Zona Fisika | Blogger Lampung Tengah

Dinamika Magnetofluida Abelian dan

non-Abelian dengan

Lagrangian Gauge

Tugas Akhir

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk meraih gelar Sarjana Sains

Andrias Fajarudin

0304027021

Departemen Fisika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Indonesia

Lembar Persetujuan

Judul Skripsi : Dinamika Magnetofluida dengan Lagrangian Gauge

Nama : Andrias Fajarudin

NPM : 0304027021

Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui

Depok, Februari 2008

Mengesahkan

Pembimbing I Pembimbing II

Dr. L. T. Handoko Dr. Terry Mart

Penguji I Penguji II

Dr. Imam Fachruddin Dr. Agus Salam

Mengetahui,

Ketua Program Peminatan Fisika Nuklir dan Partikel

Untuk keluargaku : Abah, Mamah, Lia

’Semua akan menjadi lebih baik bila kita tetap bersama....’

Kata Pengantar

Teori Gauge pada fisika partikel merupakan formalisme matematik yang

digu-nakan untuk menjelaskan unifikasi antar medan. Teori yang telah ada adalah

model standar yang mengunifikasi elektromagnetisme, gaya lemah, dan gaya ku-at. Untuk menjelaskan unifikasi ketiga gaya fundamental ini digunakan simetri

grup SU(3)⊗ SU(2)⊗U(1). Ide unifikasi medan-medan melalui teori gauge

ini memotivasi saya untuk menyusun model magnetofluida standar seperti pada

magnetohidrodinamika.

Hasil eksperimen pada BNL ( Brookhaven National Laboratory ) dengan

meng-gunakan RHIC ( Relativistic Heavy Ion Collider ) menunjukkan bahwa gluon

dan quark tidak membentuk materi hadron pada temperatur yang sangat tinggi,

tetapi membentuk fase baru yaitu plasma quark-gluon[2, 5]. Hasil yang

dia-mati menunjukkan bahwa plasma Quark-gluon memiliki kerapatan tinggi, tetapi

mengalir dengan nilai viskositas yang sangat kecil seperti fluida ideal, sehingga memenuhi hukum dasar Hidrodinamika. Untuk itulah model magnetofluida yang

saya susun akan diperluas untuk kasus medan fluida non-Abelian sehingga relevan

untuk sistem quark-gluon plasma. Terdapat model lain yang menjelaskan sistem

QGP, yaitu dengan model hybridmagnetofluid unification[2]. Model yang saya

buat ini sekaligus mengkoreksi model yang telah ada ini dalam hal suku kinetik

pada lagrangian. Penulis secara khusus mengucapkan terima kasih kepada semua

pihak yang telah membantu penyelesaian tugas akhir ini baik secara langsung

maupun tidak langsung, antara lain:

1. Allah.SWT sang pemilik semesta atas segala rahmat, rejeki, dan

karunia-NYA.

berjuang. Terimakasih untuk Abah dan mamah atas pelajaran hidupnya

selama ini, saya yakin suatu saat nanti keadaan kita akan lebih baik seperti dulu lagi...

3. Special thanks, Terimakasih sebesar-besarnya kepada Dewi Kusumaningrum,

saya tidak akan sampai di tahap ini tanpa semua bantuan, semangat,

mo-tivasi, dan perhatian dari kamu.

4. Herman Saheruddin selaku kakak, thanks telah menularkan kecanduan

fisi-ka pada saya.

5. Dr. L.T. Handoko selaku pembimbing I yang telah membimbing penulis

mulai dari awal diskusi hingga penyelesaian tugas akhir ini serta atas ide-ide

yang brilian dan motivasi hidup yang membuat saya menjadi lebih optimis

dan yakin untuk tetap dalam bidang fisika partikel.

6. Dr. Terry Mart selaku pembimbing II dan ketua peminatan Fisika Nuklir dan Partikel atas bimbingan dan dukungan yang diberikan baik itu selama

kuliah maupun pengerjaan tugas akhir ini.

7. Dr. Imam Fachrudin, Dr. Agus Salam dan Dr. Budhy Kurniawan selaku

penguji I,II dan ketua sidang.

8. Rekan-rekan di Lab Teori : Sandi ( Mr. Jomblo ) thanks atas

kebaikan-nya selama ini, Andhika Oxalion, Ryky, Beriya, Popo, Hans, Pak Ayung (

thanks atas cerita pengalaman hidupnya), Pak Sulaiman .

9. Teman-teman fisika angkatan 2004 dan teman-teman di salemba group.

Saya menyadari bahwa karya tulis ini masih jauh dari sempurna karena

keterba-tasan pengetahuan saya, maka dari itu saya mengharapkan kritik dan saran dari

para pembaca demi perkembangan riset di Fisika UI.

Depok, Februari 2008

Andrias Fajarudin

Abstrak

Dibangun Sebuah lagrangian untuk menyatukan interaksi elektromagnetik dan dinamika fluida. Lagrangian ini memiliki simetri terhadap transformasi gauge

lokalU(1)F D⊗U(1)G danG(n)F D⊗G(n)G. Dari lagrangian ini kita akan

menu-runkan seluruh persamaan gerak untuk seluruh medan dan rapat energi sistem

magnetofluida yang akan diaplikasikan untuk plasma quark-gluon.

Kata kunci: Transformasi gauge lokal, Plasma quark-gluon

viii+32 hlm.; lamp.

Daftar Acuan: 10(1945-2008)

Abstract

A lagrangian for unifies elektromagnetic interaction and fluid dynamics is

de-veloped. The lagrangian have a symmetry under local gauge transformation

U(1)F D ⊗U(1)EM and G(n)F D⊗G(n)G. From this lagrangian we will derive all

the equation of motion of field and the energy density of magnetofluid system

which will be applied for quark-gluon plasma.

Keywords: Local gauge transformation, Quark-gluon plasma

viii+32 pp.; appendices.

Daftar Isi

Kata Pengantar ii

Abstrak iv

Daftar Isi v

Daftar Gambar vii

1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . 2

1.3 Metode Penelitian . . . 2

1.4 Tujuan Penelitian . . . 3

2 Magnetohidrodinamika 4 2.1 Persamaan Gerak Plasma . . . 4

2.2 Quark dan Plasma Quark-Gluon . . . 5

3 Unifikasi Magnetofluida dengan prinsip Gauge 9 3.1 Unifikasi Magnetofluida dengan TeoriGauge Abelian . . . 9

3.2 Persamaan Maxwell Magnetofluida . . . 15

3.3 Persamaan Gerak Magnetofluida untuk limit non-Relativistik . . . 16

3.4 Model Magnetofluida dengan medan gauge non-Abelian . . . 17

3.5 Persamaan Gerak Magnetofluida Abelian untuk limit non-Relatisvistik . . . 20

3.6 Aplikasi Unifikasi Magnetofluida non-Abelian pada Plasma Quark-Gluon . . . 22

4 Perhitungan Energi Magnetofluida berbasis Teori Gauge 25

4.1 Energi Plasma non-Abelian . . . 25 4.2 Energi density QGP . . . 28

5 Hasil dan Pembahasan 30

6 Kesimpulan 34

A Mekanika Kuantum Relativistik 35

A.1 Aljabar Dirac . . . 35

A.2 Natural Units . . . 37

B Analisis Tensor 39

B.1 Transformasi Koordinat . . . 39

B.2 Vektor-Vektor Kontravarian dan Kovarian . . . 39

B.3 Tensor-Tensor Kontravarian, Kovarian dan Tensor campuran . . . 40

B.4 Tensor Simetrik dan Asimetrik . . . 40

Daftar Gambar

2.1 Quark dan Gluon pada Hadron. Quark terikat bersama dengan

quark lainnya (confined) dengan kondisi colour-netral membentuk

hadron . . . 8 2.2 Quark dan Gluon pada plasma Quark-Gluon. Quark tidak

beri-katan membentuk hadron tetapi bergerak bebas pada fireball

(de-confined). Fireball terbentuk pada temperatur diatas 100 MeV,

atau sekitar 1013_{K . . . . 8}

5.1 H= rapat energi QGP, Hg= rapat energi gluon, ρq = 1, Jq =

1, αs= 1, φ= 0.8 . . . 33

Bab 1

Pendahuluan

1.1

Latar Belakang

Hasil eksperimen tumbukan relativistik antara ion-ion berat pada energi

ting-gi dengan RHIC pada BNL menunjukkan bahwa pada temperatur yang sangat

tinggi quark tidak lagi berikatan membentuk materi hadron tetapi membentuk

fase baru dari materi yaitu plasma. Plasma yang terbentuk berupa fireball yang

terdiri dari gluon dan quark yang memiliki muatan non-Abelian yaitu warna (

co-lour). Hal ini lah yang memotivasi saya untuk menyusun teori magnetofluida

non-Abelian (diawali dengan teori magnetofluida dengan muatan abelian) yang

ekuivalen dengan model standar yaituMagnetohydrodynamics . Terdapat model

yang mendeskripsikan fluida relativistik bertemperatur tinggi dengan

menghibri-disasi medan elektromagnet dan medan fluida. Unifikasi kedua medan dinyatakan

dengan effective field strength tensor, Mµν ≡Fµν +m/qSµν dimana Fµν dan Sµν

merupakan tensor kuat medan dari medan elektromagnetik dan medan fluida.

Metode ini telah dikembangkan untuk kasus non-Abelian. Pada skripsi ini saya

bertujuan membuat model yang sama tapi dengan metode yang berbeda yaitu

dengan pendekatan Lagrangian yang memiliki simetri gauge. Metode ini meng-koreksi model unifikasi yang telah ada[2, 5] pada aspek:

• Dari sudut pandang teori medan, fluida dan medan gauge lainnya

meru-pakan medan yang berbeda, sehingga harus memiliki suku kinetik yang

berbeda pada lagrangian. Sedangkan pada model hybridmagnetofluid

uni-fication, akan terdapat suku kinetik pada lagrangian yaitu MµνMµν yang

1.2

Perumusan Masalah

Terdapat suatu model yang menjelaskan sistem magnetofluida, model ini

meng-gabungkan 2 medan yang berbeda melalui effective strength tensor. Kelemahan

model ini adalah menggabungkan dua medan yang berbeda ( medan fluida dan

medan gauge ) dalam suku kinetik yang sama pada lagrangian. Padahal pada

segi pandang teori medan hal ini tidak boleh terjadi. Untuk itu dibuat model

lain yang menggunakan pendekatan lagrangian dengan menyertakan simetri

ga-uge. Simetri gauge dikerjakan pada setiap medan fluida dan medan gauge lain

yang berinteraksi dengan medan fluida. Analog dengan teori unifikasi pada fisika partikel maka model unifikasi magnetofluida disusun berdasarkan :

• Fluida Abelian berinteraksi dengan medan elektromagnetik dengan simetri

U(1)F ⊗U(1)G.

• Fluida non-Abelian berinteraksi kuat dengan medan gauge non-Abelian

de-ngan simetri G(n)F ⊗G(n)G

• Fluida non-Abelian berinteraksi dengan medan elektromagnetik dengan si-metri G(n)F ⊗U(1)G

Dengan simetri gauge ini maka akan didapatkan lagrangian total yang

suku-sukunya menjelaskan interaksi antara materi, medan fluida dan medan gauge

yang lain. Dari lagrangian ini akan diturunkan persamaan gerak untuk

mate-ri dan medan fluida yang bemate-rinteraksi dengan medan gauge. Pada limit

non-relativistik maka akan didapatkan persamaan gerak klasik untuk medan fluida.

Selanjutnya akan dikaji konsekuensi-konsekuensi fisis dari model ini.

1.3

Metode Penelitian

Penelitian ini bersifat teoritik. Teori yang digunakan ialah teori unifikasi dengan

pendekatan lagrangian. Dengan mengerjakan simetri gauge pada masing-masing

medan maka akan didapatkan lagrangian total dengan suku-suku interaksi antara

medan fluida dan medan gauge. Dengan lagrangian ini akan disusun persamaan

gerak medan fluida relativistik dan untuk limit non-relativistik . Setelah itu dapat

dihitung besaran-besaran fisis yang merupakan konsekuensi dari model ini.

1.4

Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk menyusun teori magnetofluida sekaligus

mengko-reksi teori yang sudah ada. Dengan model ini maka akan diturunkan persamaan

gerak medan fluida relativistik dan non-relativistik. Besaran fisis seperti energi,

Bab 2

Magnetohidrodinamika

Pada bab ini akan dibahas secara umum persamaan gerak dari plasma yang dinyatakan oleh persamaan momen dan secara singkat tentang quark dan plasma

quark-gluon.

2.1

Persamaan Gerak Plasma

Plasma didefinisikan sebagai gas yang terdiri dari partikel-partikel bermuatan

lis-trik yang bergerak bebas yaitu elektron dan ion. Plasma terbentuk pada

tempera-tur tinggi ketika elektron-elektron terpisah dari atom netral. Plasma merupakan

fase keempat dari materi karena memiliki sifat yang berbeda dengan zat padat, dan fluida ( zat cair dan gas ). Magnetohidrodinamika merupakan cabang ilmu

fisika yang mempelajari interaksi antara plasma dengan medan elektromagnetik.

Persamaan magnetohidrodinamika dinyatakan dengan persamaan momen yang

diturunkan dari persamaan Boltzmann-Vlasov [10]. Untuk plasma yang terdiri

dari satu spesies persamaan momennya didefinisikan :

∂n

∂t +∇ ·(~un) = 0 (2.1)

dan

ρ

∂~u

∂t + (~u· ∇)~u

=ρqE~ +~j×B~ −

3 X

j=1

∂pij

∂xj

(2.2)

dimana n, ρ, dan ρq adalah rapat partikel, rapat massa, dan rapat muatan. ~u

adalah kecepatan fluida rata-rata dan ~j adalah rapat arus. E~ dan B~ adalah

medan elektromagnetik total yaitu dari sumber luar dan dari sumber ρq dan

~j. Suku terakhir pada persamaan kedua adalah tensor gradien tekanan, dimana untuk kasus fluida homogen dan isotropik [9] berbentuk :

−

dimana p adalah tekanan skalar,~uadalah kecepatan medan danηadalah koefisien

viskositas. Dengan menganggap fluida inkompresibel maka ∇ ·~u = 0 sehingga

persamaan gerak fluidanya menjadi :

∂~u

Untuk plasma yang terdiri dari dua spesies, misalkan ion dan elektron maka

persamaan momen dinyatakan dengan :

∂ne

∂t +∇ ·(neu~e) = 0 (2.5)

∂nI

∂t +∇ ·(nIu~I) = 0 (2.6)

yang merupakan persamaan kekekalan jumlah partikel, dimana elektron

bermu-atan -q bermassa m dan ion bermubermu-atan q bermassa M. Dengan mengabaikan

koefisien viskositas maka persamaan gerak masing-masing fluida dapat dituliskan

:

medan elektromagnetik E~ dan B~ ditentukan dari persamaan maxwell dengan

rapat muatan ρq dan rapat arus~j diyatakan dengan :

ρq = q(nI−ne) (2.9)

~j = q(nIu~I−neu~e) (2.10)

2.2

Quark dan Plasma Quark-Gluon

Quark

pernah teramati sebagai partikel bebas tetapi selalu terikat bersama dengan

qu-ark yang lain atau dengan antiququ-ark melalui suatu potensial pengikat membentuk suatu materi yang disebut Hadron. Terdapat dua kombinasi quark yaituBaryon

dengan kombinasi 3 quark QQQ yaitu proton, netron danMeson dengan

kombi-nasi QQ¯ yaitu meson. Terdapat 6 jenis quark yaitu u (up), d (down), c (charm),

s (strange), t (top), dan b (bottom). Untuk mematuhi larangan pauli [3], maka

harus terdapat bilangan kuantum tambahan yaitu warna.

Muatan warna pada quark dibedakan menjadi 3 yaitu, r (red), g (green), dan b

(blue), sedangkan anti-quark membawa anti-warna. Seperti halnya interaksi

elek-tromagnetik, interaksi kuat antar quark juga dimediasi oleh suatu partikel boson, partikel ini disebut gluon yang masing-masing memiliki warna dan anti-warna.

State yang mungkin dari gluon adalah :

r¯b, r¯g, b¯g, b¯r, gr, g¯ ¯b,_√1

2(r¯r−b¯b), 1

√

6(rr¯+b¯b−2g¯g), 1

√

3(r¯r+gg¯+b¯b)

Berbeda dengan foton yang tidak memiliki muatan, gluon memiliki muatan

war-na sehingga dapat berinteraksi secara kuat dengan sesama gluon. Karewar-na adanya

interaksi kuat antar gluon ini maka seperti halnya kombinasi quark pada hadron,

gluon dapat juga membentuk kombinasi colour singlet,GG dan GGG. Gluon

da-lam kondisi ini disebut Glueball .

Plasma Quark-Gluon

Plasma quark-gluon terbentuk pada tumbukan ultrarelativistik antar ion berat

seperti ion Au atau ion Sn dalam relativistic heavy ion collider di Brokhave

na-tional laboratory. Plasma quark-gluon adalah fase dariQuantum Cromodynamics

(QCD) yang muncul pada suhu dan kerapatan yang sangat tinggi (dalam orde

Tc = 170 MeV, atau sekitar 1013 K). Plasma quark-gluon terdiri dari quark dan

gluon seperti halnya pada hadron. Perbedaan kedua fase QCD ini adalah sebagai

berikut : pada hadron setiap quark dalam keadaan terikat dengan quark lain

atau dengan anti-quark (confined). Sedangkan pada plasma quark-gluon quark

dan anti quark tidak terikat membentuk hadron (de-confined) dan bergerak

be-bas pada suatu volume bersuhu tinggi yang disebut fireball.

Kenapa disebut plasma ?

Telah dijelaskan sebelumnya bahwa plasma adalah fluida yang terdiri dari

partikel-partikel bermuatan listrik yang saling berinteraksi satu sama lain dan bergerak

bebas di seluruh volume fluida. Pada plasma quark-gluon, quark dan gluon

me-miliki muatan yaitu warna, dan dapat bergerak bebas di seluruh volume fireball. Perbedaan keduanya adalah muatan quark merupakan muatan non-Abelian

Gambar 2.1: Quark dan Gluon pada Hadron. Quark terikat bersama dengan quark lainnya (confined) dengan kondisi colour-netral membentuk hadron

Gambar 2.2: Quark dan Gluon pada plasma Quark-Gluon. Quark tidak berikatan membentuk hadron tetapi bergerak bebas pada fireball (deconfined). Fireball

terbentuk pada temperatur diatas 100 MeV, atau sekitar 1013_K

Bab 3

Unifikasi Magnetofluida dengan

prinsip

Gauge

Pada bab ini dijelaskan unifikasi antara medan fluida dan elektromagnetik untuk

kasus Abelian dan non-Abelian dengan menggunakan teori gauge. Dari

unifi-kasi ini kita akan menurunkan persamaan gerak medan fluida yang berinteraksi

dengan materi dan medan elektromagnetik dalam limit non-relativistik seperti

persamaan gerak pada plasma. Unifikasi dilakukan pada medan fluida

Abe-lian dan diperluas untuk medan fluida non-AbeAbe-lian. Prosedur yang

dilakuk-an untuk menyatukdilakuk-an kedua interaksi adalah dengdilakuk-an mengerjakdilakuk-an simetri grup

U(1)F D ⊗U(1)G dan G(n)F D⊗G(n)G pada medan materi (boson dan fermion).

3.1

Unifikasi Magnetofluida dengan Teori

Gauge

Abelian

Pada fisika partikel teori unifikasi dilakukan dengan menggunakan prinsip

perta-ma ( first principle) yaitu dengan menggunakan pendekatan Lagrangian.

Prose-durnya adalah melakukan transformasi oleh grup tertentu pada medan materi.

Lagrangian dari materi harus invarian terhadap transformasi ini, sebagai

konse-kuensinya maka pada lagrangian akan muncul suku-suku baru yang menunjukkan interaksi antara materi dengan medan gauge atau interaksi antara sesama medan

Lagrangian density Medan boson

Lagrangian density untuk medan boson dinyatakan dengan :

L=∂µΦ∂µΦ∗−m2Φ∗Φ (3.1)

Untuk mengunifikasi medan materi dan medan gauge maka dikerjakan

transfor-masi gauge lokal : U(1)F D ⊗U(1)G : pada medan materi. Lagrangian materi

harus invarian terhadap transformasi ini :

Φ (x)→U(x)_F Φ (x)

Φ′(x)→U(x)_EMΦ′(x)

dimana :

U(x)_F =e−iα(x)

U(x)_EM =e−iβ(x)

dengan α(x) danβ(x) merupakan sembarang fungsi real . Untuk kasus

infinite-simal transformation e−iα(x) _{≈(1−iα(x)). Pada kasus transformasi gauge global}

∂µ_{Φ (x) ditransformasikan seperti Φ (x) , tetapi bila dikerjakan transformasi}

ga-uge lokal maka akan terdapat suku-suku tambahan :

δΦ =−i(α+β) Φ (3.2)

δΦ∗ =i(α+β) Φ∗ (3.3)

δ∂µ_{Φ = −i∂}µ_αΦ−i∂µ_{βΦ−i(α+β)∂}µ_{Φ (3.4)}

δ∂µ_Φ∗ _=i∂µ_αΦ∗_+i∂µ_βΦ∗_+i(α+β)∂µ_Φ∗ _(3.5)

Karena terdapat suku tambahan pada bentuk derivatif maka lagrangianL(Φ, ∂µΦ)

menjadi tidak invarian terhadap transformasi gauge lokal. Untuk mengatasi hal

ini kita harus menyusun bentuk derivatif yang memiliki sifat transformasi seperti

Φ(x).

δL = ∂L

∂ΦδΦ + ∂L ∂Φ∗δΦ

∗₊ ∂L

∂(∂µΦ)

δ(∂µΦ) +

∂L

∂(∂µ_Φ∗)δ(∂

µ_Φ∗_{) (3.6)}

δL = (∂µα+∂µβ)i(Φ∗∂µΦ−Φ∂µΦ∗) (3.7)

δL= (∂µα+∂µβ)Jµ (3.8)

dimana Jµ _{adalah vektor arus empat materi.}

Untuk membuat lagrangian invarian terhadap transformasi gauge, maka kita ha-rus menambah beberapa suku pada lagrangian density.

• L1 =−(eAµ+gBµ)Jµ

dimanaAµ dan Bµ merupakan medangauge ( medan elektromagnetik dan

medan fluida ) yang ditransformasikan oleh transformasi gauge sebagai :

Aµ(x)−→Aµ(x) +

1 e∂µα

Bµ(x)−→Bµ(x) +

1 g∂µβ

dengan e dan g merupakan konstanta kopling yang menentukan kekuatan

interaksi antara medan materi dengan medan gauge. Dengan tambahan

suku ini maka akan didapatkan :

δL1 =−(∂µα+∂µβ)Jµ−(eAµ+gBµ)δJµ

δL+δL1 =−(eAµ+gBµ)δJµ (3.9)

δJµ= 2Φ∗Φ (∂µα+∂µβ)

δL+δL1 =−2Φ∗Φ (eAµ∂µα+eAµ∂µβ+gBµ∂µα+gBµ∂µβ)

Suku kedua yang harus ditambahkan adalah :

• L2 = (e2AµAµ+g2BµBµ+ 2egAµBµ) Φ∗Φ

δL2 = (2eAµ∂µ+ 2gBµ∂µ+ 2gBµ∂µ+ 2eAµ∂µ) Φ∗Φ (3.10)

Jadi kita dapatkan : δL+δL1+δL2 = 0

L=∂µΦ∂µΦ∗−m2Φ∗Φ−(eAµ+gBµ)Jµ

+ e2_A

µAµ+g2BµBµ+ 2egAµBµ

Φ∗_Φ

agar memiliki arti fisis maka harus ditambahkan bentuk yang mengandung

yang memenuhi dan invarian terhadap transformasi gauge ataupun Lorentz

ada-lah sebanding dengan Fµν_F

µν dan SµνSµν. Dengan :

Fµν_{(x) =∂}µ_Aν_−∂ν_Aµ _(3.11)

Sµν(x) =∂µBν −∂νBµ (3.12)

merupakan tensor kuat medan (field strength tensor).

Kita telah mendapatkan Lagrangian density total yang invarian terhadap

tran-sformasi gauge lokal :

Ltotal=∂µΦ∂µΦ∗−m2Φ∗Φ−(eAµ+gBµ)Jµ

Suku-suku pada lagrangian ini menyatakan interaksi dari masing-masing medan.

Untuk mendapatkan bentuk derivatif yang kovarian terhadap transformasi maka

kita definisikan derivatif kovarian :

DµΦ =∂µΦ +ieAµΦ +igBµΦ (3.14)

sehingga : DµΦ (x) −→ U(x)DµΦ (x) dengan derivatif kovarian maka

La-grangian density total dapat dituliskan :

Ltotal=DµΦDµΦ∗−m2Φ∗Φ−

Berdasarkan prinsip aksi minimum δS = 0, dengan S = R

d4_{xL dapat}

dipe-roleh persamaan Euler - Lagrange :

∂µ

∂L ∂(∂µΦ)

− ∂L

∂Φ = 0 (3.16)

dengan Φ adalah sembarang medan.

• Persamaan Gerak Medan Boson

dengan subtitusi Lagrangian density total ke persamaan ( 3.16 ) dan Φ = Φ∗

maka akan didapat persamaan gerak :

• Persamaan Gerak Medan Elektromagnetik

Persamaan gerak Medan elektromagnetik didapatkan dengan mensubtitusi persa-maan ( 3.13 ) ke dalam persapersa-maan ( 3.16 ) dengan Φ =Aν, maka akan didapatkan

:

∂µFµν =ie(Φ∗∂ν −Φ∂νΦ∗)− 2e2Aν + 2egBν

Φ∗_Φ

Dengan menggunakan derivatif kovarian maka bentuk di atas dapat dituliskan :

∂µFµν =eJν (3.18)

dengan : J =i(Φ∗_Dν_Φ−ΦDν_Φ∗₎

Persamaan di atas analog dengan persamaan Maxwell inhomogen pada

elek-trodinamika klasik. Persamaan diatas juga menjelaskan bahwa medan

elektro-magnetik digenerasi oleh interaksi kedua partikel yang memiliki muatan e, tanpa

kehadiran partikel maka medan elektromagnetik tidak akan muncul. Karena sifat Fµν _{yang antisimetrik maka akan diperoleh :}

∂µJµ= 0 (3.19)

yang berarti J merupakan besaran yang kekal bila terdapat medan

elektromag-netik.

• Persamaan Gerak Medan Fluida

Dengan cara yang sama kita dapat menurunkan persamaan gerak fluida yang

analog dengan persamaan skalar Maxwell.

∂µSµν =gJν (3.20)

dan J = (ρ,J) Vektor-vektor yang ekuivalen dengan medan listrik dan medan magnetik adalah vektor Rdan vektor Q.

Sio = Qi (3.21)

Sij _{= −ε}

ijkRk (3.22)

dan :

Q = − B~

∂t +∇B

o

!

(3.23)

Lagrangian density Medan Fermion

Lagrangian untuk medan fermion adalah :

L=−i∂µψγ¯ µψ−mψψ¯ (3.25)

dimana ψ adalah vektor 4×1 γµ _{adalah matrix 4×4 , γ}µ _{= (β, β~α), matrix α~}

dan β~ didefinisikan :

~

I adalah matrix satuan 2×2 dan σ adalah matriks Pauli :

~

Prosedur yang sama kita lakukan seperti pada materi boson yaitu

mengerjak-an trmengerjak-ansformasi gauge lokal pada lagrmengerjak-angimengerjak-an density, maka kita akmengerjak-an memperoleh:

δψ = −i(α+β)

Lagrangian ini tidak invarian terhadap transformasi gauge lokal karena ada

tam-bahan suku δL = (∂µα+∂µβ)Jµ dimana Jµ = ¯ψγµψ merupakan vektor arus

empat untuk medan fermion. Untuk itu harus ditambahkan suku :

• L1 =−(eAµ+gBµ)Jµ

δL1 =−(∂µα+∂µβ)Jµ−(eAµ+gBµ)δJµ

δL+δL1 =−(eAµ+gBµ)δJµ (3.29)

Karena pada vektor arus empatnya tidak mengandung bentuk derifatif maka

vektor arus empat ini invarian terhadap transformasi gauge lokal, atau δJµ_{= 0.}

Dengan penambahan suku kinetik dari kedua medan gauge maka akan didapatkan

lagrangian density total untuk medan fermion :

L=−i∂µψγ¯ µψ−mψψ¯ −(eAµ+gBµ) ¯ψγµψ−

1 4F

µν

Fµν −

1 4S

µν

Sµν (3.30)

Derifatif kovariannya dituliskan :

Dµψ = (∂µ+ieAµ+igBµ)ψ (3.31)

dalam bentuk derifatif kovarian lagrangian totalnya dapat dituliskan :

L=−iDµψγ¯ µψ−mψψ¯ −

1 4FµνF

µν₋ 1

4S

µν_S

µν (3.32)

perbedaan utama dengan lagrangian density medan boson adalah tidak adanya

suku interaksi antara medan elektromagnetik dengan medan fluida.

Persamaan Gerak

Dengan mensubtitusi Lagrangian ke persamaan Euler-Lagrange maka kita

akan memperoleh persamaan gerak untuk masing-masing medan adalah:

[i∂/−(eA/+gB/)−m]ψ = 0 (3.33)

∂µFµν = eJν (3.34)

∂µSµν = gJν (3.35)

3.2

Persamaan Maxwell Magnetofluida

Dari persamaan ( 3.23 ) dan ( 3.24 ) didapatkan :

∇.R = 0 (3.36)

∇ ×Q = −∂R

∂t (3.37)

dari persamaan arus kovarian, jν _=gJν _{dan persamaan gerak magnetofluidanya}

ambil ν= 0 akan didapatkan :

∂1S10+∂2S20+∂3S30=ρ

sehingga :

bila kita ambil ν = 1 :

Persamaan Maxwell yang keempat adalah :

∇ ×R− ∂Q

∂t =j (3.39)

3.3

Persamaan Gerak Magnetofluida untuk

li-mit non-Relativistik

Dari persamaan gerak untuk magnetofluida ∂µSµν = gJν dengan arus kovarian

: Jν _=i(Φ∗_Dν_Φ−ΦDν_Φ∗_{) untuk materi boson dan J}ν _{= ¯ψγ}µ_{ψ untuk fermion,}

medan fluida yang digunakan berbentuk :

Bi _=φUi _(3.40)

φ adalah besaran pelengkap dimensi yang merepresentasikan distribusi fluida

pa-da sistem pa-dan hanya bergantung oleh temperature , Soj _=−Qj ₌∂φ ~U

γ ≃1 + v₂2. Dalam bentuk vektor persamaan diatas dapat dituliskan :

Untuk kasus non-relativistik nilai γ → 1 dan φ → 1, kecuali pada suku ∇φγ.,

kita akan dapatkan :

∇φγ = ∇

untuk kasus fluida irotasional ∇ ×~v = 0 maka akan diperoleh :

∂~v

Bila dianggap T tetap, maka kita akan mendapatkan 2 persamaan gerak

magne-tofluida yang ekuivalen dengan persamaan gerak plasma pada persamaan (2.1)

dan (2.2) :

∂Jo

∂t +∇J~ = 0 (3.43)

∂~v

∂t + (~v.∇)~v =g ~J˜ (3.44)

3.4

Model Magnetofluida dengan medan gauge

non-Abelian

Secara umum lagrangian density dari materi dapat dinyatakan dengan :

L= (∂µΦ)†∂µΦ +

Interaksi antara fluida non-Abelian dengan medan gauge non-Abelian

dinya-takan dengan transformasi gauge lokal : G(n)_F ⊗G(n)_G. Maka medan materi akan ditransformasikan sebagai :

Φ→Φ′ =exp[−i(α+β)] Φ (3.46)

ψ →ψ′ _{=exp[−i(α+β)]ψ (3.47)}

dengan : α = αaTa dan β = βaTa. Medan materi merupakan multiplet n×1

dengan jumlah elemen n untuk grup Lie dengan dimensi n seperti SU(n), O(n+1)

dll. Ta adalah generator dari grup Lie yang merupakan matriks Hermitian dan

traceless T†

a =Ta danT rTa= 0. Generator-generator ini memenuhi relasi

komu-tasi tertutup :

[Ta, Tb] =iCabcTc (3.48)

denganCabcadalah konstanta struktur antisimetrik denganCabc=−Cbac. Jumlah

generator dan medan gauge ditentukan oleh dimensi dari grup. Untuk grup SU(n)

atau O(n+ 1) memiliki generator sebanyak n2 _{−1 dan index a = 1,2, ....n}2 ₋

1. Lagrangian yang invarian terhadap transformasi gauge lokal diatas dapat

diperoleh dengan memasukkan suku yang mengandung medan gauge Aµa dan

medan fluida non-Abelian Bµa dengan sifat transformasi :

Aµa →A′µa ≡Aµa+

dengan gF adalah muatan untuk fluida dan gG adalah muatan gauge. Secara

umum lagrangian density materi yang invarian terhadap simetri gauge adalah :

L =Lmateri+Lkinetik +Linteraksi (3.51)

Sedangkan suku-suku interaksi pada Lagrangian density nya adalah :

• untuk Boson :

• untuk fermion :

Lint=−gFBµaJaFµ −gGAµaJaGµ (3.52)

dengan Jµ

a adalah arus materi untuk materi boson dan fermion.

dimana untuk boson dan fermion :

J_abosonµ = −i ∂µΦ†TaXΦ−Φ†TaX∂µΦ

matriks Gellman dan a = 1,2....8. Lagrangian density untuk materi dapat juga

ditulis dalam bentuk derifatif kovarian sebagai :

L = (Dµ_Φ)†_D

derifatif kovariannya adalah :

DµΦ =∂µΦ +igGAµbTbGΦ +igFBµbTbFΦ (3.54)

DenganLagrangian density total ini maka kita akan dapat mempelajari dinamika

fluida non-Abelian beserta interaksinya dengan medan gauge non-Abelian.

Persamaan Gerak Magnetofluida

Persamaan gerak medan magnetofluida dapat diperoleh dari persamaan Euler-Lagrange dalam bentuk medan Bνa :

Dengan mensubtitusi Lagrangian density total ke persamaan Euler-Lagrange

di atas maka akan didapatkan persamaan gerak :

DµSµν =gFJFν (3.55)

dengan : Sµν _=Sµν

a Ta dan JFν =JFνTa

Dµ adalah derifatif kovarian non-Abelian diperumum yang dapat dinyatakan

de-ngan representasi adjoint :

Dµ =∂µ+igG[Aµ, ..] +igF[Bµ, ..] (3.56)

Arus kovarian dari materi boson dan fermion didefinisikan sebagai :

Jν

3.5

Persamaan Gerak Magnetofluida non-Abelian

untuk limit non-Relatisvistik

Dari persamaan (3.55) dan dengan menggunakan kovarian derifatif (3.56), dan

untuk ν =j maka akan didapatkan :

medan fluida didefinisikan sebagai :

2 adalah faktor relativistik, sedangkan~v_a adalah kecepatan spasial. Besaran

φ adalah medan tambahan berdimensi 1 yang ditambahkan untuk melengkapi

dimensi dan merepresentasikan distribusi dari fluida pada sistem, dan hanya

ber-gantung pada temperatur [5]. Indeks a,b,c menunjukkan aliran fluida pada ruang

internal. Model fluida yang dibuat dinyatakan oleh suku kinematik dan fungsi

distribusi yang terpisah.

dalam bentuk vektor persamaan geraknya dapat dituliskan :

−∂ ~Qa

dengan mensubtitusi medan Q~ dan R~ :

∂

Dengan mensubtitusi medan fluida pada ( 3.65 ) dan pada limit non-relativistik nilai γ → 1, φ → 1, kecuali pada suku :∇φγa =∇

maka kita akan

da-patkan bentuk vektor dari persamaan gerak relativistik Magnetofluida

dengan identitas vector : 1₂∇v2

, sehingga persamaan gerak magnetofluida non-Abelian menjadi : ∂~va

Persamaan (3.68) yang telah kita dapatkan adalah persamaan umum untuk

fluida relativistik tak berotasi. Arus J~a muncul akibat adanya materi yang

dike-lilingi dan berinteraksi dengan fluida, sedangkan F~a merupakan kontribusi dari

interaksi antar medan fluida atau interaksi medan fluida dengan medan gauge

(Aµa). Jadi lagrangian pada persamaan (3.53) dengan medan fluida yang

memi-liki bentuk seperti persamaan (3.65) dapat mendeskripsikan sistem umum yang

terdiri dari fluida relativistik yang berinteraksi dengan medan gauge dan materi.

Untuk kasus non-Abelian maka semua konstanta struktur bernilai nol, dan indeks internal a,b,c dapat dihilangkan. Sehingga untuk kasus non-Abelian nilai

~

Fa= 0 dan persamaan geraknya menjadi :

∂~v

∂t + (~v.∇)~v+∇φ=gF

Z

dt ~J (3.69)

seperti pada persamaan (3.42) yang telah kita dapatkan.

3.6

Aplikasi Unifikasi Magnetofluida non-Abelian

pada Plasma Quark-Gluon

Plasma quark-gluon terdiri dari quark-dan anti quark yang berinteraksi dengan

gluon-gluon dan medan elektromagnetik. Lagrangian sistem ini dinyatakan

ngan simetri gauge SU(3)F ⊗U(1)G :

dimanagGdiganti dengan q yang merupakan muatan quark. indeks f

menunjukk-an index flavor dari quark yaitu u,d,c,s,t,b. Generator TF a merupakan matriks

Gell-Mann yang dinyatakan dengan representasi fundamental λa

2 (a= 1,2,3...8)

dengan normalisasi :

T r(λaλb) = 2δab (3.71)

Persamaan gerak yang diperoleh dari lagrangian QCD di atas adalah :

DµFµν =gFJQµ (3.72)

atau dapat dituliskan :

∂µFµν

a =gFJaQµ +gFJaGµ (3.73)

denganJ_aQµ = ¯Qγµ λa

2 Qmerupakan matrix arus dari materi quark, sedangkanJ

µ aG

adalah arus dari gluon.

J_aGµ =CabcBµbScµν (3.74)

Bentuk non-linier pada (3.74) dalam persamaan (3.73) menunjukkan bahwa medan gluon bertindak sebagai sumber, atau dengan kata lain quanta dari medan

gluon membawa muatan warna tersendiri sehingga tanpa adanya materi dapat

menjadi sumber bagi medannya sendiri.

Secara makroskopik model ini menggambarkan sistem yang terdiri dari fluida

non-Abelian yang disusun oleh sekumpulan gluon ( gluon cloud ) dengan

kera-patan yang besar dan mengelilingi materi ( quark dan anti-quark ) dalam medan

elektromagnetik. Model ini menjelaskan hasil eksperimen dari PHENIX

collabo-ration pada BNL menggunakan RHIC yang menyatakan quark-gluon padafireball

bersifat seperti fluida. Model ini sangat berbeda dengan model

hybridmagneto-fluid [2, 5] yang memodelkan QGP sebagai aliran fluida yang disusun oleh quark

dan anti-quark yang berinteraksi dengan medan gluon.

Komponen spasial arus fermion adalah : J~a = ¯Q~γλ₂aQ. Dengan persamaan ( 3.73

Nilai gF ditentukan oleh nilai fine structure dari interaksi kuat g2F = 4παs,

di-mana nilai αs bergantung dengan skala energi yang dipakai, contohnya pada T=

200 MeV maka nilaiαsdiantara 0,2 dan 0,5 dengangF = 1,5−2,5. Berdasarkan

hasil eksperimen QGP memiliki kerapatan besar dan viskositas kecil seperti fluida

ideal ( ωa = 0 ). Jika kita lihat pada lagrangian QGP, fluida yang disusun oleh

gluon tidak berinteraksi dengan medan elektromagnetik, tetapi quark dan

anti-quark berinteraksi dengan medan elektromagnetik dinyatakan oleh suku terakhir

pada lagrangian.

Pada persamaan gerak ( 3.75 ), kontribusi medan elektromagnetik terdapat pada ~

Fa yang dinyatakan dengan faktor _gq_F ≈ p_αα_s ≈ O(10−1), dimana nilai

muat-an quark ekuivalen dengmuat-an muatmuat-an listrik e = pα

4π. Jadi dapat disimpulkan

kontribusi gaya elektromagnetik sangat kecil sehingga dapat diabaikan.

Bab 4

Perhitungan Energi

Magnetofluida berbasis Teori

Gauge

Pada bab ini kita akan menurunkan tensor energi-momentum untuk kasus umum

yaitu dari lagrangian dengan medan non-Abelian. Dengan tensor energi-momentum

tersebut kita dapat memperoleh energi total dan momentum dari sistem

magne-tofluida.

Tensor energi-momentum dapat diperoleh dari prinsip variasi, yaitu dari variasi

aksi :

Suku pertama pada suku integral permukaan merupakan variasi total dari Φ (δΦ),

sedangkan suku kedua didefinisikan sebagai tensor energi-momentum θµ ν :

4.1

Energi Plasma non-Abelian

Materi boson

fluida non-Abelian adalah :

dengan mensubtitusi lagrangian ini ke (4.3) akan didapatkan :

θµν _{= (∂}µ_Φ)†_∂ν_Φ+(∂ν_Φ)†_∂µ_Φ−g

Energi dari sistem adalah komponen ke-00 :

θoo _{= (∂}o_Φ)†_∂o_{Φ + (∂}o_Φ)†_∂o_Φ−g

bila suku-sukunya dipisahkan :

θoo

materi+interaksi= (∂

o_Φ)†_∂o_{Φ +ig}

dengan menambahkan suku-suku berikut pada persamaan diatas maka bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk kovarian derifatif :

gG2A

materi+interaksi dapat dituliskan sebagai :

atau :

θoo

materi+interaksi =D

o_Φ†_Do_{Φ +g}

GAoaJao+gFBoaJao+ (DiΦ)†(DiΦ) (4.6)

suku untuk medan gauge dan fluidanya adalah :

θgauge+f luida =−Fio∂

dengan Ba adalah medan magnet non-Abelian.

dari persamaan (3.60) :

−Q~a·

komponen-00 dari tensor energi-momentum dapat dinyatakan :

θoo = (DoΦ)†DoΦ +DΦ~ †·DΦ~ +1

dari persamaan gerak :

∇ ·E~a+gGCabcA~b ·E~c =gGJao (4.8)

∇ ·Q~a+gFCabcB~b·Q~c =gFJao (4.9)

bila kita subtitusi ke dalam X maka suku-sukunya saling meniadakan kecuali suku

berikut :

X =∇ ·E~aAoa

+∇ ·Q~aBao

Dengan memilih gauge yang menyatakan Ao

a = 0 dan Bao = 0 ketika tidak ada

kita akan mendapatkan hamiltonian density yang invarian terhadap transformasi

Lagrangian density untuk fermion yang berinteraksi dengan medan fluida dan

medan gauge non-Abelian secara umum dapat dinyatakan sebagai :

L=iψγ¯ µDµψ−mψψ¯ −

Energi-momentum tensornya berbentuk :

θµν _=iψγ¯ µ_∂ν_ψ−Fµ

komponen ke-00 merupakan Hamiltonian dari sistem dapat dihitung dengan cara

yang sama seperti kasus pada boson, kita akan dapatkan :

H=−iψβ~¯ α·Dψ~ +mψψ¯ +1

2(Ba· Ba+E~a·E~a) + 1

2(R~a·R~a+Q~a·Q~a) (4.13)

4.2

Energi density QGP

Sistem magnetofluida quark-gluon terdiri dari quark dan anti-quark yang

berin-teraksi dengan gluon. Secara umum rapat energinya dinyatakan dengan :

H=Hquark+Hinteraksi+Hgluon (4.14)

dimana energi quark dinyatakan dengan :

Hquark =−iQβ~¯ α·~∂Q+mQQQ¯

Suku energi interaksi dan energi gluon tergantung oleh kecepatan gluon. Pada

kecepatan gluon yang tinggi suku energi quark memiliki kontribusi yang kecil

pada energi sistem sehingga dapat diabaikan. Pada kecepatan gluon yang tinggi

akan terbentuk QGP, sehingga rapat energi sistem QGP adalah :

H=gFJaµBµa+

1

2(R~a·R~a+Q~a·Q~a) (4.15)

Energi total QGP adalah H =R

dVH , dimana V adalah volume dari fireball.

dengan kondisi ~ωa = 0 , maka R~a dan Q~a didefinisikan :

~

Ra =

1

2gFCabcφ

2_γ

bγc~vb ×~vc

~

Qa = −∇(φγa)−φγa

∂~va

∂t −gFCabcφ

2_γ

bγc~vb

suku pertama merupakan energi interaksi antara quark dan gluon sedangkan suku

kedua merupakan energi dari gluon. Jµ

a adalah arus empat non-Abelian materi

yang dapat dinyatakan dengan :

Jµ a = ¯Qγ

µλa

2 Q (4.16)

sehingga :

H=gFφ(ρq−~va·J~a) +

1

2(R~a·R~a+Q~a·Q~a) (4.17) dengana= 1, ....8. Kita asumsikan quark dan gluon mengalir hanya pada sumbu

z dengan kecepatan konstan pada fireball, ~va = (0,0, va) dan J~a = (0,0, Ja).

Dengan asumsi ini, nilai R~a, suku pertama, dan suku kedua dari Q~a pada suku

Bab 5

Hasil dan Pembahasan

Telah dibuat model yang menerangkan sistem fluida dengan materi di dalam-nya dan berinteraksi dengan medan gauge Abelian dan non-Abelian berdasarkan

prisnsip gauge. Prinsip yang digunakan adalah mengerjakan simetri gauge pada

materi ( boson dan fermion ). Untuk simetri gauge Abelian telah didapatkan

lagrangian density yang invarian terhadap transformasi gauge lokal yaitu :

L =Lboson−(eAµ+gBµ)Jµ+(e2AµAµ+g2BµBµ+2egAµBµ)Φ∗Φ−

Suku-suku pada lagrangian di atas merepresentasikan interaksi-interaksi yang

ter-jadi antar medan. Pada suku ketiga terlihat bahwa terter-jadi interaksi antara materi

dengan medan fluida dan medan gauge. Pada suku keempat untuk lagrangian boson terdapat suku interaksi antara medan fluida 3, medan gauge dan materi

yang dinyatakan dengan 2egAµBµΦ∗Φ. Suku ini tidak muncul pada lagrangian

fermion yang menunjukkan bahwa untuk sistem fluida dengan materi fermion

yang berada dalam medan gauge, interaksi antara medan fluida dan medan

gau-ge tidak terjadi.

Untuk simetri gauge non-Abelian telah diperoleh :

dengan mensubtitusi lagrangian di atas pada persamaan Euler-Lagrange maka

akan diperoleh persamaan gerak untuk masing-masing medan. Dengan persama-an medpersama-an fluidpersama-anya adalah :

∂µSµν =gJν Abelian

atau :

DµSµν =gFJFν non-Abelian

bilaBµa dipandang sebagai medan fluida yang mewakili sekumpulan fluida untuk

setiap a, maka kita memiliki sistem multifluida dengan persamaan gerak seperti

di atas. Analog dengan kasus Abelian, interaksi antara medan fluida, materi

dan medan gauge hanya terdapat pada lagrangian medan boson yaitu pada suku gFgGAµaBµbΦ†(TaGTbF +TbFTaG) Φ.

interaksi antara medan fluida ditunjukkan pada suku pure gauge yaitu :

L =−1

4SµνaS

µν a

sebab di dalam Sµ

a terdapat suku −gFCabcBµbBµc.

Dari persamaan gerak fluida Abelian dapat diperoleh persamaan Maxwell untuk

medan fluida yaitu :

∇ ·R~ = 0

∇ ×Q~ = −∂ ~R ∂t

∇ ·Q~ = ρ

∇ ×R~ − ∂ ~Q

∂t = ~j

pada persamaan gerak fluida, bila Jν _{= 0 maka ∂}

µSµν = 0, dengan kata lain

∇ · Q = 0 dan ∇ ×R − ∂Q_∂t = 0 yang berarti tidak terdapat sumber untuk fluida bila tidak terdapat materi. Sedangkan pada kasus non-Abelian , untuk

Jν _{= 0 ( tanpa adanya materi ) akan didapatkan ∂}

µSaµν = gGCabcAµbScµν +

gFCabcBµbScµν yang merepresentasikanSaµν berperan sebagai sumber untuk medan

fluida itu sendiri. Hal ini disebabkan karena pada kasus Abelian medan Sµν

tidak membawa ”muatan” sehingga tidak bisa menjadi sumber bagi medannya sendiri, sedangkan pada kasus non-Abelian medan Sµν

a memiliki muatan

sehingga dimungkinkan adanya self interaction antar medan gauge. Hal ini mirip

dengan kasus pada relativitas umum dimana medan gravitasi membawa energi yang sebanding dengan massa sehingga dapat berperan sebagai sumber gravitasi.

Dari persamaan gerak fluida non-Abelian dapat diturunkan persamaan gerak

umum sistem magnetofluida yaitu :

∂(γa~va)

∂t +∇(φγa) +gFCabcφ

2_γ

bγc~vb =gF

Z

dt[J~+F~a] (relativistik)

atau

∂~va

∂t + (~va· ∇)~va+gFCabc~vb =gF

Z

dt[J~ +F~a] (non-relativistik)

Bentuk persamaan di atas mirip dengan persamaan gerak plasma, sehingga da-pat disimpulkan bahwa persamaan di atas relevan terhadap plasma yang dibentuk

oleh quark dan gluon. Pada QGP medan fluida disusun oleh medan gluon dengan

materi di dalamnya adalah quark dan anti-quark yang berinteraksi dengan

med-an elektromagnetik. Untuk sistem plasma dengmed-an medmed-an fluida Abelimed-an, semua

konstanta struktur bernilai nol dan nilai F~a = 0.

Dari lagrangian ini kita juga dapat menghitung energi total dari sistem QGP

yang dinyatakan dalam persamaan (4.17). Asumsi yang dibuat adalah kecepatan

gluon dan arus quark dianggap hanya pada sumbu z. Grafik dibawah ini me-nunjukkan variasi nilai perbandingan energy density total QGP (4.17) dengan

energy density gluon terhadap kecepatan gluon v2. Nilai kecepatan gluon (

ke-cuali untuk v2 ) dan arus quark untuk semua indeks diasumsikan konstan yaitu

: v1 = v3... = v8 = 0.8c dan Jq = 1. Dari grafik dapat dilihat bahwa pada

nilai kecepatan gluon rendah energi sistem magnetofluida didominasi oleh suku

interaksi quark dan gluon, hal ini dapat diinterpretasikan karena pada nilai-nilai

kecepatan ini quark dan gluon masih terikat sebagai hadron. Pada kecepatan

gluon tinggi energi sistem magnetofluida didominasi oleh energi gluon. Ketika kecepatan gluon menjadi sangat tinggi quark dan gluon menjadi deconfined dan

akan membentuk QGP yang disusun oleh awan gluon dengan materi quark dan

anti quark.

Gambar 5.1: H= rapat energi QGP, Hg= rapat energi gluon,ρq = 1, Jq = 1, αs=

Bab 6

Kesimpulan

Telah ditunjukkan bahwa dengan prinsipgauge dapat disusun sebuah lagrangian yang invariant terhadap transformasi gauge lokal. Sebagai konsekuensinya, pada

lagrangian ini muncul suku-suku baru yang menyatakan interaksi atara medan

fluida, materi, dan medan elektromagnetik. Dari lagrangian ini dapat diperoleh

persamaan gerak plasma untuk medan fluida Abelian dan non-Abelian.

Persa-maan ini digunakan untuk menjelaskan dinamika plasma quark-gluon ( QGP )

yang dihasilkan pada eksperimen tumbukan ion berat. Dari nilai energi sistem

magnetofluida quark-gluon yang telah dihitung dapat ditunjukkan bahwa pada

nilai kecepatan gluon yang rendah, energi sistem didominasi oleh energi interaksi

antara quark dan gluon. Hal ini disebabkan karena pada nilai kecepatan gluon yang rendah sistem quark-gluon masih membentuk hadron. Sedangkan pada

ni-lai kecepatan gluon yang tinggi energi sistem didominasi oleh energi gluon yang

menunjukkan terbentuknya fase baru yaitu plasma quark-gluon.

Model yang dibuat mendeskripsikan QGP sebagai aliran fluida gluon dengan

materi quark dan anti-quark yang berinteraksi dengan medan elektromagnetik.

Model ini mengkoreksi model QGP yang sudah ada yang menyebutkan bahwa

aliran fluida dibentuk oleh quark dan anti quark yang berinteraksi dengan

med-an gluon.

Lampiran A

Mekanika Kuantum Relativistik

A.1

Aljabar Dirac

Dalam mekanika kuantum relativistik, ruang dan waktu dinyatakan dalam vektor

empat sebagai berikut

xµ ≡(x0, x1, x2, x3)≡(t,x)≡(t, x, y, z), (A.1)

disebut vektor empat kontravarian, dan vektor empat kovariannya berbentuk

xµ ≡ (x0, x1, x2, x3)≡(t,−x)≡(t,−x,−y,−z).

= gµνxν, (A.2)

dimana gµν adalah matriks transformasi

di mana berlaku relasi

pµ_p

µ ≡p2 =pµgµνpν =E2 −p·p=m2. (A.7)

Matriks Dirac yang digunakan adalah:

γµ _{≡ (γ}0_{, γ}i_{), γ}0† _=γ0 _γµ _=γ0_㵆_γ0_{. (A.8)}

di mana ketiga matriks Pauli, σi _{dinyatakan oleh}

σ1 =

yang memenuhi hubungan antikomutatif

di mana ǫijkmerupakan bentuk nonkovarian tensor antisimetrik Levi-Civita yang

didefinisikan kemudian pada Pers. (A.18).

Matriks Dirac γ memenuhi hubungan antikomutatif berikut

Kombinasi lainnya yang berguna adalah

γ5 ≡ iγ0γ1γ2γ3 =γ5 = ₂₄1iǫµνρσγµγνγργσ =

0 1 1 0

, (A.16)

γ5γσ = −γσγ5 = ₆1iǫµνρσγµγνγρ, (A.17)

tensor antisimetrik Levi-Civita didefinisikan sebagai

ǫµνρσ =

 



+1 untuk permutasi siklik

−1 untuk permutasi anti−siklik

0 jika ada dua atau lebih indeks yang sama

. (A.18)

Persamaan Klein-Gordon:

(+m2)Φ = 0, ≡∂µ∂ν. (A.19)

Persamaan Dirac:

(i∂/−m)Ψ = 0 dimana a/=aµγµ. (A.20)

Di dalam ruang momentum

(p/−m)u(p, s) = 0 , (A.21)

(p+m)v(p, s) = 0 , (A.22)

dimana u(p, s) dan v(p, s) adalah spinor-spinor Dirac. Hubungan kelengkapan

spinor Dirac

X

s=1,2

= u(s)_{(p, s)¯u}(s)_{(p, s) = (p/+m) (A.23)}

X

s=1,2

= v(s)(p, s)¯v(s)(p, s) = (p/−m) (A.24)

A.2

Natural Units

Pada fisika partikel, untuk menyederhanakan perhitungan biasanya digunakan

sistem satuan yang disebutNatural Units. Dimana pada sistem ini nilai konstanta

c dan ~ _{diambil sama dengan satu :}

~_{=c= 1 (A.25)}

Hal ini memudahkan kita dalam perhitungan, sebab faktor ~ _{dan c sangat}

besaran yang kita dapat dalam sistem satuan yang sebenarnya.

Sekarang kita akan melihat implikasi dari pemilihan nilai~ _{dan c ini :}

• c= 1

Pada sistem satuan MKS, c memiliki nilai :

c≃3·108m/s (A.26)

dengan memilih nilai c= 1 sedangkan kecepatan memiliki dimensi :

[c] = [L][T]−1 _(A.27)

kita akan mendapatkan satuan panjang akan sama dengan satuan waktu. Jadi, panjang dan waktu akan memiliki dimensi yang sama :

[L] = [T]

dengan cara yang sama, dari hubungan energi- momentum pada relativitas

khusus :

E2 =p2c2+m2c4 (A.28)

kita dapat melihat bahwa pemilihan nilai c= 1 akan menyebabkan energi,

massa, dan momentum memiliki dimensi yang sama. Satuan momentum

yang biasa kita gunakan adalahMev/catauGev/cdan massa yaituMev/c2

atau Gev/c2 _{akan menjadi Mev atau Gev ketika c= 1.}

• ~_{= 1}

nilai dari konstanta Planck adalah :

~_{= 6,6·10}−22_{Mevs (A.29)}

dimensi dari ~_{adalah energi-waktu, sehingga :}

[~_{] = [M][L]}2_[T]−1 _(A.30)

dengan mengambil nilai ~ _{= 1 maka kita akan mendapatkan hubungan}

antara [M], [L], dan [T]. Karena dimensi [L] dan [T] sama, maka :

[M] = [L]−1 _{= [T]}−1 _(A.31)

Lampiran B

Analisis Tensor

Hukum-hukum fisika haruslah tidak bergantung pada sistem koordinat yang di-pergunakan untuk menyatakan dalam bentuk matematik, apabila hukum-hukum

ini berlaku. Studi terhadap konsekuensi-konsekuensi dari persyaratan ini

menju-rus pada analisis tensor yang memainkan peranan penting dalam teori relativitas

umum, mekanika, teori elektromagnetik, dan teori medan kuantum.

B.1

Transformasi Koordinat

Misalkan (x1_{, x}2_{, ...x}N_{) dan (x}′1_{, x}′2_{, ...x}′N_{) adalah koordinat-koordinat}

se-buah titik dalam dua se-buah kerangka acuan yang berbeda. Maka, transformasi koordinat dari kerangka acuan yang satu ke yang lainnya dinyatakan dengan :

x′k _=x′k_(x1_{, x}2_{, ...x}N_{) (B.1)}

xk =xk(x′1, x′2, ...x′N) (B.2)

B.2

Vektor-Vektor Kontravarian dan Kovarian

Jika N buah besaranA1_{, A}2_{, ...A}N _{dalam sebuah sistem koordinat (x}1_{, x}2_{, ...x}N₎

berhubungan dengan N buah besaran-besaran lainnya A′1_{, A}′2_{, ...A}′N _pada

sis-tem koordinat yang lain (x′1_{, x}′2_{, ...x}′N_{) melalui persamaan transformasi :}

A′p = ∂x

p

∂x′qA q

(B.3)

dengan indeks berulang adalah penjumlahan indeks tersebut dari 1,2, ...N,

maka besaran-besaran ini disebut komponen dari vektor kontravarian atau ten-sor kontravarian rank satu.

jika N buah besaranA1, A2, ..., AN dalam sebuah sistem koordinat (x1, x2, ...xN)

berhubungan dengan N buah besaran lainnya A′

1, A′2, ..., A′N dalam sistem

koo-maka besaran-besaran ini disebut komponen-komponen dari vektor kovarian atau

tensor kovarian rank dua.

B.3

Tensor-Tensor Kontravarian, Kovarian dan

Tensor campuran

JikaN2_{buah besaran-besaranA}qs_{dalam sebuah sistem koordinat (x}1_{, x}2_{, ...x}N₎

berhubungan dengan N2 _{buah besaran-besaran yang lainnya A}′pr _{dalam sistem}

koordinat (x′1_{, x}′2_{, ...x}′N_{) melalui persamaan transformasi :}

maka besaran-besaran ini disebut komponen-komponen kontravarian dari sebuah

tensor rank dua.

N2 _{buah besaran A}

qs disebut komponen-komponen kovarian dari sebuah tensor

rank dua jika :

begitu pulaN2 _{buah besaranA}q

s disebut komponen-komponen dari sebuah tensor

campuran rank dua jika :

A′p

contoh yang biasa kita temui adalah delta kronecker δ_kj.

B.4

Tensor Simetrik dan Asimetrik

Sebuah tensor dikatakan simetrik terhadap kedua indeks kontravarian atau

ko-variannya jika komponen-komponennya tetap tidak berubah dalam

karkan kedua indeks tersebut. Jadi jika Ampr

qs = Apmrqs maka tensornya simetrik

dalam m dan p. Sebuah tensor disebut antisimetrik terhadap kedua indeks kon-travarian atau kovariannya jika komponen-komponennya berubah tanda dalam

mempertukarkan kedua indeks tersebut. Jadi jikaAmpr

qs =−Apmrqs maka tensornya

Daftar Acuan

[1] A. Fajarudin, A. Sulaiman, T.P. Djun, and L.T. Handoko.

Magnetofluid Unification in the Yang-Mills Lagrangian. arXiv:physics.0508219v3.(2008).

[2] B.A. Bambah, S.M. Mahajan and C. Mukku. Yang-Mills magnetofluid unification. Phys.Rev. Lett. 97, 072301 (2006).

[3] Donald. H.Perkins. Introduction to High Energy physics. World Scien-tific. 1992.

[4] Ryder, L.H.Quantum Field Theory. Cambridge University Press. (1996).

[5] S.M. Mahajan. Temperature-Transformed “Minimal coupling“: Magnetofluid unification.90,0335001 (2003)

[6] T.Muta. Foundation of Quantum Chromodynamics. World scientific, singapore.1987

[7] Markus. H.Thoma.The Quark-Gluon Plasma Liquid. arXiv:Physics,hep-ph/040921v2.2004

[8] Halzen and Martin.Quarks and Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics.1984

[9] Horace, Lamb. Hydrodynamics. Dover Publication,Inc.1945

[10] Solomon Gartenhaus. Element of Plasma Physics. Holt,Rinehart and Wiston.1964

[11] Letessier, J and Rafel,J. Hadron and Quark Gluon Plasma. Cambridge University Press. 2002.