Bentuk standar PL secara umum adalah: Maksimumkan atau minimumkan z = Σcjxj Terhadap Σaijxj = bi

Bentuk standar PL secara umum adalah: Maksimumkan atau minimumkan z = Σcjxj Terhadap

Σaijxj = bi xj ≥ 0

xj : variabel keputusan, slack, surplus dan artificial.

x₁ x₂ … x_j … x_n Nilai kanan pembatas dual c₁ c₂ … c_j … c_n a₁₁ a₁₂ … a_1j … a_1m b₁ y₁ a₂₁ a₂₂ … a_2j … a_2m b₂ y₂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . a_m1 a_m2 … a_mj … a_mn b_m y_m V a r. d u al Koefisien pembatas dual

Konversi dual dari primal dilakukan dengan

memperhatikan hubungan seperti yang ditunjukkan tabel berikut:

Variabel primal

Tabel di atas menunjukkan bahwa dual didapatkan secara simetris dari primal sesuai dengan aturan berikut:

• Untuk setiap pembatas primal ada variabel dual. • Untuk setiap variabel primal ada pembatas dual. • Koefisien pembatas variabel primal membentuk

koefisien pembatas dual.

• Koefisien fungsi tujuan variabel yang sama dari primal menjadi nilai kanan pembatas dual.

Elemen lain dari permasalahan dual ditentukan dengan cara seperti yang ditunjukkan tabel di bawah.

Dual Tujuan standar primal Tujuan Pembata s Variabel Maksimisasi Minimisasi Minimisasi

Maksimisasi ≤≥ Tdk terbatasTdk terbatas

Contoh:

1. Diberikan bentuk primal di bawah, tentukanlah bentuk dual yang sesuai!!

Minimumkan z = 2x₁ + 5.5x₂ Kendala: x₁ + x₂ = 90 0.001x₁ + 0.002x₂ ≤ 0.9 0.09x₁ + 0.6x₂ ≥ 27 0.02x₁ + 0.06x₂ ≤ 4.5 x , x ≥ 0

Penyelesaian Minimumkan z = 2 x₁ + 5.5 x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 0x₅ Terhadap: x₁ + x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 0x₅ = 90 y₁ 0.001x₁ + 0.002x₂ + x₃ + 0x₄ + 0x₅= 0.9 y₂ 0.09x₁ + 0.6x₂ + 0x₃ – x₄ + 0x₅= 27 y₃ 0.02x₁ + 0.06x₂ + 0x₃ + 0x₄ + x₅ = 4.5 y₄ x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ ≥ 0

Bentuk dualnya terdiri dari 4 variabel dan 2 pembatas, yaitu:

Maksimumkan w = 90y1 + 0.9y2 + 27y3 + 4.5y4 Terhadap

y1 + 0.001y2 + 0.09y3 + 0.02y4 ≤ 2 y1 + 0.002y2 + 0.6y3 + 0.06y4 ≤ 5.5 0y1 + y2 + 0y3 + 0y4 ≤ 0

0y1 + 0 y2 - y3 + 0y4 ≤ 0 0y1 + 0y2 + 0y3 + y4 ≤ 0 y1, y2, y3, y4 tidak terbatas

Maksimumkan w = 90y₁ + 0.9y₂ + 27y₃ + 4.5y₄ Terhadap

y₁ + 0.001y₂ + 0.09y₃ + 0.02y₄ ≤ 2

y₁ + 0.002y₂ + 0.6y₃ + 0.06y₄ ≤ 5.5

y₂, -y₃, y₄ ≤ 0

y₁ tidak terbatas

2. Diberikan bentuk primal di bawah, tentukanlah bentuk dual yang sesuai!!

Maksimumkan z = 2x₁ + 3x₂ Terhadap : 10x₁ + 5x₂ ≤ 600 6x₁ + 20x₂ ≤ 600 8x₁ + 15x₂ ≤ 600 x₁, x₂ ≥ 0

Penyelesaian

Bentuk baku/standar primal adalah:

Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 Terhadap : 10x1 + 5x2 + x3 = 600 6x1 + 20x2 + x4 = 600 8x1 + 15x2 + x5 = 600 x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0

Bentuk dualnya adalah:

Minimumkan w = 600y1 + 600y2 + 600y3 Terhadap

10y1 + 6y2 + 8y3 ≥ 2 5y1 + 20y2 + 15y3 ≥ 3 y1 ≥ 0

3. Ubahlah bentuk dual di bawah ini ke dalam bentuk primalnya!!!

Maksimumkan w = 100y₁ + 200y₂ + 150y₃ + 150y₄

Terhadap 2y₁ + 2y₂ + y₃ + y₄ ≤ 5 y₁ + 2y₂ + 3y₃ + 2y₄ ≤ 10 2y₁ + 2y₂ + 4y₃ + y₄ ≤ 10 y₁, y₃ ≤ 0 y₂ ≥ 0 y₄ tidak terbatas

Penyelesaian Minimumkan z = 5x1 + 10x2 + 10x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 Terhadap 2x1 + x2 + 2x3 + x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 = 100 2x1 + 2x2 + 2x3 + 0x4 - x5 + 0x6 = 200 x1 + 3x2 + 4x3 + 0x4 + 0x5 + x6 = 150 2x1 + x2 + x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 = 150 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

atau dalam bentuk umum PL-nya: Minimumkan z = 5x1 + 10x2 + 10x3 Terhadap

2x1 + x2 + 2x3 ≤ 100 2x1 + 2x2 + 2x3 ≥ 200 x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 150

4. Diberikan bentuk dual di bawah ini, ubahlah ke dalam bentuk primalnya!!!

Minimumkan w = 10y1 + 20y2 Terhadap y1 + y2 ≥ 2 y1 + 2y2 ≥ 3 y1, -y2 ≥ 0 Penyelesaian Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 +0x3 + 0x4 Terhadap x1 + x2 + x3 + 0x4 = 10 x1 + 2x2 + 0x3 - x4 = 20 x1, x2, x3, x4 ≥ 0

atau bentuk umum PL-nya adalah: Maksimumkan z = 2x1 + 3x2

Terhadap x1 + x2 ≤ 10

x1 + 2x2 ≥ 20 x1, x2 ≥0

Bentuk matriks primal adalah:

Maksimumkan/minimumkan z = CIXI + CIIXII Terhadap

AXI + IXII = b XI, XII ≥ 0

Bentuk matriks dualnya adalah:

Minimumkan/maksimumkan w = Yb Terhadap

YA ≤ / ≥ CI Y ≤ / ≥ CII

• Solusi optimal fungsi tujuan dual adalah w = Yb =

C_BB-1_b

• Solusi optimal fungsi tujuan primal adalah z =

C_BX_B = C_BB-1b. Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 Terhadap : 10x1 + 5x2 ≤ 600 6x1 + 20x2 ≤ 600 8x1 + 15x2 ≤ 600 x1, x2 ≥ 0 Bentuk baku/standar: Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3 10x1 + 5x2 + s1 = 600 6x1 + 20x2 + s2 = 600 8x1 + 15x2 + s3 = 600 x1, x2, s1, s2, s3 ≥ 0

VB X₁ X₂ S₁ S₂ S₃ Solusi

z 0 0 0 9/70 1/35 94.2857

S₁ 0 0 1 11/7 -17/7 85.7155 X₂ 0 1 0 8/70 -3/35 17.1329 X₁ 1 0 0 -3/14 2/7 42.857

Bentuk dual dari primal di atas adalah: Minimumkan w = 600y1 + 600y2 + 600y3

Terhadap

10y1 + 6y2 + 8y3 ≥ 2 5y1 + 20y2 + 15y3 ≥ 3

y1 ≥ 0 y2 ≥0

y3 ≥0

INTERPRETASI EKONOMIS PERMASALAHAN DUAL

• Harga dual menunjukkan kegunaan per unit

sumber daya produksi.

• Biaya terkurangi menunjukkan peningkatan

pengembalian marjinal atau pengurangan biaya per unit sumber daya yang dibutuhkan untuk membuat satu aktifitas PL lebih menguntungkan.

Primal

Maksimumkan z = Σ cjxj Terhadap

Σ aijxj = bi, i = 1, 2, ..., m xj ≥ 0, j = 1, 2, ..., n

Dual

Minimumkan w = Σ biyi Terhadap

Σ aijyi ≥ cj , j = 1, 2, ..., n yi tidak terbatas, i = 1, 2, ..., m

cj : keuntungan marjinal aktivitas j dengan level sama dengan xj unit.

Fungsi objektif : keuntungan total yang dapat diperoleh dari semua aktivitas.

Model tersebut mempunyai sejumlah m sumber daya, dimana sumber daya ke-i mempunya level bi yang dialokasikan pada laju aij per unit untuk aktivitas j. Σ aijxj menunjukkan penggunaan sumber daya ke-i oleh semua aktke-ivke-itas.

z = w atau Σ cjxj= Σ biyi.

Sisi kiri persamaan : uang (pengembalian) bi : unit (jumlah) sumber daya ke-i,

yi : jumlah uang per unit sumber daya ke-i.

Variabel dual yi : kegunaan per unit sumber daya ke-i.

Biaya Terkurangi

Jumlah uang per unit keuntungan/kerugian = jumlah uang per unit biaya – jumlah uang per unit pengembalian.

Kondisi optimal maksimisasi metode simpleks (simpleks yang direvisi) menunjukkan bahwa level aktivitas j saat ini yang tidak digunakan akan dinaikkan di atas level 0 hanya jika koefisien tujuannya zj – cj bernilai negatif.

Kondisi ini dipenuhi secara ekonomis dengan cara berikut:

dari interpretasi zj – cj , kondisi optimal memaksa bahwa (biaya yang dikenakan untuk penggunaan sumber daya per unit j – pengembalian per unit j) < 0.

Ketika aktivitas masuk j ke variabel basis, kita meningkatkan levelnya ke titik dimana zj – cj nya

berkurang menuju 0 mengekploitasi aktivitas ke

pemberdayaan paling penuh, karena peningkatan selanjutnya akan menghasilkan peningkatan biaya

Aktivitas yang mempunyai level 0 pada solusi optimal (variabel non basis), kuantitas zj – cj menunjukkan biaya terkurangi per unit aktivitas j.

Kuantitas ini menunjukkan jumlah dimana secara ekonomis aktivitas harus diperbaiki untuk membuat aktivitas lebih atraktif secara ekonomis yang dapat terjadi dalam dua cara, yaitu:

1.Meningkatkan pengembalian marjinal aktivitas, cj. 2.Menurunkan konsumsi aktivitas akan sumber daya terbatas, Σ aijyi.