BAB I BILANGAN KOMPLEKS

(1)

BILANGAN KOMPLEKS

1.1 Pengertian Bilangan Kompleks

Pada awal perkuliahan bilangan real (R), kita telah mempelajari bilangan real beserta sifat-sifatnya. Sekarang kita akan melanjutkan perkuliahan pada Bilangan Kompleks (C). Secara umum bilangan real (R) merupakan subset dari bilangan kompleks. Apakah sifat-sifat pada R juga berlaku pada C ? Adakah sifat- sifat pada C yang tidak berlaku pada R ? Mari kita menjawab pertanyaan- pertanyaan tersebut dengan memulainya dari definisi berikut.

1.1.1 Definisi 1

Bilangan kompleks adalah suatu pasangan terurut dari dua bilangan real x dan y yang dinyatakan oleh z = (x,y). Bilangan x disebut bagian real z, ditulis Re(z) dan y disebut bagian imajiner z, ditulis Im(z). Khususnya (x,0) = x, dan (0,y) disebut bilangan imajiner sejati. Kita sepakati bahwa lambang I menyatakan pasangan terurut dari (0,1), dan i disebut satuan imajiner.

1.1.2 Definisi 2

Dua bilangan kompleks z1 = (x1,y1) dan z2 = (x2,y2) dikatakan sama, ditulis z1 = z2, jika dan hanya jika x1 = y1 dan x2 = y2 .

1.2 Sifat-sifat operasi aljabar bilangan kompleks 1.2.1 Definisi 3

Jika z1 = (x1,y1) dan z2 = (x2,y2) adalah dua bilangan kompleks, maka jumlah dan hasil kali dari z dan z masing-masing adalah :

(2)

z1 + z2 = (x1 + y1) + (x2 + y2) =(x1 + x2 , y1 + y2).

z1. z2 = (x1 + y1) (x2 + y2) =(x1x2 - y1y2 , x1y2 + x2y1).

1.2.2 Sifat-Sifat Lapangan Bilangan Kompleks

Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahan dan perkalian (C,+,-) membentuk sebuah lapangan (field). Coba anda ingat kembali materi pada mata kuliah Struktur Aljabar. Buktikan ! Adapun sifat-sifat lapangan yang berlaku pada bilangan kompleks z1, z2 danz3 adalah sebagai berikut :

1. z1 + z2 ∈ C dan z1. z2 ∈ C. (sifat tertutup)

2. z1 + z2 = z2 + z1 dan z1. z2 = z2. z1 ∈ C. (sifat komutatif)

3. (z1 + z2 )+ z3 = z1 + (z2 + z3) dan (z1z2)z3 = z1( z2 z3) (sifat asosiatif) 4. z1(z2 + z3) = z1z2 +z1 z3 (sifat distribuif)

5. Ada 0 = (0,0) ∈ C sehingga z + 0 = z (0 elemen netral penjumlahan) 6. Ada 1 = (1,0) ∈ C sehingga z . 1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. Untuk setiap z = (x,y) ∈ C, ada –z = (-x,-y) sehingga z + (-z) = 0 8. Untuk setiap z = (x,y) ∈ C, ada z^-1 = sehingga z.z^-1 = 1.

1.2.3 Notasi lain dari z = (x,y)

Diketahui bahwa x = (x,0) dan i = (0,1). Perhatikan pula (0,y) = (0,1)(y,0) = iy, sehingga z = (x,y) = (x,0) + (0,y) = x + (0,y). Jadi diperoleh z = (x,y) = x + iy.

Demikian juga i²= ((0,1)(0,1) = (-1,0) = -1. Oleh karena itu z = (x,y) dapat juga ditulis sebagai x + iy, dengan x = Re(z) dan y = Im(z).

(3)

Dengan notasi z = x +iy, kita akan lebih mudah untuk melakukan operasi pada bilangan kompleks, karena operasinya dapat dipandang sebagai operasi aljabar biasa dengan mengingat bahwa i² = -1.

Contoh Soal :

1. Jika z1 = x1 + iy1 dan z2 =x2 + iy2 ,buktikan bahwa z1 – z2 = (x1 - x2) + (y1 - y2)i ! Bukti :

z1 – z2 = (x1 + iy1) – (x2 + iy2) = (x1 + iy1) +(-x2 - iy2) = (x1 - x2) + (y1 - y2)i Coba anda berikan sifat pembagian 2 bilangan kompleks !

2. Diketahui z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i. Tentukan z1 +z2, z1 -z2 ,z1z2, dan z1 / z2

Jawab :

z1 + z2 = (2 + 3i) + (5 – i) = 7 + 2i , dan z1 -z2 = (2 + 3i) - (5 – i) = -3 + 4i Lanjutkan untuk z1z2, dan z1 / z2 !

1.2.4 Sekawan Kompleks

Jika z = (x,y) = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari z ditulis zdidefinisikan sebagai z= (x,-y) = x – iy. Contoh sekawan dari 3 + 2i adalah 3 – 2i , dan sekawan dari 5i adalah –5i.

Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut :

Teorema 1 :

a. Jika z bilangan kompleks, maka : 1. z= z

(4)

3. z - z = 2i Im (z)

4. zz = [Re(z)]² + [Im(z)]²

b. Jika z1, z2 bilangan kompleks , maka : 1. z₁

+

z₂ = z₁ + z₂

2. z₁

−

z₂ = z₁ - z₂ 3. z₁z₂ = z₁.z₂

4. (

2 1

z z ) =

2 1

z

z , dengan z2 ≠ 0.

1.3 Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks

Karena z = x + iy = (x,y) merupakan pasangan terurut bilangan real, maka z dapat digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius sebagai sebuah titik (x,y). Pemberian nama untuk sumbu x diubah menjadi sumbu Real dan sumbu y diubah menjadi sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut di beri nama bidang Argand atau bidang z. Jika kita hubungkan titik asal (0,0) dengan titik (x,y), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks z = x+iy = (x,y) dapat dipandang sebagai vektor z. Arti geometris dari penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut

Im Im

y1+y2 z1+z2

y2 z2 z2

y1 z1 z1

0 x2 x1 x1+x2 Re 0 Re Gambar 1 -z2 z1-z2

(5)

Tugas :

Diketahui z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i. Gambarkan pada bidang Argand, z1, z2, z1+z2, z1-z2, z₁,z₂ , z₁ + z₂ dan z₁ - z₂ !

1.4 Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks Definisi 4 :

Jika z = x+iy = (x,y) bilangan kompleks, maka modulus dari z, ditulis |z| = |x+iy| =

2

2 y

x + .

Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak dari titik 0(0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara dua bilangan kompleks z1 =x1+iy1 dan z2 = x2+iy2

adalah (x₁−x₂)²+(y₁−y₂)² . Selanjutnya apabila z1 =x1+iy1 dan r real positif, maka |z – z1| = r merupakan lingkaran yang berpusat di titik z1 dengan jari-jari r.

Bagaimanakah dengan |z – z1| < r dan |z – z1| > r. Gambarkanlah pada bidang z dan berilah nama daerahnya.

Teorema 2 :

A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku : 1. |z |² = (Re(z))² + (Im(z))²

2. |z | = | z|

3. |z |² = z.z

4. |z | ≥ | Re(z) | ≥ Re(z)

|z | ≥ | Im(z) | ≥ Im(z)

(6)

B. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka berlaku : 1. | z1 z2 | = | z1|| z2 |

2. |

2 1

z z | =

2 1

z z

3. | z1 + z2 | ≤ | z1| + | z2 | 4. | z1 - z2 | ≥ | z1| - | z2 | 5. | z1 - z2 | ≥ || z1| - | z2 ||

Tugas : Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan z = x+iy, kemudian berdasarkan hasil A, buktikan juga teorema B !

1.5 Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan Kompleks Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y), maka bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,θ).

Adapun hubungan antara keduanya adalah :

Gambar 2

x = r cos θ , dan y = r sin θ, sehingga θ = arc tan ( x

y ). θ adalah sudut antara sumbu

x positif dengan oz. Didapat juga r = x² +y² =|z |. Untuk z≠ 0, sudut dihitung

(7)

dari tan θ = x

y , dan jika z = 0, maka r =0 dan θ dapat dipilih sebarang. Jadi, bentuk

kutub bilangan kompleks adalah z = (r, θ) = r (cos θ + i sin θ) = r Cis θ. Bentuk sekawan dari z adalah = (r, -θ) = r(cos θ - i sin θ).

Definisi 5 :

Pada bilangan kompleks z = (r, θ) = r(cos θ + i sin θ), sudut θ disebut argument dari z, ditulis arg z. Sudut θ dengan 0 ≤θ < 2π atau -π < θ ≤ π disebut argument utama dari z, ditulis θ = Arg z. Pembatasan untuk sudut θ tersebut dipakai salah satu saja.

Definisi 6 :

Dua bilangan kompleks z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) dan z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2) dikatakan sama, yaitu r1 = r2, dan θ1 = θ2.

Selain penulisan bilangan kompleks z = (r, θ) = r(cos θ + i sin θ) = r Cis θ, maka anda dapat menuliskan z dalam rumus Euler (eksponen), yaitu

z = re

^iθ

,

dan sekawannya adalah

re

^-iθ

.

Tugas : Buktikan bahwa

e

^iθ

= cos θ + i sin θ,

dengan menggunakan deret MacLaurin untuk Cos θ , Sin θ dan

e

^t dengan mengganti

t = iθ.

Contoh Soal :

Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen ! Jawab :

Z = 1 + i, r = 2 , tan θ = 1, sehingga θ = 45^o= 4

1 π . Jadi z = 2 (Cos 4 1

π +

iSin

¹

π) =

2

Cis

¹

π =

2 4 Π i

e

(8)

1.6 Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks 1.6.1 Perkalian dan Pemangkatan

Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah z = r(cos θ + i sin θ). Jika z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) dan z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2), maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai berikut :

z1 z2 = [r1(cos θ1 + i sin θ1)][r2(cos θ2 + i sin θ2)]

z1 z2 = [r1 r2 (cos θ1 + i sin θ1)][ (cos θ2 + i sin θ2)]

z1 z2 = [r1 r2 (cos θ1 cos θ2 + i sin θ1 cos θ2+ i sin θ2 cos θ1- sinθ1sin θ2)]

z1 z2 = r1 r2 [cos (θ1 + θ2 ) + i sin (θ1 + θ2)]

Dari hasil perkalian tersebut diperoleh arg(z1 z2) = θ1 + θ2 = arg z1+ arg z2

ⁿ

(cos nθ + i sin nθ).

Khususnya untuk r = 1, maka didapat rumus De-Moivre :

(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ, n asli.

Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai berikut :

(9)

=

2 1

z z

) (

2 2

2

1 1

1

θ θ

iSin Cos

r

iSin Cos

r

+ +

Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan sekawan penyebut, yaitu

(cos θ

2

- i sin θ

2

)

, maka diperoleh : =

2 1

z z

2 1

r

– arg z

2.

Akibat lain jika z = r(cos θ + i sin θ), maka = z

1 r

1 (cos(-θ) + i sin (-θ)) .Untuk

) (

1 1

θ θ iSin n Cosn

z r

z

ⁿ

n

=

⁻

= +

. Setelah pembilang dan penyebut dikalikan

sekawan penyebut, maka didapat : _n _n r z

1 = 1 (cos(-nθ) + i sin (-nθ)) =

z 1 )

ⁿ

(

_.

Jadi dalil De Moivre berlaku untuk semua n bilangan bulat.

Contoh :

Hitunglah

( 3 − i )

⁻⁶

Jawab :

bulat. Akibatnya

ρ =

rⁿ

1

dan φ =

n kΠ

θ+ 2 . Jadi, akar ke n dari bilangan

kompleks

w = r(Cosθ+iSinθ)

adalah :

z =

rⁿ

1

[Cos(

n kΠ

θ + 2

) + iSin

(

n

kΠ

θ + 2 )], k bilangan bulat dan n bilangan asli.

Dari persamaan zⁿ = w, ada n buah akar berbeda yang memenuhi persamaan itu.

Untuk mempermudah dipilih

k = 0,1,2,3,…,(n-1); φ ≤

n kΠ

θ + 2

< 2π

, sehingga

diperoleh z1,z2,z3,…,zn sebagai akar ke n dari w.

Contoh 1:

Hitunglah

(-81)

= 81, atau ρ = 3 dan φ =

4 2 Π +

Π k

. Jadi Z =

3[Cos(

4 2 Π +

Π k )+iSin(

4 2 Π +

Π k )].

(11)

Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan mensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir. Tugas: Carilah keempat akar tersebut !

1.7 Soal-Soal Latihan Bab 1 :

1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkan z = (x,y) = x + iy.

2. Diketahui z1 = 6 + 5i dan z2 = 8 – i. Tentukan z1 +z2, z1 -z2 ,z1z2, dan z1 / z2

3. Jika z = -1-i, buktikan z² + 2z + 2 = 0.

4. Cari bilangan kompleks z yang memenuhi sifat :

a. z^-1 = z dan b. z = z c. z = -z 5. Buktikan untuk setiap z bilangan kompleks berlaku :

z1.z₂ + z₁. z2 = 2Re(z1.z₂)

6. Hitung jarak antara z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i.

7. Gambarkan pada diagram argand dan sebutkan nama kurva yang terjadi : a. |z + i| = |z –i|

b. 1 < |z –i| < 3 c. |z +3| + |z –3| = 2

8. Nyatakan bilangan kompleks z = 2 -2i dalam bentuk polar dan eksponen ! 9. Tentukan himpunan penyelesaian dari : z³-i-0

10. Hitunglah : (a) (-27)^1/3 = ….. (b) (-2+2I)¹⁵ = ….

11. Buktikan dengan dalil De Moivre bahwa : a. Cos2x = Cos²x – Sin²x

b. Tgn 3a =[3Sina – 4 Sin³a] : [4Cos³a – 3Cosa ]

*** SELAMAT MENGERJAKAN ***

(12)

BAB II

FUNGSI , LIMIT DAN KEKONTINUAN

Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, maka perlu dipelajari konsep- konsep topologi yang akan digunakan pada fungsi kompleks.

2.1 Konsep-Konsep Topologi Pada Fungsi Kompleks

Himpunan pada pembahasan ini adalah koleksi atau kumpulan titik-titik pada bidang z. Ingatlah kembali materi mata kuliah Teori Himpunan, seperti operasi pada himpunan yaitu gabungan, irisan, penjumlahan dan pengurangan beserta sifat- sifatnya. Selain itu anda juga perlu mengingat materi Lingkungan dan komplemennya, Titik Limit, Titik Batas, Himpunan Buka, Himpunan Tutup pada mata kuliah Analisa Variabel Real. Dengan mengingat materi tersebut, maka anda akan lebih mudah memahami materi berikut.

1. Lingkungan

a) Lingkungan z0 adalah himpunan semua titik z yang terletak di dalam lingkaran yang berpusat di z0, berjari-jari di r, r > 0. Ditulis N(z0,r) atau |z – z0 | < r.

b) Lingkungan tanpa z0 adalah himpunan semua titik z ≠ z0 yang terletak di dalam lingkaran yang berpusat di z0, berjari-jari di r, r > 0. Ditulis N*(z0,r) atau 0< |z – z0 | < r.

(13)

Contoh :

a) N(i,1) adalah ekuivalen dengan |z – i | < 1, Gambarkan ! b) N*(0,a) adalah ekuivalen dengan 0< |z | < a, Gambarkan !

2. Komplemen

Andaikan S suatu himpunan. Komplemen dari S ditulis S^c,merupakan himpunan semua titik pada bidang z yang tidak termasuk di S.

Contoh :

a) A = {z/Im z< 1}, maka A^c = {z/Im z≥ 1}. Gambarkan ! b) B = {z/2<z<4}, maka B^c = {z/z≤2 atau z≥4}. Gambarkan ! 3. Titik Limit

Titik z0 disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap N*(z0,δ) maka S ∩ N*(z0,δ) ≠ φ.

4. Titik batas

Titik z0 disebut titik batas dari himpunan S jika untuk setiap N*(z0,δ) memuat suatu titik di S dan memuat sati titik yang tidak di S.

5. Batas dari himpunan S

adalah himpunan semua titik batas dari S.

6. Interior dan Eksterior

Titik zo disebut interior dari himpunan S jika ada N(z0,δ) sehingga N(z0,δ) ⊂ S.

Titik yang bukan titik interior atau titik batas disebut titik eksterior.

7. Himpunan Buka

Himpunan S disebut himpunan buka jika S tidak memuat bagian dari batasnya.

8. Himpunan Tutup

(14)

Himpunan S disebut himpunan tutup jika S memuat semua batasnya.

9. Himpunan Terhubung

Himpunan buka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat dihubungkan oleh beberapa penggal garis lurus yang seluruhnya terletak di S.

10. Daerah Terbuka

Himpunan buka S yang terhubung disebut daerah terbuka.

11. Daerah Tertutup

Daerah tertutup S adalah daerah terbuka digabung dengan batasnya.

12. Penutup dari himpunan S

adalah himpunan S digabung dengan limitnya.

Contoh :

A = {z/ /z/ < 1}, B = {z/ /z/<1} U {(0,)}, dan C = {z/ /z/ ≤ 2}

Dari himpunan di atas, maka A adalah himpunan buka dan terhubung. Batas dari A adalah {z/ /z/=1}. Penutup dari A adalah {z/ /z/ ≤ 1}.

B adalah bukan himpunan buka dan juga bukan himpunan tutup. Titik limit dari B adalah {z/ /z/ ≤ 1}. Interior C adalah {z/ /z/ <2}.

2.2 Fungsi Kompleks Definisi :

Misalkan D himpunan titik pada bidang z. Fungsi kompleks f adalah suatu aturan yang memasangkan titik z anggota D dengan satu dan hanya satu titik w pada bidang w, yaitu (z,w). Fungsi tersebut ditulis w = f(z).

(15)

Himpunan D disebut daerah asal (domain) dari f, ditulis Df dan f(z) disebut nilai dari f atau peta dari z oleh f. Range atau daerah hasil (jelajah) dari f ditulis Rf , yaitu himpunan f(z) untuk setiap z anggota D.

Contoh :

a) w = z + 1 – i b) w = 4 + 2i c) w = z² – 5z d) f(z) =

1 2

3 +

− z

z

Contoh a,b,c adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang z.

Contoh d) adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang z ,kecuali z = -1/2.

Jika z = x + iy, maka fungsi w = f(z) dapat diuraikan menjadi w = u(x,y) + iv(x,y) yang berarti Re(w) dan Im(w) masing-masing merupakan fungsi dengan dua variabel real x dan y. Apabila z = r(Cosθ+iSinθ), maka w = u(r, θ) +v(r, θ).

Contoh :

1. Tuliskan f(z) = 2z² – i dalam bentuk u dan v ! Jawab :

Misal z = x + iy, maka fungsi w = f(z) = 2z² – i = u(x,y) + iv(x,y) =2(x + iy )² – i

= 2(x²+2xyi-y²) – i = 2(x²-y²) +i(4xy-1). Jadi u = 2(x²-y²) dan v = 4xy-1.

2. Jika z = r(Cosθ+iSinθ), maka f(z) = z² + i = [r (Cosθ+iSinθ)]² + i = (r²Cos²θ- r²Sin²θ) + (1+rSin2θ)i, berarti u = r²Cos²θ-r²Sin²θ dan v = 1+rSin2θ) .

(16)

Komposisi Fungsi

Jika diberikan fungsi f(z) dengan domain Df dan fungsi g(z) dengan domain Dg. Jika Rf ∩ Dg ≠ φ, maka ada fungsi komposisi (gof) (z) = g (f (z)), dengan domain suatu himpunan bagian dari Df. Jika Rg ∩ Df ≠ φ, maka (fog) (z) = f (g (z)).

Tidak berlaku hukum komutatif pada (gof) (z) dan (fog)(z).

Contoh :

f(z) = 3z – i dan g(z) = z² + z –1 + i

Jika Rf ∩ Dg ≠ φ, maka (gof) (z) = g (f (z)) = g(3z-i) = (3z-i)² + (3z-i) –1 +i =9z²- 6iz-1+3z –i -1+i = 9z²+3z-2-6iz

Jika Rg ∩ Df ≠ φ, maka (fog) (z) = f (g (z)) = f(z² + z –1 + i) = 3z² + 3z –3 + 2i Jadi, (gof) (z) ≠ (fog)(z).

2.3 Interpretasi Geometris

Untuk setiap variabel bebas z = x + iy anggota domain f ada satu dan hanya satu variabel tak bebas w = u + iv yang terletak pada suatu bidang kompleks.

Masing-masing variabel terletak pada suatu bidang kompleks, yaitu z pada bidang Z dan w pada bidang W. Karena pasangan (z,w) mengandung 4 dimensi, maka kita tidak dapat menggambarkannya pada satu sistem. Tetapi kita dapat melihat gambaran dari w = f(z). Caranya dengan memandang fungsi f tersebut sebagai pemetaan (transformasi) dari titik di bidang z ke titik di bidang w dengan aturan f.

Untuk suatu titik z maka f(z) disebut peta dari z.

(17)

Contoh 1 :

Diketahui fungsi w = 2z – 1 + i. Untuk setiap variabel bebas z = x + iy didapat nilai w = 2(x+iy) – 1 + i. Misalnya untuk z1 = 1 + i , dan z2 = 2 – 3i , berturut-turut diperoleh : w1 = 1 + 3i , dan w2 = 3 – 5i. Gambar dari z1,z2 ,w1 , dan w2 dapat dilihat di bawah ini.

y v w1(1,3)

z1(1,1)

x u

z2(2,-3)

w2(3,-5)

Contoh 2 :

Diketahui fungsi w = z². Dengan menggunakan z = r (Cosθ+iSinθ), maka diperoleh w = z²= r² (Cos2θ+iSin2θ). Jika sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r pada bidang z, maka dapat dipetakan ke bidang w menjadi sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r². Daerah 0 ≤ arg z ≤ α dipetakan menjadi daerah 0 ≤ arg w ≤ 2α. Coba anda Gambarkan keduanya pada bidang Argand !

(18)

2.4 Limit

Diketahui daerah D pada bidang z dan titik zo terletak di dalam D atau pada batas D. Misalkan fungsi w = f(z) terdefinisi pada D, kecuali mungkin di zo.

Y v

D

. K K

N

f(z) . wo

.w

N*(z_o,δ)=0</z-z_o/<δ /f(z) - w_o/ < ε ..

z

o

.z

δ

Bidang Z Bidang W

Apabila titik z bergerak mendekati titik z0 melalui setiap lengkungan sebarang K dan nilai f(z) bergerak mendekati suatu nilai tertentu, yaitu wo, maka dikatakan limit f(z) adalah wo untuk z menuju z0, ditulis :

o o

z z

w z

f Lim

→

= ) (

Secara formal, definisi limit dapat dilihat berikut ini : Definisi :

Misalkan fungsi z = f(w) terdefinisi pada daerah D, kecuali mungkin di z0 (titik z0 di

dalam D atau pada batas D). Limit dari f(z) adalah wo untuk z menuju z0, jika untuk setiap ε > 0, terdapat δ > 0 sedemikian hingga / f(z) - wo / < ε, apabila 0 < / z - zo / <

δ , ditulis :

o o

z z

w z f Lim

→

= ) (

Perlu diperhatikan bahwa :

(19)

1. Titik zo tidak perlu termasuk domain fungsi f.

2. Variabel z menuju zo melalui sebarang lengkungan K,artinya z menuju zo dari segala arah.

3. Apabila z menuju zo melalui dua lengkungan yang berbeda saja, mengakibatkan f(z) menuju dua nilai yang berbeda, maka limit fungsi f tersebut tidak ada untuk z menuju zo.

Contoh 1 :

z → 2

Buktikan bahwa : Lim 5

2 2 3 2 ²

− =

−

− z

z z

Pembuktian :

Analisis Pendahuluan : (langkah ini boleh tidak ditulis di lembar jawaban)

Misalkan diberikan bilangan ε > 0, kita akan mencari δ > 0 sedemikian hingga sehingga

0 < |z –2 |< δ ⇒ < ε untuk z ≠ 2 , lihat bagian sebelah kanan

< ε ⇔ < ε

⇔ (2 z + 1) – 5 < ε

⇔ 2 (z – 2) < ε

⇔ 2 z – 2 < ε

⇔ z – 2 Hal ini menunjukkan bahwa δ = ε /2 telah diperoleh.

2 5 2 3 2 ²

− −

−

− z

z

z 5

2 2− 3 2 ²

−

− z z

z

ε δ

=

< 2 2

2 3 2 ²

−5

−

− z

z z −

(20)

Bukti Formal : Bukti Formal :

Jila diberikan ε > 0 , maka pilih δ = ε/2, sehingga untuk z ≠ 2, berlaku Jila diberikan ε > 0 , maka pilih δ = ε/2, sehingga untuk z ≠ 2, berlaku

0 < |z –2 |< δ ⇒

0 < |z –2 |< δ ⇒ 5 2

2 3

2 ² −

−

− z

z

z = 5

2 ) 2 )(

1 2

( −

−

− +

z z

z = 2 | z-2 | < 2δ) = ε.

Contoh 2 :

z → zo

Buktikan bahwa : Lim z² = zo2

Bukti :

Untuk setiap ε > 0 , maka akan dicari δ > 0, sehingga untuk z ≠ zo, / z² - zo2 / < ε apabila /z - zo / < δ. Jika δ ≤ 1, maka 0 < /z - zo / < δ mengakibatkan / z² - zo2 / = /z- zo //z+zo/ < δ /z+zo/ = δ {/z-zo+2zo/} < δ (1 +2/zo/). Jadi didapat δ minimum antara 1 dan

) 2 1 ( + z_o

ε . Tuliskan bukti formal pembuktian tersebut !

2.5 Teorema Limit Teorema 1 :

Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju zo , maka nilai limitnya tunggal.

Teorema 2 :

Misalkan z = (x,y) = x+iy dan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) dengan domain D. Titik zo =

(xo,yo) = xo+iyo di dalam D atau batas D. Maka Limit f(z) = xo +ivo jika dan hanya z zo

jika Limit u(x,y) = xo dan limit v(x,y) = vo

(21)

(x,y) (xo,yo) (x,y) (xo,yo) Teorema 3 :

Misalkan fungsi f dan F limitnya ada di zo. Lim f(z) = wo dan lim F(z) = Wo, maka : 1. Lim (f(z) +F(z) ) = wo + Wo (untuk z zo)

2. Lim (f(z) . F(z)) = wo . Wo (untuk z zo) 3. Lim (f(z) / F(z)) = wo / Wo (untuk z zo) Tugas : Buktikan ketiga teorema limit tersebut !

Contoh 1 :

z → i

z→ 1

Hitunglah lim z i z

− +1

2

Jawab = lim

i z

i z i z

−

− + )( )

( = 2i

Contoh 2 :

Jika f(z) = i

y x y x

xy

1

2 ²

2

2 + +

+

Buktikan Lim f(z) tidak ada ! z 0

Bukti :

Kita tunjukkan bahwa untuk z menuju 0 di sepanjang garis y = 0, maka lim f(z) = Lim f(z) = Lim x²i = 0.

z 0 (x,0) (0,0) x 0

Sedangkan di sepanjang garis y = x, lim f(z) = Lim f(z) = Lim ) 1 1 1

(

2 =

+ + i x

x

z 0 (x,x) (0,0) x 0

(22)

2.6 Kekontinuan Fungsi Definisi :

Misalkan fungsi f(z) terdefinisi di D pada bidang z dan titik zo terletak pada interior D, fungsi f(z) dikatakan kontinu di zo jika untuk z menuju zo, maka Lim f(z) = f(zo).

Jadi, ada tiga syarat fungsi f(z) kontinu di zo, yaitu : 1. f(zo) ada

2. Lim f(z) ada z zo

3. Lim f(z) = f(zo) z zo

Fungsi f(z) dikatakan kontinu pada suatu daerah R, jika f(z) kontinu pada setiap titik pada daerah R tersebut.

Teorema 4 :

Jika f(z) = u(x,y) + iv(x,y), f(z) terdefinisi di setiap titik pada daerah R, dan zo = xo+yoi titik di dalam R, maka fungsi f(z) kontinu di zo jika dan hanya jika u(x,y) dan v(x,y) masing-masing kontinu di (xo,yo).

Teorema 5 :

Andaikan f(z) dan F(z) kontinu di zo, maka masing-masing fungsi : 1. f(z) + F(z)

2. f(z) . F(z)

3. f(z) / F(z), F(z) ≠ 0,

4. f(F(z); f kontinu di F(zo), kontinu di zo.

(23)

Contoh 1 : Fungsi f(z) = _z _i i z i i z

z , 2

2 , 4 3

2

2 4

≠

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= +

− +

f(2i) = 3+4(2i) = 3 + 8i, sedangkan untuk z mendekati 2i, maka Lim f(z) = z +2i = 2i + 2i = 4i. Jadi f(z) diskontinu di z = 2i.

Contoh 2 :

Dimanakah fungsi g(z) =

2 3

1

2 2

+

− +

z z

z kontinu ?

Jawab : Coba anda periksa bahwa g(z) diskontinu di z = 1 dan z = 2. Jadi g(z) kontinu di daerah {z/ z ≠ 1 dan z ≠ 2}.

2.7 Soal-Soal Latihan Bab II 1. Tentukan nilai fungsi :

a. f(z) z²-2z+3 di z = 5-I b. g(z) = diz i

z

z = −

− + ,

1 1

2. Jika z = x + iy, tuliskan f(z) = 3z² –5i + 1 dalam bentuk u dan v !

3. Jika z = r(Cosθ+iSinθ), maka tuliskan f(z) = 2z² + i dalam bentuk u dan v ! 4. Jika f(z) = 5z + 1- i dan g(z) = z² , tentukan (gof) (z) dan (fog)(z).

5. Fungsi w = 5z –2+ i. Gambarkan w1 dan w2 untuk z1 = 2 + i , dan z2 = 5 – 3i . 6. Diketahui fungsi w = z³. Dengan menggunakan z = r (Cosθ+iSinθ), maka

gambarkan w = z³ !

(24)

7. Jika g(z) = i z z

2

2 4

−

+ , Hitunglah limit g(z) untuk z 2i

8. Jika f(z) = i

y x y x

xy

1

2 ²

2

2 + +

+ . Buktikan Lim f(z) untuk z menuju 0 tidak ada !

9. Apakah fungsi h(z) = _z _i

i z i i z

z , 3

3 , 5 3

3

2 9

≠

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= +

−

+ , kontinu di z = 3i ?Jelaskan !

10. Dimanakah fungsi g(z) =

2 4

2 2

+

− + iz z

z kontinu ?

*** SELAMAT MENGERJAKAN ***

(25)

BAB III

TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS

3.1 Definisi Turunan

Diberikan fungsi f yang didefinisikan pada daerah D dan z0 ∈ D. Jika diketahui bahwa nilai

0 0

0 z z

) f(z f(z) z zlimit

−

→ − ada, maka

nilai limit ini dinamakan turunan atau derivatif fungsi f di titik z0. Dinotasikan : f’(z0)

► Jika f’ (z0) ada, maka f dikatakan terdifferensial atau diferensiabel di z0. Dengan kata lain :

f’(z0) =lim z f Δ Δ =

z z f z z f

Δ

− Δ

+ ) ( )

( ₀ ₀

► Jika terdifferensial di semua titik pada D maka f terdifferensial pada D Contoh 3.1.1

Buktikan f(z) = z² terdifferensiasi diseluruh C Bukti :

Ditinjau sebarang titik z0 ∈ C

f’(z) =

0 0 0

lim

z z

) f(z f(z) z

z −

→ −

=

0 2 0 2

0

lim

z z

z z z

z −

→ −

= lim ⁰ ⁰

z z

) z )(z z (z z

z −

−

→ + = 2 z0

(26)

Karena z0 sebarang maka f(z) = z² terdifferensial di seluruh C Teorema 3.1

Jika f fungsi kompleks dan f’(z₀) ada maka f kontinue di z₀ Bukti :

Diketahui f’(z0) ada

Akan dibuktikan f kontinue di z0 atau z z₀ f(z) f(z⁰)

lim =

→

0

lim z

z→ f(z) – f(z⁰) =

0

lim z z→

0 0

z z

) f(z f(z)

−

− . z – z₀

0

lim z

z→ f(z) – f(z⁰) =

0

lim z z→

0 0

z z

) f(z f(z)

−

− . z – z

0

lim z

z→ ⁰

= f’(z) . 0

= 0 sehingga f(z) – f(z

0

lim z

z→ ⁰) = 0

⇒ f(z) – f(z

0

lim z

z→ lim₀

z

z→ ⁰) = 0

⇒ f(z) = f(z

0

lim z

z→ lim₀

z z→ ⁰)

⇒ f(z) = f(z

0

lim z

z→ ⁰) dengan kata lain f kontinue di z₀

Contoh 3.1.2

Buktikan bahwa f(z) = ⎢z ⎢² kontinu di seluruh bidang kompleks tetapi hanya terdifferensial di z = 0

Bukti :

(27)

f(z) = ⎢z ⎢² = x² + y² berarti u(x,y) = x² + y²

v(x,y) = 0

u dan v kontinue di C maka f(z) konstanta di C

f’(0) = lim0

→

z ₀

0

−

− z

) f(

f(z) = lim0

→ z

2

z z

= lim0

→

z _z

z z

−

= 0

Jadi f(z) terdifferensial di z = 0

3.2 Syarat Chauchy – Riemann

Syarat yang diperlukan agar fungsi f terdiferensial di z0 = x0 + i y0 adalah syarat Chauchy-Riemann, yang menghubungkan derivatif-derivatif parsial tingkat pertama dari fungsi bagian real dan fungsi bagian imajiner dari f.

Teorema 3.2.1 (Syarat Chauchy – Riemann)

Jika f(z) = u(x,y) + i v(x,y) terdifferensial di z0 = x0 + i y0, maka u(x,y) dan v(x,y) mempunyai derivatif parsial pertama di (x0,y0) dan di titik ini dipenuhi persamaan Cauchy – Riemann

x u

∂

∂ = y v

∂

∂ dan y u

∂

∂ = x v

∂

− ∂

derivatif f di z0 dapat dinyatakan dengan

f’(z0) = ux(x0,y0) + i vx(x0,y0)

(28)

Jika persamaan C-R tidak terpenuhi di (x0,y0) maka f(z) = u(x,y) + i v(x,y) pasti tidak terdefferensial di z0 = x0 + i y0

Contoh 3.2.1

Buktikan f(z) = |z|² tidak terdifferensiasi di z ≠ 0 Bukti :

f(z) = x² + y²sehingga u(x,y) = x² + y²

v(x,y) = 0

Persamaan Cauchy – Riemann

x u

∂

∂ = 2x ; y u

∂

∂ = 2y

x v

∂

∂ = 0 ; y v

∂

∂ = 0

x u

∂

∂ = y v

∂

∂ ⇔ 2x = 0 ... (1)

dan y u

∂

∂ = - x v

∂

∂ ⇔ 2y = 0 ... (2)

(1) dan (2) tidak dipenuhi jika x ≠ 0 atau y ≠ 0, jadi pasti f tidak terdifferensial di z ≠ 0

Catatan :

Syarat C-R hanya syarat perlu untuk keterdifferensialan.

Contoh 3.2.2

(29)

Buktikan fungsi f(z) = ₂ ₂

3

3 1 1

y x

i) ( y i) ( x

+

−

+ f(0) = 0 tidak terdifferensial di 0

Bukti :

u = ₂ ₂

3 3

y x

+

− dengan u(0,0) = 0

v = ₂ ₂

3 3

y x

+

+ dengan v(0,0) = 0

ux(0,0) = lim0

→

x _x

) , u(

)

u(x,0 − 00 = 1

uy(0,0) =

y ) , u(

,y) u(

y

0 0 0

lim0 −

→ ^{= -1}

vx(0,0) =

x ) , v(

) v(x, x

0 0 0 0

lim −

→ = 1

v_y(0,0) = lim0

→

y y

) , v(

,y)

v(0 − 00 = 1

Jadi persamaan Cauchy – Riemann terpenuhi Tetapi

z ) f(

f(z)− 0 =

iy) )(x y (x

i) ( y i) ( x

+ +

−

− +

2 2

3

3 1 1

untuk z → 0

Sepanjang garis real y = 0 → lim0

→

x ³

3

3 1 1

x

i) ( y i) (

x + − −

= 1 + i

Sepanjang garis real y = x → lim0

→

x ³

3

1 2

2 x i) (

x i

+ =

z +i 1

(30)

Jadi lim0

→

z _z

) f(

f(z)− 0 tidak ada sehingga f tidak terdifferensial di 0

meskipun persamaan C-R dipenuhi di (0,0) Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa : i. Syarat perlu

f(z) = u(x,y) + iv(x,y), z0 = x0 + i y0

f’(z) ada maka x u

∂

∂ , y u

∂

∂ , x v

∂

∂ , y v

∂

∂ ada di (x0, y0) berlaku C-R yaitu x u

∂

∂ = y v

∂

dan y u

∂

∂ = - x v

∂

∂ dan f’(z0) = ux(x0,y0) + i vx(x0,y0)

ii. Syarat cukup

u(x,y), v(x,y), u_x(x,y), v_x(x,y), u_y(x,y), v_y(x,y) kontinue pada kitar z0 = x0 + i y0

dan di (x0,y0) dipenuhi C-R maka f’(z0) ada

Contoh 3.2.3

Buktikan f(z) = e^x(cos y + i sin y) terdiferensial untuk setiap z dalam C Bukti :

u(x,y) = e^xcos y → ux(x,y) = e^xcos y

uy(x,y) = -e^xsin y ada dan kontinue di setiap v(x,y) = e^xsin y → v_x(x,y) = e^xsin y (x,y) ∈ C

v_y(x,y) = e^xcos y

Berdasarkan persamaan C-R :

u_x = v_y dan uy = -v_x dipenuhi di ∀ (x,y) ∈ C dan ∀ (x,y) ∈ C ada kitaran dimana keenam fungsi kontinue dan C-R dipenuhi di (x,y).

Jadi f’(z) ada ∀ z ∈ C

(31)

Dan f’(z) = ux(x,y) + i v_x(x,y) = e^xcos y + i e^xsin y

3.3 Syarat C-R Pada Koordinat Kutub

Jika f(z) = u(x,y) + iv(x,y) dapat diilustrasikan dalam koordinat kartesius maka dengan menggunakan hubungan x = r cos ϕ dan y = r sin ϕ dapat diperoleh z

= r cos ϕ + i sin ϕ sehingga f(z) = u(r, ϕ) + i v(r, ϕ) dalam sistem koordinat kutub

Teoreama 3.3.1

Jika f(z) = u(r, ϕ) + iv(r, ϕ) terdiferensial dan kontinue pada suatu kitar (r0, ϕ0) dan jika dalam kitar tersebut ur, uϕ, vr, vϕ ada dan kontinue di (r0, ϕ0) dipenuhi C-R yaitu:

r u

∂

∂ = r 1 ∂

ϕ

∂v dan r 1 ∂

ϕ

∂v = - r u

∂

∂ , r ≠ 0

maka f’(z) = ada di z = z0 dan f’(z) = (cos ϕ0 – i sin ϕ0) [ur(r0, ϕ0) + ivr(r0, ϕ0)]

Contoh 3.3.1

Jika diketahui f(z) = z^-3,tentukan f’(z) dalam bentuk kootdinat kutub Jawab :

f(z) = z^-3 = r^-3(cos 3ϕ - i sin 3ϕ)

diperoleh : u = r^-3cos 3ϕ sehingga ur = -3r^-4 cos 3ϕ dan uϕ = -3r^-3 sin 3ϕ v = -r^-3sin 3ϕ sehingga vr = 3r^-4 sin 3ϕ dan vϕ = -3r^-3 cos 3ϕ

(32)

Jadi f(z) = z^-3 terdiferensial untuk z ≠ 0

Dengan demikian f’(z) dalam koordinat kutub adalah :

f’(z) = (cos ϕ0 – i sin ϕ0) (-3r^-4 cos 3ϕ + i 3r^-4 sin 3ϕ)

= cis (-ϕ) (-3^-4) cis -3ϕ

= -3r^-4 cis(-4ϕ)

3.4 Aturan Pendiferensialan

Jika f(z), g(z) dan h(z) adalah fungsi kompleks serta f’(z), g’(z) dan h’(z) ada, maka berlaku rumus-rumus berikut :

1. dz dc = 0 ,

dz d(z) = 1

2.

[ ( ) ]

dz z cf

d = cf’(z)

3. dz

d [f(z) ± g(z)] = f’(z) ± g’(z)

4. dz

d [f(z)g(z)] = f’(z)g(z) + f (z)g’(z)

5. dz d

( )

^⎟⎟_⎠^⎞

⎜⎜⎝

⎛ z g

z

f =

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]

g

( )

z ²

z g z f z f z

g′ ′ − ′ ′

6. dz dzⁿ

= nz^n-1

7. Jika h(z) = g[f(z)] maka h’(z) = g’[f(z)]f’(z) biasa disebut dengan komposisi

(aturan rantai)

dz .d d dw dz

dw

ϕ

=

ϕ

3.5 Fungsi Analitik

(33)

Definisi 3.5.1

Fungsi f analitik di z0, jika ada r > 0 sedemikian hingga f’(z) ada untuk setiap z ∈ N (z0,r) (persekitaran z0)

f differensiable

r Z0

Fungsi analitik untuk setiap z ∈ C dinamakan fungsi utuh

Contoh 3.5.1 1. f(z) =

z

1 analitik kecuali di z = 0

2. f(z) = x³ + iy³

diperoleh : u = x³ ; v = y³ sehingga ux = 3x² ; vx = 0 ; uy = 0 ; vy = 3y² dengan menggunakan persamaan C-R :

3x² = 3y² ⇒ y = ± x dan vx = uy = 0

persamaan C-R dipenuhi dan kontinue digaris y = ± x berarti f’(z) ada hanya di y = ± x

f(z) tidak analitik dimanapun karena tidak ada kitar.

Sifat sifat analitik

Misalnya f dan g analitik pada D, maka : o f ± g merupakan fungsi analitik o fg merupakan fungsi analitik

o f/g merupakan fungsi analitik dengan g ≠ 0

(34)

o h = g o f merupakan fungsi analitik o berlaku aturan L’hospital yaitu :

z0 zlim

→

( ) ( ) ( ) ( )

z g

z f z g

z f

′

= ′ , g(z) ≠ 0 g’(z) ≠ 0

3.6 Titik Singular Definisi 3.6.1

Titik z1 disebut titik singular dari f jika f tidak analitik dari z1 tetapi untuk setiap kitar dari z1 memuat paling sedikit satu titik dimana f analitik.

Jenis kesingularan f(z) atau titik singular antara lain : 1. Titik singular terisolasi

Titik z0 dinamakan titik singular terisolasi dari f(z) jika terdapat δ > 0 demikian sehingga lingkaran |z – z0| = δ hanya melingkari titik singular lainnya. Jika δ seperti itu tidak ada, maka z = z0 disebut titik singular tidak terisolasi.

2. Titik Pole (titik kutub)

Titik z = z0 disebut titik pole tingkat n, jika berlaku . Jika n = 1, z

z0 zlim

→

(

z

−

z₀

)

ⁿ f

(

z

) =

A

≠ 0

₀ disebut sebagai titik pole sederhana.

3. Titik Cabang

Dari fungsi bernilai banyak dapat menjadi titik singular.

4. Titik Singular dapat dihapuskan

Titik singular z0 disebut titik singular dapat dihapuskan dari f(z) jika f(z) ada.

0

limz

→

(35)

5. Titik Singular Essensial

Titik singular z = z0 yang tidak memenuhi syarat titik singular pole titik cabang atau titik singular yang dapat dihapuskan disebut titik singular essensial.

6. Titik Singular tak hingga

Jika f(z) mempunyai titik singular di z = ∞, maka sama dengan menyatakan f(1/w) mempunyai titik singular di w = 0.

Contoh 3.6.1

• g(z) = ₂ ) (

1 i

z− berarti titik z = i adalah titik pole tingkat 2 dari g(z)

• h(z) = z²tidak merupakan titik singular

• k(z) = ln (z² + z – 2) maka titik cabang adalah z1 = 1 dan z2 = -2 karena (z² + z – 2) = (z – 1) (z + 2) = 0

3.7 Fungsi Harmonik

f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada D maka u dan v mempunyai derivatif parsial di semua orde yang kontinue pada D. Jadi dalam D berlaku C-R , ux = vy dan uy = -vx . Karena derifatif-derivatif parsial dari u dan v kontinue dalam D, maka berlaku vxy = vyx. Jika dalam ux = vy dan uy = -vx diderivatifkan parsial terhadap x dan y maka ∀ (x,y) ∈D berlaku

uxx + uyy = 0 vxx + vyy = 0

Jika f analitik pada D maka u dan v pada D memenuhi persamaan differensial

(36)

2 2

∂x

∂

ϕ

+ ₂

2

∂y

∂ ϕ

= 0

u dan v dimana f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada suatu domain maka f(z) harmonik pada domain tersebut.

Dua fungsi u dan v sedemikian sehingga f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik dalam suatu domain dinamakan dua fungsi yang harmonik konjugat dalam domain itu.

Contoh 3.7.1

Diberikan u(x,y) harmonik pada D dan tentukan fungsi v yang harmonik konjugat dengan u = 4xy³ – 12x³y, (x,y) ∈ C

Jawab :

Misal diklaim konjugatnya adalah v(x,y) jadi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada C sedemikian sehingga berlaku C-R ux = vy dan uy = -vx

ux = 4y³ – 12x²y vy = 4y³ – 12x²y uy= 12xy² – 4x³ v= y⁴ – 6x²y² + g(x)

karena vx = -uy maka -12xy² + g’(x) = -12xy² + 4x³ sehingga g’(x) = 4x³ diperoleh g(x) = x⁴ + C

Jadi v = y⁴ – 6x²y² + x⁴ + C f = u + iv

= 4xy³ – 4x³y + i(y⁴ – 6x²y² + x⁴ + C) = i(y⁴ – 6x²y² + x⁴ – 4ixy³ + 4x³y) + iC = i(x +iy)⁴ + iC

= iz⁴ + A dengan A = iC

(37)

Cara Milne Thomson

Cara yang lebih praktis menentukan fungsi harmonik konjugat atau dari fungsi harmonik u diberikan u(x,y) harmonik pada D andaikan v(x,y) sehingga

f(z) = u(x,y)+ iv(x,y) analitik pada D f”(z) = ux(x,y) + ivx(x,y)

sesuai persamaan C-R : f”(z) = ux(x,y) – iuy(x,y)

z = x + iy dan z = x – iy sehingga diperoleh x = 2 + z−

z dan y = i

z z

2

−−

f(z) = ux

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ +⁻ −⁻ i

z z z z

, 2

2 - iuy

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ +⁻ −⁻ i

z z z z

, 2 2

Suatu identitas dalam z dan ⁻z jika diambil = z maka f’(z) = u

−

z x(z,0) – iuy(z,0) Jadi f(z) adalah fungsi yang derivatifnya ux(z,0) – iuy(z,0) kemudian didapat v(x,y)

Contoh 3.7.2

Dari Contoh 3.7.1 dengan u= 4xy³ – 4x³y, (x,y) ∈ C , jika diselesaikan dengan menggunakan cara Milne Thomson.

Jawab :

ux = 4y³ – 12x²y uy= 12xy² – 4x³

f’(z) = ux(z,0) – iuy(z,0) = -i(-4z³) = 4iz³ sehingga f(z) = iz⁴ + A

f(z) = i(x + iy)⁴ + A

(38)

= 4xy³ – 4x³y + i(x⁴ – 6x²y² + y⁴) + A 3.8 SOAL-SOAL LATIHAN BAB III

1. Dengan menggunakan definisi derivatif, tentukan f’(z) dan f’(i) untuk : a. f(z) = z² + 5z

b. f(z) = ¹₂ z c. f(z) =

i z

z 2

1 2

+

−

2. Dengan menggunakan aturan pendiferensialan tentukan f’(z) untuk : a. f(z) = z³ + 2iz² – (3 – 2i)z + 4

b. f(z) = ₂ ₂₀

8

) 3 1 (

) 5 3 (

z z z

+

− +

3. Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi berikut adalah analitik : a. f(z) = e^-x(cos y – i sin y)

b. f(z) = sin x cosh y + i cos x sinh y c. f(z) = z² + 2z

4. Buktikan bahwa f terdiferensial dimana-mana jika : a. f(z) = e^-2x(cos 2y – i sin 2y)

b. f(z) = cos x cosh y + i sin x sinh y

5. Tentukan titik di bidang kompleks sehingga fungsi f(z) = 3x⁵ + 5iy³ terdiferensial kemudian tentukan f’(2 – 4i) dan f’(-3 + 3i)

a. f(z) = e^-x(cos y – i sin y)

b. f(z) = sin x cosh y + i cos x sinh y c. f(z) = z² + 2z

(39)

6. Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi berikut adalah harmonik dan dapatkan fungsi analitik f(z) = u(x,y) + i v(x,y) yang bersesuaian :

a. u = x³ – 3xy² + 3x² – 3y² + 1 b. u = xe^-x cos y – y e^x sin y

*** Selamat Mengerjakan ***