUnniitteerr →jjiikkaaεd =0

Contoh_c1 (Elastisitas Permintaan). FFuunnggssiippeerrmmiinnttaaaannssuuaattuubbaarraannggddiikkeettaahhuuii QQ==2255––33PP22..

T TeennttuukkaanneellaassttiissiittaassppeerrmmiinnttaaaannnnyyaappaaddaattiinnggkkaatthhaarrggaaPP==55.. ü ü PPeennyyeelleessaaiiaann:: dP dQd d = ε .. d Q P = =((--66PP)) 2 3 25 P P − ==--66((55)) 2 ) 5 ( 3 25 ) 5 ( − ==33 J Jaaddii εd =3 ((eellaassttiiss))aarrttiinnyyaappaaddaakkeedduudduukkaannhhaarrggaaPP==55,,jjiikkaahhaarrggaabbaarraannggnnaaiikksseebbeessaarr11%%,, m maakkaappeerrmmiinnttaaaannnnyyaa aakkaannttuurruunnsseebbaannyyaakk33 %%..

Contoh_c2 (Elastisitas Penawaran).DDiikkeettaahhuuiiffuunnggssiippeennaawwaarraannssuuaattuubbaarraannggaaddaallaahh =

=−− ++ .. Tentukan elastisitas penawaran barang tersebut, pada tingkat harga P = 10 ü ü PPeennyyeelleessaaiiaann:: 2

7

200

14

P

P

P

Q

P

dP

dQ

s s s

+

×

=

×

=

ε

P PaaddaaPP==1100 →

( )

( )

2

,

8

10

7

200

10

10

14

2

=

+

×

=

s

ε

((eellaassttiiss)) 8 , 2 = d ε aarrttiinnyyaappaaddaakkeedduudduukkaann hhaarrggaaPP ==1100,,jjiikkaahhaarrggaabbaarraannggnnaaiikk11%%,,mmaakkaajjuummllaahh b baarraannggyyaannggddiittaawwaarrkkaannjjuuggaaaakkaannnnaaiikksseebbaannyyaakk22,,88%%..

Contoh_c3 (Elastisitas Produksi). Diketahui fuunnggssiipprroodduukkssiissuuaattuubbaarraannggaaddaallaahh 2 3 6X X N = − ,, d deennggaannXXsseebbaaggaaiiffaakkttoorrpprroodduukkssiiddaannNNjjuummllaahhpprroodduukk..TTeennttuukkaanneellaassttiissiittaasspprroodduukkssii,,ppaaddaa p peenngggguunnaaaannffaakkttoorrpprroodduukkssii((iinnppuutt))sseebbeessaarr33..

(9)

9 @xroff_Mathsumaries ü ü Penyelesaian:

(

)

2 3 2

6

3

12

X

X

X

X

X

N

X

dX

dN

p p p

×

=

×

=

ε

P PaaddaaXX==33→

[

( )

( )

]

( ) ( )

1 3 3 6 3 3 3 12 2 2 3 = − × − = p ε 1 = d ε ((uunniitteerr))aarrttiinnyyaappaaddaattiinnggkkaattppeenngggguunnaaaanniinnppuuttXX==33,,jjiikkaaiinnppuuttddiinnaaiikkkkaann11%%,,mmaakkaa j juummllaahhpprroodduukkssiijjuuggaaaakkaannbbeerrttaammbbaahh11%%..

D. Tingkat Pertumbuhan (Growt Rate)

i. Misalkan fungsi pertumbuhan = ( ), dengan y sebagai fungsi kontinu dan t adalah waktu. Misalkan ry adalah tingkat pertumbuhan y, maka

( )

( )

fungsitotal marginal fungsi = = = y f y f y dt dy ry '

Jika ditulis dalam persen, maka menjadi

% 100 * y dt dy ry = atau

( )

( )

*100% ' y f y f ry =

ii. Misalkan jumlah penduduk pada tahun ke t adalah :

P

t

P

e

r t

. 0

.

=

Pertumbuhan penduduk per tahun:

rt rt t

p

e

r

e

P

P

dt

dP

r

.

.

.

0 0

=

=

Catatan:

: Jumlah penduduk setelah t tahun

: Jumlah penduduk awal tahun perhitungan : bilangan natural (2,7182183…)

: tingkat pertumbuhan

Soal Tugas: (Lihat Contoh_vi1)

1. Diketahui fungsi biaya total TC = Q − 6Q + 12 , dengan Q unit produk dan TC dalam Jutaan Rupiah. Tentukan

a. Jumlah produksi agar biaya minimum;

b. Biaya rata-rata minimum dan besarnya biaya rata-rata.

2. Misalkan diketahui fungsi biaya produksi adalah = − 6 + 15 . Buktikan bahwa biaya rata-rata minimum sama dengan biaya marginal.

Figur

Memperbarui...

Referensi

Memperbarui...

Related subjects :