Sebaran Statistik Tataan (Order Statistic) Dr. Kusman Sadik, M.Si Departemen Statistika IPB, 2016

Sebaran Statistik Tataan

(Order Statistic)

(Order Statistic)

Dr. Kusman Sadik, M.Si

Sebaran Statistik Tataan (Order Statistic)

Misalkan X1, X2, ..., Xn dinotasikan sebagai contoh acak dari

suatu sebaran kontinu yang mempunyai fungsi kepekatan peluang fX(x) untuk a < x < b. Misalkan Y1 adalah yang

terkecil dari Xi, kemudian Y2 adalah urutan terkecil kedua

terkecil dari Xi, kemudian Y2 adalah urutan terkecil kedua

dari Xi, ..., dan Yn adalah yang terbesar dari Xi. Sehingga Y1 <

Y2 < ... < Yn merepresentasikan X1, X2, ..., Xn apabila ditata dari

kecil ke besar (ascending). Selanjutnya Yi, i = 1, 2, ..., n,

disebut sebagai statistik tataan (order statistic) ke-i dari contoh acak X1, X2, ..., Xn.

Teorema 1

Misalkan Yi, i = 1, 2, ..., n, merupakan statistik tataan ke-i dari

contoh acak bebas dan identik X1, X2, ..., Xn. Fungsi kepekatan

peluang bersama dari Y1, Y2, ..., Yn adalah

b y y y a y f y f y f n y y y g n n n       ... ), ( )... ( ) ( )! ( ) ,..., , ( 2 1 2 1 2 1

Teorema 2

Misalkan Yi, i = 1, 2, ..., n, merupakan statistik tataan ke-i dari

contoh acak bebas dan identik X1, X2, ..., Xn. Fungsi kepekatan

peluang marginal salah satu statistik tataan, misalnya Yk,

adalah b y a y f y F y F k n k n y g k k k n k k k k k         ), ( )] ( 1 [ )] ( [ )! ( )! 1 ( ! ) ( 1

Teorema 3

Misalkan Yi, i = 1, 2, ..., n, merupakan statistik tataan ke-i dari

contoh acak bebas dan identik X1, X2, ..., Xn. Fungsi kepekatan

peluang bersama dua statistik tataan, misalnya Yi < Yj ,

adalah b y y a y f y f y F y F y F y F j n i j i n y y g j i j i j n j i j i j i i j i ij                ), ( ) ( )] ( 1 [ )] ( ) ( [ )] ( [ )! ( )! 1 ( )! 1 ( ! ) , ( 1 1

Pembuktian secara lengkap tiga teorema di atas dapat dilihat di Hogg & Craig, dan Roussas (disediakan sebagai latihan).

Kasus 1

Misalkan X1, X2, ..., Xn adalah peubah acak yang menyebar

acak dan identik sebagai U(, ). Fungsi kepekatan peluang bersama statistik tataan Y1, Y2, ..., Yn adalah:

n!

_

_





       _{n n} n n y y y y y y g , ... ) ( ! ) ,..., , ( _{1 2 1 2}

Kasus 2

Misalkan X1, X2, ..., Xn adalah peubah acak yang menyebar

acak dan identik sebagai U(0, 1). Jika didefinisikan suatu peubah acak Z = maksimum(X1, X2, ..., Xn), tentukan fkp bagi

Z.

Peubah acak Z merupakan statistik tataan, yaitu Z = Yn,

sehingga berdasarkan Teorema 2 dapat dinyatakan bahwa:

1 0 ), ( )] ( [ ) ( )] ( 1 [ )] ( [ )! ( )! 1 ( ! ) ( 1 1           n n n n n n n n n n n y y f y F n y f y F y F n n n n y g

1 0 ), ( )] ( [ ) ( )] ( 1 [ )] ( [ )! ( )! 1 ( ! ) ( 1 1           n n n n n n n n n n n n y y f y F n y f y F y F n n n n y g Karena

f

( 

x

)

1

, 0 < x < 1, maka x dx x F 



x  0 1 ) ( 1 0 , ) ( 1 . ] [ ) ( )] ( [ ) ( 1 1 1         n n n n n n n n n n y y n y n y f y F n y g

1 0 , ) ( 1 . ] [ ) ( )] ( [ ) ( 1 1 1         n n n n n n n n n n y y n y n y f y F n y g

Jadi fkp peubah acak Z = maksimum(X1, X2, ..., Xn) adalah:

 _{, 0 1} ) ( ) (_{z  n z} 1 _{ z } f n

Kasus 3

Misalkan X1, X2, ..., Xn adalah peubah acak yang menyebar

acak dan identik sebagai Eksponensial Negatif dengan parameter sebaran . Jika kemudian didefinisikan suatu peubah acak lain yaitu V = minimum(X1, X2, ..., Xn), tunjukkan

peubah acak lain yaitu V = minimum(X1, X2, ..., Xn), tunjukkan

bahwa fkp peubah acak V adalah Eksponensial Negatif dengan parameter sebaran n.

Peubah acak V merupakan statistik tataan, yaitu V = Y1,

sehingga berdasarkan Teorema 2 dapat dinyatakan bahwa:

0 ), ( )] ( 1 [ ) ( )] ( 1 [ )] ( [ )! 1 ( )! 1 1 ( ! ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1           y y f y F n y f y F y F n n y g n n 0 y₁  Karena

_f

₍

_x

₎

_

_

_e

x _{, x > 0, maka} x x x_{dx e} e x F _

_

 _{ } 



1 ) ( 0

x x x_{dx e} e x F _

_

 _{ } 



1 ) ( 0 0 , ) ( ) ( )] 1 ( 1 [ ) ( )] ( 1 [ ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1             y e n e e n y f y F n y g y n y n y n   





0 y₁ 

Jadi fkp peubah acak V = minimum(X1, X2, ..., Xn) adalah:

0

,

)

(

)

(

_v

_

_n

_e

( )

_v

_

f

_

n v

merupakan fkp Eksponensial Negatif dengan parameter sebaran n.

Kasus 4

Misalkan Y

1

< Y

2

< Y

3

< Y

4

merupakan statistik tataan dari

contoh acak berukuran 4 dari sebaran yang memiliki fkp:

x

x

f

( 

)

2

, 0 < x < 1

Tentukan peluang P(Y

3

> ½).

Karena

f

( 

x

)

2

x

_{maka F(x) = x}

2

untuk 0 < x < 1, sehingga:

b

y

a

y

f

y

F

y

F

k

n

k

n

y

g

k k k n k k k k k













 

),

(

)]

(

1

[

)]

(

[

)!

(

)!

1

(

!

)

(

1

b y a y f y F y F k n k n y g k k k n k k k k k         ), ( )] ( 1 [ )] ( [ )! ( )! 1 ( ! ) ( 1 ), 2 ( ) 1 ( ) ( )! 1 )( ! 2 ( 4! ) ( 2 1 ₃ 3 2 2 3 3 3     y y y y g 1 0  y₃  P(Y3 > ½) = 256243 ) ( 1 2 / 1 3 3 3 



g y dy

Kasus 5

Misalkan Y1 < Y2 < Y3 merupakan statistik tataan dari contoh

acak berukuran 3 dari sebaran yang memiliki fkp:

1 ) ( x

f , 0 < x < 1 Tentukan fkp bagi jangkauan (range), yaitu

R = Ymaks – Ymin = Y3 – Y1

Karena f ( x) 1, 0 < x < 1, maka F(x) = x untuk 0 < x < 1. Berdasarkan Teorema 3 b y y a y f y f y F y F y F y F j n i j i n y y g j i j i j n j i j i j i i j i ij                ), ( ) ( )] ( 1 [ )] ( ) ( [ )] ( [ )! ( )! 1 ( )! 1 ( ! ) , ( 1 1

b y y a y f y f y F y F y F y F j n i j i n y y g j i j i j n j i j i j i i j i ij                ), ( ) ( )] ( 1 [ )] ( ) ( [ )] ( [ )! ( )! 1 ( )! 1 ( ! ) , ( 1 1

Sehingga sebaran bersama Y1 dan Y3 adalah:

1 0 ), 1 )( 1 ( ] 1 [ ] [ ] [ )! 3 3 ( )! 1 1 3 ( )! 1 1 ( !3 ) , ( 3 1 3 3 3 1 1 3 1 3 1 1 1 3 1 13                y y y y y y y y g g13(y1, y3) = 6(y3 – y1), 0 < y1 < y3 < 1

Agar trasformasi dari dimensi 2 ke dimensi 2, maka perlu didefinisikan peubah acak lain, misalnya S = Y3, sehingga ada

2 transformasi yaitu: R = Y3 – Y1 dan S = Y3   Y1 = S – R dan Y3 = S J = Jacobian = 1 0 1 1  = -1

g13(y1, y3) = 6(y3 – y1), 0 < y1 < y3 < 1

Sebaran bersama R dan S adalah

h(r, s) = 6(s – (s – r)).|-1| = 6r, 0 < r < s < 1 Sehingga sebaran untuk jangkauan, R = Y3 – Y1, adalah





      1 ( , ) 1 6 6 (1 ), 0 1 ) ( r r r r r rds ds s r h r h

Kasus 6

Misalkan X1, X2, X3 merupakan contoh acak dari sebaran

kontinu yang memiliki fkp:

x x

f ( ) 2 , 0 < x < 1 a. Tentukan fkp bagi Xmin.

a. Tentukan fkp bagi Xmin.

b. Tentukan fkp bagi median

Solusi

x

x

f

( 

)

2

, 0 < x < 1

Karena

f

( 

x

)

2

x

_{maka F(x) = x}2 _{untuk 0 < x < 1}

a. Tentukan fkp bagi Xmin.

a. Tentukan fkp bagi Xmin.

Misalkan Y1 = Xmin, sehingga berdasarkan Teorema 2 dapat

dinyatakan bahwa: b y a y f y F y F k n k n y g k k k n k k k k k         ), ( )] ( 1 [ )] ( [ )! ( )! 1 ( ! ) ( 1

b

y

a

y

f

y

F

y

F

k

n

k

n

y

g

k k k n k k k k k













 

),

(

)]

(

1

[

)]

(

[

)!

(

)!

1

(

!

)

(

1

)

(

)]

(

1

[

)]

(

[

)!

1

(

)!

1

1

(

!

)

(

1 ₁ 1 1 1 1 1 1

y



_

n

_n

_

F

y





F

y



f

y

g

n

1

0

)

2

(

)]

1

[

3

)

2

(

)]

1

[

3

)

(

)]

(

1

[

)!

1

(

)!

1

1

(

1 1 2 2 1 1 1 3 2 1 1 1 1





















 

y

y

y

y

y

y

f

y

F

n

n

n

a. Tentukan fkp bagi median

Median untuk kasus tersebut adalah Y2, sehingga berdasarkan

Teorema 2 dapat dinyatakan bahwa:

b y a y f y F y F k n k n y g k k k n k k k k k         ), ( )] ( 1 [ )] ( [ )! ( )! 1 ( ! ) ( 1 b y a  _k  1 0 ), 2 ]( 1 ][ )[ 2 ( 3 ) 2 ( ] 1 ][ )[ 2 ( 3 ) ( )] ( 1 )][ ( )[ 1 ( ) ( )] ( 1 [ )] ( [ )! 2 ( )! 1 2 ( ! ) ( 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2                  y y y y y y y y f y F y F n n y f y F y F n n y g n n

Kasus 7

Misalkan X1, X2, ..., Xn merupakan contoh acak dari sebaran

Uniform(0, 1). Tunjukkan bahwa fkp bagi jangkauan (range), R = Xmaks – Xmin, adalah

1

0

),

1

(

)

1

(

)

(

_r

_

_n

_n

_

_r

2

_

_r

_

_r

_

f

n

Solusi

Karena f ( x) 1, 0 < x < 1, maka F(x) = x untuk 0 < x < 1. Berdasarkan Teorema 3 b y y a y f y f y F y F y F y F j n i j i n y y g j i j i j n j i j i j i i j i ij                ), ( ) ( )] ( 1 [ )] ( ) ( [ )] ( [ )! ( )! 1 ( )! 1 ( ! ) , ( 1 1 b y y a  i  j 

Sehingga sebaran bersama Y1 dan Yn adalah:

1 0 ), 1 )( 1 ( ] 1 [ ] [ ] [ )! ( )! 1 1 ( )! 1 1 ( ! ) , ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1                n n n n n n n n y y y y y y n n n n y y g g (y , y ) = n(n – 1)(y – y )n-2, 0 < y < y < 1

Agar trasformasi dari dimensi 2 ke dimensi 2, maka perlu didefinisikan peubah acak lain, misalnya S = Yn, sehingga ada 2

transformasi yaitu: R = Yn – Y1 dan S = Yn  Y1 = S – R dan Yn = S J = Jacobian = 1 0 1 1  _{= -1}

g

1n

(y

1

, y

n

) = n(n – 1)(y

n

– y

1

)

n-2

, 0 < y

1

< y

n

< 1

Sebaran bersama R dan S adalah

h(r, s) = n(n – 1)(s – (s – r))

n-2

.|-1| = n(n – 1)(r)

n-2

, 0 < r < s < 1

Sehingga sebaran untuk jangkauan, R = Y

n

– Y

1

, adalah

1 0 ), 1 ( ) )( 1 ( ) )( 1 ( ) , ( ) ( 1 1 2 2        





  r r r n n ds r n n ds s r h r h r n n r

th th

Bisa di-download di