BAB II PERSAMAAN TINGKAT SATU DERAJAT SATU

BAB II

PERSAMAAN TINGKAT SATU DERAJAT SATU

Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami cara-cara menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat satu dan dapat mengaplikasikannya dalam menentukan selesaian khusus masalah nilai awal dengan syarat awal.

Kompetensi Dasar

1. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial variable terpisah dan selesaian khusus masalah nilai awal.

2. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial yang dapat direduksi ke persamaan variable terpisah dan selesaian khusus masalah nilai awal.

3. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial homogen dan selesaian khusus masalah nilai awal.

4. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tidak homogen dan selesaian khusus masalah nilai awal.

5. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial eksak dan selesaian khusus masalah nilai awal.

6. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tidak eksak dan selesaian khusus masalah nilai awal.

7. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial berbentuk yf(xy)dxxg(xy)dy0 dan selesaian khusus masalah nilai awal. 8. Mahasiswa dapat menentukan trayektori orthogonal dan trayektori isogonal

suatu persamaan keluarga kurva.

Persamaan tingkat tingkat satu derajat satu yang dijelaskan pada bab II buku ini membahas: (1) persamasaan diferensial variable terpisah, (2) persamaan

diferensial yang dapat direduksi ke persamaan diferensial variabel terpisah. (3) persamaan diferensial homogen, (4) persamaan diferensial tidak homogen, (5) persamaan diferensial ekskak, (6) persamaan diferensial tidak eksak, (7) persamaan diferensial bentuk umum yf(xy)dxxg(xy)dy0, dan (8) trayektori.

Sebagaimana telah dijelaskan pada bab I, persamaan diferensial tingkat satu derajat satu adalah persamaan diferensial yang didalamnya memuat turunan tertinggi yaitu turunan tingkat satu yang dilambangkan dengan 

     dx dy . Secara umum persamaan diferensial tingkat satu derajat satu ditulis dalam bentuk:

0

)

,

(

)

,

(

x

y

dx



N

x

y

dy



M

Bentuk di atas dapat disederhanakan menjadi:

dy y x N dx y x M( , )  ( , )  ) , ( ) , ( y x N y x M dx dy    ) , (x y F dx dy   ... bentuk eksplisit 0 ) , , (   dx dy y x F ... bentuk implisit

Bentuk umum yang disebutkan di atas mengakibatkan jenis persamaan diferensial tingkat satu derajat satu terdiri atas beberapa jenis. Untuk lebih memudahkan dalam menentukan primitif atau selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat satu, dilakukan pengelompokan menjadi beberapa jenis.

1) Persamaan diferensial variabel terpisah.

2) Persamaan yang dapat direduksi ke persamaan diferensial variabel terpisah. 3) Persamaan diferensial homogen.

5) Persamaan diferensial eksak. 6) Persamaan diferensial tidak eksak.

7) Persamaan diferensial yang berbentuk yf(xy)dxxg(xy)dy0

Persamaan-persamaan diferensial tersebut di atas masing-masing mempunyai karakteristik dan ciri-ciri yang berbeda-beda. Prinsip utama dalam menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat satu adalah mengelompokkan masing-masing koefisien diferensial dengan diferensial yang sejenis atau sedapat mungkin menjadikan sejenis masing-masing koefisien diferensialnya. Khusus untuk persamaan diferensial yang tidak dapat dipisahkan variabelnya, maka cara lain (tabel, teorema) akan sangat membantu.

Berikut ini disajikan cara menentukan selesaian persamaan diferensial tingkat satu derajat satu.

2.1 Persamaan Diferensial Variabel Terpisah

Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu yang mempunyai bentuk umum M(x,y)dxN(x,y)dy 0 dapat dikategorikan sebagai persamaan diferensial variable terpisah (separable), jika M(x,y) f(x)dan

) ( ) ,

(x y g y

N  . Atau dengan kata lain M(x,y)adalah fungsi x saja dan

) , (x y

N adalah fungsi ysaja. Sehingga bentuk umumnya

0 ) , ( ) , (x y dxN x y dy

M _{ditulis dalam bentuk} f(x)dxg(y)dy0 Perhatikan contoh berikut ini.

1. (x3x2)dx2ydy0 



3 2



2 0 dx dy y x x 2 ( 3 2) (3 2 ) x x x x dx dy y      _         y x x dx dy 2 3 2 2. y2dxxdy

 2  0 dx dy x y _y2 dx dy x   x y dx dy 2   3. y' y 12x2 y dy dx x    2 2 1 4. xdxsin ydy0 5. 2 2 1 2y x dx dy   2 1 2  ₂ 0 y dy dx x

Karena tanda diferensial persamaan di atas dx dan dy berpasangan dengan

variable yang sejenis yaitu x berpasangan dengan dx dan y berpasangan dengan

dy , sehingga untuk menentukan selesaian umum persamaan tersebut cukup

dengan mengintegralkan masing masing bagian. Perhatikan beberapa contoh berikut ini.

1. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial xdx2dy0 Jawab

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian, diperoleh:



xdx



2dy c

c

c

y

c

x

2



₁



2



₂



2

1

2 1 2 2 2 1 c c c y x     

c

y

x







2

4

4

2

x

c

y







Persamaan

4

2

x

c

y





disebut primitif atau persamaan keluarga kurva atau selesaian umum persamaan diferensial xdx2dy 0.

2. Tentukan selesaian persamaan diferenesial

0

3





x

dy

y

dx

Jawab

Persamaan di atas dapat diubah menjadi

xdx

 ydy

3



0

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh:



xdx 



3 dyy 0 c y x    2 2 2 3 2 1 c y x    2 2 3 c y x    2 2 2 3 2 1 c y x    2 3 2 3 2 c x y  

Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah

3

2

c x y 

3. Tentukan selesaian umum persamaan diferensialxdx ydy2 0 Jawab



xdx



2y dyc c y x    2 2 2 1 c y x    2 2 2 2 2 x c y  

Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah

2

2

x c y 

4. Tentukan selesaian umum persamaan: 0 ) 1 ( sinxdx y dy dengan y() = 1 Jawab

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh:



sinxdx



(1y)dyc c y y x     2 2 cos 2

Karena y() = 1 maka diperoleh   c

      2 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 cos 2 

Diperoleh c = 3, sehingga selesaian khusus persamaan diferensial 0

) 1 (

sinxdx y dy adalah 2cosx2yy2 3

5. Tentukan selesaian umum persamaan 0 ) 4 ( ) 2 1 (  y dx x dy Jawab

Persamaan (12y)dx(4x)dy0dapat diubah menjadi 0 2 1 4   y  dy x dx

c y dy x dx    



₄



_{1 2} c y x       ln1 2 2 1 4 ln



x   y



c   ln4 ln 1 2



x   y



c  ln4 ln 1 2 c y x    ln(4 ) 1 2 c y x    (4 ) 1 2





2 4 2 1 x c y    



4



1 2 ₂     x c y









2 2 4 2 4 x x c y     

Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah









2 2 4 2 4 x x c y     Latihan soal

Tentukan selesaian persamaan diferensial di bawah ini. 1. y2dx xdy0 2. cos (1  ) 0 dy e dx y x 3. dx(1x2)coty dy0 4. x dx dy sec 1 3 1   5. (1x2)y'2 6. (12y)dx(4x)dy0

7. xdyydx0 dengan y(1)1 8. (1x)dx2y2dy0 dengan y(0)1 9. ' 3(1 ) (0) 3   x y dengan y y 10. x y dx dy 2 cos 2  dengan 4 ) 0 (  y 11. ' 2 3 2 (1) 0   x e dengan y y y 12. ' 3(1 ) (0) 3   x y dengan y y 13. y'2x3dengan y(1)1 14. x3y2 dengan y(1)0 dx dy 15. ' 2₂ dengan y(0)0 y y Catatan

Yang perlu diingat bahwa persamaan diferensial dengan variable terpisah memiliki ciri spesifik yaitu koefisien diferensial berupa variable sejenis berkumpul dengan diferensialnya, dengan kata lain dapat dinyatakan dalam bentuk sederhana f(x)dxg(y)dy0

2.2 Persamaan yang Direduksi ke Persamaan Variabel Terpisah

Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu dapat dikategorikan sebagai persamaan diferensial yang dapat direduksi menjadi persamaan diferensial variable terpisah jika bentuk umum M(x,y)dxN(x,y)dy0 dapat dinyatakan dalam bentuk:

0 ) ( ) ( ) ( ) ( _{1 2 2} 1 x g y dx f x g y dy  f 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 2 1 _{ }  dy y g y g dx x f x f 0 ) ( ) (   F x dx G y dy

Selanjutnya bentuk ) ( ) ( 1 1 2 x g y

f disebut faktor integrasi. Selesaian umum

persamaan diferensial yang dapat direduksi menjadi persamaan variable terpisah dapat ditentukan dengan cara mengintegralkan masing-masing bagian setelah variable yang sejenis dikelompokkan dengan diferensialnya.

Perhatikan beberapa contoh berikut ini.

1. Tentukan selesaian persamaan diferensial2(y3)dxxydy0 Jawab

Persamaan di atas direduksi menjadi 0 ) 3 ( 2     y ydy x dx c y ydy x dx    

_

_

) 3 ( 2





_           dy c y x dx 3 3 1 2







     dy c y dy x dx 3 3 1 2 c y y x     2ln 3ln 3 y c y x     ln 2 ln( 3)3 y c y x    ln 2( 3)3 y c e y x _{ }   2 3 ) 3 ( y ce y x    2( 3)3

Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah

y ce y x2  3  ) 3 (

2. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial

) 3 ( 4   y x y dx dy

Jawab

Persamaan di atas dapat direduksi menjadi:

dx y dy y x( 3) 4 0 4 3     x dx dy y y 0 4 3 1 _          x dx dy y

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian persamaan diperoleh



_ 







        dx c x dy y dy y 4 3 3 1











  dx c x dy y dy 3 4 1 c x y y    3ln 4ln x y c y 3ln 4ln  4 3 ln ln y x c y    3 4 lnx y c y   c y e y x    4 3 y ce y x   4 3

Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah

y

ce y x4 3 

3. Tentukan selesaian persamaan diferensial 0 ) 1 ( ) 1 )( 1 (     y x dxdengan y xydy Jawab

Persamaan di atas setelah direduksi, diperoleh: 0 1 1                  dy y y dx x x 0 1 1 1 1 1                   dx y dx x

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian, diperoleh 0 1 1 1 1 1                  

_

_

dy y dx x 0 1 1      

_

_

_

_

dy y dy dx x dx c y y x x      ln ln 1 y x c y x     ln ( 1) y x c e y x      ( 1)

Karena y(1)0 maka 1(01)ec10. Diperleh c1sehingga diperoleh

selesaian khusus persamaan 1

) 1 ( _{ } xy e y x

Sebagai latihan bagi pembaca, tentukan selesaian persamaan diferensial dan selesaian khusus masalah nilai awal berikut ini:

1. dx(1x2)coty dy0 2. cosydx(1ex)sin ydy0 3. (1 2) 0    x dy xydx 4. x2(y4)dx y(x2 1)dy0 5. 1₃ xy dx dy x  7. y1  y'ecosxsin x 8. y y dx dy x 3 1 2  9. ₂ 2 1 sec ' x y y   10. y' y(2sinx) 11. 8x2e3 dengan y(1)0 dx dy y 12. (0) 1 1 2 2 4 3 2       dengan y y x x dx dy

13. 



1 y2



tanx,dengan y(0) 3 dx dy 14. 4 ) 0 ( cos 2 2   x ydengan y dx dy 15.  ysinxdengan y()3 dx dy

2.3 Persamaan Diferensial Homogen

Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu yang berbentuk 0 ) , ( ) , (x y dxN x y dy

M disebut persamaan diferensial homogen jika )

, (x y

M dan N(x,y) fungsi homogen berderajat sama. Definisi:

1. F(x,y)disebut fungsi homogen jika _       y x G y x F( , ) atau        x y H y x F( , )

2. Fungsi F(x,y) disebut fungsi homogen berderajat-n jika memenuhi syarat ) , ( ) , (tx ty t F x y F  n Contoh: 1. x y x y x F   ) ,

( adalah fungsi homogen, karena

           x y H x y x x x y x x y x F 1 1 ) , (

2. F(x,y) x y adalah fungsi homogen, karena x y y x F( , ) 1 atau ( , ) 1 y x y x F

3. F(x,y) 1xy, bukan fungsi komogen karena tidak dapat dinyatakan dalam

bentuk             x y H atau y x G 4. 2 2 2 3 ) , (x y x xy y

F    fungsi homogen karena dapat dinyatakan dalam

            x y H atau y x G

5. F(x,y) ysinx, bukan fungsi homogen. 6. _{F(x,y) y 1x}2 _{bukan fungsi homogen.}

7. F(x,y) x y, fungsi homogen berderajat 1, karena: F(tx,ty)(tx)(ty)

F(tx,ty)t(x y) F(tx,ty)tF(x,y)

8. F(x,y)3x2 2xyy2 _{fungsi homogeny berderajat 0}

9. y x x y x F   2 ) ,

( , fungsi homogen berderajat 0, karena

) ( ) ( ) ( 2 ) , ( ty tx tx y x F   ) ( ) 2 ( ) , ( y x t x t y x F   ) ( ) 2 ( ) , ( 0 y x x t y x F   F(x,y)t0F(x,y)

10. Dengan cara yang sama, F(x,y) x3 2x2y3xy2 adalah fungsi homogen

berderajat 3 dan G(x,y)x x2 y2 adalah fungsi homogen berderajat 2.

11. F(x,y)sin(x y)bukan fungsi homogen, karena F(tx,ty) tnF(x,y) 

Jika M(x,y)dxN(x,y)dy0 adalah persamaan diferensial homogen, maka selesaian umumnya dapat ditentukan dengan cara menyatakan

) , (x y M dalam bentuk _            y x M atau x y

M demikian pula N(x,y)dapat

dinyatakan dalam bentuk _            y x N atau x y

N . Dengan kata lain M(x,y)dan

) , (x y

N dibagi dengan koefisien diferensial dx dan dy yang berpangkat

tertinggi.

Setelah dilakukan pembagian pada M(x,y)dan N(x,y), selanjutnya

gunakan transformasi

y x

u  atau x uy. Atau dapat menggunakan

transformasi

x y

v  atau y vx. _{Jika yang digunakan transformasi} yu  x maka diperoleh dx yduudy. Sebaliknya jika yang digunakan transformasi

. vdx xdv dy maka y xv   .

Akhirnya dx atau dx _{tetapi bukan keduanya}

disubstitusikan dalam persamaan diferensial semula 0 ) , ( ) , (x y dxN x y dy

M sehingga diperoleh persamaan baru 0               dy y x N dx y x M atau  0             dy x y N dx x y M

Dengan memilih transformasi dy xdvvdx maka 0 ) , ( ) , (x y dxN x y dy M







0               xdv vdx x y N dx x y M



xdv vdx



v N dx v M    ( ) ( )



( ) ( )



 ( ) 0  M v vN v dx xN v dv



( ) ( )



0 ) (     v vN v M dv v N x dx

0 ) , ( ) , (x y dxN x y dy M 0 ) ( _                dy y x N udy ydu y x M 0 ) ( ) )( (    M u ydu udy N u dy



( ) ( )



0 ) (     yM u du uM u N u dy



( ) ( )



0 ) (     u N u uM du u M y dy

Bentuk terakhir persamaan yang diperoleh adalah persamaan diferensial yang dapat direduksi ke persamaan variabel terpisah. Setelah variabel yang sejenis berkumpul dengan diferensialnya dan dengan mengintgralkan masing-masing bagian akan didapat selesaian umum persamaan diferensial homogen yang diberikan.

Contoh

1. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial 0

)

(y2 x2 dxxydy

Jawab

Persamaan di atas adalah persamaan diferensial homogen, karena ) , ( ) , (x y danN x y

M adalah persamaan homogen yang berderajat dua. Selanjutnya persamaan dibagi x2 diperoleh persamaan

c dy x y dx x y                 ₂ 1 2

Gunakan transformasi atau y ux x

y

u   , dan dyudxxdu,lalu subtitusikan ke persamaan semula

0 ) 1 ( 2    u dx vdy 0 ) ( ) 1 ( 2      u dx u udx xdu



2  2 1



 ( )0  u u dx u xdu 0 ) ( ) 1 2 ( 2     u dx u xdu

0 1 2 2     u udu x dx

Gunakan integral untuk masing-masing bagian, sehingga:

c u udu x dx    

_

_

1 2 2 c u udu x dx    

_

_

1 2 4 4 1 2 c u x     ln2 1 4 1 ln 2 c u x    4ln ln2 2 1 c u x    ln 4 ln2 2 1 c u x   ln 4(2 2 1 c x x y x _               ₂ 2 4 4 2 c x y x   2 2 2 4

Sehingga selesaian umum persamaan diferensial ( ) 0

2 2   x dx xydy y adalah x y x c 4 2 2 2

2. Tentukan selesaian persamaan diferensial 0 ) ( 2 2    y dx x dy xy dengan y(2)1 Jawab

Persamaan di atas di bagi dengan x 2

0 2 2          dx dy x y x y

Transformasi atau y sxsehinggady sdx xds x

y

s   

Dengan mensubstitusikan ke persamaan asal diperoleh 0

) (

)

0 2   s dx xds 2 s ds x dx   = 0







  c s ds x dx 2 c s x   ln 1 , karena x y s  maka c y x x    ln

Karena y(2)1maka c2 ln2, sehingga selesaian khusus persamaan di

atas adalah ln  2ln2

y x x

3. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial homogen berikut 0

3 )

(x3  y3 dx xy2dy  Jawab

Persamaan dibagi dengan x 3

Diperoleh 1 3 ₂ 0 2 3 3                dy x y dx x y Misal y Ax x y

A   dan didapat dy AdxxdA

Selanjutnya substitusikan dy dalam persamaan semula didapat persamaan baru (1 3) 3 2( ) 0    A dx A Adx xdA 0 ) 3 ( ) 2 1 (  3  2   A dx x A dA 0 ) 2 1 ( 3 3 2     x dx dA A A 0 ) 2 1 ( 3 3 2    

_

_

x dx A dA A 0 ) 2 1 ( 6 3 2 2 1 _{ }    

_

_

x dx A dA A

c x A      ln1 2 ln 2 1 3 c x A    ln1 2 3 2ln c x x y    ln1 2 ₃ 2ln 3 c x x y x          ₃ 2 3 3 . 2 ln c x y x    3 3 2

Berdasarkan uraian di atas, selesaian umum persamaan 0 3 ) (x3  y3 dx xy2dy  adalah c x y x   3 3 2

4. Tentukan selesaian umum persamaan 1 ) 1 ( 0 3 ) 2 3 (   y  dengan y  dx dy y x

Persamaan di atas adalah persamaan diferensial homogen, karena M(x,y) dan N(x,y) adalah fungsi homogen berderajat sama yaitu satu.

0 3 ) 2 3 (   y dx dy y x 0 ) 2 3 ( 3     ydx x y dy 0 3 2 3 _          dy dx y x

Dengan transformasi xuydandxudyydu

0 ) ( 3 ) 2 3 (      u dy udy ydu 0 3 ) 3 2 3 (      u u dy ydu 0 3 2    du y dy







  du c y dy 3 2 c u y   2ln 3 u c y 3 ln 2    u c e y    2 x y e c y2 ₃   Karena y(1)1 _maka 1 1 . 3 2 1 e c

 didapat c3 sehingga selesaiannya

dinamakan selesaian khusus (integral khusus) yaitu 3

3 2  x y e y Latihan soal

1. Selidiki apakah fungsi berikut homogen, jika homomogen tentukan derajatnya. a. f(x,y) x2y b. y x e y x f( , ) c. xy y x y x f 3 ) , ( 2 2 _  d. f(x,y)sin(x y)cos2(xy) e. 2 2 3 ) , (x y xy y x f    f. 2 2 ) , ( y x x y x f   g. f(x,y) x ycosx h. 2 2 2 ) , ( y x xy y x f   i. y x y x f   2 ) , (

j. y x y y y x x y x f               cos sin ) , ( k. y y y x y x f 3 9 5 3 ) , (    

2. Tentukan selesaian persamaan diferensial homogen berikut ini. a. xy y x dx dy 3 2 2   b. y dx dy y x ) 3 3 (   c. 2 ( 2 ) y(4x y) dx dy x y x    d. xdy ydx x2 y2dy0 e. x y x y dx dy tan   f. (2x5y)dx(4xy)dy 0, dengan y(2)1 g. (xy)dxxdy0, dengan y(0)0 h. ) 3 ( ' _{2 2} y x xy y   dengan y(2)1 i. y x y x y    2 2 ' dengan y(1)3 j. _{2 2} , (0)0   dengan y t x xt dt dx 3. y2dx(x2 y2)dy0dengan y(2)1

4. Tunjukkan bahwa persamaan diferensial M(x,y)dxN(x,y)dy0adalah persamaan diferensial homogen berderajat satu jika dan hanya jika

) , ( ) , (x y danN x y

M fungsi homogen berderajat-1.

y  4x2 y2, untuk x0

dx dy x

6. Tentukan semua selesaian dari persamaan

16 0 2 2     untuk x x y y x dx dy

2.3 Persamaan M(x,y)dan N(x,y)Linear, tetapi Tidak Homogen

Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu, disebut persamaan diferensial linear tidak homogen jika M(x,y) dan N(x,y)dalam

0 ) , ( ) , (x y dxN x y dy

M adalah fungsi linear. Sehingga bentuk umum semula dapat diubah menjadi (axbyc)dx(pxqyr)dy0

Contoh:

1. (x y2)dx(2x2y4)dy0 2. (x y1)dx(2x2y3)dy0 3. (3y7x7)dx(7y3x3)dy 0 4. (3x2y1)dx(3x2y1)dy 0

Berdasarkan contoh di atas, maka persamaan diferensial tidak homogen dengan M(x,y) dan N(x,y) fungsi linear dapat dikelompokkan menjadi 3 jenis

yaitu: a) Bentuk    r c q b p a

,  (parameter), sehingga diperoleh ap,bq,cr Contoh (xy2)dx(2x2y4)dy 0 b) Bentuk r c tetapi q b p a    , Sehingga ap,bq

Contoh

(xy1)dx(2x2y3)dy0 (3x2y1)dx(3x2y4)dy0 c) Bentuk selain a) dan b) di atas. (3y7x7)dx(7y3x3)dy 0 (3x2y7)dx(3y2y)dy0

Karena bentuknya berbeda-beda, maka selesaian umum persamaan diferensial linear tidak homogen harus menyesuaikan dengan bentuknya.

a. Bentuk    r c q b p a Karena    r c q b p a maka diperoleh r c q b p

a ,  ,  Sehingga persamaan semula 0 ) ( ) (axbyc dx pxqyr dy  0 ) ( ) (        px qy r dx px qy r dy 0 ) ( ) (        px qy r dx px qy r dy 0   dx dy 



 dx



dyc x yc (persamaan linear) Contoh

1. Tentukan selesaian persamaan diferensial 0 ) 8 2 2 ( ) 4 (x y dx x y dy Jawab Karena 2 1    r c q b p a maka diperoleh c r b q a

p 2 , 2 , 2 Sehingga persamaan semula 0 ) 8 2 2 ( ) 4 (x y dx x y dy

0 ) 4 ( 2 ) 4 (        x y dx x y dy 0 2 1    dx dy







  dx dy c 2 1 c y x   2 1 c y

x 2  _{adalah primitif yang diminta}

2. Tentukan selesaian persamaan 0 ) 3 ( ) 6 3 3 ( x y dx x y dy Jawab Karena   3 r c q b p a maka diperoleh r c q b a

a3 , 3 , 3 Sehingga persamaan semula 0 ) 3 ( ) 6 3 3 ( x y dx x y dy 0 ) 3 ( ) 2 ( 3        x y dx x y dy 0 3    dx dy







  3dx dy c c y x   3

Primitif persamaan di atas adalah 3x yc

b. Bentuk r c tetapi q b p a    , . Persamaan bentuk   q b p a

dapat diselesaikan dengan cara menggunakan transformasi axbyuatau pxqyv. Berdasarkan transformasi tersebut, dengan mendiferensialkan masing-masing variabel, sehingga diperoleh:

) ( ) ( ) (ax d by d u d   du bdy adx  

bdy du adx   a bdy du dx   atau du bdy adx   adx du bdy   b adx du dy  

Dengan cara yang sama jika yang digunakan transformasi pxqyv, diperoleh bentuk q pdx dv dy  atau p pdx dv dx 

Pilih dx atau dy akan tetapi tidak keduanya, dan substitusikan ke persamaan diferensial semula. 0 ) ( ) (axbyc dx pxqyr dy  0 1 ) (            u c dx u r dy  0 1 ) (                   u r dy a bdy du c u  Atau 0 1 ) (                  b adx du r u dx c u 

Persamaan di atas adalah persamaan yang dapat direduksi ke persamaan diferensial dengan variable terpisah (separable).

Contoh:

1. Tentukan selesaian persamaan diferensial 0 ) 3 2 2 ( ) 1 (xy dx x y dy  dengan y(0)0 Jawab

Dari persamaan (x y1)dx(2x2y3)dy0, diperoleh 2 , 2 , 2 , 1 , 1 , 1       b c p q danr a , sehingga diperoleh  = 2 1 .

Selanjutnya gunakan transformasi v y x atau u y x  2 2 

Jika transformasi yang digunakan xy u maka diperoleh 0 ) 3 2 ( ) 1 (u dx u dy  .

Selanjutnya bentuk transformasi x yu didiferensialkan

du dy

dx  dan diperoleh dxdudyatau dydudx. Cara I 0 ) 3 2 ( ) 1 (u dx u dy  . 0 ) 3 2 ( ) )( 1 (       u du dy u dy 0 ) 1 3 2 ( ) 1 (        u du u u dy 0 ) 2 ( ) 1 (    

 u du u dy direduksi menjadi PD Separable, diperoleh: 0 2 1           du u u dy





     du c u u dy 2 1







     du c u du dy 2 1 1 c u u y     ln 2 c y x y x y       ( ) ln 2 2 ln 2       x y c x y c u u y c y x        2 ln 2 2 ) 2 (    e x yc x y

Karena y(0) = 0, maka selesaian khusus persamaan 0 ) 3 2 2 ( ) 1 (xy dx x y dy  adalah ( 2 ln2) 2      y x e x y Cara II 0 ) )( 3 2 ( ) 1 (u dx u dudx  0 ) 3 2 ( ) 3 2 1 (        u u dx u du

0 ) 3 2 ( ) 2 (      u dx u du 0 ) 3 2 ( ) 2 (      u dx u du 0 2 3 2            du u u dx





     du c u u dx 2 3 2







     du c u du dx 2 1 1 c u u x     ln 2 c y x y x x       ( ) ln 2 y c y x    ln 2 y c e y x    ( 2)

Karena y(0)0 maka didapat cln2sehingga selesaian khusus

persamaan diferensial di atas adalah (x y2)eln2y

2. Tentukan selesaian persamaan 0 ) 1 2 3 ( ) 1 2 3 ( x y dx x y dy Jawab

Transformasikan 3x2yu sehingga3dx2dydudan diperoleh:

2 3 3 2 du dx dy atau dy du dx   

akibatnya persamaan (3x2y1)dx(3x2y1)dy0 dapat dinyatakan dalam bentuk (u1)dx(u1)dy0

Pilih dx atau dy, lalu substitusikan ke dalam persamaan dan diperoleh 0 ) 1 ( 3 2 ) 1 (           du dy u dy u dy u dy du u 1)( 2 ) 3( 1) (      0 ) 3 3 2 2 ( ) 1 (        u du u u dy

0 1 5 1      du dy u u







    du dy c u u 1 5 1







     du dy c u du 1 5 5 25 6 5 1 c y u u      ln5 1 25 6 5 c y y x y x        ln5(3 2 ) 1 25 6 5 2 3

Bentuk yang ketiga adalah selesaian bentuk selain persamaan 1 dan 2. Dalam menentukan selesaiannya gunakan transformasi

v r qy px dan u c by ax  ) (   ) (

Selanjutnya diferensial kan kedua bentuk transformasi di atas sehingga diperoleh ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (ax d by d c d u dand px d qy d r d v d       dv qdy pdx dan du bdy adx   

Eleminasikan dx dan dy pada hasil differesial yang diperoleh secara berurutan yaitu:        dv qdy pdx du bdy adx

selanjutnya kalikan persamaan pertama dengan p dan kalikan persamaan kedua dengan a, maka diperoleh:

pdu pbdy apdx  adv aqdy apdx  adv pdu dy aq pb )   ( aq bp adv pdu dy   

bp aq bdv qdu dx   

Substisusikan dx dan dy dalam persamaan semula, yaitu: 0 ) ( ) (axbyc dx pxqyr dy  0        aq bp adv pdu v bp aq bdv qdu u

Persamaan di atas menjadi persamaan baru dengan tanda diferensial du dan dv, dan termasuk dalam persamaan diferensial homogen. Primitifnya dapat ditentukan dengan menggunakan metode persamaan diferensial homogen.

Contoh

1. Tentukan selesaian umum persamaan 0 ) 3 3 7 ( ) 7 7 3 ( y x dx y x dy Jawab Transformasikan 3 3 7 7 7 3       y x danv y x u

Dengan mendiferensialkan masing-masing bagian, diperoleh:

dx dy dv dan dx dy du3 7 7 3

Elimasikan dx dan dy berurutan, diperoleh:

       dv dx dy du dx dy 3 7 7 3 atau        dv dx dy du dx dy 7 21 49 3 21 9 didapat dv du dy 3 7 40    40 3 7dv du dy 

40 7 3dv du

dx 

Substitusikan dydandxkepersaman semula, sehingga diperoleh 0 ) 3 3 7 ( ) 7 7 3 ( y x dx y x dy 0 40 3 7 40 7 3                 dv du v du dv u 0 ) 3 7 ( 40 ) 7 3 ( 40    

 u dv du v dv du (persamaan diferensial homogen) 0 ) 3 7 ( ) 7 3 (      u v dv u v du

Bagi persamaan dengan v, diperoleh 0 3 7 7 3                 du v u dv v u Transformasikan atauu vt v u t  sehingga du vdttdv

Persamaan di atas adalah persamaan diferensial yang dapat direduksi ke persamaan variable terpisah.

0 ) )( 3 7 ( ) 7 3 ( dt dv t vdttdv  0 ) 3 7 ( ) 3 7 7 3 ( 2        t t t dv t dt 0 ) 7 7 ( ) 3 7 ( 2      dt t t v dv c dt t t v dv     

_

_

₂ 7 7 3 7 0 1 1 ln 7 3 1 ln 2 1 ln 2        t t t v Dengan mensubstitusi 7 7 3 3 3 7 3 3 7         x y x y t dan x y v diperoleh selesaian umum persamaan (3y7x7)dx(7y3x3)dy0

2. Tentukan selesaian umum persamaan 0 ) 2 3 ( ) 1 2 3 ( x y dx x y dy Jawab.

Transformasikan y x v dan y x u 3 2 1 3 2 dy dx dv dan dy dx du3 2 3 2

Selanjutnya dieliminasi dx dan dy berturut dan diperoleh:

4 du dv dy  dan 6 dv du dx 

Substitusikan dy dan dx ke persamaan semula dan diperoleh 0 ) 2 3 ( ) 1 2 3 ( x y dx x y dy 0 4 6               u du dv v dv du 0 ) ( 6 ) ( 4      u du dv v dv du 0 ) 6 4 ( ) 6 4 (      u v du u v dv 0 6 4 6 4                  dv u v du u v Transformasikan v up u v

p   sehingga dvudp pdu

Substitusikan kepersamaan di atas, diperoleh 0 ) 9 ) 6 4 ( ) 6 4 (  p du  p udp pdu  0 ) 6 4 ( ) 6 4 6 4 (    2     p p p du p udp 0 ) 6 10 4 ( ) 6 4 ( 2       p p dp p u du





      dp c p p p u du ) 2 )( 2 6 ( 6 4



      dp c p p p u ) 2 )( 2 6 ( 6 4 ln c p p y x        ln 2 5 8 2 6 ln 5 18 1 2 3 ln c y x y x y x y x y x _                         2 1 2 3 2 3 ln 5 8 2 1 2 3 2 3 6 ln 5 18 1 2 3 ln

2.4 Persamaan Diferensial Eksak (PDE)

Persamaan diferensial M(x,y)dxN(x,y)dy0 _{disebut persamaan} diferensial eksak jika dan hanya jika memenuhi syarat:

x

y

x

N

y

y

x

M











(

,

)

(

,

)

Contoh

1. (x y)dx(x y)dy0adalah persamaan diferensial eksak karena ( , ) ( , ) 1      y y x M y x y x M ( , ) ( , ) 1      x y x M y x y x N sehingga x y x N x y x M      ( , ) ( , )

2. (x ycosx)dxsinxdy0, adalah persamaan diferensial eksak karena

x y y x M x y x y x M( , ) cos ( , ) cos      x x y x N x y x N( , ) sin ( , ) cos     Sehingga x y x N x y x M      ( , ) ( , )

3. y(x-2y) dx – x2 dy = 0, bukan persamaan diferensial eksak,

x y y y x M y x y y x M( , ) ( 2 ) ( , )  4      x x y x M x y x N( , ) 2 ( , ) 2      sehingga x y x N x y x M      ( , ) ( , ) Karena y y x M   ( , )  x y x N   ( , )

maka persamaan di atas bukan persamaan diferensial eksak.

Dengan cara yang sama, persamaan dibawah ini adalah persamaan tidak eksak karena y y x M   ( , )  x y x N   ( , ) . 1. ( 2 2) 0    y dx xydy

x ...persamaan diferensial homogen

2. dx a2 x2dy 0 ... persamaan diferensial yang dapat direduksi ke

persamaan diferensial variabel terpisah.

3. (x y1)dx(xy3)dy0………..persamaan diferensial tidak homogen

Persamaan diferensial eksak mempunyai selesaian umum F(x,y)c

Menurut definisi diferensial total untuk F(x,y)c, diperoleh: ) ( ) , (x y d c dF  0 ) , ( ) , (       dy y y x F dx x y x F Berdasarkan bentuk 0 ) , ( ) , (x y dxN x y dy M dan ( , ) ( , ) 0      dy y y x F dx x y x F maka diperoleh ) , ( ) , ( y x M x y x F    dan ( , ) N(x,y) y y x F   

Berdasarkan kesamaan di atas, maka untuk menentukan selesaian persamaan diferensial eksak yang berbentuk F(x,y)cdapat dilakukan dengan dua cara. Cara I ) , ( ) , ( y x M x y x F    dan ( , ) N(x,y) y y x F    Dari kesamaan di atas diperoleh



     dx y x M y x F y x M x y x F ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( = M(x,y)dx G(y) x 



) , ( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( y x N y G dx y x M y y x N y y x F x                



_

    x y x N y G dx y x M y ( , ) '( ) ( , )

_

    x dx y x M y y x N y G'( ) ( , ) ( , )

_

_

              M x y dx dy y dx y x N y G x ) , ( ) , ( ) (

Substitusikan G(y) dalam 

_



x y G dx y x M y x F( , ) ( , ) ( ) yang merupakan

selesaian umum persamaan diferensial

Cara II ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( y x M x y x F dan y x N y y x F       Dari kesamaan di atas diperoleh



 



  y x H dy y x N y x F dy y x N y x F( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ) , ( ) ( ' ) , ( ) , ( ) , ( y x M x H dy y x N x y x M x y x F y        



_

    N x y dy x y x M x H'( ) ( , ) ( , )

_



_



_          N x y dy y y x M x H( ) ( , ) ( , ) dx

Substitusikan H(x) ke persamaan semula 

_

 y x H y x N y x F( , ) ( , ) ( ) Contoh

1. Tentukan selesaian persamaan diferensial eksak berikut ini: 0 ) 5 4 3 ( ) 4 3 2 ( x y dx x y dy Jawab 3 ) , ( 4 3 2 ) , (        y y x M y x y x M dan 3 ) , ( 5 4 3 ) , (        y y x M y x y x N

berarti persamaan di atas adalah eksak.

Selesaian PD di atas adalah F(x,y)c. Untuk mendapatkan

c y x

F( , ) dapat digunakan kesamaan ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( y x M x y x F dan y x N y y x F       . 5 4 3 ) , (       x y y y x F



    F(x,y) (3x 4y 5)dy 3xy2y2 5y f(x) ) , ( ) , ( y x M x y x F   



3 2 2 5  ( )



2 3 4    xy y y f x x y x 4 3 2 ) ( ' 3      y f x x y 4 2 ) ( '    f x x c x x x f     ( ) 2 4

Sehingga primitif persamaan adalah F(x,y)3xy2y2 5yx2 4xc

Jawab x y y x M x y x y x M( , ) cos ( , ) cos      x x y x N x y x N( , ) sin ( , ) cos    

Berarti persamaan di atas adalah persamaan diferensial eksak. Sehingga selesaiannya dapat dinyatakan dalam bentuk F(x,y) = c. Untuk

mendapatkan F(x,y) = c digunakan kesamaan ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( y x N y y x F dan y x M x y x F      



       dx x y x y x F x y x x y x F ) cos ( ) , ( cos ) , ( sin ( ) 2 1 2 y G x y x    x y G x y x y x y y x F sin ) ( sin 2 1 sin ) , ( 2                sin xG'(y)sinx G'(y)0 G(y)c Diperoleh selesaian umum persamaan

c x y x c x y x y x F   sin   2 sin  2 1 ) , ( 2 2 Soal-soal

A. Selidiki apakah persamaan di bawah ini eksak atau tidak 1. (3x2y)dx(2x y)dy0 2. ( 2 3) (2 4) 0     dx xy dy y 3. (6xy2y2 5)dx(3x2 4xy6)dy0 4. 2 1 ₂ 0 2                 dy y x x dx y x

5. (cosxcosy y)y'tanxsinxsiny 6. (5xy4y2 1)dx(x2 2xy)dy0 7. xdx ydy (x2 y2)dx    8. 2 1 2 ( 1) 0 ) ( 3 2 _                    y x dy y x dx y x x y y 9. 2(x2 xy)dx(x2  y2)dy0 10. 1₂ 1₂ 4 ₃ 1_ 0               dy y x dx y x

B. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial eksak berikut ini: 1. 2 ( 2 3) 0    x dy xydx 2. 1 1_ 0               dy y xy dy x xy 3. 1 _{2 2 2 2} 0           dy y x x dx y x y x 4. (y2 2x)dx2xydy0 5.



1ln



 dy 0 y x dx xy

6. (ycos(xy)sinx)dxxcos(xy)dy0

7. (2xycosy)dx(x2 xsiny2y)dy 0 8. (3x2lnxx2 y)dxxdy0dan y(1)5 9. 2 2 4xy 3sinxdan y(2)0 dx dy x

10. 0 2 0 ) cos (          x dx xe dy dan y  yexy xy

2.6 Persamaan Diferensial Tidak Eksak (PDTE) 0 ) , ( ) , (x y dxN x y dy

M _{adalah persamaan diferensial tingkat satu}

derajat satu disebut persamaan diferensial tidak eksak jika dan hanya jika:

x

y

x

N

y

y

x

M











(

,

)

(

,

)

Persamaan diferenisal tidak eksak dapat diselesaikan dan ditentukan primitifnya dengan cara mencari faktor integral dari persamaan tersebut. Setelah ditentukan faktor integralnya, maka persamaan diferensial tidak eksak tersebut menjadi persamaan diferensial eksak. Faktor integral persamaan diferensial tidak eksak dinyatakan dengan  (x,y). Setelah diketahui faktor integralnya , maka persamaan tidak eksak ditulis dalam bentuk:



( , ) ( , ) 0



) , (x y M x y dxN x y dy  0 ) , ( ) , ( ) , ( ) , (    x y M x y dx  x y N x y dy satu derajat satu tingkat l diferensia persamaan dy y x N dx y x M     ( , ) ( , ) 0 Dengan ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , (x y x y M x y danN x y x y N x y M  

Sehingga diperoleh persamaan yang merupakan persamaan diferensial tingkat satu berupa persamaan diferensial eksak yang memenuhi sifat

x y x N y y x M      ( , ) ( , ) dengan

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

x

y

x

y

M

x

y

dan

N

x

y

x

y

N

x

y

M









Persamaan baru tersebut dinamakan persamaan diferensial eksak, sehingga selesaiannya dapat ditentukan dengan menggunakan metode persamaan diferensial eksak.

Bagaimana menentukan faktor integral persamaan tidak eksak? Karena



(

x

,

y

)



M

(

x

,

y

)

dx



N

(

x

,

y

)

dy



0



persamaan eksak, maka:

x

N

y

M











(



)

(



)

x N x N y M y M                                  y M x N x N y M                             y M x N x N y M    1

dalam hal ini dapat kita tinjau dari beberapa kasus:

a. Misal (x,y)(x) yaitu fungsi bervariabel x saja, maka 0   y  dan dx d x      , sehingga                    0 . 1 M dx d N x N y M   N x N y M dx d         1 Jika N x N y M     

suatu fungsi dari x atau f(x), maka dari

N x N y M dx d         1 didapat

dx x f d atau x f dx d ) ( ) ( 1      





  d f(x)dx  



 ln f(x)dx  

 e f(x)dx adalah faktor integral yang dicari

b. Misal  ( y)yaitu fungsi bervariabel y saja maka 0   x  dan dy d y      = dy d , sehingga _                       y M x N x N y M    . 1 _                      y M N x N y M   .0 . 1 M x N y M dy d          1 Jika M x N y M      

suatu fungsi dari y atau g( y), maka dari

M x N y M dy d          1 didapat 1 q(y)atau d g(y) dy d         

_

d 

_

g(y)dy   ln 

_

g(y)dy

c. Jika M(x,y)dxN(x,y)dy0adalah persamaan diferensial homogen dengan xM(x,y)dx yN(x,y)dy0 maka faktor integral

)

,

(

)

,

(

1

)

,

(

y

x

yN

y

x

xM

y

x







d. Jika M(x,y)dxN(x,y)dy0dapat ditulis yF(xy)dxxF(xy)dy0 dengan f(xy) g(xy)maka

)

,

(

)

,

(

1

))

(

)

(

(

1

)

,

(

y

x

yN

y

x

xM

xy

G

xy

F

xy

y

x











e. Seringkali faktor integral (x,y)dapat diperoleh dengan pemeriksaan, hal ini akan tampak setelah pengelompokkan kembali suku-suku persamaannya.

Dengan mengenal kelompok suku-suku tertentu merupakan suatu bagian dalam persamaan diferensial eksak.

Contoh

1. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial berikut dengan terlebih dahulu menentukan faktor integrasinya.

0 ) (x2  y2 x dxxydy Jawab y y y x M x y x y x M( , ) 2 2 ( , ) 2        y x y x N xy y x N      ( , ) ) , (

Sehingga persamaan di atas tidak eksak karena

x y x N y y x M      ( , ) ( , ) Selanjutnya dicari  (x,y) sebagai faktor integrxasi