M01473

(1)

ISBN 978-602-1034-06-4

PERLUASAN KURVA PARAMETRIK HYPOCYCLOID 2 DIMENSI

MENJADI 3 DIMENSI DENGAN SISTEM KOORDINAT BOLA

Purwoto1), Hanna Arini Parhusip2), Tundjung Mahatma3)

1)3)

Program Studi Matemarika,Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen SatyaWacana

Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711 1)

662011010@student.uksw.edu, 2)hannaariniparhusip@yahoo.co.id, 3)

t.mahatma@staff.uksw.edu

Abstrak

Hyplocycloid merupakan ku rva parametrik yang ditentukan oleh nilai para meternya. Berbagai maca m bentuk kurva hypocycloid yang dihasilkan diperluas ke dala m 3 dimensi dengan menggunakan sistem koordinat bola, dimana setiap titik dari permu kaan me mpunyai ja ri-jari dan sudut. Hasil persamaan perluasan diturunkan terhadap masing-masing para meternya dan diko mbinasikan untuk mendapatkan hasil perluasan yang lain. Hasil perluasan 3 dimensi digambarkan atau divisualisasikan dengan menggunakan program MATLAB. Hasil visualisasi ini me rupakan persamaan hypocycloid yang telah di generalisasikan terhadap sistem koordinat bola.

Kata kunci: Hypocycloid, persa maan para metrik, sistem koordinat bola, 3 d imensi

A. Pendahuluan

Beberapa bentuk kurva di dalam matematika sudah banyak dikenal dan disajikan, baik dalam bentuk persamaan kartesian maupun persamaan parametrik. Contohnya adalah lingkaran, ellips, hiperbola, dan parabola. Persamaan-persamaan tersebut dapat diperluas ke dalam 3 dimensi atau sebagai permukaan kuadrik berturut-turut menjadi bola, ellipsoida, hiperboloida, dan paraboloida. Bentuk-bentuk kurva lain dalam persamaan kartesian dan persamaan parametrik sudah banyak divisualisasikan di dalam bentuk 2 dimensi dan diberikan nama. Beberapa diantaranya adalah astroid, cycloid, hypocycloid, dan masih banyak lagi (Web1).

Hypocycloid merupakan salah satu persamaan parametrik yang mempunyai

bentuk-bentuk beranekaragam tergantung parameternya. Persamaan hypocycloid ini yang kemudian akan dicari bentuk perluasan 3 dimensi dengan beberapa bentuk parameter yang berbeda. Dalam satu persamaan hypocycloid akan dihasilkan beberapa bentuk perluasan 3 dimensi sesuai dengan parameternya.

(2)

ISBN 978-602-1034-06-4 B. Tinjauan Pustaka

Visualisasi 2 dime nsi dalam model dekoratif

Beberapa visualisasi kurva parametrik klasik, seperti hypocycloid telah dipelajari dan digunakan di dalam menyusun motif dekoratif. Persamaan parametrik yang berbentuk

) (t x

x dan y y(t) mempunyai pasangan titik (x,y) sehingga membentuk motif- motif dekoratif.

Persamaan hypocycloid merupakan salah satu dari persamaan parametrik. Persamaan

hypocycloid telah dipelajari sebagai domain dari beberapa pemetaan seperti pemetaan

kompleks dan pemetaan Voronoi (Parhusip,2014). Sebagai contoh pemetaan fungsi kompleks yang digunakan adalah fungsi kompleks � � =1

� dan � � = cos(�). Hasil

visualisasi dibuat dengan menggunakan program MATLAB (Suryaningsih,dkk,2013). Hasil yang diperoleh ditunjukkan sebagai berikut

Gambar 1. Ko mposisi transformasi � � = cos(�) terhadap � � = 1 _� yang ke mudian di gabungkan (Suryaningsih,dkk,2013)

Selain itu terdapat juga pemetaan kurva parametrik hypocycloid _{oleh fungsi kompleks}

 

z

 

z

f cos ,

 

z z

f 1, f

 

z sin

 

z _{dan dipetakan dengan pemetaan voronoi}

(3)

ISBN 978-602-1034-06-4

Ga mbar 2.Hasil pe metaan persamaan hypocycloid dalam f(z)cos(z)dan dipetakan dengan pemetaan voronoi (Parhusip,2014)

Visualisasi 3 dime nsi

Tim IMAGINARY oleh sebuah badan Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach di Jerman mengumpulkan berbagai macam ilustrasi yang didapatkan dari geometri. Geometri yang merupakan salah satu bidang dalam matematika dipandang sebagai sesuatu yang sangat menarik dan diekspresikan dalam sebuah gambar dengan program computer untuk matematika. Program-program matematika yang digunakan dalam memvisualisasikan beberapa diantaranya adalah 3D_XplorMath , Cinderella, dan Surfer. 3D_XplorMath merupakan program yang paling luas di dalam memvisualisasikan objek matematika (Greuel,2008). Beberapa objek oleh tim IMAGINARY ditunjukkan

Ga mbar 3. Hasil v isualisasi Algebraic sculptures yang diornamenkan oleh t im IMA GINA RY (Greuel,2008)

C. Metode Penelitian

Mengenal bentuk dan pe rsamaan hypocycloid.

Hypocycloid terbentuk oleh sebuah titik P pada keliling sebuah lingkaran kecil dengan

radius b yang menggelinding di dalam lingkaran yang lebih besar dengan radius a (a>b)

(Hsu,et.al,2008). Bermacam ukuran dari lingkaran menghasilkan hypocycloid yang berbeda. Secara umum persamaan dapat dituliskan sebagai





cos cos ;





sin sin _;

  

 

       

     

 

       



    

b b a b b

a y b

b a b

b a

x (1)

Persamaan (1) tersebut pada dasarnya merupakan persamaan umum dari epicycloid

dan juga hypocycloid. Parameter b menjadi parameter yang menentukan bentuk yang diperoleh. Ketika b bernilai positif akan menghasilkan epicycloid dan ketika b bernilai negatif akan menghasilkan hypocycloid. Hypocycloid mempunyai beberapa bentuk yang berbeda-beda tergantung dari parameter yang diberikan. Dengan ditetapkan a=1 sebagai radius lingkaran besar dan b sebagai radius lingkaran kecil yaitu

q p

b bentuk hypocycloid

akan dijumpai ketika p < q . Sedangkan ketika p>q akan terbentuk kurva epicycloids

(4)

ISBN 978-602-1034-06-4





cos cos ;





sin sin _;

  

 

       

     

 

       



    

b b a b

b a y b

b a b

b a

x (2)

Sistem Koordinat bola

Sistem koordinat bola merupakan salah satu dari banyak cara pemerincian posisi titik di ruang 3 dimensi. Jenis koordinat bola



,,



_{ini memainkan peranan penting di dalam} kalkulus (Purcell,1987).

Ga mbar 4. Tit ik P di da la m s istem koord inat bola (Purce ll,1987)

Sebuah titik P mempunyai koordinat bola



,,



jikaadalah jarak |OP| dari titik asal ke P, _{adalah kutub yang berhubungan dengan proyeksi}P’ dari P ke bidang xy, dan  adalah sudut antara z positif dan ruas garis OP.

Hasil yang diperoleh dari perluasan kurva parametrik hypocycloid oleh sistem koordinat bola memberikan persamaan dengan dua parameter yaitu _dan . Hasil persamaan yang diperoleh diturunkan terhadap parameter-parameter tersebut .

Turunan Persamaan Parametrik

Diasumsikan persamaan parametrik x f

 

u dan yg

 

u _{maka turunan pertama}

persamaan parametrik adalah dx dy

(Ayres,2009) . Turunan persamaan parametrik dirumuskan

            

du dx du

dy dx dy

(3)

Contoh 1:

Persamaan parametrik xacos4dan yasin4; tentukan dx dy

Penyeleseian

   4 cos sin

3 a d

(5)

ISBN 978-602-1034-06-4

D. Hasil dan Pe mbahasan

Persamaan (1) mempunyai bentuk yang bermacam- macam dipengaruhi oleh nilai parameter a dan b. Dengan parameter a=1 sebagai radius lingkaran besar maka bentuk-bentuk hypocycloid hanya tergantung parameter b. Dengan

q p

b akan dibuat pola

perubahan bentuk hypocycloid dengan parameter yang ditentukan. Dengan menggunakan program MATLAB diperoleh hasil

Tabel 1. Program Matlab untuk mencari bentuk hypocycloid dan parameternya

(6)

ISBN 978-602-1034-06-4

dan juga epycicloid. Berikut diantaranya adalah (Rovenskii,2000)

a. Apabila parameter b bernilai positif maka bentuk kurva epycicloid

b. Apabila parameter b bernilai negatif maka bentuk kurva hypocycloid

c. Jika nilai 0

q p

maka kurva berbentuk epyicloid , sebaliknya jika 0

q p

kurva

berbentuk hypocycloid

d. Gambar kosong diperoleh ketika p=q sedang nilai a=1dan parameter b negatif sehingga nilai persamaan x=0dan y=0

e. Nilai penyebut q pada parameter b menjadi jumlah ujung pada kurva

hypocycloid. Namun jika nilai p dan q dapat disederhanakan ,maka nilai q yang

paling sederhana tersebut yang akan menjadi jumlah ujung kurva hypocycloid. Beberapa bentuk hypocycloid sudah diberikan nama seperti deltoid dan juga astroid. Berikut adalah kurva yang akan diperluas ke dalam 3 dimensi dengan sistem koordinat bola

Gambar 11. Bentuk hypocycloid yang akan diperluas ke 3 dimensi dengan sistem koordinat bola

Persamaan (1) akan dibentuk ke dalam persamaan 3 dimensi dengan mengikuti sistem koordinat bola. Permukaan bola dianggap sebagai perluasan dari titik-titik yang setiap titiknya mempunyai jari-jaridan juga sudutdari pusat bola. Demikian pula setiap titik di permukaan hasil perluasan kurva hypocycloid juga mempunyai jari- jari dan juga sudut.Persamaan hypocycloid menjadi

(7)

ISBN 978-602-1034-06-4

Terdapat dua parameter berbeda pada persamaan (4) dan (5) yaitu dan. Dari hasil turuna n persamaan tersebut akan diperoleh persamaan baru yang kemudian dikombinasikan sebagai bentuk perluasan yang baru.

Persamaan (4) diturunkan terhadap 

   

 

   

 

       

 

   

 

   

 

       



   

  



 b

b a b

b a d

dy b

b a b

b a d

dx

sin sin

) ( cos cos

cos ) ( cos

Persamaan (4) diturunkan terhadap 

; cos

) ( cos ) (

sin _

  

 

   

 

       

 

   

 b

b a b

a b

a d

dy

; sin

) ( sin ) (

sin _

  

 

   

 

       

 



   

 b

b a b

a b

a d

dx

Persamaan (5) diturunkan terhadap 

    sin

d dz

Bentuk 1 (Deltoid)

Bentuk deltoid diperoleh dari persamaan (1) dengan parameter a=1 dan b mempunyai bentuk sederhana bernilai −1

3dan − 2

3. Bentuk umum deltoid ini kemudian diperluas dengan

sistem koordinat bola . Hasil turunan dari masing- masing parameternya dikombinasikan sehingga menghasilkan persamaan baru dan divisualisasikan. Perlakuan ini juga diterapkan pada bentuk astroid, star, dan juga bentuk 4. Hasil perluasan ditunjukkan

Ga mbar 12. De ltoid dan perluasan 3 dimensi dengan sistem koordinat bola d ilan jutkan visualisasi dari -1 -0.5 0 0.5

(8)

ISBN 978-602-1034-06-4

ko mbinasi turunannya _



Bentuk 2 (Astroid)

Bentuk Astroid diperoleh dari persamaan (1) dengan parameter a=1 dan b mempunyai bentuk sederhana bernilai −1

4 dan − 3

4. Hasil perluasan ditunjukan

Ga mbar 13. De ltoid dan perluasan 3 dimensi dengan sistem koordinat bola d ilan jutkan visualisasi dari



5dan − 3

5. Hasil perluasan ditunjukkan

(9)

ISBN 978-602-1034-06-4

  

     

     

 

z d dy d

dx z d dy d dx d

dz d dy d

dx

, , , , , , , ,

  

  

 dan

   

     

 

         

 d

dz d dy d

dx d

dz d

dy d dx d

dz d

dy d

dx z d dy d

dx

, , , , , , , , , , ,

Bentuk 4

7dan − 5

7. Hasil perluasan ditunjukan oleh gambar -1 -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.20.40.60.8 1

(10)

ISBN 978-602-1034-06-4

  

     

     

 

z d dy d

dx z d dy d dx d

dz d dy d

dx

, , , , , , , ,

  

  

 dan

   

     

 

         

 d

dz d dy d

dx d

dz d

dy d dx d

dz d

dy d

dx z d dy d

dx

, , , , , , , , , , ,

Hasil perluasan hypocycloid dengan sistem koordinat bola menghasilkan bentuk 3 dimensi yang mempunyai kemiripan dengan bentuk bola. Bentuk yang dihasilkan mempunyai Hanya saja kontur dari hasil perluasan dipaksakan seperti bentuk dasar dari

hypocycloid yang diperluas dan bukan lagi lingkaran yang menjadi bentuk dasar bola. Hasil

turunan persamaan yang kemudian dikombinasikan juga menghasilkan berbagai bentuk 3 dimensi yang bermacam- macam.

E. Simpulan dan Saran

Hypocycloid merupakan persamaan parametrik yang mempunyai berbagai bentuk

tergantung nilai parameternya. Bentuk-bentuk dasar hypocycloid dapat diperluas kedalam bentuk 3 dimensi dengan menggunakan sistem koordinat bola. Persamaan perluasan

hypocycloid 3 dimensi yang diturunkan terhadap parameter-parameternya membentuk

persamaan baru yang dapat dikombinasikan dan membentuk perluasan baru. Setiap gambar yang diperoleh dengan masing- masing bentuk dasarnya didapatkan kemiripan dalam setiap kombinasi yang dibuat. Setiap kombinasi hypocycloid yang diperluas dengan sistem koordinat bola tersebut dipolakan ke dalam bentuk 3 dimensi dan menjadi satu bentuk keluarga.

Hypocycloid merupakan satu dari berbagai persamaan parametrik, sehingga sangat

dimungkinkan persamaan-persamaan yang lain untuk diperluas ke dalam 3 dimensi dengan sistem koordinat bola. Terdapat banyak program komputer yang dapat digunakan sebagai alat bantu visualisasi 3 dimensi.

F. Daftar Pustaka -1-0.8-0.6-0.4-0.2 00.20.40.60.8 1 -1

(11)

ISBN 978-602-1034-06-4

[1] Ayres.F., Mendelson.E. 2009. Schaum’s Outlines Calculus, Fifth Edition. McGraw-Hill, Singapore.

[2] Hsu MH, Yan HS, Liu JY, Hsieh LC (2008). Epicycloid (Hypocycloid) Mechanisms Design Proceedings of the International Multi Conference of Engineers and Computer Scientists, IMECS, Hong Kong,(2).

[3] Greuel G.M, Matt A.D ,” IMAGINARY-Through the eyes of mathematics” Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (2008),ISBN 978-3-00-026939-4, Oberwolfach-German.

[4] Parhusip H.A, 2014. Arts revealed in calculus and its extension. International Journal of Statistics and Mathematics, 1(3): 002-009, Premier-Publisher,(online).

:https://www.academia.edu/8236790/Arts_revealed_in_calculus_and_its_extension or

https://www.facebook.com/premierpublisher/posts/788548327863008 or

http://premierpublishers.org/ijsm/articles

[5] Purcell,Edwin J. Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis jilid 2, edisi kelima,Terj. I Nyoman Susila, Jakarta: Erlangga.

[6] Rovenskii, Vladimir Y.,2000. Geometry of Curves and Surfaces with Maple. New York: Birkhauser Bolton

[7] Suryaningsih, V, Parhusip,H.A, Mahatma, T, 2013. Kurva Parametrik dan Transformasinya untuk Pembentukan Motif Dekoratif, Prosiding, Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNY,9 Nov, ISBN:978-979-16353-9-4,hal. MT – 249-258.