Rainbow Connection Number of Special Graph and Its Operations

(1)

Artanty Nastiti, Dafik CGANT-University of Jember

Department of Mathematics Education FKIP University of Jember, nastitiartanty02, d.dafik@unej.ac.id

Abstract

Let Gbe a simple graph. An edge-coloring of a graph G is rainbow con-nected if, for any two vertices ofG, there are k internally vertex-disjoint paths joining them, each of which is rainbow and then a minimal numbers of colorGis required to make rainbow connected. The rainbow connection numbers of a connected graph G, denoted rc(G). In this paper we will discuss the rainbow connection number rc(G) for some special graph and its operations, namely crown product ofP2 J P rn, tensor product of P2

N Wn.

Kata Kunci_{: Edge-colouring, Rainbow Connection, Spesial Graph, Graphs}

Operations.

Introduction

Perkembangan teori graf saat ini tidak hanya secara teoritis, tetapi juga se-cara aplikatif seperti dalam ilmu jaringan komunikasi, transportasi, ilmu kom-puter, musik, dan ilmu-ilmu lainnya lihat [1], [2], [5], [7], [8]. Salah satu topik yang dipelajari dalam teori graf adalah rainbow connection. Konsep rainbow connection pada graf pertama kali diperkenalkan pada tahun 2008 oleh Char-trand, Johns, McKeon and Zha. Konsep ini termotifasi dari informasi dan komu-nikasi antara suatu agen pemerintah. Departemen Homeland Amerika Serikat yang dibentuk 2003 sebagai respon atas ditemukannya kelemahan transfer infor-masi setelah serangan teroris 11 September 2001. Suatu inforinfor-masi membutuhkan perlindungan dikarenakan terhubung langsung ke security negara, sehingga di-haruskan juga terdapat prosedur yang memberikan ijin untuk mengakses an-tara agen-agen pemerintahan. Setiap jalur transfer informasi diperlukan suatu password dan f irewall angka yang cukup besar untuk melindungi informasi dari serangan pengganggu. Sehinggu muncul pertanyaan, berapa angka minimal passowrddanf irewallyang dibutuhkan setiap dua orang agen saat melakukan jalur transfer informasi, disamping itu juga tidak terjadi pengulanganpassword dari masing-masing agen. Lebih detail lihat [9], [10], [11], [12].

Situasi tersebut dapat dimodelkan dengan teori graf. Misalkan G adalah graf terhubungnontrivialdenganedge−coloring c:E(G)→ {1,2,3, ..., n}, n ∈ N_{dimana sisi-sisi yang bertetangga mungkin mempunyai warna yang sama.} Su-atu jalur disebut rainbow jika tidak terdapat dua sisi pada G yang diwarnai

(2)

sama. Sebuah edge−coloring grafG adalah rainbow connectedjika sebarang dua titik yang terhubung dihubungkan oleh jalur rainbow. Jelas bahwa jika graf G adalah rainbow connected maka pasti terhubung. Sehingga rainbow connection number dari graf terhubung G, dinotasikan rc(G), sebagai per-wanaan minimum yang dibutuhkan untuk membuat grafG rainbow connected. Lihat [3], [4], [6].

Penelitian terkait rainbow connection berkembang cukup pesat. Pada ar-tikel ini akan dipelajari tentang rainbow connection number pada graf khusus dan operasinya yaitu graf P2 J P rn dan P2 N Wn. Beberapa hasil penelitian

yang telah dilakukan Syafrizal menghasilkan teorema berikut.

Theorem 1 _{[1] [6] Andaikan} G dan H adalah dua buah graf terhubung,

rc(GKH) =            1, untukG∼=K1 dan H ∼=Km

2, untukG∼=K1 dan H ∼=Pm dengan 3≤m≤6

3, untukG∼=K1 dan H ∼=Pm denganm≥7

G∼=P2 dan H =Km dengan m≥1

Teorema yang Digunakan

Beberapa teorema terkait batas atas dan bawah dari rainbow connection. Theorem 2 _{[3] Andaikan} _G _{adalah graf terhubung dengan order} _n _≥ ₃ _dan mempunyaidegreesekurang-kurangnyad(G) = 2. JikaG∈ {K3, C4, K4−e, C5}, makarc(G) ≤n−3.

Theorem 3 _{[3] Andaikan} _G _{adalah graf terhubung dengan}_d₍_G₎ _≥₂_{. Maka} (i) jika G adalah interval graph, maka k(G) ≤ rc(G) ≤ k(G) + 1, sedangkan yang lainnya jika Gunit interval graph, maka k(G) =rc(G)

(ii) jika G adalah AT-free, makak(G) ≤rc(G) ≤k(G) + 3

(iii) jika Gadalah sebuah threshold graph, maka k(G) ≤rc(G) ≤3 (iv) jikaG adalah chain graph, maka k(G) ≤rc(G) ≤4

(v) jikaG adalah sebuah sircular arc graph, maka k(G) ≤rc(G) ≤k(G) + 4

Hasil Penelitian

Hasil dari penelitian ini didapatkan beberapa teorema terkait rainbow connec-tion untuk operasi grafP2 J P rn.

(3)

3 Teorema 0.1 _Untuk _n_≥₂_{, rainbow connection number untuk operasi graf} P2 J P rn adalah

rc(P2

K

P rn) = 4;untuk n≥3

Bukti. _{Operasi graf} _P₂ J

P rn adalah graf yang memiliki memiliki

himpunan titik V = {xi, xi,j; 1 ≤ i ≤ 2; 1 ≤ j ≤ n} dan himpunan sisi

E = {xixi+1; i = 1} ∪ {xixij; 1≤i≤2; 1≤j ≤n} ∪ {xi1xin; 1≤i≤2} ∪

{xijxij+1; 1≤i≤2; 1≤j≤n−1}. Kemudian order dan sizenya adalah

masing-masing p=|V|= 2(1 +n) dan q =|E|= 2(2n+ 1)−1. Berdasarkan Teorema 3 dinyatakan bahwak( ¯P2JP rn)≤rc(P2JP rn)≤k( ¯P2JP rn) + 1.

Untukn≥2 graf ¯P2JP rnmemiliki diameter 4 maka 4≤rc( ¯P2JP rn)≤5

na-mun demikian terbukti bahwa rc( ¯P2JP rn) = 4. akan diwarnai dengan fungsi

berikut: Untuk n ǫ genap f(e) =                          1, e=xi,1xi,n; dengan 1≤i≤2

1, e=xixi,j; dengani = 1, j = ganjil; 1≤j≤n−1

1, e=xixi,j; dengani = 2, j = genap; 2≤j≤n

2, e=xixi,j; dengani = 1, j = genap; 2≤j≤n

2, e=xixi,j; dengani = 2, j = ganjil; 1≤j≤n−1

3, e=xi,jxi,j+1; dengan 1≤i≤2,1≤j ≤n−1

4, e=xixi+1; dengan i= 1 Untuk n ǫ ganjil f(e) =                          1, e=xi,1xi,n; dengan 1≤i≤2

1, e=xixi,j; dengani= 1, j = ganjil; 1≤j≤n

1, e=xixi,j; dengani= 2, j = genap; 2≤j≤n−1

2, e=xixi,j; dengani= 1, j = genap; 2≤j≤n−1

2, e=xixi,j; dengani= 2, j = ganjil; 1≤j≤n

3, e=xi,jxi,j+1; dengan 1≤i≤2,1≤j≤n−1

4, e=xixi+1; dengan i= 1

Jelas bahwaf :E(P2JP rn)→ {1,2,3,4} karena rc(P2JP rn)≤4.

Maka, rc( ¯P2JP rn) = 4. 2

3 Teorema 0.2 _Untuk _n _≥ ₄_{, rainbow connection number untuk operasi graf} P2 N Wn adalah

(4)

rc(P2

O

Wn) =⌈

n

2⌉;untuk n≥4

Bukti. _{Operasi graf} _P₂ N

Wn adalah graf yang memiliki memiliki

him-punan titik V = {P, xj; 1 ≤ j ≤ 2, yi; 1 ≤ i ≤ n} dan himpunan sisi E =

{xjxj+1; j= 1}∪{xjyi; 1≤j ≤2, yi; 1 ≤i≤n}∪{P xj; 1≤j≤2}∪{P xi; 1≤i≤n}

∪ {yiyi+1; 1≤i≤n−1} ∪ {yny1}. Kemudian order dan sizenya adalah

masing-masingp=|V|=n+3 danq =|E|= 2n+3. Berdasarkan Teorema 3 dinyatakan bahwa k( ¯P2NWn)≤rc(P2NWn)≤k( ¯P2NWn) + 1.

Untukn≥4 graf ¯P2NWn memiliki diameter⌈n2⌉ maka⌈

n

2⌉ ≤rc( ¯P2

N

Wn)≤

⌈n

2⌉+ 1 namun demikian terbukti bahwa rc( ¯P2

N

Wn) = ⌈n2⌉, akan diwarnai dengan fungsi berikut.

f(e) =            1, e=xjxj+1, j= 1;e=P xj;e=P yi;e=xjyi; dengan 1≤i≤n,1≤j≤2 i, e=yiyi+1; dengan 1≤i≤ ⌈n2⌉ i, e=y_⌊n 2⌋+iy⌊ n 2⌋+i+1; dengan 1≤i≤ ⌈ n 2⌉ −1 ⌊n 2⌋, e=yny1

Jelas bahwa f : E(P2NWn) → {1,2,3, ...,⌈n2⌉} karena rc(P2

N_W n) ≤ ⌈n 2⌉. Maka, rc( ¯P2NWn) =⌈n2⌉. 2

Kesimpulan

Pada bagian ini akan diriview kembali rainbow connection numberrc(G) pada graf khusus dan operasinya Berdasarkan hasil penelitian diatas, maka kita dapat menyimpulkan bahwa:

• Untuk grafP2 J P rn , didapatkan rainbow connection number adalah

4 untuk n≥3

• Untuk grafP2 N Wn, didapatkan rainbow connection number adalah

⌈n

(5)

References

[1] Gary Chartrand and Ping Zhang. Chromatic Graph Theory. Chapman and Hall, 2008.

[2] A.B. Ericksen, A matter of security, Graduating Engineer and Computer Careers, (2007), 24-28.

[3] X.Li and Y.Sun, Rainbow connection numbers of complementary graphs, arXiv:1011.4572v3 [math.CO], 2010.

[4] X.Li and Y.Sun, Rainbow connections of graphs a survey, arXiv:1101.5747v2 [math.CO], 2011.

[5] ] G. Chartrand, G.L. Johns, K.A. McKeon, and P. Zhang, Rainbow connec-tion in graphs, Math. Bohem., 133, No. 2, (2008), 85–98.

[6] Sy, Syafrizal, and Estetikasari, Dewi, On Rainbow Connection for Some Corona Graphs, Applied Mathematical Sciences., Vol. 7, No. 100, (2013), 4975–4979.

[7] Joseph A. Gallian, A Dynamic Survey of Graph Labeling, University of Minnesota, 1997.

[8] Dafik, Structural Properties and Labeling of Graphs. University of Ballarat, 2007.

[9] L. Sunil Chandran, Anita Das, D. Rajendraprasad, and N.M. Varma. Rainbow Connection Number and Connected Dominating Sets, arXiv:1010.2296v1, [math.CO], 2010

[11] Sourav Chakraborty, Eldar Fischer, Arie Matsliah, and Raphael Yuster, Hardness and algorithms for rainbow connection. Journal of Combinatorial Optimization, pages 118, 2009.

[12] M. Basavaraju, L. Sunil Chandran, D. Rajendraprasad, and A. Ra-maswamy, Rainbow Connection Number of Graph Power and Graph Prod-ucts, arXiv:1104.4190v2 [math.CO], 2011