• Tidak ada hasil yang ditemukan

Aplikasi Turunan. Applied Derivatives A. Menentukan kemiringan (gradien) garis singgung kurva. Persamaan garis singgung kurva y = f ( x)

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "Aplikasi Turunan. Applied Derivatives A. Menentukan kemiringan (gradien) garis singgung kurva. Persamaan garis singgung kurva y = f ( x)"

Copied!
9
0
0

Teks penuh

(1)

1 @xroff_Mathsumaries

Aplikasi Turunan

A. Menentukan kemiringan (gradien) garis singgung kurva.

Persamaan garis singgung kurva y= f

( )

x di titik T( , ) adalah

(

( )

1

)

(

1

)

1 ' y x x x f ys = − + Atau ysy1 =m

(

xx1

)

dengan

( )

1 ' x f m=

Contoh_a.1. Persamaan garis singgung kurva y=−x2 +5x+6 di titik T(1, 10)! Penyelesaian:

§ Kemiringan garis singgung: y' =−2x+5 dengan x=1,→m= y' =−2

( )

1 +5=3,didapatkan gradien: m=3

§ Garis singgung: ys −10=3

(

x−1

)

Jadi persamaan garis singgungnya ys =3x+7 Grafik:

B. Titik Stasioner

Jika terdefinisi pada interval I dan , maka titik stasioner dicapai ketika ( ) = 0

Contoh_b1. Tentukan titik stasioner pada kurva y=−x2 +5x+6 Penyelesaian:

Diketahui y =−x2 +5x+6

Titik stasioner dicapai jika y' =0, yaitu −2 + 5 = 0. Didapatkan = , kemudian susbstitusikan ke =− 2 +5 +6

x x

y dan kita dapatkan

4 49 4 24 50 25 6 2 5 5 2 5 2 + = − + + =       +       − = y

Jadi titik stasionernya adalah ,

Contoh_b.2. Tentukan titik stasioner pada kurva y =x3+2x2 −4x+12. Penyelesaian:

(2)

2 @xroff_Mathsumaries ⇔ 3x2+4x−4=0 ⇔

(

x+2

)(

3x−2

)

=0 ⇔ x1 =−2 dan 3 2 2 =

x (ada dua titik stasioner)

Substitusikan masing-masing nilai pada y=x3 +2x2 −4x+12untuk mendapatkan y1 dan

2 y . i. x1 =−2 → y=

( )

−2 3+2

( )

−2 2 −4

( )

−2 +12=20, titik stasioner (-2,20) ii. 3 2 2 = x → 10,519 27 284 27 324 72 24 8 12 3 2 4 3 2 2 3 2 3 2 = = + − + = +       −       +       = y , titik stasioner       27 284 , 3 2 Grafik:

C. Menentukan fungsi naik, fungsi turun, dan mendatar (stasioner).

Misalkan kurva = ( ) kontinu dan terdefinisi di setiap titik pada interval I. Kurva = ( ) memiliki tiga kemungkinan:

§ monoton naik jika ( ) > 0

§ monoton turun jika ( ) < 0, dan § mendatar jika ( ) = 0 (stasioner)

Contoh_c.1. Tentukan interval x di mana kurva y= x3 +2x2 −4x+12 naik dan atau turun. Penyelesaian: y= x3 +2x2 −4x+12, didapatkan y' =3x2 +4x−4

§ 3x2 +4x−4>0 →

(

x+2

)(

3x−2

)

>0 dipenuhi pada < −2 dan > § 3x2 +4x−4<0 →

(

x+2

)(

3x−2

)

<0 dipenuhi pada −2 < <

(3)

3 @xroff_Mathsumaries

D. Ekstrim Maksimum , Ekstrim Munimum, dan Titik belok. Menentukan jenis titik ekstrim

Misalkan kurva = ( ) kontinu dan terdefinisi di setiap titik pada interval I. Kurva = ( ) memiliki tiga kemungkinan: (catatan: adalah turunan kedua)

§ Ekstrim minimum jika ( ) > 0

§ Ekstrim maksimum jika ( ) < 0, dan

§ Titik belok jika ( ) = 0

Contoh_d1. Tentukan titik ekstrim dan jenisnya kurva y=x3 +2x2 −4x+12 Penyelesaian: y= x3 +2x2 −4x+12, didapatkan y' =3x2 +4x−4

⇔ Titik ekstrim: y'=3x2 +4x−4=0 →

(

x+2

)(

3x−2

)

=0 → x1 =−2 dan 3 2 2 = x Substitusikan ke = 6 + 4 i. (−2) = 6(−2) + 4 = −8 (ekstrim maksimum)

ii. = 6 + 4 = 8 (ekstrim minimum)

(4)

4 @xroff_Mathsumaries

Contoh_d2. Tentukan titik ekstrim dan jenisnya kurva = 3 −3 2 +3 +5

x x x y Penyelesaian: y= x3 −3x2 +3x+5 → y' =3x2 −6x+3 § Titik ekstrim: ' =0 y → 3x2 −6x+3=0 → 3

(

x2 −2x+1

)

=3

(

x−1

)

2 =0 ⇔

(

x−1

)

2 =0, didapatkan = 1 § Jenis titik ekstrim: y'' =6x−6

i. (1) = 6(1) − 6 = 0 (berupa titik belok)

Grafik:

Aplikasi dalam Bidang Ekonomi

A. Laju Pertumbuhan dan tingkat perubahan fungsi kontinu. i. Marginal Revenue (MR)

(5)

5 @xroff_Mathsumaries

§ Marginal Revenue (tambahan penerimaan setiap perusahaan menaikkan penjualan satu unit produk):

= ( ) = ( ) = ′ C Coonnttoohh__ii11:: DDiikkeettaahhuuii ffuunnggssii ppeerrmmiinnttaaaann ssuuaattuu bbaarraanngg → PP==1616–– 22QQ ,, ddeennggaann QQ jjuummllaahh b baarraanngg((uunniitt))ddaannPPhhaarrggaaddaallaammjjuuttaaaannrruuppiiaahh..BBeerraappaakkaahhbbeessaarrnnyyaappeenneerriimmaaaannmmaakkssiimmuumm?? ü ü PPeennyyeelleessaaiiaann:: § § FFuunnggssiiPPeenneerriimmaaaannTToottaall((TTRR))==[[hhaarrggaappeerrmmiinnttaaaann]]××[[jjuummllaahhbbaarraannggtteerrjjuuaall]] TR TR==PP××QQ==((1616–– 22 ))×× == 1616 –– 22 ((jjuuttaaaannrruuppiiaahh)) § § PPeenneerriimmaaaannMMaarrjjiinnaall = ( ) = ( ) = = 16 − 4 = 16 − 4 = § § TTRRaakkaannmmaakkssiimmuummjjiikkaaTTRR’’==00aattaauuMMRR==00 → 1166––44QQ==00 →44QQ==1166→QQ==44 T TRR((MMaakkss..))ddiiccaappaaiikkeettiikkaaQQ==44uunniitt.. T TRR==1166QQ––22QQ22 = =1166((44))––22((44))22==3322((jjuuttaaaannrruuppiiaahh)) J JaaddiibbeessaarrnnyyaappeenneerriimmaaaannttoottaallmmaakkssiimmuummsseebbeessaarrRRpp3322..000000..000000,,0000

ii. Marginal Cost (MC)

Misalkan fungsi biaya total (total Cost): = ( )

§ Marginal Cost (tambahan biaya setiap produksi bertambah 1 unit): = ( ) = ( ) = ′ Contoh_ii.1. BBiiaayyaattoottaall((TTCC))==gg((QQ))==QQ3333QQ22++11..550000QQ++440000..000000,,ddeennggaannQQjjuummllaahhpprroodduukk ( (rraattuussaann uunniitt)) ddaann TTCC ddaallaamm rruuppiiaahh.. PPaaddaa ttiinnggkkaatt pprroodduukkssii bbeerraappaakkaahh bbiiaayyaa mmaarrjjiinnaall m miinniimmuumm??BBeerraappaabbeessaarrnnyyaabbiiaayyaammaarrjjiinnaallmmiinniimmuummtteerrsseebbuutt?? ü ü PPeennyyeelleessaaiiaann:: § § BBiiaayyaaMMaarrjjiinnaall((MMCC))==TTCC’’==33QQ2266QQ++11..550000..DDiiddaappaattkkaannMCMC==33QQ 66QQ++11..500500 § § MMCCmmiinniimmuumm jjiikkaaMMCC‘‘==00 §

§ ==66 66→ 66 −−66==00 → QQ==11((ratusanratusanunitunit)) § § MMCC((mmiinniimmuumm))yyaaiittuukkeettiikkaa ==100100→MC = 3(100 ) − 6(100) + 1.500 = 30.900 J Jaaddiibbeessaarrnnyyaabbiiaayyaammaarrjjiinnaallmmiinniimmuummsseebbeessaarr RRpp3300..990000,,0000ppaaddaattiinnggkkaatt pprroodduukkssii110000 u unniitt..

iii. Marginal Propensity to Consume (MPC)

Misalkan fungsi pengeluaran untuk konsumsi adalah C = f

( )

Y atau C =a+bY

(6)

6 @xroff_Mathsumaries

( )

dY

Y

df

dY

dC

MPC

=

=

dengan 0 < ≤ 1

iv. Marginal Propensity to Save (MPS)

Misalkan fungsi tabungan adalah = − = − ( )

§

(

( )

)

( )

dY Y df dY dY dY Y f Y d dY dS MPS = = − = − . Karena

( )

MPC dY Y df = , maka berlaku hubungan

( )

MPC dY Y df MPS =1− =1−

MP

MPS

=

1

v. Marginal Physical Product (MPP)

Misalkan fungsi produksi adalah = ( , ) dengan K(variabel modal/kapital) dan L (variabel tenaga kerja/ labour)

a) MPP jika modal berubah, tenaga kerja tetap:

(

)

dK

L

K

df

dK

dQ

MPP

K

=

=

,

b) MPP jika modal tetap, tenaga kerja berubah:

(

)

dL

L

K

df

dL

dQ

MPP

L

=

=

,

vi. Biaya Rata-rata dan Biaya Marginal

Contoh_vi1. DDiikkeettaahhuuiiffuunnggssiibbiiaayyaattoottaallTCTC==QQ ––88QQ++100100ddeennggaannQQuunniittpprroodduukkddaannTTCC d

daallaammrraattuussaannrriibbuu..

• Tentukan jumlah produksi agar biaya minimal. (Biaya minimal=MC).

• Tentukan fungsi biaya rata-rata dan besarnya biaya rata-rata (AC).

• Tentukan biaya marginal dan biaya rata-rata minimum. ü Penyelesaian:

• Biaya minimum jika TC′ = 0 → 2Q– 8 = 0 → diadapatkan = 4 unit (jumlah produk agar biaya minimum)

• Biaya rata-rata AC = =QQ22––88QQ++100100 = − 8 + → AC = − 8 +

Biaya rata-rata ketika Q=4 unit adalah ̅ = 4 − 8 + = −4 + 25 = 21 (ratusan ribu). Jadi biaya rata-rata adalah Rp 2.100.000,00 per unit. (Bukan biaya rata-rata minimum, tetapi menyebabkan biaya total minimum).

(7)

7 @xroff_Mathsumaries

Biaya marginal: = = 2 − 8,

Biaya rata-rata minimal: dicapai jika AC’=0 → AC′ = 1 − 0 − = 0 1 − = 0 , → 1 = → = 10

Biaya rata-rata (minimum pada Q=10): substitusi ke AC = − 8 + dan = 2 − 8 ü AC = 10 − 8 +

= 12 (ratusan ribu) atau AC= Rp 1.200.000,00 dan

ü = 2(10)− 8 = 12 (ratusan ribu) atau MC= Rp 1.200.000,00

Jadi ketika biaya rata-rata minimum, besarnya biaya rata-rata sama dengan biaya

marginal yaitu Rp 1.200.000,00

B. Menghitung Laba Maksimum

Misalkan suatu fungsi penerimaan: = ( ) dan fungsi biaya total = ( ) Laba ( )=[Penerimaan] – [Biaya] → = ( ) − ( ) atau = TC − TR

Laba maksimum dicapai jika = 0

Contoh_b1. DDiikkeettaahhuuiiffuunnggssiippeenneerriimmaaaannTRTR==−−22QQ ++11..000000QQ ddaannffuunnggssiibbiiaayyaattoottaall TC TC==QQ ––5959QQ ++13151315QQ++22..000000..BBeerraappaakkaahhllaabbaammaakkssiimmuummyyaannggmmeemmuunnggkkiinnkkaann?? ü ü PPeennyyeelleessaaiiaann:: = TC − TR==((--22QQ22++11000000QQ))((QQ335599QQ22++11331155QQ++22..000000)) = =--QQ33++5577QQ22--331155QQ22..000000 § § LLaabbaammaakkssiimmuummddiiccaappaaiijjiikkaaπ’’==00 π ’’==--33QQ22++111144QQ331155==00,,sseeddeerrhhaannaakkaannddeennggaannccaarraammeemmbbaaggii--33sseettiiaappssuukkuu.. Q Q22--3388QQ++110055==00→→ffaakkttoorrkkaann ( (QQ--33))((QQ--3355))==00 →QQ11 ==33ddaannQQ2 2==3355 ((ttiittiikkeekkssttrriimm)) § § TTeennttuukkaannjjeenniissttiittiikkeekkssttrriimm((mmaakkssiimmuummaattaauummiinniimmuumm))..UUjjiiddeennggaannπ ’’’’ ′′ ′′==--66QQ++111144 i i.. UUjjiippaaddaaQQ==33 →π ’’’’==--66QQ++111144==--66((33))++111144== 9966>>00→→ ′′′′>>00 ((mmiinniimmuumm)) i iii.. UUjjiippaaddaaQQ==3355 →π ’’’’==--66QQ++111144==--66((3355))++111144==--9966<<00→→ ′′′′<<00 ((mmaakkssiimmuumm)) B BeerraarrttiippaaddaaQQ==3355,,ddiiccaappaaiillaabbaammaakkssiimmuumm § § LLaabbaaMMaakkssiimmuumm π ==--QQ33++5577QQ22--331155QQ22..000000==((--3355))33++5577((3355))22331155((3355))22..000000 π ==1133..992255 J JaaddiiLLaabbaammaakkssiimmuummsseebbeessaarrRRpp..1133..992255,,0000ppaaddaajjuummllaahhppeennjjuuaallaannpprroodduukk3355uunniitt.. C. Elastisitas

(8)

8 @xroff_Mathsumaries

Misalkan fungsi permintaan = ( )

Elastisitas permintaan (point elasticity of demand):

P Q dP dQ P dP Q dQ d d d d d = × ε atau d d d

Q

P

dP

dQ

×

=

ε

Keterangan: i. dP

dQd adalah marginal fungsi permintaan

ii.

P Qd

adalah rata-rata permintaan iii. Elastisitas (ε ) adalah d

i ivv.. EEllaassttiiss→ jjiikkaaεd >0 v v.. IInneellaassttiiss →jjiikkaaεd <0 v vii.. UUnniitteerr →jjiikkaaεd =0

Contoh_c1 (Elastisitas Permintaan). FFuunnggssiippeerrmmiinnttaaaannssuuaattuubbaarraannggddiikkeettaahhuuii QQ==2255––33PP22..

T TeennttuukkaanneellaassttiissiittaassppeerrmmiinnttaaaannnnyyaappaaddaattiinnggkkaatthhaarrggaaPP==55.. ü ü PPeennyyeelleessaaiiaann:: dP dQd d = ε .. d Q P = =((--66PP)) 2 3 25 P P − ==--66((55)) 2 ) 5 ( 3 25 ) 5 ( − ==33 J Jaaddii εd =3 ((eellaassttiiss))aarrttiinnyyaappaaddaakkeedduudduukkaannhhaarrggaaPP==55,,jjiikkaahhaarrggaabbaarraannggnnaaiikksseebbeessaarr11%%,, m maakkaappeerrmmiinnttaaaannnnyyaa aakkaannttuurruunnsseebbaannyyaakk33 %%..

Contoh_c2 (Elastisitas Penawaran).DDiikkeettaahhuuiiffuunnggssiippeennaawwaarraannssuuaattuubbaarraannggaaddaallaahh =

=−− ++ .. Tentukan elastisitas penawaran barang tersebut, pada tingkat harga P = 10 ü ü PPeennyyeelleessaaiiaann:: 2

7

200

14

P

P

P

Q

P

dP

dQ

s s s

+

×

=

×

=

ε

P PaaddaaPP==1100 →

( )

( )

2

,

8

10

7

200

10

10

14

2

=

+

×

=

s

ε

((eellaassttiiss)) 8 , 2 = d ε aarrttiinnyyaappaaddaakkeedduudduukkaann hhaarrggaaPP ==1100,,jjiikkaahhaarrggaabbaarraannggnnaaiikk11%%,,mmaakkaajjuummllaahh b baarraannggyyaannggddiittaawwaarrkkaannjjuuggaaaakkaannnnaaiikksseebbaannyyaakk22,,88%%..

Contoh_c3 (Elastisitas Produksi). Diketahui fuunnggssiipprroodduukkssiissuuaattuubbaarraannggaaddaallaahh 2 3 6X X N = − ,, d deennggaannXXsseebbaaggaaiiffaakkttoorrpprroodduukkssiiddaannNNjjuummllaahhpprroodduukk..TTeennttuukkaanneellaassttiissiittaasspprroodduukkssii,,ppaaddaa p peenngggguunnaaaannffaakkttoorrpprroodduukkssii((iinnppuutt))sseebbeessaarr33..

(9)

9 @xroff_Mathsumaries ü ü Penyelesaian:

(

)

2 3 2

6

3

12

X

X

X

X

X

N

X

dX

dN

p p p

×

=

×

=

ε

P PaaddaaXX==33→

[

( )

( )

]

( ) ( )

1 3 3 6 3 3 3 12 2 2 3 = − × − = p ε 1 = d ε ((uunniitteerr))aarrttiinnyyaappaaddaattiinnggkkaattppeenngggguunnaaaanniinnppuuttXX==33,,jjiikkaaiinnppuuttddiinnaaiikkkkaann11%%,,mmaakkaa j juummllaahhpprroodduukkssiijjuuggaaaakkaannbbeerrttaammbbaahh11%%..

D. Tingkat Pertumbuhan (Growt Rate)

i. Misalkan fungsi pertumbuhan = ( ), dengan y sebagai fungsi kontinu dan t adalah waktu. Misalkan ry adalah tingkat pertumbuhan y, maka

( )

( )

fungsitotal marginal fungsi = = = y f y f y dt dy ry '

Jika ditulis dalam persen, maka menjadi

% 100 * y dt dy ry = atau

( )

( )

*100% ' y f y f ry =

ii. Misalkan jumlah penduduk pada tahun ke t adalah :

P

t

P

e

r t

. 0

.

=

Pertumbuhan penduduk per tahun:

rt rt t

p

e

r

e

P

P

dt

dP

r

.

.

.

0 0

=

=

Catatan:

: Jumlah penduduk setelah t tahun

: Jumlah penduduk awal tahun perhitungan : bilangan natural (2,7182183…)

: tingkat pertumbuhan

Soal Tugas: (Lihat Contoh_vi1)

1. Diketahui fungsi biaya total TC = Q − 6Q + 12 , dengan Q unit produk dan TC dalam Jutaan Rupiah. Tentukan

a. Jumlah produksi agar biaya minimum;

b. Biaya rata-rata minimum dan besarnya biaya rata-rata.

2. Misalkan diketahui fungsi biaya produksi adalah = − 6 + 15 . Buktikan bahwa biaya rata-rata minimum sama dengan biaya marginal.

Referensi

Dokumen terkait

Keistimewaan-keistimewaan sebagaimana dijelaskan di atas merupakan bukti-bukti akan kebenaran (wahyu) yang beliau sampaikan. Semua yang diperintahkan adalah hal-hal yang

1) Merupakan penjumlahan antara data Jeruk Siam/Keprok dengan

Ditinjau dari daya pembeda masing-masing pengecoh juga dapat dikatakan berfungsi baik karena rbis atau rpbis untuk alternatif jawaban A, dan C seluruhnya bernilai negatif

Praktik Pengalaman Lapangan (PPL) 2 dilaksanakan pada tanggal 27 Agustus s.d. Kegiatan PPL 2 merupakan kegiatan praktik mengajar secara langsung, terbimbing dan

Bank dalam melaksanakan setiap kegiatannya, akan terlihat adanya dua sisi tanggungjawab, yaitu tanggungjawab yang terletak pada bank itu sendiri dan tanggungjawab

Pengambilan darah dari PMI dilakukan oleh petugas rumah sakit.Rumah sakit bekerja sama dengan PMI dalam hal penyediaaan darah atau produk darah bagi pasien sehingga darah atau

 Kulit penis di bagian ventral, distal dari meatus sangat tipis.  Tunika dartos, fasia buch dan korpus spongiosum tidak ada...  Dapat timbul tanpa chordae, bila letak meatus

In conclusion, the researcher found that limited ICT tools and limited access to the Internet at the various schools, limited amounts of time for preparation and lack of