BAB 3 PENGENALAN GEOMETRI TERURUT

BAB 3

PENGENALAN GEOMETRI TERURUT

Di Kazan, Nikola Ivanovich Lobachevsky mengikuti Kazan Gymnasium pada tahun 1802. dan lulus tahun 1807. Manfaat utama teori yang ditemukan Lobachevsky adalah perkembangan geometri Non-Euclide yang tidak berbeda dari Janos Bulyai. Sebelumnya para matematikawan mencoba membuat kesimpulan 5 postulat euclide dari aksioma-aksioma lain.kelima postulat euclide adalah postulat kesejajaran euclide biasanya diganti dengan postulat John Playfair yang mengatakan bahwa “ diberikan sebuah garis dan sebuah titik di luar garis, hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis tersebut yang melalui sebuah titik diluar garis tersebut”. geometri Lobachevsky menerima semua postulat geometri euclidedengan membuang postulat kesejajarannya. Lobachevsky mengganti postulat kesejajaran euclide dengan suatu postulat bahwa ada lebih dari satu garis yang sejajar dengan suatu garis tertentu yang melalui suatu titik diluar garis tersebut.geometri lobachevsky memandang bahwa setiap segitiga jumlah besar sudutnya kurang dari 180 derajat. perkembangan geometri non-euclide Lobachevsky disebut geometri hiperbolik.

Pada Geometri Terurut ditentukan titik-titik A, B, C... sebagai unsur yang tidak didefinisikan dan

Lobachevsky Lahir di Nizhny Novgorad, Rusia. orangtuanya bernama Ivan Maksimovich Lobachevsky dan Praskovia Alexan drovina Lobachevsky.

Pada tahun 1800 ayahnya meninggal dan ibunya pindah ke Kazan.

relasi keantaraan sebagai relasi yang tidak didefinisikan. Relasi ini dinyatakan dengan [A B C], yang berarti B terletak antara A dan C. Jika B tidak terletak antara A dan C, maka dikatakan “tidak [ABC]”.

Aksioma-aksioma pada Geometri Terurut:

Aksioma 3.1

Ada paling sedikit dua titik

Aksioma 3.2

Jika A dan B dua titik berlainan, maka ada satu titik C yang memenuhi [A B C].

Aksioma 3.3

Jika [A B C], maka A dan C berlainan A  C

Aksioma 3.4.

Jika [A B C], maka [C B A] tetapi tidak [B C A] Dari aksioma-aksioma di atas diturunkan teorema-teorema seperti berikut.

Teorema 3.1

Jika [A B C], maka tidak [C A B]

Bukti: Menurut Aksioma 3.4

Jika [C A B], maka tidak [A B C]

Ini ekuivalen dengan jika [A B C], maka tidak [CAB]

Teorema 3.2

Jika [A B C], maka A, B dan C berlainan atau A  B  C

Bukti:

Andaikan B = C, maka [A B B]

Jika [A B B] maka [B B A] (aksioma 3.4)

Jika [A B B] maka tidak [B B A] (aksioma 3.4). Kontradiksi

Jadi BC

Andaikan A = B, maka [A A C]

Jika [A A C], maka tidak [C A A] (menurut Teorema 3.1) terdapat kontradiksi, jadi A  B.

Aksioma 3.3 didapat A  C Terbukti, bahwa A  B  C

Definisi 3.1

Jika A dan B dua titik berlainan, maka segmen AB atau ruas garis AB ialah himpunan titik P yang memenuhi [A P B]. Dikatakan titik P terletak pada segmen AB.

Teorema 3.3

Titik A maupun titik B tidak terletak pada segmen AB

Bukti :

Andaikan A atau B terletak pada segmen AB maka terdapat [AAB] atau [A B B]. Ini bertentangan dengan Teorema 3.2. Jadi A maupun B tidak terletak pada segmen AB.

Teorema 3.4

Segmen AB = segmen BA

Bukti

Segmen AB = himpunan titik P sedemikian hingga [APB] (definisi)

= himpunan titik P sedemikian hingga [BPA] (aksioma 3.4)

= segmen BA (definisi)

Definisi 3.2

 IntervalABialah segmen AB ditambah

ujung-ujungnya yaitu A dan B. Jadi AB= A + AB + B

 Sinar A/B (dari A menjauhi B) ialah himpunan titik-titik P yang memenuhi [P A B].

 Garis AB ialah interval

AB

ditambah sinar-sinar A/B dan B/A. Jadi garis AB = A/B +

AB

+ B/A

Akibat :

 Interval AB = interval BA

 Garis AB = garis BA,

Bukti

Interval

AB

= segmen AB ditambah A dan B = segmen AB ditambah B dan A

= segmen BA ditambah B dan A = interval BA

Aksioma 3.5

Jika C dan D titik-titik berlainan pada garis AB, maka A pada garis CD.

Teorema 3.5

Jika C dan D titik-titik berlainan pada garis AB, maka garis AB = garis CD.

Bukti :

Jika A, B, C dan D tidak semuanya berlainan, maka dapat dimisalkan B = D dan akan dibuktikan, bahwa garis AB = garis BC.

Untuk membuktikan, bahwa garis AB = garis BC, kita tunjukkan, bahwa setiap titik pada garis BC adalah juga titik pada garis AB dan sebaliknya. i) C pada garis AB (premis)

Misalkan X pada garis AB. maka menurut Aksioma 3.5, B pada garis CX

B pada garis CX

C pada garis CX (C ujung CX)

Maka menurut aksioma 3.5, X pada garis BC. Jadi, jika X pada garis AB, maka X pada garis BC.

Kesimpulan garis AB himpunan bagian dari garis BC

ii) Misalkan Y pada garis BC, C pada AB (premis)

B pada AB (B ujung AB)

maka menurut Aksioma 3.5, A pada garis BC. Y pada garis BC

A pada garis BC

menurut Aksioma 3.5, maka B pada garis AY B pada garis AY

A pada garis AY (A ujung AY)

Jadi menurut Aksioma 3.5, Y pada garis AB. Jika Y pada garis BC, maka Y pada garis AB. Kesimpulan garis BC himpunan bagian dari garis AB

Dari i) dan ii) terbukti bahwa garis AB = garis BC. Jika D  B, maka dengan jalan yang sama dapat dibuktikan, bahwa garis BC sama dengan garis CD, sehingga garis AB = garis BC = garis CD. Jadi jika A, B, C dan D semua berlainan garis AB = garis CD.

Akibat 1: Dua titik berlainan terletak tepat pada satu garis. Dua garis berlainan (jika ada) mempunyai paling banyak 1 titik persekutuan. Titik persekutuan ini disebut titik potong kedua garis itu.

Akibat 2: Tiga titik berlainan A, B dan C pada

suatu garis memenuhi tepat hanya salah satu dari relasi-relasi [A B C], [B C A], atau [C A B].

Jika AB suatu garis, ada suatu titik C tidak pada garis ini.

Teorema 3.6

Jika C tidak pada garis AB, maka A tidak pada BC, juga B tidak pada AC. Garis-garis BC, CA dan AB berlainan.

Bukti :

Andaikan A pada garis BC B pada garis BC (B ujung BC)

Jadi C pada garis AB, kontradiksi dengan C tidak pada garis AB.

Kesimpulan A tidak pada garis BC Dengan cara yang sama untuk yang lain.

Definisi 3.3

1. Titik-titik yang terletak pada garis yang sama disebut “Collinear” (kolinier atau segaris).

2. Tiga titik noncollinear A, B, C menentukan suatu segitiga ABC yang memuat tiga titik ini, yang disebut titik-titik sudut, dan tiga segmen AB, BC, CA yang disebut sisi-sisi.

Aksioma 3.7

Jika A B C suatu segitiga, [B C D] dan [C E A], maka pada garis DE, ada suatu titik F yang memenuhi [A F B].

Teorema 3.7

Antara dua titik berlainan ada suatu titik lain.

Bukti :

Misalkan A dan B kedua titik itu seperti pada gambar berikut.

 Menurut Aksioma 3.6 ada suatu titik E tidak pada AB.

 Menurut Aksioma 3.2 ada suatu titik C memenuhi [A E C].

 Mengingat Teorema 3.5 maka garis AC sama dengan garis AE, B tidak terletak pada garis ini, maka ABC suatu segitiga.

 Menurut Aksioma 3.2 ada suatu titik D yang memenuhi [B C D].

 Menurut Aksioma 3.7 ada titik F antara A dan B. terbukti.

Contoh 3.1

Didefinisikan, bahwa suatu segmen ialah himpunan titik-titik. Apakah himpunan ini dapat berupa himpunan kosong?

Jawab:

Jika A dan B dua titik berlainan, maka segmen AB ialah himpunan titik P yang memenuhi [A P B]. Dikatakan titik P terletak pada segmen AB. Menurut Teorema 3.7 yang mengatakan, bahwa antara dua titik berlainan ada suatu titik lain, maka himpunan titik P tersebut tidak mungkin berupa himpunan kosong. A D C E F B

Teorema 3.8

Jika ABC suatu segitiga dan [B C D] dan [C E A], maka pada garis DE ada suatu titik F yang memenuhi [A F B ] dan [D E F].

Bukti :

Karena F terletak pada garis DE, maka ada 5 kemungkinan:

a) F = D; b. F = E;

c) [E F D]; d. [F D E]’ e) [D E F] Kemungkinan:

a) Jika F = D, maka [B C D] dan [A D B], jadi A, B dan C collinear. Kontradiksi dengan ABC suatu segitiga.

Jadi F  D.

b) Jika F = E, maka [C E A] dan [A E B], jadi A, B dan C collinear. Kontradiksi dengan ABC suatu segitiga. Jadi FE

c) Jika [E F D], maka perhatikan gambar berikut.

Dalam segitiga D C E dengan [C E A] dan [E F D]

 Menurut Aksioma 3.2 pada A F ada X yang memenuhi [D X C].

 Karena AF dan CD tidak mungkin berpotongan lebih dari satu kali, maka X = B, sehingga terdapat [D B C].

tidak mungkin [E F D]

d) Jika [F D E], maka gambarnya adalah sebagai berikut.

 Dalam segitiga AFE dengan [A F B], maka menurut Aksioma 3.7 pada garis BD ada suatu titik X sedemikian, sehingga [A X E].

 Karena BD dan AE tidak berpotongan di lebih dari satu titik, maka X = C, sehingga terdapat [A C E]. Ini bertentangan dengan ketentuan [A E C].

Jadi tidak mungkin [F D E]. Jadi kemungkinan hanya [D E F].

Contoh 1.2

Tunjukkan bahwa suatu garis mempunyai titik yang tidak terhingga banyaknya.

Jawab:

 Menurut definisi garis AB ialah interval AB ditambah sinar-sinar A/B dan B/A. Jadi garis AB = A/B + AB + B/A.

 Garis AB ialah himpunan titik P yang memenuhi [P A B] digabung dengan himpunan titik P yang memenuhi [A P B] dan digabung lagi dengan himpunan titik P yang memenuhi [A B P] dan ditambah titik-titik A dan B.

 Sehingga banyaknya titik pada garis AB tidak terhingga (Aksioma 3.2 dan Teorema 3.8).

Teorema 3.9

Suatu garis tidak mungkin memotong ketiga sisi suatu segitiga (sisi berupa segmen)

Teorema 3.10

Jika [A B C] dan [B C D], maka [A B D]

Teorema 3.11

Jika [A B C] dan [A B D] serta C  D, maka: 1) [B C D] atau [B D C], dan

2) [A C D] atau [A D C] lihat gambar a), b)

Teorema 3.12

Jika [A B D] dan [A C D] dan B  C, maka [A B C] atau [A C B] lihat gambar c), d)

Teorema 3.13

Jika [A B C] dan [A C D], maka [B C D] dan [A B D] lihat gambar e) a) b) c) d) ● A ● B ● C ● D ● A ● B ● C ● D ● A ● B ● D ● C ● A ● B ● C ● D

e)

Definisi 3.3

Jika [A B C] dan [A C D], kita tulis [A B C D]

Urutan 4 titik ini mempunyai sifat, jika [A B C D], maka [D C B A]. Urutan titik-titik ini dapat diperluas sebagai berikut. Seperti telah kita ketahui sebarang titik O pada segmen AB membagi segmen itu dalam dua segmen, AO dan OB.

Sebarang titk O pada sinar dari A membagi sinar dalam suatu segmen dan suatu sinar, A O dan O/A.

Sebarang titik pada garis membagi garis dalam dua sinar berlawanan, jika [A O B], maka sinar-sinar itu ialah O/A dan O/B, sinar O/A yang memuat titik B, kadang-kadang lebih mudah disebut sinar OB.

Untuk n > 1, maka n titik berlainan membagi garisnya dalam 2 sinar dan n-1 segmen. Titik titiknya dapat T1, T2, ….Tn sedemikian hingga kedua sinar itu

T /T dan T /T , ● A ● B ● C ● D ● A ● 0 ● B ● A ● 0 ● A ● 0 ● B

sedang n – 1 segmen itu T1T2, T2T3,….. Tn-1Tn,

masing-masing tidak memuat titik itu. Kita katakan, bahwa titik-titik itu dalam urutan T1T2…. Tn dan ditulis

[T1T2, T2T3, ….., Tn]. Syarat perlu dan cukup untuk ini

ialah : [T1T2T3], [T2 T3 T4], [T3 T4 T5], ….. [Tn-2 Tn-1 Tn].

Marilah kita perhatikan kembali Aksioma 3.8. Perkembangan logika yang terbaik dari suatu subjek menggunakan himpunan aksioma yang paling sederhana atau yang paling lemah. Pasch memberikan pernyataan yang lebih kuat tentang Aksioma 3.7 Ia menyatakan :

Jika sebuah garis dalam bidang suatu segitiga memotong satu sisi, maka ia juga akan memotong sisi yang lain (atau melalui suatu titik sudut).

Aksioma 3.7 yang kita pakai yaitu suatu aksioma dari Peano, lebih baik, karena

a. kata bidang tidak dipakai sama sekali

b. garis DE memasuki segitiga ABC dengan cara yang khusus, yaitu sebelum memotong CA ia berasal dari titik D pada C/B

Aksioma ini cukup kuat dan dari ini dapat diturunkan Teorema 3.14. Jika Teorema 3.14 ini diambil sebagai aksioma, maka dari ini tidak dapat diturunkan Aksioma 3.7 sebagai Teorema.

Teorema 3.14

Jika ABC suatu segitiga dan [A F B] dan [B C D] maka pada garis DF, ada suatu titik E yang memenuhi [C E A]. ● T1 ● T2 ● ● T3 ● Tn

Bukti :

Diambil G pada B/F dan dipandang  BOF dengan [F B G] dan [B C D]. Maka menurut aksioma VII pada garis GC ada titik H sedemikian, sehingga [D H F]. Menurut Teorema 3.8 [G C H].

Menurut Teorema 3.10, karena [A F H] dan [F B G], maka [A F G]. Di pandang  AFD dengan [A F G] dan [D H F]. Maka menurut Aksioma 3.7 pada garis GH ada suatu titik K sedemikian, sehingga [D K A], dan menurut Teorema 3.8 [G H K]. Karena [G C H] dan [G H K], maka [C H K]. Jadi ada segitiga ACK dengan [A K D] dan [K H C], maka menurut Aksioma 3.7 pada garis DH (atau garis DF) ada suatu titik E yang memenuhi [C E A] terbukti.

Contoh 3.3

Buktikan.bahwa jika ABC suatu segitiga dan [B L C], [C M A] dan [A N B], maka ada suatu titik E yang memenuhi [A E L] dan [M E N]. A B C G F D K H E L D E M C

Diketahui segitiga ABC, [B L C], [C M A] dan [A N B] Dibuktikan : ada titik E yang memenuhi [A E L] dan

[M E N].

Bukti :

Dipandang segitiga C N B dengan [B N A] (karena [A N B] dan [B L C]. Menurut Teorema 3.14 pada garis A L ada titik D yang memenuhi [C D N]. Dipandang segitiga C M N dengan [C D N] dan [C M A]. Maka menurut Teorema 3.14 pada garis AD ada titik E yang memenuhi [M E N]. Karena [A D L], maka garis AD sama dengan garis AL. Jadi ada titik E yang memenuhi [M E N] dan [A E L] Terbukti.

Contoh 3.4

Jika ABC suatu segitiga, maka ketiga sinar B/C, A/C, A/B mempunyai transversal (yaitu suatu garis yang memotong ketiganya). Buktikan!

Diketahui segitiga ABC

Dibuktikan : B/C, A/C, A/B mempunyai transversal

Bukti :

Ambillah titik B’ pada B/C dan titik A’ pada A/B dan dipandang segitiga BA’B’. Dipenuhi [B’BC] dan [BAA’]. A’ A B’ B D

Maka menurut Aksioma 3.7 pada garis CA ada suatu titik D yang memenuhi [A’ D B’] dan menurut Teorema 3.8 [C A D]. Jadi garis A’B’ merupakan transversal dari B/C, A/C dan A/B Terbukti.

Contoh 1.5

Jika ABC suatu segitiga, maka B/C, C/A dan A/B tidak mempunyai transversal.

Diketahui segitiga ABC

Buktikan ; B/A, C/A, A/B tidak mempunyai transversal.

Bukti :

Ambillah B’ pada B/C dan A’ pada A/B.

Telah terbukti (pada soal 4) bahwa A’B’ memotong A/C jadi tidak mungkin A’B’ memotong C/A. Maka B/C, C/A dan A/B tidak mempunyai transversal. Terbukti.

Definisi 3.4

1. Jika A, B, C tiga titik noncolinier, bidang ABC adalah himpunan semua titik yang colinier dengan pasangan titik-titik pada satu atau dua sisi dari segitiga ABC.

2. Suatu segmen, interval, garis atau sinar dikatakan terletak dalam bidang, jika semua

A’ A

B’ B

titiknya terletak dalam bidang itu.

Aksioma 3.1 sampai 3.7 dapat digunakan membuktikan letak dalam bidang. Aksioma lainnya yang dapat digunakan adaladh aksioma yang dikemukakan Hilbert, yaitu:

1. Sekarang tiga titik noncolinier dalam bidang  menentukan dengan lengkap bidang tersebut. 2. Jika dua titik berlainan pada suatu garis m

terletak pada bidang , maka setiap titik dari m terletak dalam bidang .

Definisi 3.5

Suatu sudut terdiri dari suatu titik O dan dua sinar yang noncoliner yang titik pangkalnya O. Titik O disebut titik sudut dan sinar-sinar itu adalah sisi-sisi sudut.

Aksioma 3.8 (Dalam ruang dimensi dua)

Semua titik ada dalam satu bidang

Aksioma 3.9

Untuk setiap partisi dari semua titik pada suatu garis dalam dua himpunan yang tidak kosong, sedemikian hingga tidak ada titik dari masing-masing himpunan yang terletak antara dua titik dari himpunan lainnya, maka ada satu titik dari satu himpunan yang terletak antara setiap titik dari himpunan itu dan setiap titik himpunan lainnya.

LATIHAN 3.

1. Jika [A B D] dan [A C D] dan BC, buktikan [A B C]. atau [A C B].

2. Buktikan Teorema 3.9 3. Buktikan Teorema 3.10 4. Buktikan Teorema 3.11