Contents
1 Pendahuluan pdp 2
2 Persamaan Type Hiperbolik 6
2.1 Persamaan Transport . . . 6
2.1.1 Metoda karakteristik . . . 7
2.1.2 Koefisien tak konstan . . . 9
2.2 Persamaan Gelombang . . . 9
2.2.1 Energi . . . 12
2.3 Well-posed problem . . . 12
3 Metoda Beda Hingga pada Persamaan Tipe Hiperbolik 14 3.1 Persamaan Transport . . . 14
3.1.1 Metode Courant-Isaacson-Rees (FTBS, upwind) . . . 15
3.1.2 Metode Richardson . . . 17
3.1.3 Metode Lax . . . 17
3.1.4 Metode Lax - Wendroff One Step . . . 19
3.2 Persamaan Gelombang . . . 22
4 Persamaan Difusi 26 4.1 Prinsip Maksimum . . . 27
4.2 Fungsi Green . . . 29
4.3 Metoda separasi variable, recall . . . 30
5 Metode beda hingga bagi persamaan difusi 31 5.1 Metode FTCS (Forward Time Center Space) . . . 31
5.2 Metode Implisit BTCS (Backward Time Center Space) . . . 32
5.3 Metode Crank - Nicholson . . . 34
5.4 Metode -θ . . . 35
5.5 Soal-soal . . . 36
6 Persamaan Laplace & Poisson 38 6.1 Prinsip maksimum dan ketunggalan solusi persamaan Laplace . . . 39
6.2 Persamaan Laplace pada domain persegi panjang . . . 41
6.3 Rumus Poisson . . . 42
6.4 Formula Green bagi solusi persamaan Laplace . . . 45
7 Metode beda hingga bagi persamaan Laplace 2D 46 7.1 Metode langsung . . . 46
7.2 Metode Iterasi . . . 48
1
SRP
Bab 1
Pendahuluan pdp
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial bagi fungsi peubah banyak
u(x, y,· · ·). Orde dari pdp adalah turunan tertinggi yang muncul pada pdp tersebut. Untuk fungsi dua peubah u(x, y) bentuk umum pdp orde satu adalah:
F(x, y, u(x, y), ux(x, y), uy(x, y)) =F(x, y, u, ux, uy) = 0, (1.0.1)
sedangkan bentuk umum pdp orde dua adalah:
F(x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy) = 0. (1.0.2)
Solusi dari pdp adalah fungsiu(x, y) yangmemenuhi persamaan diferensial tersebut, un-tuk suatu daerah di bidang−xy.
Pada pencarian solusi persamaan diferensial biasa, kadang kala variabel bebas dan variable tak bebas boleh ditukar, misalnya mencari solusi dudx =u3. Untuk persamaan diferensial parsial hal ini tidak diperbolehkan. Peran variabel bebas dan variabel tak bebas tak dapat ditukar.
Berbagai persamaan diferensial parsial yang penting 1. ux+ut= 0 (persamaan transport)
2. ux+uut= 0 (persamaan Burgers, merupakan bentuk khusus pers. Buckley-Leverett)
3. ut=kuxx (persamaan panas, persamaan difusi)
4. utt−c2uxx= 0 (persamaan gelombang)
5. uxx+uyy= 0 ≡ △u= 0 (persamaan Laplace)
Semua pdp pada contoh di atas adalah pdp linier, kecuali pdp no.3. Klasifikasi pdp
Perhatikan bentuk umum persamaan diferensial parsial orde-2 berikut
Auxx+ 2Buxy +Cuyy =F(x, y, u, ux, uy). (1.0.3)
Persamaan diferensial dikatakan bertipe 1. eliptikjika AC−B2>0,
2
SRP
BAB 1. PENDAHULUAN PDP 3 2. parabolik jika AC−B2 = 0,
3. hiperbolikjika AC−B2 = 0. Tunjukkan bahwa
persamaan difusi ut=kuxx bertipe parabolik,
persamaan gelombang utt =c2uxx bertipe hiperbolik.
persamaan Laplace uxx+uyy = 0 bertipe eliptik,
Persamaan diferensial yang bertipe sama mempunyai perilaku solusi yang serupa. Oleh karena itu pada kuliah ini kita akan mempelajari perilaku solusi persamaan bertipe parabo-lik melalui bentuk kanoniknya, yaitu persamaan difusi. Begitu pula dengan perilaku solusi persamaan tipe hiperbolik melalui persamaan gelombang, dan perilaku solusi persamaan tipe eliptik melalui persamaan Laplace.
Definisi 1.0.1. Suatu operator L dikatakanlinier jika
L(u+v) =Lu+Lv, and L(cu) =cLu, (1.0.4) untuk setiap fungsiu, v dan untuk setiap bilangan real c.
Suatu pdp berbentuk Lu= 0
dikatakan linier jikaL operator linier.
Contoh 1.0.2. Akan dibuktikan bahwa persamaan difusi adalah pdp linier.
Persamaan difusi dapat dituliskan dalam bentukLu= 0, dengan operatorL=∂t−k∂xx.
Selanjutnya
L(u+v) = (∂t−k∂xx)(u+v) =∂tu−k∂xxu+∂tv−k∂xxv=Lu+Lv.
Coba buktikan bahwa persamaan transport dan persamaan gelombang adalah juga pdp linier.
Semua pdp pada contoh di atas dikatakanhomogen, karena dapat dituliskan dalam bentuk Lu= 0. Sedangkanux+ut=xadalah pdp tak homogen. Bentuk umum pdp tak homogen:
Lu=g, dengan g̸= 0.
Contoh 1.0.3. 1. Buktikan prinsip superposisi solusi pdp linier. Untuk suatu pdp linierLu= 0, denganLoperator linier, maka berlaku prinsip superposisi solusi. Jika
u1 danu2 masing-masing solusi, makaαu1+βu2, denganα, β ∈ ℜjuga merupakan
solusi.
2. Jika u1 solusi pdp linier tak homogen Lu=g untuk suatu g, sedangkan u0 adalah
solusi pdp homogennya Lu = 0, maka u1 +u0 solusi pdp yang mana? Buktikan
jawab Anda.
3. Perhatikan bahwa pdp berikut dapat dicari solusinya dengan cara persamaan difer-ensial biasa.
(a) ux =x
SRP
BAB 1. PENDAHULUAN PDP 4 (b) uxx = 0
(c) uxx+u= 0
(d) uxy = 0
4. (a) Cari semua polinom derajat satu berbentukp(x, y) =ax+by+cyang memenuhi
uxx+uyy= 0.
(b) Cari semua polinom homogen derajat dua berbentukp(x, y) =ax2+bxy+cy2
yang memenuhi uxx +uyy = 0. Sketsakan solusi polinom derajat dua yang
relatif sederhana.
Dari contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa solusi dari pdp memuat bukan hanya kon
stanta sebarang melainkan fungsi sebarang.
5. Buktikan bahwau(x, t) =f(bx−at), untuk sebarang fungsif, memenuhi persamaan transportaux+but= 0. Misalkan diketahuia= 2,b= 1, dan
u(x,0) =f(x) =
{
1, 0< x <3 0, untukx lainnya
Sketsakanu(x,0), u(x,1), u(x,2) pada satu sumbu koordinat. Amati apa yang ter-jadi.
6.
Cari solusi dari△u= 0 pada persegi satuan [0,1]×[0,1] yang memenuhi syarat batasu(x,1) = sinπxdanu= 0 pada ketiga sisi lainnya. (Petun-juk: Mengingat syarat batasnya, cobalah solusi berbentuk u(x, y) =
a(y) sinπx.)
Catatan: Jika disubstitusikan akan diperoleh solusi u(x, y) = (sinhπy/sinhπ) sinπx. Gambar di samping menunjukkan permukaan solusi persamaan Laplace u(x, y). Plot solusi persamaan Laplace den-gan syarat batas tipe Dirichlet dapat dibayangkan berupa permukaan membran yang tepinya dibengkokkan mengikuti syarat batas Dirichlet yang diberikan.
7.
Diketahui persamaan Laplace beserta syarat batasnya
uxx+uyy = 0, pada pers. panj. [0,2]×[0,1]
ux(0, y) = 0, ux(2, y) =−2, uy(x,0) = 0, uy(x,1) = 1,
Tentukan solusiu(x, y) berbentuk polinom berderajat-2 yang memenuhi persamaan Laplace beserta syarat batasnya.
Catatan: Plot solusi masalah ini diberikan pada gambar di samping. Yakinilah bahwa permukaan pada gambar di samping memenuhi keem-pat syarat batas yang diberikan.
Soal Latihan 1.0.4. 1. Manakah diantara operator berikut yang merupakan operator linier? (a) Lu=ux+xuy (b) Lu=ux+uuy (c) Lu=ux+u2y (d) Lu=ux+uy+ 1
SRP
'12
BAB 1. PENDAHULUAN PDP 5 (e) Lu=√1 +x2(cosy)u
x+uyxy−[arctan(x/y)]u
2. Buktikan bahwa u(x, y) = f(x)g(y) adalah solusi dari pdp uuxy = uxuy untuk
sebarang fungsif dan g yang diferensiabel. 3. Buktikan melalui substitusi langsung bahwa
un(x, y) = sinnxsinhny
adalah solusi dariuxx+uyy = 0 untuk setiapn >0.
4. Perhatikan persamaan Laplace uxx+uyy = 0 dengan syarat batas
ux(0, y) = 0, ux(1, y) =−1 uy(x,0) = 0, uy(x,1) = 1.
Carilah solusi eksak masalah di atas yang berbentuk polinom derajat dua
5. (Pembuktian solusi pdp dengan substitusi langsung) Soalsoal Kreyszig 11.1 no 2 -13, 14(b).
6. (Pdp yang dapat diselesaikan sebagai ode) Soal-soal Kreyszig 11.1 no 15 - 22.
SRP
Bab 2
Persamaan Type Hiperbolik
2.1
Persamaan Transport
Persamaan transport, dikenal juga sebagai persamaan konveksi, seringkali muncul pada masalah transport dari berbagai substansi, misalnya polutan, gas, atau fluida lainnya. Bentuk umum persamaan transport adalah sbb:
aηt+bηx = 0. (2.1.1)
Berikut ini akan diturunkan model persamaan transport melalui konservasi massa. Per-hatikan fluida yang mengalir dengan kecepatan u pada sebuah kanal dengan penampang konstan. Misalkan η(x, t) menyatakan ketinggian fluida pada posisi x saat t. Perhatikan massa fluida pada domain dengan batas kiri x dan batas kanan x+ ∆x. Dalam selang waktu ∆t u u ( , )x t h x+ Dx b
[akumulasi] = [lajumasuk]−[lajukeluar] (η|t+∆t−η|t)∆xb= ((uη)|x−(uη)|x+∆x)b∆t
Jika dibagi dengan b∆x∆t, dan diambil limit ∆x→0, ∆t→0, akan diperoleh
ηt+ (uη)x= 0. (2.1.2)
Persamaan (2.1.2) dikenal sebagai persamaan konservasi massa.
Latihan: Coba turunkan persamaan konservasi massa jika dasar kanal tak rata dan to-pografinyah(x) (lebar kanal tetapb).
Jika fluks u konstan, maka persamaan (2.1.2) berubah menjadi ηt+uηx = 0, suatu
per-samaan transport dalam variabel η(x, t) dengan koefisien konstanu.
Metoda integral Sebagai alternatif, persamaan transport dapat juga diturunkan melalui formulasi integral. Massa total fluida pada domain pengamatan [x0, x1] adalah
M =
∫ x1
x0 η dx.
Misalkanu(x, t) menyatakan kecepatan fluida di posisi xsaatt. Laju aliran fluida keluar, atau fluks di posisi xi adalah η(xi, t)u(xi, t), dengan i = 0,1. Dengan demikian laju
perubahan massa fluida pada domain pengamatan [x0, x1] adalah
laju perubahan =fluks masuk - fluks keluar 6
SRP
BAB 2. PERSAMAAN TYPE HIPERBOLIK 7 d dt ∫ x1 x0 η(x, t) dx=η(x1, t)u(x1, t)−η(x0, t)u(x0, t). (2.1.3)
Persamaan (2.1.3) merupakan persamaan konservasi massa dalam bentuk integral. Untuk memperoleh bentuk lain dari konservasi massa, maka persamaan di atas diintegralkan terhadap waktu dari t0 ke t1 dan menghasilkan
∫ x1 x0 η(x, t1)dx− ∫ x1 x0 η(x, t0)dx= ∫ t1 t0 η(x0, t)u(x0, t)dt− ∫ t1 t0 η(x1, t)u(x1, t)dt. (2.1.4)
Assumsikanη(x, t) dan u(x, t) merupakan fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka
η(x, t1)−η(x, t0) = ∫ t1 t0 ∂ ∂tη(x1, t)dt dan η(x1, t)u(x1, t)−η(x0, t)u(x0, t) = ∫ x1 x0 ∂ ∂x(η(x, t)u(x, t))dx.
Selanjutnya (2.1.4) dapat dituliskan sebagai
∫ t1 t0 ∫ x1 x0 { ∂ ∂tη(x, t) + ∂ ∂x(η(x, t)u(x, t)) } dxdt= 0.
Mengingat persamaan di atas berlaku untuk sebarang selang [x0, x1] dan sebarang selang
waktu [t0, t1], maka integrannya haruslah nol, atau
ηt+ (uη)x = 0. (2.1.5)
Persamaan (2.1.5) merupakan konservasi massa dalam bentuk diferensial. Dalam hal laju aliranu(x, t) sebanding denganη(x, t), maka persamaan konservasi massa menjadi
ηt+ηηx = 0 (2.1.6)
Persaman Burger terkenal akan solusinya berupa gelombang kejut (shock wave). Per-samaan Burger merupakan bentuk khusus dari perPer-samaan Buckley-Leverett, suatu model bagi aliran fluida dua phasa, misal air dan minyak. Namun kedua persamaan di atas tidak akan dibahas dalam kuliah ini. Di kuliah ini kita akan membahas kasus bila u(x, t) = c
konstan, dan persamaan konservasi massa menjadiηt+c ηx = 0.
2.1.1 Metoda karakteristik
Untuk pembahasan selanjutnya kita menggunakan persamaan transport (koefisien kon-stan) dengan bentuk umum berikut (perhatikan adanya perubahan notasi η→u)
aux+but= 0, (2.1.7)
dengan konstanta a, b bilangan real sebarang. Perhatikan bahwa persamaan transport di atas dapat dituliskan sebagai turunan berarah
Dvu=v· ∇u= 0,
dengan vektor arah v= ( a b ) .
SRP
'12
BAB 2. PERSAMAAN TYPE HIPERBOLIK 8 Ini berartiu(x, t) solusi (3.1.1), jika dan hanya jika turunan
be-rarah dari u(x, t) pada arahv= (a b)T sama dengan nol! Per-hatikan garis-garis yang sejajar dengan vektorv pada gambar berikut. Persamaan garis-garis sejajar itu adalaht= bax−C ≡
bx−at=C. Garis-garis ini disebut sebagaigaris karakteristik. x
t
bx-at=C
Perhatikan tiga pernyataan equivalen berikut. 1. u(x, t) solusi aux+but= 0.
2. Dvu= 0 denganv= (a, b)T
3. Nilai fungsiu(x, t) konstan selamax, tterletak pada satu garis karakteristik. Point 3 akan dielaborasi. Nilai fungsi u(x, t) konstan selama x, tterletak pada satu garis karakteristik bx−at = C. Jadi u(x, t) hanya bergantung pada nilai C pada persamaan garis karakteristik tersebut, atau u(x, t) hanya bergantung pada bx−at, sehingga solusi pers transportaux+but= 0 adalahu(x, t) =f(bx−at), denganf suatu fungsi sebarang.
Fungsi sebarang f dapat diperoleh jika diberikan syarat tambahan. Syarat tersebut bisa berupa syarat awal atau syarat batas.
Soal Latihan 2.1.1. 1. Buktikan bahwa u(x, t) = f(bx−at), untuk sebarang fungsi
f, memenuhi persamaan transportaux+but = 0. Misalkan diketahuia= 2, b= 1,
dan
u(x,0) =f(x) =
{
1, 0< x <3 0, untukx lainnya
Sketsakanu(x,0), u(x,1), u(x,2) pada satu sumbu koordinat. Amati apa yang ter-jadi.
2. Diberikan suatu persamaan transport 3ux−4ut= 0 dengan syarat awal
u(x,0) =
{
4−x2, |x|<2 0, |x|>2
(a) Tentukan persamaan garis karakteristiknya lalu gambarkan.
(b) Sketsakanu(x,0), u(x,1), u(x,2), u(x,3) pada satu sumbu koordinat. 3. Tentukan solusi persamaan transport 2ux−ut= 0, dengan syarat awal
u(x,0) =
{
sinπx 0≤x≤1
0 untukx lainnya.
Sketsakanu(x,0), u(x,1), u(x,2) pada satu sumbu koordinat. Tentukan rumusan so-lusiu(x, t). Gunakan Maple untuk memplotu(x,0), u(x,1), u(x,2) pada satu sumbu koordinat (Pastikan hasilnya sesuai).
4. Tentukan solusi persamaan transport ux+ut= 0, dengan syarat batas
u(0, t) =
{
1 t≥0
0 untuk tlainnya.
Sketsakanu(x,0), u(x,1), u(x,2) pada satu sumbu koordinat.
SRP
BAB 2. PERSAMAAN TYPE HIPERBOLIK 9 5. Perhatikan pdp 2ut+ux = x. Persamaan di atas dapat ditulis sebagai Lu = x,
dengan operator diferensialL= 2∂t+∂x.
(a) Buktikan bahwa operator L adalah operator linier, sehingga pdp yang bers-esuaian juga merupakan pdp linier.
(b) Tentukan satu solusi pdp tak homogen di atas. Selanjutnya mengingat bagi pdp linier berlaku sifat: solusi umum pdp tak homogen = solusi umum pdp homogen + satu solusi pdp tak homogennya, tentukan solusi umum pdp di atas.
6. Perhatikan persamaan transport aux+but = 0. Terapkan transformasi koordinat,
yang mengubah variabel bebas (x, t) menjadi variabel bebas baru (v, z) berikut
v=ax+bt, z=bx−at.
Gunakan aturan rantai untuk menyatakan ux dalam turunan-turunan u terhadap
variabel bebas baru: uv danuz. Lakukan hal yang sama terhadaput. Substitusikan
kedua hasilnya ke dalam persamaan transport, dan tunjukkan bahwa persamaan transport dalam variabel baru menjadi uv = 0. Selanjutnya tunjukkan bahwa
so-lusinya adalah u(v, z) =f(z) atauu(x, t) =f(bx−at), untuk sebarang fungsi f. Metoda pencarian solusi dengan cara di atas, dikenal dengan nama metoda koordinat, dan bentuk pdp yang mana setelah transformasi koordinat dapat diselesaikan dengan pengintegralan langsung tsb dikenal sebagai bentuk normal. Untuk soal-soal solusi pdp melalui bentuk normal, lihat Kreyszig 8ed Subbab 11.4 no 11 - 17.
2.1.2 Koefisien tak konstan
Soal Latihan 2.1.2. 1. Tentukan solusi ux+tut = 0, u(0, t) =t3. Periksa jawabnya
dengan substitusi langsung. 2. Tentukan solusi ux+ 2xt2ut= 0.
3. Tentukan solusi (1 +x2)ux+ut= 0. Sketsakan beberapa kurva karakteristiknya.
4. Tentukan solusi √1−x2u
x+ut= 0, u(0, t) =t.
5. Tentukan solusi aux+buy+cu= 0.
6. Tentukan solusi ux+uy+u=ex+2y, u(x,0) = 0.
7. Gunakan metoda koordinat untuk menentukan solusi persamaan differensial
ux+ 2uy+ (2x−y)u= 2x2+ 3xy−2y2.
2.2
Persamaan Gelombang
Getaran senar gitar mengikuti persamaan gelombang (bentuk yang paling sederhana) berikut
utt =c2uxx, (2.2.1)
dengan c2 = Tρ, dimana T gaya tegang senar, dan ρ rapat massa tali. Di sini u meny-atakan simpangan senar dari kondisi setimbang, lihat Gambar 2.2.1. Penurunan per-samaan gelombang tali dapat dilihat antara lain pada Strauss 1.3 hal. 11. Selain itu,
SRP
BAB 2. PERSAMAAN TYPE HIPERBOLIK 10
u
x
Gambar 2.2.1: Fungsiu(x, t) menyatakan simpangan di posisixsaattdiukur dari kondisi setimbang.
persamaan (3.2.1) juga merupakan model perambatan gelombang air, dengan c=√gH, dan H menyatakan kedalaman air. Di sini c menyatakan cepat rambat gelombang air. Solusi persamaan (3.2.1) dapat diperoleh dengan beberapa cara sesuai dengan domain keberlakuan persamaan gelombang tersebut.
Solusi persamaan (3.2.1) pada domain Rdapat diperoleh dengan metode d’Alembert. Misalkanu merupakan suatu fungsi yang bergantung pada variabel baruξ danη, dengan
ξ dan η dinyatakan sebagai berikut,
ξ =x+ct dan η =x−ct,
sehingga dapat diperoleh
∂x =∂ξ+∂η ; ∂t=c(∂ξ−∂η),
utt =c2(uξξ−2uξη +uηη),
uxx =uξξ+ 2uξη+uηη.
Dengan demikian, persamaan (3.2.1) menjadi
−4uξη = 0. (2.2.2)
Solusi dari (2.2.2) adalah
u(ξ, η) =F(ξ) +G(η),
u(x, t) =F(x+ct) +G(x−ct), (2.2.3)
denganF danG adalah sebarang fungsi differensial. Misal ditambahkan syarat awal sebagai berikut,
{ u(x,0) =ϕ(x) ut(x,0) =ψ(x). (2.2.4) Substitusikan (2.2.3) ke (2.2.4) diperoleh : { F(x) +G(x) =ϕ(x) c(F′(x)−G′(x)) =ψ(x) ⇒ { F′+G′ =ϕ′ F′−G′ = 1cψ,
sehingga akan didapatkan,
F′ = 1 2 ( ϕ′+ψ c ) ; G′ = 1 2 ( ϕ′−ψ c ) . Jadi, F(s) = 1 2ϕ(s) + 1 2c ∫ s 0 ψ(r)dr+k1,
SRP
'12
BAB 2. PERSAMAAN TYPE HIPERBOLIK 11 G(s) = 1 2ϕ(s)− 1 2c ∫ s 0 ψ(r)dr+k2, sehingga, u(x, t) = 1 2{ϕ(x+ct) +ϕ(x−ct)}+ 1 2c ∫ x+ct x−ct ψ(r)dr. (2.2.5)
Persamaan (2.2.5) dikenal sebagai rumus d’Alembert.
Soal: Plot kurva-kurva solusi persamaan gelombang utt−c2uxx = 0 dengan tiga tipe
pilihan syarat awal berikut. a. u(x,0) =φ(x) =
{
1−x2, untuk|x| ≤1
0, untukx lainnya dan ut(x,0) = 0.
b. u(x,0) = 0,dan ut(x,0) =ψ(x) = { 1, untuk |x| ≤1 0, untuk xlainnya . c. u(x,0) =φ(x), danut(x,0) =ψ(x). Amati maxxu(x, t).
Gambar 2.2.2: Garis-garis karakteristik persamaan gelombang.
(x,t) x-ct x+ct t x x-ct=xo x+ct=xo t x xo (a) (b)
Gambar 2.2.3: (a). Daerah kebergantungan (domain of dependence) dari titik (x, t), (b). Daerah pengaruh (domain of influence) dari titik (x0,0).
Perhatikan bahwa rumus solusi d’Alembert berlaku untuk persamaan gelombang pada domain tak hingga. Apabila domain keberlakuan persamaan gelombang hanya berupa setengah selang, misalnya (0,∞) atau (−∞,0) maka rumus d’Alembert dapat dimod-ifikasi. Diskusi lengkap mengenai hal ini ada pada Bab 3.2 Strauss. Apabila domain keberlakuan persamaan gelombang adalah berupa domain berhingga, maka cara penyele-saiannya adalah menggunakan metoda separasi variabel, Bab 4 Strauss.
SRP
BAB 2. PERSAMAAN TYPE HIPERBOLIK 12 Jika dipunyai syarat batas u(0, t) = 0 (tipe Dirichlet) maka syarat awal u(x,0) = ϕ(x) pada (0,∞) diperluas menjadi fungsi ganjil. Selanjutnya karena pada persamaan gelom-bang, gelombang menjalar mengikuti garis karakteristik, kita dapatkan sketsa gelombang untuk t = t0, lihat Gambar 1.4. Hasil tersebut sesuai dengan kondisi gelombang yang
merambat pada tali dengan ujung kiri terikat.
Jika dipunyai syarat batas ux(0, t) = 0 (tipe Neumann) maka syarat awal u(x,0) =ϕ(x)
pada (0,∞) diperluas menjadi fungsi genap. Selanjutnya karena pada persamaan gelom-bang, gelombang menjalar mengikuti garis karakteristik, kita dapatkan sketsa gelombang untuk t = t0, lihat Gambar 1.5. Hasil tersebut sesuai dengan kondisi gelombang yang
merambat pada tali dengan ujung kiri bebas. 2.2.1 Energi
Berikut ini akan ditunjukkan bahwa solusi (3.2.1) memenuhi kekekalan energi. Perhatikan bahwa energi kinetik sistem
KE = 1 2ρ
∫
u2tdx,
sedangkan energi potensialnya =T×pertambahan panjang, sehingga
P E =T×(ds−dx) = 1 2T
∫
u2xdx.
sehingga energi totalnya adalah
E=KE+P E= 1 2 ∫ (ρu2t +T u2x)dx. Kemudian, dE dt = ∫ (ρututt+T uxuxt)dx = ∫(c2ρutuxx+T uxuxt)dx = ∫(−T utxux+T uxuxt)dx dE dt = 0.
yang berarti sepanjang evolusi energiE bernilai konstan.
(Strauss, Section 2.2 no. 5) Periksa perubahan energiE(u) untuku(x, t) solusi persamaan gelombang yang memperhitungkan faktor redaman utt=c2uxx−rut,r >0.
2.3
Well-posed problem
Suatu persamaan diferensial parsial dengan syarat awal dan syarat batas (atau syarat-syarat lainnya) dikatakan well-posed jika mempunyai solusi tunggal (existence and unique-ness) dan solusi tersebut stabil terhadap perubahan nilai awal (stability).
Contoh 2.3.1.
Perhatikan persamaan gelombang utt −c2uxx = 0, untuk x ∈ R, t > 0 dengan syarat
awal u(x,0) = Φ(x), ut(x,0) = Ψ(x) bersifat well-posed. Penjelasan, mengingat adanya
rumus solusi d’Alembert dari persamaan gelombang, maka jelas memenuhi existence &
SRP
BAB 2. PERSAMAAN TYPE HIPERBOLIK 13 uniqueness.
Berikut adalah sekilas mengenai kestabilan solusi terhadap syarat awalu(x,0) = Φ(x), ut(x,0) =
0. Misalkan ui(x, t), i = 1,2 berturut-turut adalah solusi persamaan gelombang dengan
syarat awal u(x,0) = Φi(x),i= 1,2. (u2−u1)(x, t) = 1 2(Φ2−Φ1)(x−ct) + 1 2(Φ2−Φ1)(x+ct) Kestabilan dipenuhi jika untuk setiap ε >0, terdapat δ >0 sehingga
||Φ2−Φ1||< δ=⇒ ||u2−u2||< ε.
Perhatikan sistim persamaan linier Am×nUn×1 =bm×1.
• Jika m > nyang berarti jumlah baris lebih besar dari jumlah kolom, maka SPL di atas bersifat overdetermined, jadi SPL tak mempunyai solusi.
• Jika m < n yang berarti jumlah baris lebih kecil dari jumlah kolom, maka SPL di atas bersifat underdetermined, jadi SPL tak mempunyai tak hingga banyak solusi. • Jikam=ndan matriksAbersifat singular (detA= 0), maka SPL tak punya solusi. • Jika m =n dan nilai eigen dari matriks A kecil sekali, maka SPL tidak memenuhi
konsep kestabilan.
Untuk setiap kasus yang diuraikan di atas, SPL bersifat ill-posed.
Sebagai catatan: masalah difusi untukt≥0 bersifat well-posed, namun backward-diffusion tidak.
SRP
Bab 3
Metoda Beda Hingga pada
Persamaan Tipe Hiperbolik
Sebuah persamaan diferensial apabila didiskritisasi dengan metode beda hingga akan men-jadi sebuah persamaan beda. Jika persamaan diferensial parsial mempunyai solusi eksak
u(x, t), maka persamaan beda akan mempunyai solusi hampiranu(xj, tn). Kaitan antara
pdp dengan persamaan beda, dan solusi u(x, t) dan solusi hampiran u(xj, tn) tak lain
adalah konsep kekonsistenan, kestabilan, dan kekonvergenan suatu persamaan beda, lihat Gambar 3.0.1.
kekonvergenan kekonsistenan
Gambar 3.0.1: Skema hubungan antara pdp dan persamaan beda serta solusi-solusinya.
3.1
Persamaan Transport
Sebagai langkah awal pengenalan metoda beda hingga, akan digunakan pdp yang paling sederhana yaitu persamaan transport
ut+dux = 0, untuk (x, t)∈[0, L]×[0, T] (3.1.1)
beserta syarat awalnya
u(x,0) =f(x), untuk 0≤x≤L (3.1.2)
yang telah kita ketahui mempunyai solusi eksaku(x, t) =f(x−dt).
Persamaan beda hingga dikatakanstabiljika persamaan beda menghasilkan solusiunj yang berhingga. Persamaan beda dikatakankonsistenterhadap pdpnya jika selisih antara per-samaan beda dengan pdpnya (suku-suku truncation error) menuju nol jika lebar grid menuju nol, ∆x → 0, ∆t → 0. Persamaan beda hingga dikatakan konvergen jika solusi
14
SRP
BAB 3. METODA BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN TIPE HIPERBOLIK 15 persamaan beda mendekati solusi pdp jika lebar grid menuju nol, ∆x→0, ∆t→0.
Teorema Equivalensi Lax: Untuk suatu masalah nilai awal yang well-(properly-)posed, jika suatu persamaan beda konsisten dan stabil, maka persamaan beda tersebut pastilah konvergen.
3.1.1 Metode Courant-Isaacson-Rees (FTBS, upwind)
Perhatikan selang [0, L] yang dipartisi dengan ukuran △x dengan titik-titik partisi xj =
(j −1)△x, untuk j = 1,2,· · · , N x. Selang [0, T] dipartisi dengan ukuran △t dengan titik-titik partisi tn = (n−1)△t, untuk n = 1,2,· · ·, N t. Akan dicari u(xj, tn) untuk
j= 1,2,· · · , N x, dan n= 1,2,· · ·, N t. Akan digunakan notasiunj ≡u(xj, tn).
Metode Courant-Isaacson-Rees tak lain adalah Metode FTBS (Forward Time Backward Space) dikenal juga sebagai metode upwind. sehingga persamaan beda untuk persamaan transport (3.1.1) adalah: unj+1−unj ∆t +d unj −unj−1 ∆x = 0. (3.1.3) atau unj+1 = (1−C)unj +Cunj−1, (3.1.4)
denganC ≡ d△△xt suatu bilangan Courant. Metode ini memiliki akurasiO(△t,△x).
Gambar 3.1.1: Stencil metoda upwind untuk persamaan transport.
Perhatikan domain perhitungan [0, L]×[0, T] yang telah dipartisi. Syarat awal (3.1.2) telah diketahui sehinggau1j, untukj = 1,2,· · ·, N xtelah diketahui. Untuk satu time-step berikutnya dengan 3.1.4 kita dapat menghitung u2j, untuk j = 2,· · · , N x, namun u21 tak dapat dihitung. Ini berarti untuk pendekatan numerik ini kita membutuhkan syarat batas kiri. Jika digunakan syarat batas kiri u(0, t) = 0 atau un1 = 0 untuk n = 1,2,· · ·, N t, maka FTBS dapat digunakan untuk menentukan unj, untuk setiap j = 1,2,· · · , N x,
n = 1,2,· · ·, N t. Perhatikan bahwa FTBS pada persamaan transport tidak membu-tuhkan syarat batas kanan.
Catatan: di sini syarat batas kiri kita tambahkan melulu untuk keperluan perhitungan numerik. Pilihan untuk syarat batas kiri tersebut tentu berragam. Jika kita ingin men-simulasikan situasi tertentu, pilihan syarat batas ini menjadi hal yang penting untuk dicer-mati. Lihat soal-soal pada akhir bab ini.
SRP
BAB 3. METODA BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN TIPE HIPERBOLIK 16 Kestabilan: Metode berikut ini disebut metode kestabilan von Neumann1 Substitusikan
unj =ρneiaj ke dalam (3.1.4). Setelah dibagi dengan unj, akan diperoleh
ρ= 1−C(1−e−ia).
atau
ρ= 1−C(1−cosa)−iCsina.
Persamaan beda stabil jika dan hanya jika|ρ|<1 atau |ρ|2 = (1−2Csin2a
2
)2
+ (Csina)2 ≤1,
1−4C(sin2 a2 + 4C2sin4 a2 + 4C2sin2a2cos2 a2 ≤1,
4Csin2a2) (−1 +Csin2 a2 +Ccos2a2) ≤0,
4C(C−1) sin2 a2 ≤0.
Ketaksamaan terakhir dipenuhi untuk setiapa∈R jika dan hanya jika 0≤C= d∆t ∆x ≤1.
Jadi, syarat kestabilan metode FTBS adalah 0≤ d∆t ∆x ≤1.
Konsistensi: Perhatikan ekspansi Taylor dari unj+1 dan unj−1 masing-masing di sekitar
unj berikut. unj+1 =unj + ∆t ∂u ∂t n j +1 2∆t 2 ∂2u ∂t2 n j +.... (3.1.5) unj−1 =unj −∆x ∂u ∂x n j +1 2∆x 2 ∂2u ∂x2 n j +.... (3.1.6)
Substitusikan (3.1.5) dan (3.1.6) ke dalam persamaan beda (3.1.4), dan setelah menggu-nakan hubungan ∂2u ∂t2 = ∂ ∂t ( −d∂u ∂x ) =−d ∂ ∂x ( ∂u ∂t ) =d2∂ 2u ∂x2.
akan diperolehmodified differential equation sebagai berikut:
( ∂u ∂t n j +d ∂u ∂x n j ) +1 2d(d∆t−∆x) ∂2u ∂x2 n j +....= 0. (3.1.7)
Suku pertama pada (3.1.7) tak lain adalah persamaan transport yang akan diselesaikan. Suku kedua dan seterusnya pada (3.1.7) tak lain adalah suku tambahan yang kita dapatkan saat kita bekerja dengan persamaan beda (3.1.4), dan disebuttruncation term.
truncation term = 1 2d(d∆t−∆x) ∂2u ∂x2 n j
Perhatikan bahwa jika ∆t → 0 dan ∆x → 0, maka truncation term→ 0. Jadi metode FTBS konsisten terhadap persamaan transport.
Catatan: Modified differential equationadalah persamaan yang diperoleh dari persamaan beda, yang mana beberapa sukunya diekspansikan ke dalam deret Taylor, sehingga akan ditemui suku-suku pada pdp semula. Suku-suku padamodified differential equation yang
1Terdapat tiga metode untuk menguji kestabilan suatu persamaan beda, yaitu von Neumann stability analisis, metode matriks, dan discrete perturbation method.
SRP
BAB 3. METODA BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN TIPE HIPERBOLIK 17 tidak terdapat pada pdp semula disebuttruncation term.
Pengamatan lebih lanjut, saat kita bekerja dengan persamaan beda (3.1.4) sebenarnya kita bukan menyelesaikan persamaan transport (3.1.1) melainkan menyelesaikan modified differential equation (3.1.7). Suku pertama daritruncation term akan nol jika dan hanya jika d∆t= ∆x (C= 1). Suku kedua daritruncation term adalah
( −1 3d 3∆t3+ 1 2d 2∆x∆t−1 6d∆x 3) ) uxxx|nj
dan akan bernilai nol jika C = 1. Ternyata hal ini juga berlaku untuk suku ketiga dan seterusnya pada truncation term. Jadi jikaC= 1 persamaan beda (3.1.4) ekuivalen den-gan (3.1.1). Denden-gan kata lain metode FTBS pada persamaan transport denden-gan C = 1 akan menghasilkan solusi eksak, dan uraian di atas adalah buktinya. Jika C < 1, maka suku pertamatruncation term berupa suku difusi ∂
2u
∂x2, dan akan menimbulkan error
nu-merik berupadamping.
3.1.2 Metode Richardson
Metode Richardson biasa disebut sebagai Metode FTCS (Forward Time Center Space), akurasim metode ini O(∆t,∆x2). Persamaan beda hingga untuk persamaan transport (3.1.1) adalah sebagai berikut:
unj+1−unj
∆t +d
unj+1−unj−1
2∆x = 0. (3.1.8)
Gambarkan stencil metode Richardson. Kestabilan: Substitusikan un
j = ρneiaj ke dalam (3.1.8), kemudian dibagi dengan unj,
maka persamaan (3.1.8) menjadi:
ρ−1 ∆t +d eia−e−ia 2∆x = 0, sehingga diperoleh ρ= 1−d∆t ∆xisina,
Perhatikan bahwa|ρ|>1 untuk setiapa∈R, ini berarti metode FTCS / metode Richard-son selalu tidak stabil.
3.1.3 Metode Lax
Metode ini merupakan perbaikan dari metode Richardson, yang mana nilai dariunj diganti menjadi rata-rata dariunj+1 dan unj−1, sehingga
∂u ∂t n j = unj+1− 12 ( unj+1+unj−1 ) ∆t +O(∆t), (3.1.9) ∂u ∂x n j = u n j+1−unj−1 2∆x +O(∆x 2). (3.1.10)
SRP
'12
BAB 3. METODA BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN TIPE HIPERBOLIK 18 Substitusikan (3.1.9) dan (3.1.10) ke (3.1.1) sehingga diperoleh persamaan beda sebagai berikut: unj+1− 12 ( unj+1+unj−1 ) ∆t +d unj+1−unj−1 2∆x = 0. (3.1.11)
Akurasi metode ini O(∆t,∆x2). Gambarkan stencil metode Lax. Kestabilan: Substi-tusikan unj =ρneia∆xj ke dalam (3.1.11), sehingga diperoleh:
ρ= 1 2 ( eia∆x+e−ia∆x)−1 2C ( eia∆x−e−ia∆x), denganC = d∆t
∆x. Kemudian juga dapat diperoleh, ρ= cosa∆x−iCsina∆x,
|ρ|= √cos2a∆x+C2sin2a∆x,
Jadi, jikaC = d∆t
∆x ≤1 maka |ρ| ≤1 untuk setiap a, jadi skema stabil.
Konsistensi: Perhatikan ekspansi Taylor dari unj+1 dan unj±1 masing-masing di sekitar
unj berikut. unj+1 =unj + ∆t ∂u ∂t n j +1 2∆t 2 ∂2u ∂t2 n j +.... (3.1.12) unj±1 =unj ±∆x ∂u ∂x n j +1 2∆x 2 ∂2u ∂x2 n j +.... (3.1.13)
Substitusikan (3.1.12) dan (3.1.13) ke dalam 3.1.11 akan menghasilkan
unj + ∆t ∂u ∂t n j + 1 2∆t 2 ∂2u ∂t2 n j +... = unj +1 2∆x 2 ∂2u ∂x2 n j +... −C ( ∆x ∂u ∂x n j + 1 3!(∆x) 3 ∂3u ∂x3 n j +... ) ∆t ∂u ∂t n j + 1 2∆t 2 ∂2u ∂t2 n j +... = 1 2∆x 2 ∂2u ∂x2 n j +...−d∆t ∂u ∂x n j − 1 3!d∆t∆x 2 ∂3u ∂x3 n j (3.1.14) Perhatikan bahwa di sini berlaku pers. transport (3.1.1), maka
∂2u ∂t2 n j =d2 ∂ 2u ∂x2 n j .
Sehingga diperoleh modified difference equation berikut
∆t ( ∂u ∂t +d ∂u ∂x ) +1 2∆x 2(C2−1) ∂2u ∂x2 n j +O(△x3,△t3)
Jelas bahwa suku truncation term akan menuju nol jika ∆x → 0 dan ∆t→ 0. Jadi per-samaan beda (3.1.11) konsisten.
SRP
BAB 3. METODA BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN TIPE HIPERBOLIK 19 Lebih jauh dapat dibuktikan bahwa, suku pertama truncation term yang berorde-2: O(∆x2) akan bernilai nol jika dan hanya jikaC= 1. Begitu juga dengan suku-suku truncation term berorde lebih tinggi (cek!). Jika C < 1, suku berorde-2 tersebut akan menimbulkan efek difusi. Selain itu, suku-suku truncation term yang merupakan turunan orde genap akan memberikan efek error numerik berupa difusi atau damping, disipasi, sedangkan suku-suku yang merupakan turunan orde ganjil akan memberikan efek error numerik berupa efek dispersi.
Terdapat sebuah aturan umum yang mengatakan bahwa approksimasi orde-1 bagi ∂t
akan menghasilkan error numerik berupa difusi sedangkan aproksimasi orde-2 bagi ∂t
akan menghasilkan error numerik berupa dispersi. Pada uraian selanjutnya akan dibahas metode beda hingga berorde-2.
3.1.4 Metode Lax - Wendroff One Step Pada metode ini digunakan hampiran sebagai berikut:
unj+1 =unj + ∆t ut|nj +
1 2∆t
2u
tt|nj +O(∆t3). (3.1.15)
Kemudian dari persamaan transport dapat diperoleh bahwa ut=−dux dan utt =d2uxx,
sehingga persamaan (3.1.15) menjadi
unj+1 =unj −∆t dux|nj − 1 2∆t 2d2u xx n j +O(∆t 3). (3.1.16)
Aproksimasiux danuxx dengancenter difference sehingga diperoleh persamaan beda dari
metode Lax-Wendroff One Step bagi persamaan transport sebagai berikut:
unj+1 =unj −C 2 ( unj+1−unj−1)+C 2 2 ( unj+1−2unj +unj−1)+O(∆t3,∆x3), (3.1.17) denganC = d∆t
∆x. Akurasi dari metode Lax - Wendroff One Step: O(∆t
2,∆x2).
Gambar 3.1.2: Stencil metode Lax-Wendroff One Step untuk persamaan transport.
Soal Latihan 3.1.1. 1. Implementasikan metoda upwind untuk persamaanut+ux=
0 dengan syarat awalu(x,0) = sin 8πx. Gunakan ∆x= 2.5×10−2dan ∆t= 2×10−2. Gambarkan solusi numerik bersama-sama dengan solusi eksaknya saat t = 1 dan hasilkan Gambar 3.1.3. Perhatikan bahwa metoda upwind memuat error berupa damping.
SRP
BAB 3. METODA BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN TIPE HIPERBOLIK 20
Gambar 3.1.3: Solusi numerik beserta solusi eksak dari metode upwind saat t= 1.
2. Buktikan syarat kestabilan metoda Lax-Wendroff: C = d∆t ∆x ≤1.
Tentukan suku pertama truncation term dari metoda Lax-Wendroff. Kerjakan Soal di atas dengan menggunakan metoda Lax-Wendroff. Gambarkan solusi numerik bersama-sama dengan solusi eksaknya saat t = 1 dan hasilkan Gambar 3.1.4. Per-hatikan bahwa error damping berkurang, namun solusi numerik memiliki error phase yang cukup nyata.
Gambar 3.1.4: Solusi numerik beserta solusi eksak dari metode Lax-Wendroff.
3. Terapkan metoda upwind dan metode Lax-Wendroff untuk mensimulasikan peram-batan gelombang awal berupa gelombang persegi, dan hasilkan gambar seperti Gam-bar 3.1.5.
4. Perhatikan persamaan transportut+bux = 0, denganbkonstanta real sebarang yang
tidak diketahui tandanya, dan syarat awal u(x,0) = f(x). Perhatikan persamaan beda dengan akurasi orde satu berikut
1 ∆t(u n+1 i −unj) =− b+ ∆x(u n i −uni−1)− b− ∆x(u n i+1−uni)
dengan b+ ≡ max(b,0) dan b− ≡ min(b,0). Implementasikan persamaan beda di atas. Pilih sendiri syarat awal f(x).
SRP
BAB 3. METODA BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN TIPE HIPERBOLIK 21
Gambar 3.1.5: Perbandingan antara solusi eksak dan numerik dari metoda upwind (kiri) dan metode Lax-Wendroff (kanan) sesudah 25, 50 dan 75 timestep.
(a) Jika b > 0, syarat batas apa yang diperlukan? pilih sendiri. Hasil apa yang Anda lihat?
(b) Pertanyaan yang sama seperti di atas untukb <0. Berikut ini adalah metode-metode lainnya.
Soal Latihan 3.1.2. 1. Metode Leapfrogmemiliki akurasiO(∆t2,∆x2). Persamaan beda untuk persamaan transport (3.1.1) dengan metode ini adalah
unj+1−unj−1
2∆t +d
unj+1−unj−1
2∆x = 0, (3.1.18)
atau dapat ditulis sebagai berikut:
unj+1 =unj−1−C(unj+1−unj−1),
dengan C = d∆t
∆x. Gambarkan stencil metoda Leapfrog. Buktikan bahwa syarat
kestabilan Metode Leapfrog adalah C = d∆t
∆x ≤ 1. Buktikan bahwa suku pertama
truncation term berupa dispersi (memuat sukuuxxx). Detailnya dapat dilihat pada
Hoffmann hal. 588.
2. (Metode Lax-Richtmyer two step) memiliki keakuratan O(∆t2,∆x2). Pada metode ini digunakan dua hampiran sebagai berikut:
ujn+2=unj −C(unj+1+1−unj−+11), (3.1.19)
SRP
BAB 3. METODA BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN TIPE HIPERBOLIK 22 unj+1= 1 2(u n j+1+unj−1)− C 2(u n j+1−unj−1), (3.1.20) denganC = d∆t
∆x. Substitusikan (3.1.20) ke dalam (3.1.19) untuk memperoleh
per-samaan beda berikut ini,
unj+2=unj −C 2(u n j+2−unj−2) + C2 2 (u n j+2−2unj +unj−2). (3.1.21)
Perhatikan bahwa persamaan beda (3.1.21) tepat sama dengan persamaan beda dari metoda Lax-Wendroff untuk lebar selang 2∆tdan 2∆x, yaitu (3.1.17). Dengan demikian, pembahasan mengenai kestabilan, kekonsistenan, dll. pada metode ini sama persis dengan pembahasan pada metode Lax-Wendroff one step. Gambarkan stencil metode Lax - Richtmyer two step.
3.2
Persamaan Gelombang
Perhatikan persamaan gelombang
utt−c2uxx= 0, c2=
T
ρ (3.2.1)
dengan syarat awal
u(x,0) =ϕ(x), ut(x,0) =ψ(x). (3.2.2)
Terapkan beda pusat pada kedua sukunya menghasilkan persamaan beda dengan akurasi O(∆t2,∆x2) berikut unj+1−2unj +unj−1 ∆t2 =c 2u n j+1−2unj +unj−1 ∆x2 , (3.2.3)
atau dapat ditulis sebagai berikut:
unj+1 =S(unj+1+unj−1) + 2(1−S)unj −unj−1, (3.2.4) denganS = c 2(∆t)2 (∆x)2 . -1 S S 2-2S
Gambar 3.2.1: Stencil metode beda hingga untuk persamaan gelombang.
Perhatikan bahwa persamaan beda (3.2.4) membutuhkan dua baris syarat awal, sementara permasalahan kita hanya mempunyai syarat awal (3.2.2), yang berarti u0j, untuk j = 1,· · · , N x. Bagaimana mendapatkanu1j? Perhatikan yang berikut, terapkan beda pusat dengan akurasiO(∆t2) pada ut|0j:
u1j −u−j1
2∆t =ψj. (3.2.5)
SRP
BAB 3. METODA BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN TIPE HIPERBOLIK 23 Persamaan (3.2.4) untuk n= 0 menghasilkan
u1j =S(u0j+1+u0j−1) + 2(1−S)u0j −u−j1,
dan karena−u−j1 = 2∆tψj −u1j, maka dapat diperoleh:
u1j = S 2(ϕ
0
j+1+ϕ0j−1) + (1−S)ϕ0j + ∆tψj. (3.2.6)
Jadi, persamaan beda (3.2.3) dapat diterapkan dengan
u0j =ϕj. (3.2.7)
dan (3.2.6) sebagai dua baris nilai awal. Hampiran orde rendah bagiut|0j, yaitu
u1j −u0j
∆t =ψj+O(∆t),
sehingga
u1j =ϕj+ ∆tψj +O(∆t2),
dapat digunakan sebagai nilai awal, namun akurasiO(∆t) tidak memenuhi syarat karena akurasiO(∆t) yang rendah ini akan masuk dan ’tersebar’ ke dalam domain perhitungan sehingga akurasi dari keseluruhan perhitungan hanya dapat dikatakan berorde-1 saja, dan akurasi orde-2 dari persamaan beda (3.2.4) menjadi sia-sia.
Kestabilan: Substitusikanunj =ρnηj dimanaη=eia∆x ke dalam (3.2.4) sehingga diper-oleh
ρ−2 +1
ρ =S(η−2 +
1
η) = 2S(cosa∆x−1) = 2p,
yang dapat disederhanakan menjadi
ρ2−2(1 +p)ρ+ 1 = 0.
Dengan demikian, diperoleh akar-akar berikut ini
ρ1,2 = (1 +p)±
√
p2+ 2p , p≤0.
Nilai dariρ1,2 terbagi menjadi dua kasus yaitu:
1. Jika p2 + 2p > 0 , p < −2, diperoleh bahwa ρ1,2 bernilai real dan salah satu
di-antaranya bernilai<−1. Jadi, skema tidak stabil.
2. Jika p2 + 2p < 0 , −2 < p ≤ 0, diperoleh bahwa ρ1,2 = (1 +p)±i
√
−p2−2p
merupakan bilangan kompleks dengan|ρ1,2|= 1. Jadi ρ1,2= cosθ+isinθ.
3. Jikap=−2, maka akan dipeolehρ=−1.
Dengan demikian, skema beda hingga stabil jika p∈[−2,0], ∀a. Hal ini akan terjadi jika dan hanya jika:
−2≤S(cosa∆x−1)≤0 , ∀a
dan karena−2≤cosa∆x−1≤0 , ∀a, maka batasan untuk S adalah −2≤ −2S≤0⇔0< S ≤1.
SRP
BAB 3. METODA BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN TIPE HIPERBOLIK 24 Jadi syarat kestabilan untuk skema ini adalah
S=c2(∆t ∆x)
2 ≤1. (3.2.8)
Ilustrasi garis-garis karakteristik pada persamaan gelombang dapat dilihat pada Gam-bar 3.2.2. Pada gamGam-bar tersebut dapat dilihat bahwa jika untuk S = 1, yang berarti ∆t=c∆x, maka garis karakteristik melewati titik-titik grid. Sedangkan jikaS <1, yang berarti ∆t < c∆x, maka garis karakteristik lebih curam yang berarti kecepatan gelom-bang hasil numerik lebih kecil daripada kecepatan sebenarnya. Sehingga syarat kestabilan persamaan gelombang (3.2.8) mengartikan bahwanumerical propagation speed tidak bisa lebih besar daricontinuous propagation speed. (Strauss hal 204.)
(a)
(b)
Gambar 3.2.2: Garis karakteristik persamaan gelombang untuk (a) S = 1 ⇔ ∆t=c∆x, (b)S <1⇔∆t < c∆x.
Konsistensi: Perhatikan dua uraian Taylor berikut:
unj±1 =ujn±∆t ut|nj + 1 2∆t 2u tt|nj ± O(∆t3) + 1 2∆t 4u 4t|nj +.... (3.2.9) unj±1 =ujn±∆x ux|nj + 1 2∆x 2 u xx|nj ± O(∆x 3) +1 2∆x 4 u 4x|nj +.... (3.2.10)
Dari persamaan (3.2.9) dan (3.2.10) diperoleh:
unj+1+unj−1 = 2 ( unj + 1 2∆x 2u xx|nj + 1 4!∆x 4 u 4x|nj +.... ) (3.2.11) unj+1+unj−1 = 2 ( unj +1 2∆t 2 u tt|nj + 1 4!∆t 4u 4t|nj +.... ) (3.2.12) Kemudian substitusikan (3.2.11) dan (3.2.12) ke dalam persamaan beda (3.2.4) dan dengan sedikit manipulasi aljabar akan didapatkan
2unj + ∆t2utt|nj + 2 4!∆t 4 u 4t|nj −2Sunj −S∆x2 uxx|nj −S 2 4!∆x 4 u 4x|nj = 2(1−S)unj,
yang dapat disederhanakan menjadi (∆t)2(utt−c2uxx)|nj +
2 4!((∆t)
4u
4t−S(∆x)4u4x)|nj .
Jelas bahwa skema konsisten. Lebih jauh lagi suku pertamatruncation terms-nya adalah 2 4!((∆t) 4u 4t−S(∆x)4u4x) = 2 4!((∆t) 4c2u 4x−S(∆x)4u4x) = 2 4!(∆x) 4(S2−S)u 4x,
yang berupa suku difusi, dan akan bernilai nol jika dan hanya jika S2 −S = 0 atau
S = c
2(∆t)2
(∆x)2 = 1.
SRP
BAB 3. METODA BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN TIPE HIPERBOLIK 25 Soal Latihan 3.2.1. 1. (Standing wave)Untukktertentu, tentukanωsehingga fungsi
u(x, t) = coskxcosωt solusi bagi persamaan gelombang utt−c2uxx = 0. Gunakan
Maple untuk mensimulasikan solusistanding wavetersebut.
2. Perhatikan persamaan gelombangutt =uxx, untuk 0≤x≤10, dengan syarat batas
ux(0, t) = 0 dan u(10, t) = 0, dan syarat awalut(x,0) = 0 dan
u(x,0) =
{ 2
16(x−3)2(x−7)2, 3≤x≤7
0, untukx lainnya
(a) Terapkan skema beda hingga orde-2 untuk persamaan gelombang. Gunakan pula hampiran orde-2 untuk menaksiru(x,∆t), juga untuk syarat batas kiri. (b) Jika dipilih ∆x= 1, diperoleh suatu hampiran bagi simpangan awal berikut
u(x,0) = 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0
Hitung u(x, t) untuk beberapa selang waktu (hand-calculation), pilih ∆t = 1. Apa yang Anda lihat pada batas?
(c) Implementasikan dan simulasikan perpecahan gundukan awal sampai gelom-bang pecahannya menabrak batas kanan dan kiri, kemudian berbalik. Amati-lah!
(d) Kerjakan soal (c) namun simpangan awal nol, dan kecepatan awal
u(x,0) = { 1, |x−5| ≤1 0, x lainnya.
SRP
'12
Bab 4
Persamaan Difusi
Persamaan difusi adalah persamaan tipe hiperbolik. Dalam uraian berikut ini persamaan difusi akan diformulasikan berdasarkan prinsip kesetimbangan energi. Perhatikan masalah distribusi panas pada suatu batang penghantar yang panjangnya L. Misalkan u(x, t) menyatakan suhu pada posisixsaatt. Perhatikan elemen batang dengan batas kirixdan batas kananx+ ∆x, internal energi pada elemen tersebut adalahρc u(¯x, t)∆x, denganc, ρ
berturut-turut menyatakanspecific heat, rapat massa batang. Jika dimisalkan fluks aliran panas sebagai fungsif(u), maka selama selang waktu ∆t, perubahan internal energi pada elemen batang adalah
x+ Dx
( )
f u
f u
( )
ρc(u|t+∆t−u|t)∆x= (f(u)|x−f(u)|x+∆x)∆t
Jika kedua ruas dibagi dengan ∆t∆x, dan sete-lah diambil limitnya, diperoleh:
ρcut+ (f(u))x = 0. (4.0.1)
Persamaan 4.0.1 denganρcdianggap 1 atauut+(f(u))x= 0 merupakan bentuk umum
per-samaan konservasi bagi masalah-masalah konservasi lainnya, misalnya konservasi massa. Tentunya setiap proses penurunan persamaan konservasi tertentu memerlukan formulasi yang cermat.
Jika selanjutnya diterapkan hukum Fick’s: fluks energi sebanding dengan gradien tem-peratur: fluks=−κux,denganκmenyatakan heat conductivities. maka persamaan (4.0.1)
menjadi persamaan difusi
ut=kuxx, (4.0.2)
dengan k = ρcκ. Konstanta difusi k > 0 menyatakan koefisien penghantar panas, dan berdimensi [L2]/[T]. Tanda negatif pada hukum Fick’s berarti arah aliran searah dengan arah berkurangnya suhu.
Alternatif lain, persamaan difusi dapat juga diperoleh melalui formulasi integral. Internal energi dari elemen batang adalah∫xx+∆xρcu dx, sedangkan laju perubahannya bergantung pada fluks masuk dikurangi fluks ke luar
d dt ∫ x+∆x x ρcu dx=f(u)|x−f(u)|x+∆x. 26
SRP
'12
BAB 4. PERSAMAAN DIFUSI 27 Perhatikan bahwa di sini batas kiri dan kananx dan x+ ∆xtidak bergerak sehingga
d dt ∫ x+∆x x ρcu dx= ∫ x+∆x x ρcutdx = ∫x+∆x x (−f(u))x dx ∫ x+∆x x ρcut+ (f(u))x dx= 0.
Karena relasi di atas berlaku untuk setiap x dan ∆x, maka berarti haruslah integran bernilai nol, atauu(x, t) memenuhi persamaan (4.0.1). Jika selanjutnya dimisalkan berlaku hukum Ficks: f(u) =−κux, denganκ >0, maka u(x, t) memenuhi persamaan difusi
ut=kuxx, (4.0.3)
dengank= ρcκ. Selain sebagai persamaan pengatur masalah distribusi panas, persamaan difusi juga merupakan persamaan pengatur proses melarutnya tinta dalam zat pelarut tertentu, dan konstanta difusi kmenyatakan seberapa cepat tinta dapat terlarut.
Terdapat tiga tipe syarat batas:
1. Syarat batas tipeDirichlet: jika nilaiudiketahui. Pikirkan situasi yang bersesuaian dengan syarat batas kiri Dirichlet homogen: u(0, t) = 0 (masalah panas & masalah tinta)
2. Syarat batas tipe Neumann: jika turunan dari u diketahui. Pikirkan situasi yang bersesuaian dengan syarat batas kanan Neumann homogen: ux(L, t) = 0 (masalah
panas & masalah tinta)
3. Syarat batas tipe Robin: kombinasi dari Dirichlet dan Neumann. Pikirkan situasi yang bersesuaian dengan syarat batas kanan Robin: ux(L, t) =u(L, t). Uraian lanjut
mengenai arti fisis syarat batas Robin dapat dilihat pada Strauss Section 4.3. [Strauss 1.4 no 5] Dua batang penghantar berpenampang sama...
4.1
Prinsip Maksimum
Teorema 4.1.1. Prinsip Maksimum: Solusi persamaan difusi (5.0.1) pada ’persegi pan-jang’ [0, L]×[0,∞) memenuhi
u(x, t)≤max u pada batas ’persegi panjang’,
Dengan kata lain, solusi persamaan difusi u(x, t) mencapai ekstrim pada saat awal t= 0 atau pada batas kiri x= 0 atau kanan x=L:
u(x, t)≤max{u(x,0), u(0, t), u(L, t)}.
Prinsip Maksimum versi kuat: Solusi persamaan difusi (5.0.1) pada persegi panjang[0, L]×
[0,∞) memenuhi
u(x, t)<max{u(x,0), u(0, t), u(L, t)}, atauu(x, t) =konstan.
Pikirkan kesesuaian prinsip maksimum pada masalah distribusi tinta. Bukti prinsip maksimum: Strauss hal 41.
SRP
BAB 4. PERSAMAAN DIFUSI 28 Coba buktikan prinsip minimum berikut.
Jikau(x, t) solusi persamaan difusi pada persegi panjang [0, L]×[0,∞) maka berlaku min{u(x,0), u(0, t), u(L, t)} ≤u(x, t).
Gabungan antara versi kuat prinsip maksimum dan mininum adalah: solusi u(x, t) dari persamaan difusi memenuhi
min{u(x,0), u(0, t), u(L, t)}< u(x, t)<max{u(x,0), u(0, t), u(L, t)}, atau u(x, t) = konstan.
Ketunggalan
Selanjutnya kita akan membuktikan ketunggalan solusi persamaan difusi dengan syarat batas tipe Dirichlet berikut:
ut−kuxx =f(x, t), 0< x < L, t >0 u(x,0) =ϕ(x) u(0, t) =g(t), u(L, t) =h(t) (4.1.1)
Bukti: Misalkanu1(x, t) danu2(x, t) merupakan dua solusi (4.1.1) akan ditunjukkan bahwa
u1(x, t) =u2(x, t). Tuliskan w(x, t)≡u1(x, t)−u2(x, t), maka w(x, t) memenuhi
wt−kwxx= 0, 0< x < L, t >0 u(x,0) = 0 w(0, t) = 0, w(L, t) = 0 (4.1.2)
Terapkan prinsip maksimum dan minimum pada persamaan difusi dengan syarat batas dan syarat awal di atas akan menghasilkanw(x, t) = 0 atauu1(x, t) =u2(x, t).
Alternatif: metoda energi untuk membuktikan ketunggalan solusi masalah difusi. Mis-alkan u1(x, t) dan u2(x, t) merupakan dua solusi (4.1.1), misalkan w(x, t) ≡ u1(x, t)−
u2(x, t), maka w(x, t) memenuhi (4.1.2).
0 = 0·w= (wt−kwxx)w= (1/2w2)t+ (−kwxw)x+kwx2.
Integralkan terhadapx dengan batas 0 danL, maka
0 = ∫ L 0 (1/2w2)t dx−kwxw|xx==0L+k ∫ L 0 w2x dx atau d dt ∫ L 0 1 2w 2 dx=−k ∫ L 0 w2x dx.
Berarti∫0L w2 dx turun untuk setiapt≥0
∫ L 0 w2 dx≤ ∫ L 0 w(x,0)2 dx,
Sedangkan∫0L w(x,0)2 dx= 0, jadiw≡0 atau u1(x, t) =u2(x, t).
Interpretasi syarat batas Robin bagi persamaan difusi (soal Strauss 2.3 no 8). Perhatikan persamaan difusi ut = kuxx pada domain 0 < x < L, t > 0 dengan syarat batas Robin
SRP
BAB 4. PERSAMAAN DIFUSI 29
ux(0, t)−a0u(0, t) = 0, dan ux(L, t)−aLu(L, t) = 0. Jika a0 > 0 dan aL >0, gunakan
metoda energi untuk membuktikan bahwa kedua titik ujung berperan dalam berkurangnya
∫L
0 u2(x, t) dx. Dengan kata lain, sebagian dari energi hilang melalui batas, dan syarat
batas ini dikenal sebagai syarat batas’radiating’ atau ’dissipative’. Soal: Buktikan ketunggalan solusi persamaan difusi non-linear berikut
ut=uxx−u3, x∈[0, L], t >0
u(0, t) =u(L, t) = 0
u(x,0) =f(x) Kestabilan
Misalkan ui(x, t) untuk i = 1,2 masing-masing nerupakan solusi (4.1.1) dengan syarat
awalu(x,0) =ϕi(x, t) untuk i= 1,2. Akan ditunjukkan bahwa untuk setiap ε >0,
terda-patδ >0 sehingga|ϕ1−ϕ2|< δ berakibat |u1−u2|< ε.
Bukti: Tuliskan w(x, t)≡u1(x, t)−u2(x, t), makaw(x, t) memenuhi persamaan difusi
ut−kuxx = 0, 0< x < L, t >0 u(x,0) =ϕ1(x)−ϕ2(x) u(0, t) = 0, u(L, t) = 0
Penerapan prinsip maksimum menghasilkan
w(x, t)≤max{ϕ1−ϕ2,0} ≤maxx|ϕ1−ϕ2|,
sedangkan penerapan prinsip minimum menghasilkan min{ϕ1−ϕ2,0} ≤w(x, t).
Lebih jauh lagi dapat diperoleh hubungan
−max|ϕ1−ϕ2| ≤ −max{ϕ2−ϕ1,0}= min{ϕ1−ϕ2,0} ≤w(x, t).
Sehingga akhirnya diperoleh
−maxx|ϕ1−ϕ2| ≤w≤maxx|ϕ1−ϕ2|
atau
|w|=|u1−u2| ≤maxx|ϕ1−ϕ2|.
Tugas: Buktikan kestabilan solusi persamaan difusi menggunakan metoda energi.
4.2
Fungsi Green
Solusi persamaan difusi (5.0.1) untuk x ∈ R dengan syarat awal u(x,0) = ϕ(x) dapat direpresentasikan secara eksplisit:
u(x, t) =
∫ ∞
−∞S(x−y, t)ϕ(y)dy, (4.2.1)
dengan fungsi Green S(x, t) adalah
S(x, t) = √1 4πkt e
−x2/4kt
, t >0. (4.2.2)
Fungsi S(x, t) dikenal dengan nama fungsi Green. Nama lainnya: Gaussian, propagator, fundamental so-lution. Tampak dari Gambar 1.6 bahwa kurvaS(x, t) menurun menuju nol seiring dengan bertambahnya waktut.
