Soal – Jawab Fisika Teori OSN 2015
Yogyakarta, 20 Mei 2015
Oleh :
Davit Sipayung (DS)
1. (12 poin) Tinjau sebuah bola salju yang sedang menggelinding. Seperti kita tahu, fenomena menggelindingnya bola salju diikuti oleh pertambahan massa bola tersebut. Biarpun massa bertambah, kita asumsikan bahwa bola salju selalu berbentuk bola sempurna, memiliki rapat massa persatuan volume ρ yang konstan, dan selalu menggelinding tanpa slip.
Sekarang, kita meninjau bola salju yang berjari-jari sesaat r, dan kecepatan sudut ω, serta gaya gesek f, menggelinding pada sebuah bidang dengan kemiringan θ (lihat gambar di samping). Tentukan :
a. besar gaya total (dengan arah sejajar bidang) b. besar torsi total (dipusat massa bola)
c. persamaan gerak bola salju! Ini disebut sebagai SBBE (simple snow ball equation). Nyatakan SSBE dalam θ, r, ω, dan t !
Untuk memudahkan perhitungan , selanjutnya kalian tinjau bola salju tersebut menggelinding pada sebuah bidang datar.
d. Jika kecepatan sudut ω0 (dan sudah tidak slip tentunya) dan jari-jari bola awal adalah R0, tentukan jari-jari bola salju sebagai fungsi kecepatan sudut!
Untuk mudahnya, diasumsikan bahwa setiap bergesekan dengan tanah, massa bola akan bertambah dengan konstan sehingga dm/dx = K = konstan.
e. Tentukan kecepatan sudut sebagai fungsi waktu (nyatakan dalam K, ρ, R0, dan ω0)!
2. (12 poin) Gambar di bawah menampilkan dua benda silinder tegak dengan kedua sumbunya parallel satu sama lain dan mula-mula secara terpisah masing-masing silinder tersebut sedang berotasi (spinning) ke arah yang sama dengan kecepatan sudut ω0. Kedua
silinder tersebut kemudian secara perlahan di sentuhkan satu sama lain sehingga pada awalnya keduanya saling mengalami sliding dengan gaya normal konstan N. Koefisien gesek antara permukaan-permukaan kedua silinder adalah . Diketahui silinder dengan jari-jari R1 memiliki momen inersia I1 dan silinder dengan jari-jari R2 memiliki momen
inersia I . θ ω r f f
a. Gambarkan gaya-gaya yang bekerja pada kedua silinder . Tuliskan persamaan gerak (hokum kedua Newton tentang rotasi) untuk masing-masing silinder.
b. Tentukan syarat/kondisi agar kedua permukaan silinder berhenti untuk tidak mengalami sliding pada saat/waktu t = ta . Tentukan nilai ta tersebut. Tentukan
kecepatan sudut akhir kedua silinder , yaitu ω1a dan ω2a.
Sekarang anggap kedua silinder bermassa sama, yaitu M. Silinder pertama merupakan silinder pejal dengan jari-jari R1 = 2R dan silinder kedua merupakan silinder kosong
berdinding tipis dengan jari-jari R2 = R.
c. Tuliskan momen inersia masing-masing silinder.
d. Tentukan kecepatan sudut masing-masing silinder sebagai fungsi waktu t, yaitu ω1(t)
dan ω2(t). Gambarkan skets grafik ω1(t) dan ω2(t).
e. Tentukan energi yang hilang akibat kedua silinder bergesekan.
3. (14 poin) Sebuah cincin bermassa m1 dapat bergerak bebas sepanjang batang licin
horizontal. Sebuah partikel bermassa m2 dihubungkan dengan cincin melalui tali tegar
tak bermassa. Mula-mula partikel m2 bersentuhan dengan batang, kemudian dilepas dan
jatuh karena pengaruh gravitasi g. Setelah dilepas, ketika cincin tersebut telah bergeser sejauh x, sudut yang dibentuk antara tali dengan batang horizontal adalah θ. Tentukan : a. posisi x dinyatakan dalam sudut θ.
b. persamaan gerak untuk θ (tidak mengandung variabel x beserta turunannya) c. besar tegangan tali dan gaya normal pada cincin untuk θ = 300.
4. (14 poin) Terdapat tiga buah plat dengan luas penampang A tersusun seperti gambar di bawah (tampak atas). Plat tengah memiliki muatan listrik yang terdistribusi merata sebesar Q dan ia bisa bergerak bebas tanpa gesekan ke kanan dan ke kiri, sedangkan plat disebelah kiri dan kanan dihubungkan ke ground dan fix (diam). Pada kondisi awal, plat tengah tepat berada pada jarak L dari plat kanan maupun kiri. Pada kedua ruangan yang dibentuk di sisi kanan dan kiri terdapat udara (anggap permitivitasnya sama dengan ruang hampa = ε0) yang memiliki tekanan masing-masing sebesar p0 . Kondisi ini
merupakan kondisi dimana plat tengah berada pada kondisi kesetimbangan labil. Anggap tidak ada celah yang mengakibatkan udara di sebelah kanan dan kiri saling mengalir atau pun keluar dari system. Tentukanlah :
cincin m1
Tali tak bermassa m 2 batang g x = 0 ω0 ω0 R1 R2
a. Dimana plat mengalami kondisi kesetimbangan stabil (x) dihitung dari posisi plat pada kondisi kesetimbangan labil,
b. Jika pada posisi kesetimbangan stabil tersebut, plat tengah diganggu dengan simpangan ∆x ( dimana ∆x << x, dan ∆x << L), maka tentukan frekuensi osilasi plat tengah!
(Hint : konsep termodinamik tidak dibutuhkan untuk menyelesaikan soal ini)
5. (18 poin) Sebuah bola basket berjari-jari r ( anggap saja bola berongga), dilempar oleh seseorang dengan kecepatan horizontal v dan kecepatan sudut ω (dimana ωr < v) dari ketinggian h (lihat gambar). Bola basket tersebut memantul secara vertikal pada lantai dengan koefisien pantul e. Namun sebelum memantul, bola tersebut bergerak slip dengan waktu yang singkat. Tepat ketika bola mulai menggelinding sempurna, ia memantul dan membuat gerak parabola. Tentukan :
a. Sudut pantul (θ) yang terbentuk tepat sesaat bola menggelinding sempurna, b. Jumlah putaran (n) yang dialami bola tersebut selama bersentuhan dengan lantai, c. Jarak total (x) yang ditempuh bola hingga menyelesaikan gerak parabolanya!
θ x v ω h Plat tengah L L Q
Penyelesaian Fisika Teori OSN 2015
Yogyakarta, 20 Mei 2015
1. Penyelesaian :
a. Diagram gaya pada bola salju :
Besar gaya sejajar bidang adalah
sin
F mg f (1)
b. Torsi total terhadap pusat massa bola adalah
f r (2)
c. Persamaan gerak translasi bola salju adalah
dp F
dt
Massa bola salju berubah, sehingga
dv dm F m v dt dt sin dv dm mg f m v dt dt (3)
Persamaan gerak rotasi bola salju adalah
dL dt
Momen inersia salju berubah, sehingga
d dI I dt dt d dI fr I dt dt (4)
Bola salju menggelinding tanpa slip, kecepatan sesaat bola salju adalah
dx d
v r r
dt dt (5)
Percepatan sesaat bola salju adalah
dv d dr
a r
dt dt dt (6)
Momen inersia sesaat bola salju adalah
2 2 5 I mr (7) θ N mg f f θ θ
Laju perubahan momen inersia bola salju adalah 2 2 4 5 5 dI dm dr r mr dt dt dt (8)
Massa sesaat bola adalah
3
4 3
m r (9)
Laju perubahan massa bola salju adalah
2
4
dm dr
r
dt dt (10)
Besar gaya gesek yang bekerja pada bola salju sesuai pers.(4) adalah
I d dI f
r dt r dt (11)
Substitusikan pers.(7) dan pers.(8) ke pers.(11), kita akan peroleh
2 2 4
5 5 5
d dm dr
f mr r m
dt dt dt (12)
Substitusikan pers.(12) ke pers.(3), kita akan peroleh
2 2 4 sin 5 5 5 d r dm dr dv v dm g r dt m dt dt dt m dt (13)
Substitusikan pers.(6) dan pers.(10) ke pers.(13), kita akan peroleh
2 6 4 sin 3 5 5 5 d dr dr d dr dr g r r dt dt dt dt dt dt 7 6 sin 5 dr d r g dt dt (14)
d. Untuk permukaan salju datar (θ=0), dari pers.(14) kita peroleh 7 6 0 5 dr d r dt dt 7 30 dr d r (15)
Integralkan kedua ruas pers.(15) untuk mendapatkan bahwa
0 0 7 30 r R dr d r 0 0 7 ln ln 30 r R 7 30 0 0 r R
Jari-jari bola sebagai fungsi kecepatan sudut adalah
7 30 0 0
r R (16)
e. Massa bola bertambah secara konstan menurut persamaan,
dm K dx
dm dx K dt dt
dm
K r
dt (17)
Gabungan pers.(10), pers.(16) dan pers.(17) akan menghasilkan
37 30 7 30 0 0 4 dr K dt R (18)
Persamaan gerak bola salju pada bidang datar (θ=0) sesuai dengan pers.(14) adalah 7 6 0 5 dr d r dt dt (19)
Substitusikan pers.(16) dan pers.(18) ke pers.(19) untuk mendapatkan
7 37 30 30 0 0 7 30 0 0 7 6 0 4 5 K d R R dt 37 15 2 7 15 0 0 15 14 K dt d R (21)
Integralkan kedua ruas pers.(21) untuk mendapatkan penyelesaian ω(t).
0 ( ) 37 15 2 7 15 0 0 0 15 14 t t K dt d R 2 7 15 22 15 22 15 0 0 0 15 15 1 1 14 22 ( ) K t R t (22)
Kecepatan sudut bola salju sebagai fungsi waktu adalah
0 2 0 0 15 11 22 7 ( ) 1 K R t t (23) 2. Penyelesaian :
a. Gambar gaya-gaya yang bekerja pada masing-masing silinder :
Besar gaya gesek yang bekerja pada masing-masing silinder sebelum berhenti sliding adalah f N.
Hukum kedua Newton pada silinder pertama adalah
1 1 1
f R I (1)
Hukum kedua Newton pada silinder kedua adalah
2 2 2
f R I (2)
b. Syarat agar kedua silinder tidak mengalami sliding lagi adalah kelajuan silinder sama, tetapi arah kecepatannya berlawanan.
1 2 v v 1aR1 2aR2 (3) ω1(t) R1 f N R2 ω2(t) N f
Kecepatan sudut akhir kedua silinder , yaitu ω1a dan ω1a. Kedua permukaan silinder
berhenti untuk tidak mengalami sliding pada waktu t = ta .
Percepatan angular silinder pertama adalah
1 0
1 a
a
t (4)
Percepatan angular silinder kedua adalah
2 0
2 a
a
t (5)
Gabungan pers.(1) – pers.(5) akan menghasilkan
2 1 2 2 1 2 1 2 2 0 1 2 2 1 a I R I R R I R I R (6) 2 1 1 2 2 1 2 2 2 0 1 2 2 1 a I R R I R I R I R (7) Nilai ta adalah 1 1 0 1 1 0 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 a a a I I I I R R t fR NR N I R I R (8)
c. Momen inersia silinder pertama merupakan silinder pejal adalah
2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 I MR M R MR (9)
Momen inersia silinder kedua merupakan silinder berongga adalah
2 2
2 2
1 2
I MR MR (10)
d. Nilai waktu ta untuk I1 2MR2dan
2 2 I MR adalah 0 a MR t N . Kecepatan angular
kedua silinder ketika berhenti sliding untuk 2
1 2
I MR dan 2
2
I MR adalah
1a 2a 0. Percepatan angular masing-masing silinder adalah
1 0 1 a a N t MR dan 2 0 2 a a N
t MR. Kecepatan sudut masing-masing
silinder sebagai fungsi waktu adalah
1 0 1 0 N t t t MR (11) 2 0 2 0 N t t t MR (12) t ω1 ω0 ta t ω2 ω0 ta
e. Energi yang hilang karena gesekan kedua silinder sama dengan perubahan energi mekanik sistem sampai mencapai kondisi tidak sliding. Kecepatan awal kedua silinder adalah ω0, dan kecepatan kedua silinder saat tidak sliding adalah nol. Energi yang
hilang karena gesekan kedua silinder adalah
2 2 2 2 1 0 2 0 0 1 1 3 2 2 2 hilang E I I MR 3. Penyelesaian :
a. Gambar diagram gerak cincin dan partikel.
Komponen posisi cincin adalah x1 x dan y1 0.
Komponen posisi partikel adalahx2 x Lcos dan y2 Lsin .
Posisi pusat massa sistem pada arah horizontal tidak berubah karena gaya total pada sumbu horizontal sama dengan nol.
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 0 m m L m x m x m m m m 2 1 2 cos m L m x m x L
Posisi x dinyatakan dalam fungsi θ adalah
2 1 2 1 cos m L x m m
b. Komponen kecepatan cincin adalah
2 1 1 2 sin m L x x m m 1 0 y
Komponen percepatan cincin adalah
2 2 1 1 2 cos sin m L x x m m 1 0 y
Komponen kecepatan partikel adalah
2 1 2 1 2 1 2 sin sin sin m L sin m L x x L L m m m m 2 cos y L m1g N x m1 x = 0 T T m2g θ L θ
Komponen percepatan cincin adalah 1 2 2 1 2 cos sin m L x m m 2 2 sin cos y L L
Persamaan gerak cincin,
sumbu-x : Tcos m x1 1 atau 1 2 2
1 2
cos m m L cos sin
T
m m
sumbu-y : N Tsin m g1 0
Persamaan gerak partikel,
sumbu-x : Tcos m x2 2 atau 1 2 2
1 2
cos m m L cos sin
T
m m
sumbu-y : Tsin m g2 m y2 2
Persamaan gerak sistem untuk θ adalah
1 2 2 2
2 2
1 2
cos sin sin sin cos
cos m m L m g m L L m m 2 2
2 cos sin 1 2cos 1 2 cos 0
m L m m L g m m
c. Energi total sistem sebagai fungsi θ adalah
2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 sin 2 2 E m x y m x y m gL 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 sin sin 1 1 cos sin 2 2 m L m L E m m L m gL m m m m 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 sin 1 1 sin 2 2 m L E m L m gL m m
Energi awal sistem (θ = 0) adalah 0
awal
E
Energi akhir sistem (θ = 300) adalah
2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 8 2 akhir m L E m L m gL m m 1 2 2 2 2 2 1 2 4 3 1 1 8 2 akhir m m E m L m gL m m
Kekekalan energi mekanik,
awal akhir E E 1 2 2 2 2 2 1 2 4 3 1 1 0 8 2 m m m L m gL m m 1 2 1 2 4 4 3 m m g L m m
1 2 2 2 1 1 2 1 2 3 1 1 4 1 3 3 0 2 2 4 3 4 2 m m m g m L m L g m m L m m 1 2 1 2 2 1 2 4 5 2 3 4 3 m m m m g L m m
Tegangan tali untuk θ = 300 adalah
1 2 2 1 2 cos sin cos m m L T m m 1 2 1 2 2 1 2 2 12 11 4 3 m m g T m m m m
Gaya normal pada cincin untuk θ = 300 adalah
1 2 0 1 1 1 2 1 2 1 2 1 sin 30 12 11 2 4 3 m m g N m g T m g T m g m m m m 4. Penyelesaian :
a. Misalkan plat tengah bergeser sejauh x ke kanan. Ketiga plat konduktor membentuk dua kapasitor plat sejajar dengan kapasitas C1 dan C2. Kapasitas total kedua kapasitor
adalah 0 0 0 1 2 2 2 2 A A A C C C L x L x L x
Energi potensial total capasitor adalah
2 2 2 2 0 1 1 2 4 Q L x Q U C A
Besar gaya elektrostatik dalam sistem adalah
2 2 0 1 2 2 e dU Q Q x F dx C A
Karena konduktor adalah penghantar panas yang baik, kalor dapat berpindah melalui plat tengah sehingga proses dapat berlangsung secara isothermal. Tekanan mula-mula ruang disebelah kiri dan kanan plat tengah adalah p0. Tekanan ruang disebelah kiri
dan kanan plat tengah setelah plat tengah bergeser sejauh x ke kanan , berturut-turut adalah p1 dan p2 .
Hukum boyle pada ruang di sebelah kiri plat tengah :
0 0 1 1 p V p V 0 1 1 p AL p A L x 0 1 p L p L x
Hukum boyle pada ruang di sebelah kanan plat tengah :
0 0 2 2 p V p V 0 2 2 p AL p A L x 0 2 p L p L x
Gaya karena perbedaan tekanan kedua ruang adalah
0 2 1 2 2 2 p Ap Lx F p p A L x
Ketika plat tengah dalam posisi setimbang stabil, gaya elektrostatik sama dengan gaya karena perbedaan tekanan kedua ruagan.
2 0 2 0 2 2 s s s Q x Ap Lx A L x
Posisi plat tengah saat kondisi kesetimbangan stabil adalah
2 0 0 2 4 1 s p A x L Q
b. Gaya total yang bekerja pada plat tengah ketika plat tengah disimpangkan ∆x ke kanan dari posisi setimbang adalah
e p F F F 2 0 2 2 0 2 2 s s s Q x x Ap L x x F A L x x Karena 2 0 2 2 0 2 2 s Ap L Q A L x , maka 2 2 2 2 2 0 1 2 s s s Q x x L x F A L x x
Gunakan pendekatan bahwa 2 2 2
s s s
x x x x x , kita peroleh hubungan
1 2 2 2 0 2 1 1 2 s s s Q x x x x F A L x
Gunakan pendekatan bahwa
1 2 2 2 2 2 2 1 s 1 s s s x x x x
L x L x , kita peroleh hubungan
2 2 2 0 2 2 s s s Q x x x x F A L x 2 2 2 2 0 s s Q x F x A L x
Persamaan terakhir ini adalah bentuk persamaan gerak harmonik dengan konstanta efektif adalah 2 2 2 2 0 s ef s Q x k A L x
Frekunsi osilasi plat adalah
2 2 0 1 1 2 2 ef s s k Qx f m A L x 5. Penyelesaian:
Kecepatan vertikal bola basket sesaat sebelum menumbuk bola lantai adalah
2
y
v gh
Kecepatan bola basket sesaat setelah memantul adalah
2
y y
v ev e gh
Komponen kecepatan horizontal bola basket sesaat menyetuh lantai adalah
x
v v
Kecepatan horizontal bola basket sesaat bola mulai menggelinding sempurna adalah
x
v r
Kekekalan momentum angular :
x x mv r I mv r I 2 2 2 2 3 3 x x x v mv r mr mv r mr r 2 3 5 5 x v r v
Sudut yang dibentuk oleh bola basket sesaat memantul adalah tan y x v v 1 5 2 tan 2 3 e gh r v
b. Karena ωr < v, maka arah gaya gesek berlawanan dengan arah gerak bola. Percepatan bola basket saat menggelinding slip adalah
a g
Jarak yang ditempuh oleh bola selama slip adalah x2.
2 2 2 2 x x v v ax 2 2 2 2 3 2 5r 5v v gx 2 2 2 25 2 3 50 v r v x g
Jumlah putaran bola basket adalah
2 2 2 25 2 3 2 100 v r v x n r gr h v ω θ x ω v x f ω' v'x v'y vy h1
c. Jarak horizontal yang ditempuh bola basket dari posisi awal ke posisi titik pantul pertama adalah 1 2h x v g
Ketinggian maksimum bola setelah pantulan ke-n adalah
2n n
h e h
Waktu yang dibutuhkan dari pantulan ke-n sampai ke pantulan ke-(n+1) adalah
, 1 2 2 2 n 2 n n n h h t e g g
Bola akan memantul terus-menerus sampai berhenti memantul. Bola menggelinding sempurna pada setiap pantulan berikutnya, sehingga komponen kecepatan horizontal benda tidak berubah. Bola basket bergerak lurus beraturan pada arah horizontal. Waktu yang dibutuhkan bola sampai berhenti memantul adalah 1,2 2,3 3,4 tot t t t t 2 3 2 2 2 2 2 2 tot h h h t e e e g g g 2 2 2 1 tot h t e e e g
Gunakan rumus jumlah deret tak berhingga untuk mendapatkan bahwa
2 1 1 1 e e e . Jadi, 2 2 1 tot e h t e g
Jarak horizontal yang ditempuh oleh bola basket dari pantulan pertama sampai berhenti memantul adalah
3 2 2 1 tot ev h x vt e g
Jarak horizontal total yang ditempuh oleh bola basket adalah
2 2 1 2 3 25 2 3 2 2 2 50 1 v r v h ev h x x x x v g g e g 2 2 25 2 3 1 2 1 50 v r v e h x v e g g
