Penerapan Metode Pengganda Lagrange Dalam Bidang Ekonomi. The Application of The Method of Lagrange Multipliers in The Economy

Penerapan Metode Pengganda Lagrange Dalam Bidang Ekonomi

The Application of The Method of Lagrange Multipliers in The Economy

Syaripuddin

Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman Samarinda

Abstract

This paper discusses the application of the method of Lagrange multipliers in the economy. The purpose of this study was to change the shape optimization problem in economics is a problem of constrained optimization without constraints and modeled in the form of optimization, the discussion focused on the issue of partial and marginal utility of consumption and production balance and equilibrium partial marginal production.

Keywords:Lagrange Multipliers, Optimization Problem, Partial and Marginal Utility, Partial Marginal Production.

I. Pendahuluan

Teori optimasi sangat aplikatif pada permasalahan-permasalahan yang menyangkut pengoptimalan, baik itu kasus maksimasi atau minimasi. Ada banyak metode-metode optimasi yang berkembang mengikuti perkembangan terutama dibidang industri, perdagangan dan bidang-bidang lain yang juga menggunakan teori optimasi.

Metode Pengganda Lagrange adalah sebuah konsep populer dalam menangani permasalahan ini untuk program-program non-linear. Sesuai namanya, konsep ini dikemukakan oleh Joseph Louis Langrange (1736-1813). Teori ini dapat digunakan untuk menangani optimalitas dari permasalahan program non-linear.

Dalam bidang ekonomi optimasi sangat dibutuhkan, sering kita dihadap-kan pada persoalan penyelesaian termurah dengan memenuhi kendala yang ada. Kasus optimasi bersyarat banyak dijumpai misalnya seseorang hendak memaksimumkan utilitas. Fungsi utilitas ialah fungsi yang menjelaskan besarnya utilitas (kepuasan, kegunaan) yang diperoleh seseorang dari mengkonsumsi suatu barang atau jasa. Utilitas dibagi dua yaitu utilitas total dan utilitas marginal. Utilitas total ialah fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi. Sedangkan utilitas marginal ialah utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap satu unit barang yang dikonsumsi. Pada umumnya semakin banyak jumlah suatu barang dikonsumsi semakin besar utilitas yang diperoleh, kemudian mencapai titik puncaknya (titik jenuh) pada jumlah konsumsi tertentu, sesudah itu justru menjadi berkurang atau bahkan negatif jika jumlah barang yang dikonsumsi terus menerus ditambah.

Secara matematik, persamaan utilitas total (total utility, U) dari mengkonsumsi suatu jenis barang berupa fungsi kuadrat parabolik, dengan

kurva berbentuk parabola terbuka ke bawah. Sedangkan fungsi utilitas marginal merupakan derivatif pertama dari fungsi utilitas total. Dengan kata lain jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan U = f (Q) dimana U melambangkan utilitas total dan Q jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marjinalnya:

MU=U’=

dU

dQ

Penelitian ini membahas tentang aplikasi metode Pengganda Lagrange dalam bidang ekonomi dimodelkan dalam bentuk optimasi. Akan disajikan contoh-contoh persoalan bidang ekonomi dalam bentuk optimasi dengan kendala dan akan diubah menjadi persoalan optimasi tanpa kendala menggunakan fungsi Lagrange.

II. Tinjauan Pustaka Optimasi Bersyarat

Optimasi bersyarat adalah masalah optimasi yang memiliki syarat atau memiliki batasan -batasan yang merupakan masalah pemodelan matematika dalam optimasi fungsi yang mensyaratkan beberapa kondisi atau syarat untuk diperoleh solusi optimal yaitu syarat yang mengoptimumkan fungsi tujuan.

Maksimumkan/Minimumkanf=f(X) Kendalagj(X),j= 1, 2, 3, ...,m

dengan: X= (x1,x2,x3, ...,xn)Tdanm ≤ n

Metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi adalah metode Pengganda Lagrange. Metode ini dimulai dengan pembentukan fungsi Lagrange yang didefinisikan sebagai:









m j j j

g

X

X

f

X

L

1

)

(

)

(

)

,

(





Teorema 1: Suatu matriks Anxn disebut definite

lebih besar nol dan disebut definite negatif jika determinan dari sub matrik pertama lebih kecil nol, determinan dari sub matrik kedua lebih besar nol, determinan dari sub matrik ketiga lebih kecil nol dan seterusnya.

Teorema 2: Syarat perlu bagi sebuah fungsif(X) dengan kendalagj(X) = 0, denganj=1,2,…,n agar

mempunyai maksimum/minimum relatif pada titik X* _{adalah turunan parsial pertama dari fungsi}

Lagrangenya yang didefinisikan sebagai L=( x1, x2, …, xn, λ1, λ2,…, λn) terhadap setiap

argumentnya mempunyai nilai nol.

Teorema 3: Syarat cukup bagi sebuah sebuah fungsif(X) agar mempunyai minimum/maksimum relatif pada titikX*_{adalah jika fungsi kuadrat Q}

yang didefinisikan sebagai :

j i n i n j i j

dx

dx

x

x

L

Q



 









1 1 2

Dievaluasi pada titik X=X* _{harus definit positif}

(atau definit negatif) untuk setiap variasi nilaidx adalah setiap akar dari polinomialzi, yang didapat dari determinan persamaan dibawah ini harus positif (atau negatif).

dimana: j i ij

_x

_x

X

L

L









2

(

(

*

,



)

, j i ij

_x

X

g

g







(

*

)

.

Fungsi Utilitas Marginal

Fungsi utilitas merupakan fungsi yang menjelaskan besarnya utilitas (kepuasan, kegunaan) yang diperoleh seseorang dari mengkonsumsi suatu barang atau jasa. Pada umumnya semakin banyak jumlah suatu barang dikonsumsi semakin besar utilitas yang diperoleh, kemudian mencapai titik puncaknya (titik jenuh) pada jumlah konsumsi tertentu, sesudah itu justru menjadi berkurang atau bahkan negatif jika jumlah barang yang dikonsumsi terus menerus ditambah.

Utilitas total merupakan fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi. Adapun persamaan utilitas total (total utility, U) dari mengkonsumsi suatu jenis barang berupa fungsi kuadrat parabolik, dengan kurva berbentuk parabola terbuka kebawah. Utilitas marginal (marginal

utility, MU) merupakan utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap unit barang yang dikonsumsi. Secara matematik, fungsi utilitas marginal merupakan derivative pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan U=f(Q) dimana U melambangkan utilitas total dan Q jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marginal:

MU=U’=

dU

dQ

III. Metode Penelitian

Metode penelitian dalam tulisan ini dilakukan dengan melakukan penelitian melalui tinjauan pustaka. Adapun langkah – langkahnya adalah:

1. Membuat langkah–langkah menentu-kan nilai ekstrim suatu fungsi dengan kendala fungsi lain menggunakan pengganda Lagrange.

Maksimumkan/Minimumkanf=f(X) Kendalagj(X),j= 1, 2, 3, ...,m

dengan: X= (x1,x2,x3, ...,xn)Tdanm ≤ n

2. Fungsi baru Lagrange yang telah dimodifikasi menjadi :









m j j j

g

X

X

f

X

L

1

)

(

)

(

)

,

(





3. Menentukan syarat perlu untuk mendapatkan titik ekstrim

0

1 1





























m n

L

L

x

L

x

L









4. Mencari semua solusi syarat cukup untuk ekstrim relatif . Dievaluasi pada titik X=X*

harus definit positif (atau definit negatif) untuk setiap variasi nilai dx adalah setiap akar dari polinomial zi, yang didapat dari determinan persamaan : j i n i n j i j

dx

dx

x

x

L

Q



 









1 1 2

harus positif (atau negatif). Ini digunakan untuk mengetahui prilaku dariL(x, λ ) pada nilai kritisnya.

5. Menentukan solusi optimal dari persoalan optimasi bersyarat meng-gunakan metode pengganda Lagrange serta penerapannya didalam bidang ekonomi.

6. Menarik beberapa kesimpulan yaitu menyimpulkan hasil dan informasi dari penyelesaian permasalahan optimasi yang telah diselesaikan.

IV. Hasil dan Pembahasan 1. Optimasi Bersyarat

Metode pengganda Lagrange merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menentukan nilai ekstrim bersyarat. Misalkan 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( ) ( ) ( 3 2 1 2 23 22 21 1 13 12 11 2 1 3 2 1 2 12 12 2 23 22 21 1 21 11 1 13 12 11                                   mn m m m n n mn m m nn n n n m n m n g g g g g g g g g g g g g g g z L L L L g g g L L z L L g g g L L L z L

)

,

(

x

y

f

akan dimaksimumkan atau diminimumkan dengan syarat

g

(

x

,

y

)



0

. Bentuk fungsi objektifnya adalah :

)

,

(

)

,

(

)

,

,

(

x

y

f

x

y

g

x

y

F









dimana



adalah pengganda Lagrange. Syarat perlu untuk mendapatkan titik eksrim fungsi

)

,

,

(

x

y



F

adalah :

0



















x

g

x

f

x

F

_

…….(1)

0



















y

g

y

f

y

F



…….(2)

0

)

,

(









y

x

g

x

F

………..(3)

Dengan memecahan ketiga persamaan diatas maka diperoleh titik-titik kritis fungsi

F

(

x

,

y

,



)

yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan.

Contoh-1: Hubungan antara jumlah penjualan S dengan jumlah-jumlahxdanyyang dibelanjakan untuk dua macam media iklan adalah

)

10

(

100

)

5

(

200

y

y

x

x

S









. Laba bersih adalah

seperlima dari jumlah penjualan dikurangi biaya iklan. Anggaran belanja untuk iklan adalah 25. Tentukan alokasi anggaran belanja untuk kedua macam media iklan itu supaya diperoleh laba maksimum.

Penyelesaian

Fungsi Langrange adalah :

)

25

(

)

10

(

20

)

5

(

40

)

25

(

)

10

(

100

)

5

(

200

5

1

)

,

,

(

















































y

x

y

x

y

y

x

x

y

x

y

x

y

y

x

x

y

x

F







Menentukan syarat perlu untuk mendapatkan titik ekstrim:

0

1

)

5

(

200

2















_

x

x

F

2

)

5

(

200

1

x









……….(1)

0

1

)

10

(

200

2















_

y

y

F

2

)

10

(

200

1

y









………(2)

0

25













y

x

x

F

………..(3) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh :

2 2

₍

₁₀

₎

200

)

5

(

200

y

x







2 2

₍

₁₀

₎

)

5

(



x





y

……….…(4) Subtitusi persamaan (3) ke (4) diperoleh :

2 2

₍

₁₀

₎

)

25

5

(





y





y

y

y







10

30

2

1

dan

15

,

10









x



y

Jadi titik ekstrimnya (x0,y0) = (10, 15).

Selanjutnya akan titik ekstrim ini akan di uji apakah titik ekstrimnya (x0,y0) = (10, 15)

maksimum atau minimum.

0

0

1

1

1

20

1

0

1

0

20

1

0

12 11 12 22 21 11 12 11







































































z

z

g

g

g

z

L

L

g

L

z

L

Q

Diperolehz=

80

1



. Karena nilaizsemua (satu-satunya titik kritis) negatif maka titik ekstrim (x0,y0) = (10, 15) maksimum.

2. Utilitas Marginal Parsial dan Keseimbangan Konsumsi

Bentuk umum fungsi utilitas adalah

)

,

,

,

(

g

₁

g

₂

g

_n

f

U





. Pada pembahasan ini konsumen dimisalkan hanya mengkonsumsi dua macam barang saja, misalkan x dan y sehingga fungsi utilitasnya adalah

U



f

(

x

,

y

)

. Turunan pertama terhadap-xdisebut utilitas marginal yang besesuaian dengan x ditulis

x

U





dan Turunan pertama terhadap-ydisebut utilitas marginal yang besesuaian denganyditulis

y

U





.

Keseimbangan konsumsi adalah suatu keadaan dimana kombinasi konsumsi beberapa macam barang memberikan kepuasan optimum. Keseimbangan konsumsi terjadi pada persinggungna kurva

U



f

(

x

,

y

)

dengan garis anggaran konsumsi consumen yaitu

y

x

yP

xP

M





dimana M adalah pendapatan konsumen,Pxadalah harga barangxdanPyadalah

harga barang y. Keseimbangan konsumen dicari menggunakan metode penggada Lagrange dengan fungsi Lagrange sebagai berikut:

y x

yP

xP

y

x

f

y

x

F

(

,

,



)



(

,

)





(



Syarat supaya

F

(

x

,

y

,



)

mencapai maksimum adalah:

0























x x

P

x

U

P

x

f

x

F

_

_

0























y y

_y

P

U

P

y

f

y

F

_

_

Dari kedua persamaan diatas diperoleh ,

x

P

x

U

















= y

P

y

U

















Dengan kata lain keseimbangan konsumsi akan terjadi jika hasil bagi antara utilitas marginal masing-masing barang terhadap harga barang masing-masing bernilai sama.

Contoh-2: Fungsi utilitas untuk kedua komoditas yang diberikan oleh fungsi

U

_

x

2

y

_dan anggaran pengeluaran

3

x



6

y



18

. Dari persamaan nilai x dan y yang memberikan kepuasan optimum :

Penyelesaian :

Fungsi Lagrange adalah :

)

18

6

3

(

)

,

,

(

_x

_y

_

_x

2

_y

_

_x

_

_y

_

L





Menentukan syarat perlu untuk mendapatkan titik ekstrim:

0

3

2











_

xy

x

L

3

2

xy







...(1)

0

6

2

_

_







_

x

y

L

6

2

x







...(2)

0

18

6

3













y

x

L



...(3)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh :

6

3

2

_xy

_x

2



atau

12

xy



3

x

2atau

4

x

y



. Subtitusi

4

x

y



kepersamaan (3) diperoleh

18

4

6

3

















x

x

Jadix=4 dany=1 dengan nilaiU=16.

3. Produksi Marginal Parsial dan Keseimbangan Produksi

Bentuk umum fungsi produksi adalah

)

,

,

,

(

x

₁

x

₂

x

_n

f

P





. Pada pembahasan ini dimisalkan hanya diproduksi dua macam barang saja, misalkan x dan y sehingga fungsi

produksinya adalah

P



f

(

x

,

y

)

. Turunan pertama terhadap-x disebut produksi marginal yang besesuaian denganxditulis

x

P





dan turunan pertama terhadap-y disebut produksi marginal yang besesuaian denganyditulis

y

P





.

Keseimbangan produksi adalah suatu keadaan dimana kombinasi faktor-faktor produksi memberikan pencapaian produksi dengan biaya yang terendah (optimum). Jika jumlah dana yang dianggarkan untuk membeli faktorxdanyadalah Mserta harga faktorxdan faktorymasing-masing Px dan Py maka persamaan tersebut ditulis

y

x

yP

xP

M





. Keseimbangan produksi dicari menggunakan metode pengganda Lagrange dengan fungsi Lagrange sebagai berikut:

)

(

)

,

(

)

,

,

(

x

y

f

x

y

xP

_x

yP

_y

F











Syarat supaya

F

(

x

,

y

,



)

mencapai maksimum adalah:

0























x x

P

x

P

P

x

f

x

F

_

_

0























y y

_y

P

P

P

y

f

y

F

_

_

Dari kedua persamaan diatas diperoleh,

x

P

x

P

















= y

P

y

P

















Dengan kata lain keseimbangan produksi akan tercapai jika hasil bagi antara produksi marginal masing-masing masukan terhadap harga masukan masing-masing bernilai sama.

Contoh-3: Sebuah pabrik menghasilkan dua tipe mesin berat yaknixdany.

Fungsi produksinya adalah:

xy

y

x

y

x

P

₍

_,

₎



2



₂

2



_.

Untuk meminimumkan biaya berapa banyak mesin dari tiap-tiap tipe harus diproduksi, apabila jumlah produksi mesin ini harus 8 buah.

Penyelesaian :

Fungsi Lagrange adalah :

)

8

(

2

)

,

,

(

_x

_y

_

_x

2

_

_y

2

_

_xy

_

_x

_

_y

_

L





Menentukan syarat perlu untuk mendapatkan titik ekstrim:

0

2













_

y

x

x

L

y

x









2

...(1)

0

4













_

x

y

y

L

x

y









4

...(2)

0

8













y

x

L



...(3) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

x

y

y

x





4



2

atau

3

x



5

y

atau

5

3

x

y



. Subtitusi

5

3

x

y



ke persamaan (3) diperoleh :

8

5

3

_















x

x

Jadix=5 dany=3 dengan nilaiP(x,y)=28.

V. Kesimpulan

1. Metode Lagrange dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan optimasi dalam bidang ekonomi.

2. Keseimbangan konsumsi akan terjadi jika hasil bagi antara utilitas marginal masing-masing barang terhadap harga barang masing-masing bernilai sama.

3. Keseimbangan produksi akan tercapai jika hasil bagi antara produksi marginal masing-masing masukan terhadap harga masukan masing-masing bernilai sama.

Daftar Pustaka

Aminudin. 2005.Prinsip-prinsip Riset Oprasi. Erlangga. Jakarta.

Handali dan Pamuntjak.,1987.Kalkulus Perubah Banyak, Penerbit ITB Bandung.

Luknanto, J. 2000.Pengantar Optimasi Non-linier.

Spiegel, Murray R. Pantur Silaban, 1999,.Kalkulus lanjutan, Penerbit Erlangga, Jakarta.

Setya Budhi, Wono,. 1996. Diktat Kalkulus Peubah Banyak, Jurusan Matematika, FMIPA ITB, Bandung.

http://staff.ui.ac.id/internal/131803524/

material/Bab_IV.Penggunaan Turunan.pdf . Diakses pada tanggal 19 juni 2011

H

A

L

A

M

A

N

IN

I

JA

N

G

A

N

D

IP

R

IN

T