Mahasiswa S3 pada Jurusan Statistika FMIPA-ITS 2 Staf Pengajar pada Jurusan Statistika FMIPA-ITS

(1)

1

KONDISI OPTIMUM PADA MODEL PERMUKAAN MULTIRESPON UNTUK RANCANGAN PERCOBAAN CAMPURAN DENGAN RESPON PRIMER ORDE

DUA TERHADAP KENDALA ORDE SATU DAN ORDE DUA

1

Ruslan , 2Susanti L, 2Purhadi, 2Sony S

1_{Mahasiswa S3 pada Jurusan Statistika FMIPA-ITS}

2

Staf Pengajar pada Jurusan Statistika FMIPA-ITS Departement of Statistics FMIPA-ITS

Kampus ITS Sukolilo Gedung U Lantai 2 Surabaya 60111 Telp : (031) 5943352 Fax : (031) 5922940

[email protected]

Email : [email protected], [email protected], [email protected], [email protected] ABSTRAK

Rancangan percobaan campuran adalah suatu rancangan percobaan yang mengasumsikan bahwa perbedaan respon yang teramati antar perlakuan hanya dipengaruhi oleh perbedaan proporsi dari setiap komponen pada campuran tersebut dan memiliki kendala jumlah setiap proporsi harus sama dengan satu. Jika rancangan percobaan campuran melibatkan n buah percobaan dengan p buah respon yang diukur pada setiap taraf dari q buah variabel input kuantitatif (komponen) maka rancangan tersebut merupakan rancangan dengan model permukaan multirespon. Untuk menentukan komposisi proporsi yang membuat penaksir-penaksir respon optimum maka diperlukan suatu metode optimasi. Pada penelitian ini diasumsikan bahwa kendala-kendala berorde satu dan berorde dua dan respon primer berorde dua pada model permukaan multirespon untuk rancangan percobaan campuran. Metode optimasi yang digunakan adalah metode optimasi dual respon yang telah dimodifikasi sesuai dengan kendala pada rancangan percobaan campuran.

Kata Kunci: Metode Optimasi Dual Respon, Model Permukaan Multirespon, Rancangan Percobaan Campuran

Pendahuluan

Rancangan percobaan campuran adalah suatu rancangan percobaan yang mengasumsikan bahwa perbedaan respon yang teramati antar perlakuan hanya dipengaruhi oleh perbedaan proporsi dari setiap komponen pada campuran tersebut bukan banyaknya campuran dan harus memenuhi kendala yaitu jumlah setiap proporsi (xi) harus sama dengan satu. Rancangan percobaan campuran telah dibahas oleh Cornell (1981), Prescot Dean, Draper and Lewis (2002) yang melibatkan respon tunggal.

Jika rancangan percobaan campuran yang melibatkan bahwa n banyaknya percobaan dan p adalah banyaknya respon yang diukur untuk setiap tahap dari q variabel input kuantitatif yaitu x1,x2,...,xq, maka rancangan mengikuti model permukaan multirespon. Penelitian mengenai model permukaan multirespon telah dibahas oleh Khuri and Cornel (1996) seperti penaksiran parameter, rancangan dan analsis percobaan multirespon, uji lack of fit Seminar Nasional Statistika IX

(2)

2

dan optimasi model permukaan multirespon Untuk menentukan kondisi optimum pada variabel respon telah dibahas oleh Myers dan Carter (1973) yaitu tentang penentuan kondisi optimum dengan melibatkan respon primer dengan kendala respon sekunder yang disesbut metode optimasi dual respon. Khuri dan Conel (1996) tidak membahas implementasi model permukaan multirespon terhadap rancangan percobaan campuran. Pada makalah ini akan dibahas mengenai kajian teoritis untuk menentukan kondisi optimum dengan menggunakan metode optimasi dual respon yang mengasumsikan bahwa kendala-kendala berorde satu dan berorde dua dan respon primer berorde dua pada model permukaan multirespon untuk rancangan percobaan campuran.

Rancangan Percobaan Campuran

Dalam percobaan campuran jika xi merupakan proporsi komponen ke-i dalam campuran dimana banyaknya komponen adalah q, maka:

xi ≥ 0 dengan i = 1,2,...,q (1) q q 1 i i 1 2

x

...

x

=1 (2)

Rancangan simpleks lattice merupakan bagian dari rancangan percobaan campuran yang memiliki pola simpleks {q,m} dimana q adalah banyaknya komponen dan m adalah derajat polinomial. Banyaknya titik-titik rancangan untuk rancangan simpleks lattice pada q komponen dan m derajat polinomial yaitu:

)!

1 q

(

!

m

)!

1 m

q

(

m

1 m

q

(3) (Cornel, 1981).

Model Permukaan Multirespon

Ciri dalam model permukaan multirespon adalah pemodelan secara simultan dari n banyaknya percobaan dan p adalah banyaknya respon yang diukur untuk setiap tahap dari q variabel input kuantitatif. Diasumsikan bahwa variabel respon dapat dibentuk kedalam model regresi polinomial dalam nilai xi. Sehingga model respon ke r dapat ditulis dalam bentuk vektor sebagai berikut:

Y

~

_r

X

_r

~

_r

~

_r, r =1,2,...,p (4) Dimana

Y

~

_r adalah suatu vektor (n x 1) pada respon ke r, Xr adalah suatu matriks (N x kr) dengan rank kr.

~

_radalah suatu vektor (kr x 1), dan

~

_r suatu vektor error acak ke r dengan asumsi

(3)

3 0 ~ ) ~ ( E r ,

Var

(

~

r

)

rr

I

N , Cov(~r,~s) rsIN,

untuk r = 1,2,...,p dan s = 1,2,...p dengan

r

s

. TT p T 2 T 1 Y ~ ,..., Y~ , Y~

Y~ adalah suatu vector

berukuran (pn x 1), TT p T 2 T 1 ~ ,..., ~ , ~ ~

adalah suatu vektor berukuran ( p 1 r r k x 1) , TT p T 2 T 1

,

~

,...,

~

_{adalah suatu vektor berukuran (pn x1) dan X adalah suatu matriks} diagonal (X1, X2, ..., Xp) berukuran (pn x p 1 r r

k

). Sehingga (4) menjadi

~

X

Y

~

,

E

(

Y

~

)

X

~

, Var(

(

~

)

I

_N dimana _rs _rp_,_s₁ adalah suatu matriks variani kovariansi pada

(

₁

,

₂

,...,

_p

)

T.

Model orde pertama pada model permukaan multirepon ke r dapat ditulis sebagai berikut:

r q 1 i i ir r 0 r

x

y

, r = 1, 2, ...,p (5)

Model prediksi respon ke r pada (5) adalah q 1 i i ir r 0 r

b

x

yˆ

, r = 1,2, ..., p.

Model orde kedua pada model permukaan multirespon ke r dapat ditulis sebagai berikut:

_r q 1 i q j ij1 j i ijr q 1 i q 1 i 2 i iir i ir r 0 r

x

y

, r = 1, 2, ...,p (6)

Model prediksi respon ke r pada model (6) adalah

q 1 i q j ij1 j i ijr q 1 i q 1 i 2 i iir i ir r 0 r

b

x

b

x

b

x

y

ˆ

, r = 1,2, ..., p.

Terdapat beberapa metode untuk mengecek asumsi pada model permukaan multirespon seperti mengidentifikasi ada tidaknya depedensi linier antar respon dengan analisis eigen, asumsi normal multivariate pada residu dengan uji Mardia.

Kondisi optimum pada penaksir respon primer orde dua terhadap kendala -kendala berorde satu dan berorde dua

Setelah diperoleh model penaksir respon yang telah sesuai maka hal selanjutnya adalah menentukan kondisi optimum pada variabel respon yaitu menentukan komposisi mana yang membuat penaksir respon menjadi optimum. Asumsikan bahwa penaksir respon primer pada model permukaan multirespon mempunyai model orde kedua untuk p buah

(4)

4

respon and q buah variabel. Penaksir respon primer optimum terhadap penaksir respon kedua sebagai kendala. Fungsi penaksir respon primer adalah

x

~

B

ˆ

x

~

b

~

x

~

b

Y

ˆ

)

x

~

(

Y

ˆ

T ₁ 1 T 01 1 f

terhadap penaksir-penaksir respon kedua sebagai kendala yaitu

)}

x

~

(

Y

ˆ

,...,

Y

ˆ

,

Y

ˆ

),...,

x

~

(

Y

ˆ

),

x

~

(

Y

ˆ

{

)

x

~

(

Y

ˆ

_s ₂ ₃ _m _m₁ _p yang memiliki asumsi bahwa a kendala

dimana a = 2, 3,..., m memiliki model orde pertama yang dapat dinyatakan sebagai berikut:

m

...,

,

3 ,

2 a

,

b

~

x

~

b

Y

ˆ

T _a 0a a dengan

b

~

_a= [ b1a, b2a,..,bqa ]T , a = 2, 3, ..., m.

Dan b kendala dimana b = m+1, m+2, …, p memiliki model orde kedua yang dapat dinyatakan oleh:

x

~

B

ˆ

x

~

b

~

x

~

b

Y

ˆ

T _b b T 0b b , b = m+1, m+2, ...,p. dengan

b

~

_b= [ b1b, b2b,..,bqb ]T , b = m+1, m+2, ..., p.

Optimasi

Y

ˆ

_f

(

~

x

)

terhadap

Y

ˆ

_s

(

~

x

)

= cr , r =2, 3,…, m, m+1, ..., p , cr adalah suatu nilai yang ditentukan. Dengan menggunakan pengganda lagrange dimana fungsi lagrange untuk kendala yang banyak mempunyai pengganda lagrange yaitu

{

₂

,

₃

,

...,

_m

,

_m₁

,...,

_p

}

dan , dimana fungsinya dapat dinyatakan sebagai berikut

)

1

1 ~

x

~

(

-}

c

)

x

~

(

Y

ˆ

θ{

)

x

~

(

Y

ˆ

L

T s f =

Y

ˆ

_f

(

~

x

)

{

Y

ˆ

_a

(

~

x

)

Y

ˆ

_b

(

~

x

)

c

)

(

~

x

T

~

1

1 )

= m 2 r p 1 m r T r r T r T r 0 r r r T r 0 r f

1

1 )

~

x

~

(

))

c

x

~

B

ˆ

x

~

b

~

x

~

b

(

)

c

b

~

x

~

b

(

((

)

x

~

(

Y

ˆ

= _b ~_x ~_b _x~ _Bˆ ~_x ₍_b ~_x ~_b₎ ₍_b ~_x ~_b ~_x _Bˆ ~_x₎ _c ₍~_xT_.~₁ ₁₎ r m 2 r p 1 m r T r T r 0 r r T r 0 r 1 T 1 T 01 (7) Titik stasioner dapat ditentukan dengan menurunkan (7) terhadap

~

x

0 ~

1 ~

x

~

B

ˆ

2 b

~

b

~

-x

~

B

ˆ

2 b

~

x

~

L

p 1 m r p 1 m r r r r r m 2 r r r 1 1 m 2 r p 1 m r 1 r r r r p 1 m r r r 1

0 ~

1 ~

b

~

b

~

b

~

x

~

B

ˆ

B

ˆ

2

(5)

5 m 2 r p 1 m r r r 1 r r p 1 m r r r 1

1 ~

b

~

b

~

b

~

x

~

B

ˆ

B

ˆ

2

1 ~

b

~

b

~

B

ˆ

B

ˆ

x

~

p 2 r 1 r r 1 p 1 m r r r 1 opt

Jenis titik optimum dapat ditentukan dengan melakukan turunan kedua dari L terhadap

x

~

:

)

x

~

M(

)

B

ˆ

B

ˆ

(

x

~

L

opt p 1 m r r r 1 2 2

Jika M(

~

x

_opt) atau

B

ˆ

₁ definit negatif,

~

x

_opt memberikan lokal maksimum pada

Y

ˆ

₁

(

~

x

_opt

)

. Jika M(

~

x

_opt) definit positif,

~

x

_opt memberikan lokal minimum pada

Y

ˆ

₁

(

x

~

_opt

)

. Penentuan kondisi optimum dengan metode optimasi dual respon pada model permukaan multirespon pada rancangan percobaan campuran dengan semua kendala berorde satu dapat didekati dengan kondisi optimal Karush Kuhn Tucker (KKT) yaitu

Maksimumkan

Y

ˆ

(

~

x

)

Y

ˆ

(

x

~

)

b

~

x

~

b

~

x

B

ˆ

1

x

~

T 1 T 01 1 p Terhadap

p

,...,

1 m

b

dan

m

...,

,

3 ,

2 a

,

x

~

B

ˆ

x

~

b

~

x

~

b

~

x

~

b

Y

ˆ

Y

ˆ

)

x

~

(

Y

ˆ

T _b b T b 0 a T 0a b a s

0 c

)

x

~

B

ˆ

x

~

b

~

x

~

b

(

b

~

x

~

b

(

m 2 r p 1 m r r r T r T r 0 r r T r 0 r

)

x

~

M(

)

B

ˆ

B

ˆ

(

p _opt 1 m r r r 1

0 ~

1 ~

x

~

B

ˆ

2 b

~

b

~

-x

~

B

ˆ

2 b

~

p 1 m r p 1 m r r r r r m 2 r r r 1 1

)

1

1 ~

.

x

~

(

T _{= 0}

Untuk contoh, jika q = 2, dalam rancangan percobaan campuran mempunyai kendala q

1 i

i

x

=1, titik stasioner (

~

x

_opt) menghasilkan penaksir respon optimum terletak di daerah yaitu garis lurus.

(6)

6

Gambar 1. Daerah titik optimum pada model permukaan multirespon pada rancangan percobaan campuran untuk q = 2

Untuk q = 3, daerah titik stasioner adalah segitiga sama sisi. Untuk q = 4, daerah titik stasioner adalah suatu tetrahedron.

Gambar 2. Daerah titik optimum pada model permukaan multirespon pada Rancangan percobaan campuran untuk q = 3

Kesimpulan

Kajian teoritis untuk menentukan kondisi optimum pada model permukaan multirespon pada penaksir respon primer orde dua terhadap kendala -kendala berorde satu dan berorde dua dengan menggunakan metode optimasi dual respon diperoleh

2

1 ~

b

~

b

~

B

ˆ

B

ˆ

x

~

p 2 r 1 r r 1 p 1 m r r r 1 opt

Jika M(

x

~

_opt) definit negatif,

~

x

_opt memberikan lokal maksimum pada

Y

ˆ

₁

(

x

~

_opt

)

. Jika M(

~

x

_opt) definit positif,

~

x

_opt memberikan lokal minimum pada

Y

ˆ

₁

(

~

x

_opt

)

. Jika q =2 titik stasioner (

x

~

_opt) menghasilkan penaksir respon optimum terletak di daerah yaitu garis lurus, untuk q = 3, daerah titik stasioner adalah segitiga sama sisi. Untuk q = 4, daerah titik stasioner adalah suatu tetrahedron.

Titik optimum q = 2 (1; 0) (0,5; 0,5) (0; 1) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x1 x2

(7)

7 Daftar Pustaka

Cornell, 1981. Experiment With Mixture, John Wiley & Sons, New York.

Khuri, Al & Cornell, JA, 1996. Response Surface Design Analysis, Second Edition Marcel Dekker, Inc New York.

Myers, R., H, dan Carter, W., H ,1973. Response Surface Techniques for Dual response Systems, Technometrics, vol. 15, 301-317.

Prescott, P, Dean,A., M, Draper, N., R, dan Lewis, S., M. (2002), “ Mixture Experiments: ILL-Conditioning dan Quadratic Model Specification”, Technometrics, vol. 44, No.3.