Nama: Analisis Statistika (STK511) SKS : 3 (2-2) Referensi:

Nama: Analisis Statistika (STK511)

SKS : 3 (2-2)

Referensi:

1. Mattjik, A.A dan I M Sumertajaya. 2002. Perancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS dan Minitab, Jilid I. IPB Press. Bogor.

2. Montgomery, D.C. 1991. Design and Analysis of Experiments, 3rd ed. John Wiley & Sons, Inc. Singapore.

3. Steel, R.G.D., J.H. Torrie and D.A Dickey. 1997. Principles and

Procedures of Statistics a Biometrical Approach, 3nd ed. McGraw-Hill, Inc. Singapore.

4. Aunuddin. 2005. STATISTIKA: Perancangan dan Analisis Data. IPB Press. Bogor

PENDAHULUAN

•

Apa itu statistika?

•

Statistika berasal dari kata statistik Î

penduga parameter

•

Ilmu yang mempelajari dan

mengusahakan agar data menjadi

informasi yang bermakna

Statistika

Populasi Contoh Sampling Pendugaan Tingkat Keyakinan Ilmu Peluang Statistika Deskriptif vs Statistika Inferensia Deskriptif

Statistika

Populasi : Keseluruhan pengamatan yang menjadi pusat perhatian kita

Contoh : Himpunan bagian dari populasi (mewakili)

Parameter : Karakteristik numerik dari populasi

Statistik : Karakteristik numerik dari contoh

Peubah / Variabel : Ciri dari objek yang diamati

Data : ?

Skala pengukuran : Nominal, Ordinal, Interval, Rasio

Peubah: Kualitatif vs Kuantitatif, Diskret vs Kontinu

Pengumpulan Data:

Harus dibangkitkan dulu Æ Percobaan

Analisis Eksplorasi Data

Eksplorasi Æ Upaya untuk melihat ke dalam data guna mengungkap informasi yang terkandung dalam data tersebut

Æ manipulasi, penyarian/perangkuman, peragaan

Peragaan : tabel & grafik (histogram, diagram batang, diagram lingkaran/pie

chart, plot, dll.)

Penyarian: ukuran pemusatan (mean, median, modus, quartil), ukuran penyebaran (ragam, standard deviasi, range, jarak antar kuartil)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Tw-1 Tw-2 Tw-3 Tw-4 Jabar Jatim Lampung 79% 21% Laki-Laki Perempuan 400 500 600 700 800 900 1000 20 40 60 80 100 120 Jarak (1000 Km) Em is i H c ( p p m )

Analisis Eksplorasi Data

Contoh: a. 3 9 7 4 10 3 b. 4 9 3 8 6 Mean Æ rataan atau rata-rata Populasi Contoh

Median Æ nilai yang membagi pengamatan menjadi dua bagian yang sama besar (50% < median, 50% > median)

Quartil Æ nilai yang membagi pengamatan menjadi empat bagian yang sama besar (Q₁ : 25% < Q₁ & 75% > Q₁, Q₂=median, Q₃ : 75% < Q₃ & 25% > Q₃)

Modus Æ nilai yang paling sering muncul

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +

=

2 1 n

x

~

_x

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊

=

) 1 ( 4 1 1

x

n

Q

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊

=

) 1 ( 4 3 3

x

n

Q

∑

= = N 1 i i N x μ

∑

= = n 1 i i n x x

Ragam : Populasi Contoh

Standard Deviasi Æ akar kuadrat dari ragam: Pop=

σ

, Contoh=

s

Range atau Wilayah Æ Selisih nilai terbesar dengan terkecil

R = X_[n] – X_[1]

Jarak Antar Kuartil Æ Selisih antara Q₃ dengan Q₁ (JAK=Q₃-Q₁)

Analisis Eksplorasi Data

∑

= − = N i 1 N 2 i 2 (x μ) σ

∑

= − − = n i n x s 1 2 i 2 1 ) (x 2

σ

σ

=

s

=

s

2

Contoh Data Karyawan

No Sex Tinggi Berat Agama 1 1 167 63 Islam 2 1 172 74 Islam 3 0 161 53 Kristen 4 0 157 47 Hindu 5 1 165 58 Islam 6 0 167 60 Islam 7 1 162 52 Budha 8 0 151 45 Katholik 9 0 158 54 Kristen 10 1 162 63 Islam 11 1 176 82 Islam 12 1 167 69 Islam 13 0 163 57 Kristen 14 0 158 60 Islam 15 1 164 58 Katholik 16 0 161 50 Islam 17 1 159 61 Kristen 18 1 163 65 Islam 19 1 165 62 Islam 20 0 169 59 Islam 21 1 173 70 Islam

Rekapitulasi menurut Sex Sex Frek. Persen Laki-laki 12 57.14 Perempuan 9 42.86 Rata-rata Tinggi & Berat

Tinggi Berat Laki-laki 166.25 64.75 Perempuan 160.56 53.89 Gabungan 163.81 60.10 57% 43% Laki-laki Perempuan 61% 19% 10% 5% 5%

Islam Kristen Katholik Hindu Budha 0.00

50.00 100.00 150.00 200.00 Tinggi Berat Laki-laki Perempuan Penyajian Tabel Penyajian Grafik

Rekapitulasi menurut Agama Agama Frekuensi Persen Islam 13 61.90 Kristen 4 19.05 Katholik 2 9.52 Hindu 1 4.76 Budha 1 4.76

Penyajian dengan:- Diagram Dahan Daun (Stem-and-Leaf Display) - Diagram Kotak Garis (Box-Plot)

Analisis Eksplorasi Data

Analisis Eksplorasi Data

Stem-and-leaf of Contoh3 N = 23 Leaf Unit = 1.0 1 0 3 3 0 45 5 0 77 8 0 899 (4) 1 0011 11 1 223 8 1 4455 4 1 67 2 1 8 1 2 1 2 1 2 1 2 7 Stem-and-Leaf Display Stem-and-leaf of Contoh1 N = 20 Leaf Unit = 1.0 1 2 5 4 3 579 7 4 138 (4) 5 0445 9 6 5569 5 7 36 3 8 12 1 9 3 Stem-and-leaf of Contoh2 N = 24 Leaf Unit = 1.0 3 0 899 7 1 0223 (6) 1 566779 11 2 01344 6 2 689 3 3 1 2 3 8 1 4 1 4 1 5 3

Analisis Eksplorasi Data

Boxplot

Langkah Pembuatan Boxp-Plot:

1. Tentukan: nilai terkecil, nilai terbesar, Q1, Median, Q3 2. Lakukan identifikasi pencilan:

dekat: x < Q1 – 3/2 d atau x > Q3 + 3/2 d & jauh: x < Q1 – 3d atau x > Q3 + 3d

Peluang

• Bagaimana membuktikan bahwa sebuah dadu setimbang?

• Empiris Æ Peluang = frekuensi relatif • Contoh:

• Satu mata uang setimbang dilempar sekali

RC = {M, B}

P({M})=1/2 dan P({B})=1/2

• Satu mata uang setimbang dilempar 3 kali

RC = {BBB,BBM,BMB,MBB,BMM,MBM,MMB,MMM} P({MMM})=1/8 ; P({BBB})=1/8 ; P({BMB})=1/8

Peluang

P(X=0) = P({BBB}) = 1/8

P(X=1) = P({BBM,BMB,MBB}) = 3/8 P(X=2) = P({BMM,MBM,MMB}) = 3/8 P(X=3) = P({MMM}) = 1/8

Sebaran Binom(n,p) Æ sebaran Binom dengan parameter n dan p

(sebaran peluang diskret)

n

0,1,2,...,

;

)

1

(

)

(

_⎟⎟

−

=

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

=

−

x

p

p

x

n

x

X

P

x n x

Peubah Acak Æ fungsi yang memetakan anggota gugus RC ke gugus bilangan nyata

Nilai Harapan & Ragam Peubah Acak X

Nilai Harapan & Ragam : Sebaran Binom(n,p)

,...,n

i

x

P

x

X

E

_i n i i x

(

)

;

0

)

(

0

=

=

=

∑

=

μ

2 2 2

₍

₎

₍

₎

X

E

X

E

x

=

−

σ

,...,n

i

x

P

x

X

E

_i n i i

(

)

;

0

)

(

0 2 2

₌

∑

₌

= X 0 1 2 3 P(X) 0.125 0.375 0.375 0.125 E(X) = 1.5 σ2 _{= 0.75}

Khusus pada sebaran Binom(n,p) :

E(X) = μ = np dan σ2 _{= np(1-p)}

Peluang Kontinu

4

0

;

4

1

)

(

x

=

≤

x

≤

f

Sebaran Seragam Æ kontinu

P(X=3) = 0 Æ pada sebaran kontinu, peluang pada satu titik =0

4

3

4

0

4

3

|

4

4

1

)

(

)

3

(

3 0 3 0 3

=

−

=

=

=

=

<

∫

∫

∞ −

x

dx

dx

x

f

X

P

4

1

4

2

4

3

|

4

4

1

)

(

)

3

2

(

3 2 3 2 3 2

=

−

=

=

=

=

≤

<

X

∫

f

x

dx

∫

dx

x

P

dx

x

xf

X

E

_x

∫

∞ ∞ −

=

=

(

)

)

(

μ

Nilai harapan Æ

Peluang Normal

;

2

1

)

,

;

(

2 2 1 2

₌

⎟_⎠

_∞

_<

_<

_∞

⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − −

x

e

x

f

x σ μ

σ

π

σ

μ

Sebaran Normal

(fungsi peluang kontinu)

)

,

N(

~

X

μ

σ

2

Contoh: Berat ikan di suatu danau mengikuti pola sebaran normal dengan rataan

400g dan standard deviasi 100g. Jika diambil satu ikan secara acak, berapa peluang mendapatkan ikan yang beratnya lebih dari 500g?

)

1

,

0

N(

~

Z

-X

σ

μ

=

Z

Tabel-Z 1587 . 0 ) 1 ( 100 400 500 ) 500 ( _⎟ = > = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _> − = > P Z P Z X P

Peluang Normal, Z, t,

χ2, F

Jika X~N(μ, σ2_{) Æ} ~N(μ, σ2_/n)

Bagaimana jika sebaran pop tdk normal Æ Dalil Limit Pusat

Æ Apapun sebaran populasinya, ~N(μ, σ2/n) dengan n Æ∞

Jika σ2 _{tidak diketahui, maka sebaran Normal (Z) Æ sebaran t} Peubah acak Z2 Æ sebaran χ2 _{(Khi-kuadrat)}

Rasio dari p.a. sebaran χ2 _{Æ sebaran F}

Penggunaan:

Sebaran Z Æ menguji μ jika σ2 _diketahui

Sebaran t Æ menguji μ jika σ2 _{tidak diketahui}

Sebaran χ2 Æ menguji ragam (σ2₎

Sebaran F Æ Rasio dua ragam

x

Metode Sampling

Tujuan Utama:

Mendapatkan sampel yang mencerminkan populasi Æ dapat digunakan untuk menduga populasi

Metode Sampling Æ Probability vs Non Probability Sampling

Masalah utama dalam sampling:

1. Menentukan metode sampling yang sesuai

2. Menentukan ukuran sampel yang mewakili populasi

Metode Sampling

Probability Sampling

Metode Sampling yang berbasis pada pemilihan secara acak Acak Æ setiap unit memiliki peluang yang sama untuk terpilih

Î

Butuh kerangka contoh (daftar seluruh unit atau anggota

populasi)

Beberapa definisi:

N = banyaknya objek dalam kerangka contoh (sampling frame) n = banyaknya objek dalam contoh

Metode Sampling

Beberapa Metode (Probability Sampling)

• Penarikan Contoh Acak Sederhana (Simple Random Sampling) • Penarikan Contoh Acak Berlapis (Stratified Random Sampling) • Penarikan Contoh Sistematis (Systematic Random Sampling) • Penarikan Contoh Gerombol (Cluster Random Sampling) • Penarikan Contoh Bertahap (Multi-Stage Sampling)

Metode Sampling

Ukuran contoh optimum (n)

Æ n = f(ragam, ukuran populasi, ketelitian yang diinginkan, biaya, waktu, resiko)

Æ Ukuran contoh yang diperlukan untuk menduga μ dengan batas error pendugaan sebesar B adalah:

Æ Ukuran contoh yang diperlukan untuk menduga P dengan batas error pendugaan sebesar B adalah:

4 B D dengan , ) 1 ( 2 2 2 = + − = σ σ D N N n ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( p p D N p Np n − + − − = 2 2 2 2 2 ) 1 ( − ε + = N V z NV z n 2 2 2 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( p N p p z p Np z n ε − + − − = Z=1.96 dengan SK 95%, V=Std relatif thd mean, ε=batas kesalahan yang diinginkan (% thd mean)

Metode Sampling

Contoh Penentuan ukuran contoh optimum (n)

Tentukan ukuran contoh optimum untuk menduga rata-rata produksi petambak jika diketahui N=10000 dan range produksi petambak antara 10-20 ton, dan batas error yang diinginkan B=1 ton.

25 94 . 24 5 . 2 4 1 * ) 1 10000 ( 5 . 2 * 10000 2 2 2 ≅ = + − = n

Tentukan ukuran contoh optimum untuk menduga proporsi (p) indukan udang yang baik jika diketahui N=2000 dan diinginkan batas error B=0.05. Asumsikan proporsi awal tidak diketahui.

334 47 . 333 5 . * 5 . 4 05 . * ) 1 2000 ( 5 . * 5 . * 2000 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 = ≅ + − = − + − − = p p D N p Np n 5 . 2 4 10 4 = = ≈ range σ

Metode Sampling

Non Probability Sampling

• Pemilihan tidak dilakukan secara acak

• Generalisasi terhadap populasi agak sulit dilakukan • Sering digunakan dalam penelitian sosial, marketing

research, dll., krn Probability Sampling tidak praktis atau bahkan tidak dapat diterapkan

• Accidental/Haphazard/Convenience vs Purposive

• Purposive Î Model Instance Sampling, Expert Sampling, Quota Sampling, Heterogenety Sampling, Snowball

Pendugaan Parameter

Dugaan Titik

untuk menduga μ

s

2 untuk menduga σ2

x

Dugaan Selang

Selang kepercayaan (1-α)100% bagi μ Jika σ2 _diketahui: Jika σ2 _{tdk diketahui:} n z x n z x α

σ

μ

α

σ

2 2 < < + − n s t x n s t x _{(n 1) (n 1)} 2 2 − < < + − − α

μ

α

Dugaan Selang

Selang kepercayaan (1-α)100% bagi μ₁-μ₂ Æ dua contoh bebas

Jika σ₁ dan σ₂ tdk diketahui dan diasumsikan sama:

Pendugaan Parameter

(lanjutan)

2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 ) ₂ ( ) ₂ ( n n z x x n n z x x − − α

σ

+

σ

<

μ

−

μ

< − + α

σ

+

σ

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − < − < ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − − 2 1 2 ) ( 2 1 2 1 2 1 2 ) ( 2 1 1 1 ) ( 1 1 ) ( 2 2 n n s t x x n n s t x x α _{v gab} μ μ α _{v gab} 2 dan 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 _{= + −} − + − + − = v n n n n s n s n s_gab

Dugaan Selang

Selang kepercayaan (1-α)100% bagi μ₁-μ₂ Æ dua contoh bebas

Jika σ₁ dan σ₂ tdk diketahui dan diasumsikan tidak sama:

Pendugaan Parameter

(lanjutan)

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − < − < ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − − 2 2 2 1 2 1 ) ( 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 ) ( 2 1 ) ₂ ( ) ₂ ( n s n s t x x n s n s t x x α _v μ μ α _v

(

)

(

)

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ = 1 1 ₂ 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 n n s n n s n s n s v

Dugaan Selang

Beda nilai tengah bagi contoh berpasangan: μd

Selang kepercayaan (1-α)100% bagi μ_d

Pendugaan Parameter

(lanjutan)

n s t d n s t d _{(n 1)} d _{D (n 1)} d 2 2 − < < + − − α μ α i i i i d x x i n d d s _{i 1 2} 2 2 _{dan d} ) ( − = − − =

∑

Dugaan selang bagi proporsi: P

Ragam proporsi Æ

Selang kepercayaan (1-α)100% bagi P

n P p p ) 1 ( 2 ₌ − σ n p p z p P n p p z p (1 ) (1 ) 2 2 − + < < − − α α

Pengujian

Hipotesis

Hipotesis Statistik: Pernyataan/dugaan mengenai parameter

populasi yang ingin dibuktikan kebenarannya H₀ Æ hipotesis nol

H₁ atau H_a Æ hipotesis satu atau hipotesis alternatif Misalnya:

H₀: μ=100 vs H₁: μ=120 Æ tunggal

H₀: μ=60 vs H₁: μ≠60 Æ uji dwi arah

H₀: μ=160 vs H₁: μ>160 Æ uji eka arah

H₀: μ=500 vs H₁: μ<500 Æ uji eka arah

Pengujian Hipotesis

Berdasarkan data yang dikumpulkan, H₁ atau H₀ yang benar ? majemuk

Pengujian Hipotesis

(lanjutan)

H0 benar H1 benar Hasil Pengujian

H0 benar _Benar Salah Jenis 1

( α) Salah Jenis 2 ( β) H1 benar Keadaan Sebenarnya Benar

α = Peluang menolak H0 padahal H0 benar

Contoh :

Suatu contoh acak berukuran 30 diambil dari populasi A. Nilai rata-rata dari 30 contoh tersebut adalah 123. Manakah yang lebih Anda percayai, ke-30 contoh tersebut berasal dari populasi A yang menyebar N(120,100) ataukah sebenarnya dari populasi B yang menyebar N(127,100)?

Peluang menyatakan H1 benar padahal H0 yang benar = H0: μ = 120 vs H1: μ = 127 ( ) 051 0 1.6432 30 10 120 123 0 . z P z P n x z P H = > = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − > = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − > _σμ Peluang menyatakan H0 benar padahal H1 yang benar = ( ) 014 0 -2.1909 30 10 127 123 1 . z P z P n x z P H = < = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − < = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − < _σμ

Pengujian Hipotesis

(lanjutan)

Kaidah Keputusan:

Jika p-value < α Æ H1 benar

Jika p-value ≥ α Æ H0 dianggap benar

α Æ taraf nyata pengujian (kesalahan maksimum yang diperbolehkan jika memutuskan H1 benar)

P-value Æ peluang salah jenis 1 berdasarkan data

Teladan 1:

Pada saat ini diduga terjadi kenaikan rata-rata tinggi badan orang Indonesia dibandingkan tahun 70-an. Untuk membuktikan dugaan ini diambil contoh acak berukuran 25 dan

diperoleh rataan sebesar 164 cm. Ujilah apakah dugaan tersebut benar. Gunakan α=5%. (Catatan: Tinggi rata-rata tahun 70-an=161 cm, dan σ2_{=81 cm}2_).

Pengujian Hipotesis

(lanjutan)

Diketahui: n=25, =164 cm ; σ2_{=81 cm}2 ; α =5%=0.05. H₀: μ=161 cm vs H₁: μ>161cm Z _tabel = Z_0.05 = 1.65 P-value = P(x>x₀ / μ =161) = P(Z>1.67) = 0.0475 P-value < α Æ Tolak H₀

(Memang benar sekarang ada kenaikan rata-rata tinggi orang Indonesia dibandingkan dengan tahun 70-an)

x

67 . 1 25 / 81 161 -164 / -x = = = n Z σ μ Z > Ztab Æ Tolak H0

Pengujian Hipotesis

(lanjutan)

Secara Umum:

Satu Nilai Tengah Populasi: H₀: μ = μ₀ vs H₁: μ ≠ μ₀ H₀: μ ≤ μ₀ vs H₁: μ > μ₀ H₀: μ ≥ μ₀ vs H₁: μ < μ₀

Dua Nilai Tengah Populasi:

Saling Bebas Berpasangan

H₀: μ₁= μ₂ vs H₁: μ₁ ≠ μ₂ H₀: μ_D = 0 vs H₁: μ_D ≠ 0 H₀: μ₁ ≤ μ₂ vs H₁: μ₁> μ₂ H₀: μ_D ≤ 0 vs H₁: μ_D > 0 H₀: μ₁ ≥ μ₂ vs H₁: μ₁< μ₂ H₀: μ_D ≥ 0 vs H₁: μ_D < 0

Pengujian Hipotesis

(lanjutan)

Teladan-2:

Ada dugaan kuat bahwa latar belakang petambak berpengaruh terhadap keberhasilan sebagai petambak di CP Bahari. Untuk membuktikan pendapat ini, dipilih 22 petambak contoh secara acak, dimana 11 orang berlatar belakang petambak dan 11 orang sisanya berlatar belakang bukan petambak. Jika produksi merupakan ukuran tingkat keberhasilan petambak, dan produksi terakhir dari ke-22 petambak tersebut seperti tabel di bawah ini, ujilah apakah dugaan tersebut di atas benar? (Gunakan α=5% dan asumsikan ragam produksi kedua populasi sama).

11.7 9.6 12.2 8.6 9.3 10.1 8.9 9.5 10.4 8.3 9.4

Produksi dari 11 Petambak yang Berlatar Belakang Petambak

7.4 8.5 9.2 8.7 7.8 6.9 10.2 9.4 8.1 8.3 9.0

Produksi dari 11 Petambak yang Berlatar Belakang Bukan Petambak

Bentuk Hipotesis ? Statistik Uji ?

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = − = − 2 1 2 2 1 2 1 1 1 ) ( ) ( 2 1 n n s x x s x x t gab x x hit H₀: μ₁ ≤ μ₂ vs H₁: μ₁> μ₂

Data

• Data adalah bentuk jamak dari datum, berasal dari bahasa Latin yang berarti

"sesuatu yang diberikan". Dalam penggunaan sehari-hari data berarti suatu pernyataan yang diterima secara apa adanya. Pernyataan ini adalah hasil pengukuran atau pengamatan suatu variabel yang bentuknya dapat berupa angka, kata-kata, atau citra.

• Data in everyday language is a synonym for information.[1] In the exact

sciences there is a clear distinction between data and information, where data is a measurement that can be disorganized and when the data becomes

organized it becomes information. Data may relate to reality, or to fiction as in a fictional movie. Data about reality consists of propositions. A large class of practically important propositions are measurements or observations of a