87
MEMBANGUN PEMAHAMAN YANG LENGKAP
(
COMPLETELY UNDERSTANDING
) DALAM
PEMBELAJARAN KONSEP GRUP
Jafar
Dosen FKIP Universitas Haluoleo Kendari, Mahasiswa S3 Pendidikan Matematika Universitas Negeri Surabaya
Email: jafar665@yahoo.com
ABSTRAK: Pemahaman secara lengkap (completely understanding) yang dimiliki mahasiswa terhadap konsep grup merupakan hal yang sangat penting dalam pembelajaran mata kuliah aljabar abstrak, karena hal ini menjadi dasar untuk memahami konsep-konsep lain dalam mata kuliah tersebut. Pemahaman yang dimaksud berkaitan dengan dua hal. Pertama, berkaitan dengan kemampuan mahasiswa mengidentifikasi semua komponen dan sifat-sifat esensial sebagai atribut yang melekat pada grup. Kedua, berkaitan dengan kemampuan mahasiswa menemukan keterkaitan antar komponen, keterkaitan antara setiap sifat esensial dengan masing-masing unsur, dan keterkaitan antar sifat esensial yang dimiliki sebuah grup. Kedua hal ini menjadi indikator-indikator bagi kualitas pemahaman yang dimiliki mahasiswa terhadap konsep grup. Oleh karena itu, pembelajaran mata kuliah aljabar abstrak sangat perlu diarahkan kepada pencapaian indikator-indikator tersebut di atas, dalam rangka membantu meningkatkan kualitas pembelajaran mata kuliah aljabar abstrak itu sendiri.
Kata kunci: pemahaman secara lengkap, konsep grup.
Aljabar sekolah dipandang sebagai perumuman dari aritmetika dimana nilai pengganti dari variabel-variabelnya adalah bilangan. Ekspresi-ekspresi dan persamaan -persamaannya dibangun dengan empat operasi aritmetika, yakni: penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Aljabar abstrak merupakan perumuman dari aljabar sekolah yang mana pengganti nilai dari variabel-variabelnya merupakan obyek-obyek matematika yang beragam (Findell, 2001:9). Oleh karena itu, obyek-obyek dalam aljabar abstrak tidak hanya menyangkut obyek-obyek matematika yang telah lazim dikenal dan dipakai pada aljabar sekolah, seperti: bilangan, bilangan bulat modulo, matriks, vektor, fungsi (pemetaan). Akibatnya, obyek-obyek dalam aljabar abstrak seolah-olah lebih abstrak dibanding-kan dengan obyek-obyek matematika pada umumnya. Dengan
demikian, dalam mempelajari hubungan antar obyek dalam aljabar abstrak memerlukan penalaran yang sangat kuat.
Menurut Findell (2001: 6), beberapa penelitian telah menunjukkan bahwa pema-haman mahasiswa tentang konsep-konsep dalam aljabar abstrak kurang memuaskan. Fakta lain, bahwa secara empiris dari tahun ke tahun skor hasil ujian tengah semester (UTS) ataupun ujian akhir semester (UAS) mahasiswa PS Pendidikan Matematika Uni-versitas Haluoleo pada mata kuliah aljabar abstrak masih tergolong rendah, berkisar 15,45 s.d 54,29 untuk UTS, dan berkisar 29,46 s.d 44,82 untuk UAS. Sementara itu, observasi yang dilakukan oleh Herry Agus Susanto terhadap proses pembelajaran mata kuliah aljabar abstrak di PS Pendidikan Matematika Universitas Veteran Bangun Nusantara Sukoharjo memberikan hasil bahwa dosen belum
optimal dalam memper-hatikan pemaha man konsep maupun pemahaman dalam pemecahan masalah pembuktian (Herry Agus Susanto, 2011:5).
Harel (Findell 2001:7) mengemu kakan bahwa beberapa faktor yang menjadikan aljabar abstrak dianggap sulit bagi mahasis-wa. Pertama, konsep-konsepnya merupakan struktur abstrak yang berfungsi sebagai kategori untuk cakupan yang luas dan beragam contoh. Obyek ditentukan oleh sifat-sifatnya, sehingga sulit bagi siswa untuk memahaminya. Kedua, kebanyakan contoh yang menjelaskan konsep tidak familiar bagi mahasiswa. Ketiga, kebanyakan mahasiswa belum merasa nyaman dengan pembuktian dengan metode aksiomatik. Selain itu, Kaput (2005) menyatakan bahwa aljabar (termasuk aljabar abstrak) telah dipahami dan dipelajari secara tradisional sebagai suatu kumpulan prosedur yang terputus (disconnected) baik dari pengetahuan matematika yang lain maupun dari kehidupan nyata.
Berdasarkan uraian di atas, maka dapat diketahui bahwa masih disinyalir terdapat masalah yang cukup serius dalam proses pembelajaran mata kuliah aljabar. Masalah ini berimplikasi pada hasil belajar maha-siswa yang belum memuaskan. Pada tulisan ini, akan disajikan usulan yang mungkin dapat membantu memperbaiki proses pembelajaran pada mata kuliah aljabar abstrak. Meskipun dibatasi pada upaya pengoptimalan capaian pemahaman maha-siswa terhadap konsep grup secara lengkap, akan tetapi prosedur yang dapat dikem-bangkan dari usulan pada tulisan ini dapat dilakukan ekspansi seperlunya terhadap konsep-konsep lain.
PEMAHAMAN KONSEP
Dalam Wikipedia online disebutkan bahwa pemahaman (understanding) adalah proses psikologis yang berkaitan dengan
suatu obyek abstrak atau fisik, seperti situasi, orang, atau pesan dimana seseorang dapat memikirkan dan menggunakan konsep-konsep untuk menjelaskan obyek tersebut. Sementara itu, menurut Driver (Suzana, 2003:22), pemahaman adalah kemampuan menjelaskan suatu situasi atau suatu tindak-an. Dari hal ini, pemahaman mengandung tiga komponen penting. Pertama, berkaitan dengan kemampuan mengenali atau meng-identifikasi unsur-unsur yang membangun obyek, situasi atau tindakan yang dimaksud. Kedua, berkenaan dengan kemampuan menjelaskan sifat-sifat esensial sebagai batasan dari obyek, situasi atau tindakan dimaksud, dan ketiga, berkenaan dengan kemampuan menginter pretasi.
Pemahaman seorang individu terhadap suatu konsep merupakan hasil dari aktivitas mental individu itu dalam memahami kon-sep yang dimaksud. Seseorang memahami sesuatu konsep karena telah melakukan aktivitas berpikir tentang konsep tersebut. Skemp (1982:46) menegaskan bahwa “To understand something means to assimilate it into an appropriate schema.” Hal ini mengandung arti bahwa seseorang dikatakan memahami sesuatu apabila telah terjadi pengintegrasian informasi baru dengan skema yang dimiliki orang tersebut. Dari sini dapat dikatakan bahwa pemahaman berkaitan dengan kemampuan (ability) seseorang dalam mengintegrasikan informasi “baru” melalui proses akomodasi dan asimilasi ke dalam skema yang dimiliki orang tersebut sebelumnya sehingga terben-tuk skema baru. Hal ini sesuai dengan pendapat Peaget (Shymansky, 1992) bahwa mengerti (memahami) adalah suatu proses adaptasi intelektual yang dengannya pengalaman-pengalaman dan ide-ide baru diinteraksikan dengan apa yang sudah diketahui oleh seseorang yang sedang bela-jar untuk membentuk struktur pengertian yang baru.
James Hiebert (Herry Agus Susanto, 2011), mengemukakan bahwa yang dimak-sud dengan pemahaman terhadap suatu konsep adalah suatu keadaan yang meng-gambarkan adanya keterkaitan antara infor-masi yang terkandung dalam konsep tersebut dengan skema yang telah dimiliki. Kualitas pemahaman ditentukan oleh banyaknya jaringan informasi dan kuatnya hubungan (keterkaitan) antar subjaringan yang dimiliki (Barmby at al, 2007:42). Suatu konsep dapat dipahami secara lengkap (menyeluruh) oleh seorang individu apabila individu tersebut dapat membangun jaringan pengaitan sebanyak mungkin antara atribut-atribut yang terdapat pada konsep tersebut dengan skema yang dimilikinya, dan kuat keterkaitannya dengan jaringan yang telah dimiliki individu.
Pemahaman juga dipandang sebagai suatu pengalaman mental yang diperoleh dari aktivitas memahami sesuatu konsep. Menurut Sierpinska (Herry Agus Susanto, 2011), pemahaman merupakan pengalaman mental yang menghubungkan antar obyek yang satu dengan obyek yang lainnya.
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa pemahaman seseorang terhadap suatu konsep merupakan suatu hasil yang telah dicapai setelah melakukan aktivitas memahami konsep tersebut.
Hiebert dan Carpenter (Godino, 1996) menegaskan bahwa salah satu ide mate-matika yang diterima secara luas dalam pendidikan matematika adalah bahwa siswa harus memahami konsep-konsep matematika.
Pemahaman seseorang terhadap suatu konsep tidak dapat diobservasi secara tepat (precise), akan tetapi untuk mengetahui apakah seseorang telah memahami suatu konsep atau belum, dapat diamati melalui indikator-indikator berikut. Pertama, memiliki kemampuan menyebutkan defi-nisi konsep tersebut secara lengkap. Kedua,
mampu mengidentifikasi unsur-unsur pem-bangun dari konsep tersebut. Ketiga, mampu menyebutkan sifat-sifat esensial dari konsep. Keempat, mampu menemukan contoh dan bukan contoh bagi konsep dimaksud. Kelima, mampu menerapkan konsep itu untuk men-definisikan konsep lain yang satu genus atau satu keluarga.
Keenam, mampu menemukan hubungan
konsep tersebut dengan konsep-konsep yang berdekatan, dan ketujuh memiliki kemampuan menggunakan konsep tersebut untuk menyelesaikan masalah-masalah yang berkaitan.
KARAKTERISTIK MATEMATIKA Dienes (Bell, 1978:124) memandang matematika sebagai pelajaran tentang struktur, pengaturan hubungan-hubungan dalam struktur menurut jenisnya, dan peng-kategorian hubungan diantara struktur-struktur. Ini mengindikasikan bahwa matematika merupakan pelajaran yang materi-materinya bersifat hirarkis. Mate-matika berkenaan dengan ide-ide abstrak yang tersusun secara hirarkis dan terstruktur, yang kemudian membentuk konsep-konsep. Konsep-konsep yang tingkatannya lebih tinggi dibangun berdasarkan konsep-konsep yang telah ada sebelumnya. Dalam belajar matematika, seorang siswa tidak mungkin memahami suatu konsep apabila konsep sebelumnya yang mendasari konsep tersebut belum dipahaminya dengan baik.
Karakteristik materi matematika ada-lah memiliki struktur deduktif aksiomatik yang sangat ketat dan sistematis, meskipun pada umumnya dalam membangun aksioma-aksioma dalam matematika berdasarkan kepada fakta-fakta empiris yang menjadi bagian dari kehidupan manusia. Secara hirarkis pula, konsep-konsep yang lebih rendah menjadi dasar untuk membangun konsep-konsep lanju-tannya yang lebih ting-gi. Konsep-konsep
inilah yang selanjutnya dikenal sebagai obyek-obyek matematika dan sifatnya abstrak, karena hanya terdapat dalam pikiran manusia.
Sebagai salah satu cabang matematika, selain karakteristik sebagaimana telah disebutkan sebelumnya, aljabar abstrak memiliki karakteristik yang lebih spesifik. Obyek-obyek yang dipergunakan dalam aljabar abstrak tidak hanya obyek-obyek biasa (usual) dalam arti obyek-obyek yang telah diperkenalkan pada pelajaran tingkat sekolah dasar sampai dengan sekolah menengah, akan tetapi lebih luas dan lebih umum yaitu bahwa kebanyakan obyeknya adalah obyek-obyek tak biasa (unusual). Hal ini membuat obyek-obyek dalam aljabar abstrak “seolah-olah” menjadi lebih abstrak.
Berkaitan dengan pemahaman konsep dalam matematika telah banyak model yang dikemukakan oleh banyak ahli psikologi, salah satu diantaranya adalah Skemp (1976) mengemukakan dua tipe pemahaman, yaitu pemahaman instrumen-tal, dan pemahaman relasional. Pemaha-man instrumental menga-rah kepada pemahaman pada aturan-aturan tanpa alasan (rule without reason), sedangkan pemahaman relasional adalah pemahaman yang mengarah kepada “knowing both what to do and why” yaitu mengetahui tentang apa yang dilakukan oleh seseorang dan mengapa melakukannya demikian. Dalam pembelajaran suatu konsep dalam matematika sangat diharapkan kepada peserta didik untuk memiliki pemahaman tipe yang kedua, yaitu pemahaman relasi-onal sehingga mereka dapat mengenali, menjelaskan, dan menginterpretasi konsep tersebut.
PEMAHAMAN TERHADAP KONSEP GRUP
Grup merupakan struktur dasar yang dipelajari paling awal dalam aljabar abstrak (Herstein, 1975: 26). Grup adalah suatu
struktur dalam aljabar abstrak yang dibangun oleh suatu himpunan tak kosong yang di dalamnya diberikan suatu operasi biner sehingga dengan operasi biner tersebut memenuhi: sifat ketertutupan, anggota-anggotanya bersifat asosiatif, memiliki unsur identitas, dan setiap unsurnya memiliki invers. Herstein (1975 : 28) mengonstruksi definisi grup sebagai berikut.
Suatu himpunan tak kosong dan suatu operasi biner, yang dinamakan perkalian
(product), disimbol , dikatakan
membentuk suatu grup, jika memenuhi (G1) a,bG mengakibatkan abG, (G2) a,b,cG mengakibatkan (ab)c =
a(bc),
(G3) eG ae = ea = a aG, e ini dinamakan unsur identitas dalam G, dan
(G4) aG a-1G aa-1 = a-1a = e, a -1
ini dinamakan invers dari a. Berdasarkan definisi di atas, maka secara garis besarnya dapat dikemukakan bahwa terdapat dua komponen penting yang mebangun grup, yaitu himpunan dan operasi biner, bersama-sama dengan sifat-sifat esensial yang harus dipenuhi oleh kedua komponen tersebut. Pada Gambar 1. diperlihatkan komponen-komponen yang membangun grup, sifat-sifat esensial dari komponen-komponen tersebut, serta gambaran keterkaitan antar komponen, antara komponen dan sifat-sifat esensial dari komponennya, dan antar sifat esensial satu dengan yang lain.
Pemahaman secara lengkap dapat diperoleh seseorang yang mempelajari konsep grup apabila telah secara lengkap memiliki hal-hal berikut. Pertama, kemampuan mengidentifikasi unsur-unsur (secara fisik) yang membangun grup. Kedua, kemampuan mengidentifikasi sifat-sifat esensial yang dimiliki oleh
unsur-unsur pembangun grup sebagai suatu pembatasan atau persyaratan. Ketiga, kemampuan mene-mukan keterkaitan antar komponen, antara komponen dengan sifat-sifat esensial, dan antar sifat-sifat esensial. Keempat, kemampuan menemukan dengan mudah contoh sebagai representasi dari konsep grup. Kelima, kemampuan mengonstruksi konsep yang merupakan kebalikan dari konsep grup, serta dengan mudah menemukan contohnya. Keenam, kemampuan menggunakan konsep grup untuk menyelesaikan masalah-masalah yang berkaitan.
Gambar 1. Sketsa pengaitan antar unsur dalam konsep grup
Pada mata kuliah aljabar abstrak, pemahaman mahasiswa yang lengkap terhadap konsep grup sangat diperlukan, mengingat konsep ini merupakan struktur yang menjadi fondasi atau dasar untuk membangun struktur-struktur yang lain, seperti: ring, field, modul, ruang vektor, dan lain-lain. Pemahaman mahasiswa yang tidak lengkap terhadap konsep grup ini akan berimplikasi pada timbulnya kesulitan mereka dalam memahami konsep-konsep lanjutan tersebut.
Pada kenyataannya, masih banyak mahasiswa yang mengikuti mata kuliah aljabar yang kesulitan memahami konsep grup secara lengkap. Berikut ini disajikan petikan hasil wawancara penulis (P) dengan tiga mahasiswa yakni: S1
(mahasiswa yang berasal dari kelompok berkemampuan tinggi), S2 (mahasiswa yang berasal dari kelompok berkemampuan sedang), dan S3 (mahasiswa yang berasal dari kelompok berkemampuan rendah) berkaitan dengan pemahaman mereka terhadap konsep grup setelah mempelajari konsep tersebut.
P : “Coba ceritakan, apa yang kamu pahami tentang grup!”
S1 : “Grup itu adalah
himpunan tak kosong [S11] yang dikenai
operasi biner tertentu [S12] dan memenuhi empat kriteria, yaitu: bersifat tertutup, [S13] bersifat asosiatif, [S14] memiliki invers, [S15] dan
memiliki identitas.” [S16]
Berdasarkan kutipan wawancara di atas dapat dikemukakan hal-hal berikut. 1. S1 berusaha mengemukakan definisi
grup dengan bahasa yang sederhana, meskipun banyak informasi yang hilang.
2. S1 dapat mengidentifikasi unsur-unsur pembangun grup, juga sifat ketak-hampaan himpunannya. S1 juga dapat mengidentifikasi sifat-sifat esensial yang harus dipenuhi sebagaimana pada [S13]-[S16].
3. Tidak dapat ditemukan informasi yang jelas tentang spesifikasi dari setiap sifat esensial, yaitu pada [S13]-[S16]. 4. S1 masih mempertukarkan urutan dari
sifat [S15]-[S16], meskipun pada lanjutan wawancara ini, S1 menyadari
bahwa kedua sifat ini tidak boleh dipertukarkan.
P : “Bisa, ndak meceritakan, seperti apa pemahaman kamu tentang grup?” S2 : “Grup itu adalah
sebuah himpunan dimana himpunan ini tidak kosong, [S21] kemudian di dalam grup itu
dilakukan atau diberikan operasi yang disebut dengan operasi biner, apakah operasi binernya satu atau
lebih dari satu. [S22]
Kemudian setelah diberikan operasi tersebut, kemudian diberikan lagi beberapa aksioma-aksioma. Aksioma-aksioma ini diturunkan dari sifat-sifat dari operasi biner itu sendiri. Ada empat yang secara umum yang saya ketahui tentang aksioma-aksioma yang diberikan yaitu:
1. bahwa setelah diberikan operasi biner tadi, himpunan tersebut anggota-anggotanya apabila diopera-sikan dengan operasi biner tertentu dia bersifat tertutup, artinya ketika dia dioperasikan hasil yang kita peroleh nanti masuk dalam him-punan yang tadi, [S23] 2. bersifat asosiatif, yaitu apabila
ada tiga komponen dalam himpunan tadi, misalkan a, b, dan c merupakan elemen dari sebuah himpunan yang kita tetapkan di awal, apabila a dioperasikan dengan operasi biner, misalkan perkalian, berarti a kali b, kemudian hasilnya dikalikan dengan c akan sama dengan apabila kita mengalikan dulu b dengan c kemudian dikalikan dengan a tadi, [S24] 3. memiliki unsur identitas. Unsur
identitas ini, misalkan e juga merupakan anggota himpunan tadi ketika kita operasikan dengan, misalkan, a juga adalah anggota himpunan di awal tadi dikali
dengan e tadi itu sama dengan e dikalikan a, sama dengan a. [S25] Kemudian yang keempat itu,
Dia memiliki unsur invers, artinya apabila komponen a dioperasikan, katakan a’ dia akan menghasilkan unsur identitas itu sendiri di akhir aksioma ketiga tadi.” [S26]
Berdasarkan petikan wawancara ini, maka dapat dikemukakan hal-hal berikut. 1. S2 berusaha menggambarkan grup
dengan penjelasan yang panjang, seakan-akan ingin memberikan infor-masi yang lengkap tentang grup. 2. S2 telah dapat mengidentifikasi
unsur-unsur pembangun grup termasuk sifat himpunannya. Demikian juga dengan semua sifat esensial yang harus dipenuhi sebagaimana [S23]-[S26]. 3. S2 mengalami kesulitan dalam
menje-laskan setiap sifat esensial, karena harus menggunakan kalimat yang panjang dan terkesan berlebihan, seperti pada [S23]-[S26].
P : “Apa yang kamu pahami tentang grup?”
S3 : “Grup itu merupakan
suatu himpunan [S31]
dengan
operasi biner [S32]
dimana memenuhi empat syarat, pertama dia
bersifat tertutup, [S33] kemudian
terdapat invers, [S34] terus,
ada elemen identitas, [S35] dan
bersifat asosiatif.” [S36] Berdasarkan kutipan wawancara di atas dapat dikemukakan hal-hal berikut. 1. S3 berusaha mengemukakan definisi
meskipun banyak informasi yang hilang.
2. S3 mampu mengidentifikasi unsur-unsur pembangun grup ([S31]-[S32]), meskipun nampaknya S3 mengabaikan sifat ketak-hampaan himpunannya. Demikian juga S3 dapat mengidentifi-kasi sifat-sifat esensial yang harus dipenuhi sebagaimana pada [S33]-[S36].
3. Tidak dapat ditemukan informasi yang jelas tentang spesifikasi dari setiap sifat esensial, yaitu pada [S33]-[S36]. 4. S3 masih mempertukarkan urutan dari
sifat [S34]-[S35] .
Berkaitan dengan operasi biner, seba-gai salah satu unsur yang membangun grup, berikut ini disajikan hasil wawancara penulis (P) dengan S1, S2, dan S3.
P : “Apa itu operasi biner dalam him-punan A?”
S1 : “Maksudnya, apabila himpunan A
ini ada dua himpunan A, misalnya
A dan B adalah himpunan A yang dioperasikan dengan operasi biner ini maka hasilnya pun adalah anggota dari himpunan A itu
sendiri.” [S17]
P : “Sesungguhnya operasi biner itu, apa sebenarnya yang kamu ketahui?” S2 : “Operasi biner itu yaitu kita
memeta-kan suatu himpunan itu ke himpunan itu sendiri. Jadi, kita memetakan atau kita memasangkan setiap anggota dari himpunan, katakan Z, kemudian kita petakan di x juga yang anggota dari himpunan Z itu sendiri. Jadi yang kita butuhkan disini dalam operasi biner itu, yang pertama himpunan itu tidak kosong, kemudian dia melibatkan dua buah himpunan, dalam hal ini himpunannya sama.” [S27] P : “Apa yang dimaksudkan dengan
operasi biner dalam himpunan A?”
S3 : “Aturan yang menghubungkan dua anggota A dan hasil operasi itu adalah anggota A tersebut.” [S37] P : Atau, dengan kata lain?
S3 : “Saya belum tahu.” [S38] Kalau kita perhatikan paparan dari ketiga subyek di atas mengenai pemahaman mereka tentang operasi biner pada suatu himpunan, sebagaimana diperlihatkan pada [S17], [S27] dan [S37], maka kita dapat menyimpulkan bahwa mereka belum memahami secara benar tentang konsep operasi biner. Padahal konsep operasi biner merupakan salah satu unsur yang membangun konsep grup.
Memang, kita menyadari bahwa masih sangat banyak informasi yang diperlukan untuk mengetahui secara jelas berkaitan dengan pemahaman ketiga subyek di atas (S1, S2, dan S3) terhadap konsep grup. Meskipun demikian, apabila kita mengacu pada pendapat yang dikemukakan oleh Barmby sebagaimana telah dikemukakan sebelumnya, maka kita dapat menyimpul-kan bahwa pemahaman ketiga subyek tersebut terhadap konsep grup masih belum lengkap. Ini menggambarkan bahwa skema yang terbangun dalam kognisi mereka tidak sempurna. Terjadinya ketidak-sempurnaan skema ini dapat ditinjau dalam beberapa sisi. Pertama, mahasiswa tidak familiar dengan istilah-istilah yang terdapat dalam konsep grup, sehingga mereka hanya sekedar berusaha menangkap pengertian istilah-istilah yang dipakai tanpa mengerti pengertian yang esensial dari istilah tersebut. Kedua, mahasiswa belum mampu melakukan “pembedahan” terhadap konsep grup. Ketiga, mahasiswa belum mampu meng-internalisasi konsep grup dengan baik, sehingga mereka mengalami kesulitan dalam menemukan representasi dari konsep tersebut.
Dalam rangka mencapai pemahaman yang lengkap bagi seseorang terhadap
konsep grup, maka pada proses pembe-lajarannya sangat diperlukan penajaman-penajaman pada beberapa aspek. Pertama, unsur-unsur apa saja yang membangun grup. Kedua, sifat-sifat esensial apa yang menjadi syarat yang harus dipenuhi oleh unsur-unsur yang membangun grup. Ketiga, bagaimana hubungan dari unsur-unsur pembangun, hubungan antara sifat-sifat esensial dengan unsur pembangunnya, dan juga hubungan antara masing-masing sifat esensial tersebut. Ketiga aspek yang disebutkan ini perlu pula ditunjang dengan contoh-contoh yang bervariasi dengan tujuan untuk memperluas wawasan mahasiswa sehingga internalisasi konsep pada mahasiswa tersebut dapat terbentuk dengan baik.
PENUTUP Kesimpulan
Dalam upaya pencapaian pemahaman secara lengkap terhadap konsep grup,
maka diperlukan langkah-langkah atau prosedur pembelajaran yang dapat mengarahkan mahasiswa memiliki kemampuan pada dua hal. Pertama, kemampuan melakukan pem-bedahan/ eksploitasi terhadap konsep grup. Maha-siswa perlu diarahkan untuk memiliki kemampuan mengidentifikasi unsur-unsur yang memba-ngun konsep grup, mengidentifikasi sifat-sifat esensial yang berkaitan dengan unsur-unsur pembangun konsep grup tersebut, dan menemukan keterkaitan, baik antar unsur pembangun, antara unsur pembangun dan sifat-sifat esensial, maupun antar sifat esen-sial. Kedua, kemampuan meng-internalisasi konsep grup dalam dirinya. Mahasiswa perlu diarahkan untuk meningkatkan kepekaan/intuisi dalam mengenali representasi konsep grup. Kemampuan ini dapat dicapai dengan pemberian contoh-contoh yang variatif.
DAFTAR PUSTAKA
Barmby, P., Harries, T., Higgins, S., and Suggate J., 2007. How Can We Assess Mathematical Understanding?
In Proceedings of The 31st
Conference of The International Group for The Psychology of Mathematics Education, Vol. 2, pp 41-48. Seoul: PME.
Bell, Fredrick.H. 1978. Teaching and Learning Mathematics (in secondary school). Dubuque: Company Publi-shing.
Findell, B.R. 2001. Learning and Understanding in Abstract Algebra. Unpublished, PhD Thesis. Univer-sity of New Hampshire.
Godino, J. D., 1996. Mathematical Concept, Their meanings, and Understanding. InProceedings of XX Conference of The International Group for The
Psychology of Mathematics Educa-tion, Vol. 2, pp 417-425. Universi-dad de Valencia.
Herstein, I. N. 1975. Topics in Algebra. Second Edition. New York: John Wiley & sons, Inc.
Herry Agus Susanto. 2011. Pemahaman Mahasiswa dalam Pemecahan Ma-salah Pembuktian pada Konsep Grup Berdasarkan Gaya Kognitif. Disertasi, Tidak dipublikasikan. Surabaya: UNESA.
Kaput, J. J., 2005. Teaching and Learning a New Algebra With Understanding. Dartmouth: University of Massachusetts.
Skemp, R. R. 1976. Relational standing and Instrumental Under-standing. In Mathematics Teaching, 77, pp. 20-26.
Skemp, R. R. 1982. The Psychology of Learning Mathematics. New York: Penguin Books.
Suzana, Y. 2003. Meningkatkan Kemam-puan Pemahaman dan penalaran
Matematika Siswa SMU Melalui Pembelajaran dengan Pendekatan Metakognitif. Tesis S2 tidak dipubli-kasikan. Bandung: UPI.
