1 @xroff_Mathsumaries
Aplikasi Turunan
A. Menentukan kemiringan (gradien) garis singgung kurva.
Persamaan garis singgung kurva y= f
( )
x di titik T( , ) adalah(
( )
1)
(
1)
1 ' y x x x f ys = − + Atau ys −y1 =m(
x−x1)
dengan( )
1 ' x f m=Contoh_a.1. Persamaan garis singgung kurva y=−x2 +5x+6 di titik T(1, 10)! Penyelesaian:
§ Kemiringan garis singgung: y' =−2x+5 dengan x=1,→m= y' =−2
( )
1 +5=3,didapatkan gradien: m=3§ Garis singgung: ys −10=3
(
x−1)
Jadi persamaan garis singgungnya ys =3x+7 Grafik:
B. Titik Stasioner
Jika terdefinisi pada interval I dan , maka titik stasioner dicapai ketika ( ) = 0
Contoh_b1. Tentukan titik stasioner pada kurva y=−x2 +5x+6 Penyelesaian:
Diketahui y =−x2 +5x+6
Titik stasioner dicapai jika y' =0, yaitu −2 + 5 = 0. Didapatkan = , kemudian susbstitusikan ke =− 2 +5 +6
x x
y dan kita dapatkan
4 49 4 24 50 25 6 2 5 5 2 5 2 + = − + + = + − = y
Jadi titik stasionernya adalah ,
Contoh_b.2. Tentukan titik stasioner pada kurva y =x3+2x2 −4x+12. Penyelesaian:
2 @xroff_Mathsumaries ⇔ 3x2+4x−4=0 ⇔
(
x+2)(
3x−2)
=0 ⇔ x1 =−2 dan 3 2 2 =x (ada dua titik stasioner)
Substitusikan masing-masing nilai pada y=x3 +2x2 −4x+12untuk mendapatkan y1 dan
2 y . i. x1 =−2 → y=
( )
−2 3+2( )
−2 2 −4( )
−2 +12=20, titik stasioner (-2,20) ii. 3 2 2 = x → 10,519 27 284 27 324 72 24 8 12 3 2 4 3 2 2 3 2 3 2 = = + − + = + − + = y , titik stasioner 27 284 , 3 2 Grafik:C. Menentukan fungsi naik, fungsi turun, dan mendatar (stasioner).
Misalkan kurva = ( ) kontinu dan terdefinisi di setiap titik pada interval I. Kurva = ( ) memiliki tiga kemungkinan:
§ monoton naik jika ( ) > 0
§ monoton turun jika ( ) < 0, dan § mendatar jika ( ) = 0 (stasioner)
Contoh_c.1. Tentukan interval x di mana kurva y= x3 +2x2 −4x+12 naik dan atau turun. Penyelesaian: y= x3 +2x2 −4x+12, didapatkan y' =3x2 +4x−4
§ 3x2 +4x−4>0 →
(
x+2)(
3x−2)
>0 dipenuhi pada < −2 dan > § 3x2 +4x−4<0 →(
x+2)(
3x−2)
<0 dipenuhi pada −2 < <3 @xroff_Mathsumaries
D. Ekstrim Maksimum , Ekstrim Munimum, dan Titik belok. Menentukan jenis titik ekstrim
Misalkan kurva = ( ) kontinu dan terdefinisi di setiap titik pada interval I. Kurva = ( ) memiliki tiga kemungkinan: (catatan: adalah turunan kedua)
§ Ekstrim minimum jika ( ) > 0
§ Ekstrim maksimum jika ( ) < 0, dan
§ Titik belok jika ( ) = 0
Contoh_d1. Tentukan titik ekstrim dan jenisnya kurva y=x3 +2x2 −4x+12 Penyelesaian: y= x3 +2x2 −4x+12, didapatkan y' =3x2 +4x−4
⇔ Titik ekstrim: y'=3x2 +4x−4=0 →
(
x+2)(
3x−2)
=0 → x1 =−2 dan 3 2 2 = x Substitusikan ke = 6 + 4 i. (−2) = 6(−2) + 4 = −8 (ekstrim maksimum)ii. = 6 + 4 = 8 (ekstrim minimum)
4 @xroff_Mathsumaries
Contoh_d2. Tentukan titik ekstrim dan jenisnya kurva = 3 −3 2 +3 +5
x x x y Penyelesaian: y= x3 −3x2 +3x+5 → y' =3x2 −6x+3 § Titik ekstrim: ' =0 y → 3x2 −6x+3=0 → 3
(
x2 −2x+1)
=3(
x−1)
2 =0 ⇔(
x−1)
2 =0, didapatkan = 1 § Jenis titik ekstrim: y'' =6x−6i. (1) = 6(1) − 6 = 0 (berupa titik belok)
Grafik:
Aplikasi dalam Bidang Ekonomi
A. Laju Pertumbuhan dan tingkat perubahan fungsi kontinu. i. Marginal Revenue (MR)
5 @xroff_Mathsumaries
§ Marginal Revenue (tambahan penerimaan setiap perusahaan menaikkan penjualan satu unit produk):
= ( ) = ( ) = ′ C Coonnttoohh__ii11:: DDiikkeettaahhuuii ffuunnggssii ppeerrmmiinnttaaaann ssuuaattuu bbaarraanngg → PP==1616–– 22QQ ,, ddeennggaann QQ jjuummllaahh b baarraanngg((uunniitt))ddaannPPhhaarrggaaddaallaammjjuuttaaaannrruuppiiaahh..BBeerraappaakkaahhbbeessaarrnnyyaappeenneerriimmaaaannmmaakkssiimmuumm?? ü ü PPeennyyeelleessaaiiaann:: § § FFuunnggssiiPPeenneerriimmaaaannTToottaall((TTRR))==[[hhaarrggaappeerrmmiinnttaaaann]]××[[jjuummllaahhbbaarraannggtteerrjjuuaall]] TR TR==PP××QQ==((1616–– 22 ))×× == 1616 –– 22 ((jjuuttaaaannrruuppiiaahh)) § § PPeenneerriimmaaaannMMaarrjjiinnaall = ( ) = ( ) = = 16 − 4 = 16 − 4 = § § TTRRaakkaannmmaakkssiimmuummjjiikkaaTTRR’’==00aattaauuMMRR==00 → 1166––44QQ==00 →44QQ==1166→QQ==44 T TRR((MMaakkss..))ddiiccaappaaiikkeettiikkaaQQ==44uunniitt.. T TRR==1166QQ––22QQ22 = =1166((44))––22((44))22==3322((jjuuttaaaannrruuppiiaahh)) J JaaddiibbeessaarrnnyyaappeenneerriimmaaaannttoottaallmmaakkssiimmuummsseebbeessaarrRRpp3322..000000..000000,,0000
ii. Marginal Cost (MC)
Misalkan fungsi biaya total (total Cost): = ( )
§ Marginal Cost (tambahan biaya setiap produksi bertambah 1 unit): = ( ) = ( ) = ′ Contoh_ii.1. BBiiaayyaattoottaall((TTCC))==gg((QQ))==QQ33––33QQ22++11..550000QQ++440000..000000,,ddeennggaannQQjjuummllaahhpprroodduukk ( (rraattuussaann uunniitt)) ddaann TTCC ddaallaamm rruuppiiaahh.. PPaaddaa ttiinnggkkaatt pprroodduukkssii bbeerraappaakkaahh bbiiaayyaa mmaarrjjiinnaall m miinniimmuumm??BBeerraappaabbeessaarrnnyyaabbiiaayyaammaarrjjiinnaallmmiinniimmuummtteerrsseebbuutt?? ü ü PPeennyyeelleessaaiiaann:: § § BBiiaayyaaMMaarrjjiinnaall((MMCC))==TTCC’’==33QQ22––66QQ++11..550000..DDiiddaappaattkkaannMCMC==33QQ −−66QQ++11..500500 § § MMCCmmiinniimmuumm jjiikkaaMMCC‘‘==00 §
§ ==66 −−66→ 66 −−66==00 → QQ==11((ratusanratusanunitunit)) § § MMCC((mmiinniimmuumm))yyaaiittuukkeettiikkaa ==100100→MC = 3(100 ) − 6(100) + 1.500 = 30.900 J Jaaddiibbeessaarrnnyyaabbiiaayyaammaarrjjiinnaallmmiinniimmuummsseebbeessaarr RRpp3300..990000,,0000ppaaddaattiinnggkkaatt pprroodduukkssii110000 u unniitt..
iii. Marginal Propensity to Consume (MPC)
Misalkan fungsi pengeluaran untuk konsumsi adalah C = f
( )
Y atau C =a+bY6 @xroff_Mathsumaries
( )
dY
Y
df
dY
dC
MPC
=
=
dengan 0 < ≤ 1iv. Marginal Propensity to Save (MPS)
Misalkan fungsi tabungan adalah = − = − ( )
§
(
( )
)
( )
dY Y df dY dY dY Y f Y d dY dS MPS = = − = − . Karena( )
MPC dY Y df = , maka berlaku hubungan( )
MPC dY Y df MPS =1− =1−MP
MPS
=
1
−
v. Marginal Physical Product (MPP)
Misalkan fungsi produksi adalah = ( , ) dengan K(variabel modal/kapital) dan L (variabel tenaga kerja/ labour)
a) MPP jika modal berubah, tenaga kerja tetap:
(
)
dK
L
K
df
dK
dQ
MPP
K=
=
,
b) MPP jika modal tetap, tenaga kerja berubah:
(
)
dL
L
K
df
dL
dQ
MPP
L=
=
,
vi. Biaya Rata-rata dan Biaya Marginal
Contoh_vi1. DDiikkeettaahhuuiiffuunnggssiibbiiaayyaattoottaallTCTC==QQ ––88QQ++100100ddeennggaannQQuunniittpprroodduukkddaannTTCC d
daallaammrraattuussaannrriibbuu..
• Tentukan jumlah produksi agar biaya minimal. (Biaya minimal=MC).
•
• Tentukan fungsi biaya rata-rata dan besarnya biaya rata-rata (AC).
•
• Tentukan biaya marginal dan biaya rata-rata minimum. ü Penyelesaian:
• Biaya minimum jika TC′ = 0 → 2Q– 8 = 0 → diadapatkan = 4 unit (jumlah produk agar biaya minimum)
• Biaya rata-rata AC = =QQ22––88QQ++100100 = − 8 + → AC = − 8 +
Biaya rata-rata ketika Q=4 unit adalah ̅ = 4 − 8 + = −4 + 25 = 21 (ratusan ribu). Jadi biaya rata-rata adalah Rp 2.100.000,00 per unit. (Bukan biaya rata-rata minimum, tetapi menyebabkan biaya total minimum).
7 @xroff_Mathsumaries
• Biaya marginal: = = 2 − 8,
Biaya rata-rata minimal: dicapai jika AC’=0 → AC′ = 1 − 0 − = 0 1 − = 0 , → 1 = → = 10
Biaya rata-rata (minimum pada Q=10): substitusi ke AC = − 8 + dan = 2 − 8 ü AC = 10 − 8 +
= 12 (ratusan ribu) atau AC= Rp 1.200.000,00 dan
ü = 2(10)− 8 = 12 (ratusan ribu) atau MC= Rp 1.200.000,00
Jadi ketika biaya rata-rata minimum, besarnya biaya rata-rata sama dengan biaya
marginal yaitu Rp 1.200.000,00
B. Menghitung Laba Maksimum
Misalkan suatu fungsi penerimaan: = ( ) dan fungsi biaya total = ( ) Laba ( )=[Penerimaan] – [Biaya] → = ( ) − ( ) atau = TC − TR
Laba maksimum dicapai jika = 0
Contoh_b1. DDiikkeettaahhuuiiffuunnggssiippeenneerriimmaaaannTRTR==−−22QQ ++11..000000QQ ddaannffuunnggssiibbiiaayyaattoottaall TC TC==QQ ––5959QQ ++13151315QQ++22..000000..BBeerraappaakkaahhllaabbaammaakkssiimmuummyyaannggmmeemmuunnggkkiinnkkaann?? ü ü PPeennyyeelleessaaiiaann:: = TC − TR==((--22QQ22++11000000QQ))––((QQ33––5599QQ22++11331155QQ++22..000000)) = =--QQ33++5577QQ22--331155QQ––22..000000 § § LLaabbaammaakkssiimmuummddiiccaappaaiijjiikkaaπ’’==00 π ’’==--33QQ22++111144QQ––331155==00,,sseeddeerrhhaannaakkaannddeennggaannccaarraammeemmbbaaggii--33sseettiiaappssuukkuu.. Q Q22--3388QQ++110055==00→→ffaakkttoorrkkaann ( (QQ--33))((QQ--3355))==00 →QQ11 ==33ddaannQQ2 2==3355 ((ttiittiikkeekkssttrriimm)) § § TTeennttuukkaannjjeenniissttiittiikkeekkssttrriimm((mmaakkssiimmuummaattaauummiinniimmuumm))..UUjjiiddeennggaannπ ’’’’ ′′ ′′==--66QQ++111144 i i.. UUjjiippaaddaaQQ==33 →π ’’’’==--66QQ++111144==--66((33))++111144== 9966>>00→→ ′′′′>>00 ((mmiinniimmuumm)) i iii.. UUjjiippaaddaaQQ==3355 →π ’’’’==--66QQ++111144==--66((3355))++111144==--9966<<00→→ ′′′′<<00 ((mmaakkssiimmuumm)) B BeerraarrttiippaaddaaQQ==3355,,ddiiccaappaaiillaabbaammaakkssiimmuumm § § LLaabbaaMMaakkssiimmuumm π ==--QQ33++5577QQ22--331155QQ––22..000000==((--3355))33++5577((3355))22––331155((3355))––22..000000 π ==1133..992255 J JaaddiiLLaabbaammaakkssiimmuummsseebbeessaarrRRpp..1133..992255,,0000ppaaddaajjuummllaahhppeennjjuuaallaannpprroodduukk3355uunniitt.. C. Elastisitas
8 @xroff_Mathsumaries
Misalkan fungsi permintaan = ( )
Elastisitas permintaan (point elasticity of demand):
P Q dP dQ P dP Q dQ d d d d d = × ε atau d d d
Q
P
dP
dQ
×
=
ε
Keterangan: i. dPdQd adalah marginal fungsi permintaan
ii.
P Qd
adalah rata-rata permintaan iii. Elastisitas (ε ) adalah d
i ivv.. EEllaassttiiss→ jjiikkaaεd >0 v v.. IInneellaassttiiss →jjiikkaaεd <0 v vii.. UUnniitteerr →jjiikkaaεd =0
Contoh_c1 (Elastisitas Permintaan). FFuunnggssiippeerrmmiinnttaaaannssuuaattuubbaarraannggddiikkeettaahhuuii QQ==2255––33PP22..
T TeennttuukkaanneellaassttiissiittaassppeerrmmiinnttaaaannnnyyaappaaddaattiinnggkkaatthhaarrggaaPP==55.. ü ü PPeennyyeelleessaaiiaann:: dP dQd d = ε .. d Q P = =((--66PP)) 2 3 25 P P − ==--66((55)) 2 ) 5 ( 3 25 ) 5 ( − ==33 J Jaaddii εd =3 ((eellaassttiiss))aarrttiinnyyaappaaddaakkeedduudduukkaannhhaarrggaaPP==55,,jjiikkaahhaarrggaabbaarraannggnnaaiikksseebbeessaarr11%%,, m maakkaappeerrmmiinnttaaaannnnyyaa aakkaannttuurruunnsseebbaannyyaakk33 %%..
Contoh_c2 (Elastisitas Penawaran).DDiikkeettaahhuuiiffuunnggssiippeennaawwaarraannssuuaattuubbaarraannggaaddaallaahh =
=−− ++ .. Tentukan elastisitas penawaran barang tersebut, pada tingkat harga P = 10 ü ü PPeennyyeelleessaaiiaann:: 2
7
200
14
P
P
P
Q
P
dP
dQ
s s s+
−
×
=
×
=
ε
P PaaddaaPP==1100 →( )
( )
2
,
8
10
7
200
10
10
14
2=
+
−
×
=
sε
((eellaassttiiss)) 8 , 2 = d ε aarrttiinnyyaappaaddaakkeedduudduukkaann hhaarrggaaPP ==1100,,jjiikkaahhaarrggaabbaarraannggnnaaiikk11%%,,mmaakkaajjuummllaahh b baarraannggyyaannggddiittaawwaarrkkaannjjuuggaaaakkaannnnaaiikksseebbaannyyaakk22,,88%%..Contoh_c3 (Elastisitas Produksi). Diketahui fuunnggssiipprroodduukkssiissuuaattuubbaarraannggaaddaallaahh 2 3 6X X N = − ,, d deennggaannXXsseebbaaggaaiiffaakkttoorrpprroodduukkssiiddaannNNjjuummllaahhpprroodduukk..TTeennttuukkaanneellaassttiissiittaasspprroodduukkssii,,ppaaddaa p peenngggguunnaaaannffaakkttoorrpprroodduukkssii((iinnppuutt))sseebbeessaarr33..
9 @xroff_Mathsumaries ü ü Penyelesaian:
(
)
2 3 26
3
12
X
X
X
X
X
N
X
dX
dN
p p p−
×
−
=
×
=
ε
P PaaddaaXX==33→[
( )
( )
]
( ) ( )
1 3 3 6 3 3 3 12 2 2 3 = − × − = p ε 1 = d ε ((uunniitteerr))aarrttiinnyyaappaaddaattiinnggkkaattppeenngggguunnaaaanniinnppuuttXX==33,,jjiikkaaiinnppuuttddiinnaaiikkkkaann11%%,,mmaakkaa j juummllaahhpprroodduukkssiijjuuggaaaakkaannbbeerrttaammbbaahh11%%..D. Tingkat Pertumbuhan (Growt Rate)
i. Misalkan fungsi pertumbuhan = ( ), dengan y sebagai fungsi kontinu dan t adalah waktu. Misalkan ry adalah tingkat pertumbuhan y, maka
( )
( )
fungsitotal marginal fungsi = = = y f y f y dt dy ry 'Jika ditulis dalam persen, maka menjadi
% 100 * y dt dy ry = atau
( )
( )
*100% ' y f y f ry =ii. Misalkan jumlah penduduk pada tahun ke t adalah :
P
tP
e
r t. 0
.
=
Pertumbuhan penduduk per tahun:
rt rt t
p
e
r
e
P
P
dt
dP
r
.
.
.
0 0=
=
Catatan:: Jumlah penduduk setelah t tahun
: Jumlah penduduk awal tahun perhitungan : bilangan natural (2,7182183…)
: tingkat pertumbuhan
Soal Tugas: (Lihat Contoh_vi1)
1. Diketahui fungsi biaya total TC = Q − 6Q + 12 , dengan Q unit produk dan TC dalam Jutaan Rupiah. Tentukan
a. Jumlah produksi agar biaya minimum;
b. Biaya rata-rata minimum dan besarnya biaya rata-rata.
2. Misalkan diketahui fungsi biaya produksi adalah = − 6 + 15 . Buktikan bahwa biaya rata-rata minimum sama dengan biaya marginal.