RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN : SMK NEGERI 1 BORONG : TEKNOLOGI INFORMASI DAN KOMUNIKASI

(1)

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

SEKOLAH : SMK NEGERI 1 BORONG

BIDANG KEAHLIAN : TEKNOLOGI INFORMASI DAN KOMUNIKASI PROGRAM KEAHLIAN : TEKNIK KOMPUTER DAN INFORMATIKA KOMPETENSI KEAHLIAN : TEKNIK KOMPUTER DAN JARINGAN MATA PELAJARAN : MATEMATIKA

KELAS/SEMESTER : XII / 1

ALOKASI WAKTU : 8 X 45 MENIT

NAMA GURU : VERONIKA VENKURNIA,S.Pd

SUREL : 201510012605@guruku.id

RPP :Jenjang SMK

TOPIK :PELUANG

A. Kompetensi Inti 1. KI Pengetahuan

Memahami, menerapkan, menganalisis, dan mengevaluasi tentang pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif sesuai dengan bidang dan lingkup kajian Matematika pada tingkat teknis, spesifik, detil, dan kompleks, berkenaan dengan ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dalam konteks pengembangan potensi diri sebagai bagian dari keluarga, sekolah, dunia kerja, warga masyarakat nasional, regional, dan internasional.

2. KI Ketrampilan

Melaksanakan tugas spesifik dengan menggunakan alat, informasi, dan prosedur kerja yang lazim dilakukan serta memecahkan masalah sesuai dengan bidang kajian Matematika`Menampilkan kinerja di bawah bimbingan dengan mutu dan kuantitas yang terukur sesuai dengan standar kompetensi kerja.Menunjukkan keterampilan menalar, mengolah, dan menyaji secara efektif, kreatif, produktif, kritis, mandiri, kolaboratif, komunikatif, dan solutif dalam ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah, serta mampu

melaksanakan tugas spesifik di bawah pengawasan langsung.Menunjukkan keterampilan mempersepsi, kesiapan, meniru, membiasakan, gerak mahir,

menjadikan gerak alami dalam ranah konkret terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah, serta mampu melaksanakan tugas spesifik di bawah pengawasan langsung.

B. Kompetensi Dasar KD Pengetahuan

3.25. Menganalisis kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi pada masalah kontekstual

KD Ketrampilan

(2)

4.25. Menyajikan penyelesaian masalah kontekstual berkaitan dengan kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi

C. Indikator Pencapaian Kompetensi IPK pada KI-3 Pengetahuan

1. Menggunakan Konsep kaidah pencacahan untuk menyelesaikan masalah kontekstual 2. Menggunakan konsep permutasi n obyek dari n obyek yang berbeda untuk menyelesaikan

masalah kontekstual

3. Menggunakan konsep permutasi k obyek dari n obyek yang berbeda untuk menyelesaikan masalah kontekstual

4. Menggunakan konsep permutasi dari beberapa obyek yang sama untuk menyelesaikan masalah kontekstual

5. Menggunakan konsep permutasi siklis untuk menyelesaikan masalah kontekstual 6. Menggunakan konsep kombinasi untuk menyelesaikan masalah kontekstual

IPK pada KI-4 Keterampilan

1.

Menyajikan penyelesaian masalah kontekstual yang berkaitan dengan aturan penjumlahan dan perkalian

2.

Menyajikan penyelesaian masalah kontekstual yang berkaitan dengan permutasi

3.

Menyajikan penyelesaian n masalah kontekstual yang berkaitan dengan kombinasi

D. Tujuan Pembelajaran

1. Setelah berdiskusi dan menggali informasi, peserta didik dapat :

1. Menggunakan Konsep kaidah pencacahan untuk menyelesaikan masalah kontekstual 2. Menggunakan konsep permutasi n obyek dari n obyek yang berbeda untuk menyelesaikan

masalah kontekstual

3. Menggunakan konsep permutasi k obyek dari n obyek yang berbeda untuk menyelesaikan masalah kontekstual

4. Menggunakan konsep permutasi dari beberapa obyek yang sama untuk menyelesaikan masalah kontekstual

5. Menggunakan konsep permutasi siklis untuk menyelesaikan masalah kontekstual 6. Menggunakan konsep kombinasi untuk menyelesaikan masalah kontekstual

2. Setelah berdiskusi dan menggali informasi, peserta didik dapat:

▪ Menyajikan penyelesaian masalah kontekstual yang berkaitan dengan aturan penjumlahan dan perkalian

▪ Menyajikan penyelesaian masalah kontekstual yang berkaitan dengan permutasi

▪ Menyajikan penyelesaian masalah kontekstual yang berkaitan dengan kombinasi

E. Materi Pembelajaran a. Kaidah Pencacahan b. Permutasi

c. Kombinasi

(3)

F. Pendekatan, Model dan Metode Pendekatan : Saintifik

Model Pembelajaran : Discovery Learning

Metode : Ceramaah,Diskusi dan Persentasi G. Kegiatan Pembelajaran

PERTEMUAN I

1. Kegiatan Pendahuluan (15 menit) a. Memberi salam

b. Berdoa (meminta seorang peserta didik untuk memimpin doa)bersama mengawali pembelajaran

c. Mengecek kehadiran dan menanyakan kesehatan siswa

d. Guru menyebutkan Kompetensi dasar, indikator dan tujuan pembelajaran yang akan dicapai

e. Guru membagi siswa dalam kelompok.

2. Kegiatan Inti (150 menit)

No Langkah-langkah Model Discovery Deskripsi Kegiatan Alokasi Waktu

1 Stimulasi

Mengamati

• Guru Memberi Stimulus kepada peserta didik berupa Manfaat dari materi kaidah pencacahan, permutasi dalam

kehidupan sehari-hari

• Peserta didik membaca buku berkaitan dengan Kaidah pencacahan permutasi dan kombinasi

15 Menit

2 Identifikasi masalah

Setelah siswa membaca buku sumber siwa diberi kesempatatan untuk bertanya mengenai apa saja yang berkaitan dengan Kaidah pencacahan,Permutasi ,selanjutnya guru membagikan LKS yang berkaitan dengan Kaidah Pencacahan permutasi dan kombinasi

25 Menit

3 Pengumpulan data

Setelah mengidentifikasi masalah yang berkaitan dengan kaidah pencacahan ,permutasi dari LKS yang dibagikan siswa diminta untuk memahami pengertian Kaidah pencacahan,Permutasi serta bisa

membedakan permutasi dan kombinasi dari berbagai sumber baik buku sumber maupun internet

30

4 Pengolahan Data

Setelah Mengumpulkan data dan informasi mengenai

Kaidah

pencacahan,Permutasi siswa mengerjakan latihan soal yang terdapat pada LKS yang

25

(4)

dibagikan di setiap kelompok diskusi

5 Verifikasi data

Setelah mengolah data siswa perlu

memverifikasi hasil diskusi dengan mencari sumber lain yang relevan baik dari buku-buku maupun dari internet

10

6 Menarik

Kesimpulan

a) Mengkomunikasikan

a. Peserta didik membuat presentasi tentang Kaidah pencacahan, permutasi dan

kombinasi

b. Peserta didik lain memberikan tanggapan terhadap presentasi.

c. Peserta didik menerima tanggapan dari siswa lain dan guru.

d. sPeserta didik memperbaiki hasil presentasi dan membuat simpulan.

45

Penutup

1. Guru memberikan kembali penguatan terhadap materi yang di pelajari

2. Siswa diberi lembaran soal untuk dikerjakan sebagai evaluasi pembelajaran hari ini 3. Guru mengakhiri kegiatan pembelajaran

dengan tugas terstruktur

4. Siswa memberikan salam penutup

15 Menit

PERTEMUAN II (4 x 45 menit)

1. Kegiatan Pendahuluan (15 menit) a. Memberi salam

b. Berdoa (meminta seorang peserta didik untuk memimpin doa)bersama mengawali pembelajaran

c. Mengecek kehadiran dan menanyakan kesiapan siswa mengikuti pelajaran d. Guru menyebutkan Kompetensi dasar, indikator dan tujuan pembelajaran

yang akan dicapai 2. Kegiatan Inti (150 menit)

No Langkah-langkah

Model Discovery Deskripsi Kegiatan Alokasi Waktu

1 Stimulasi

Mengamati

• Guru Memberi Stimulus kepada peserta didik berupa Manfaat dari materi kombinasi dalam kehidupan sehari-hari

• Peserta didik membaca buku berkaitan dengan kombinasi

15 Menit

2 Identifikasi masalah

Setelah siswa membaca buku sumber siwa diberi kesempatatan untuk bertanya mengenai apa saja yang berkaitan dengan Kombinasi ,selanjutnya guru membagikan LKS yang berkaitan dengan kombinasi

25 Menit

3 Pengumpulan data Setelah mengidentifikasi masalah yang 30

(5)

berkaitan dengan kaidah pencacahan ,permutasi dari LKS yang dibagikan siswa diminta untuk memahami kombinasi serta bisa membedakan permutasi dan kombinasi dari berbagai sumber baik buku sumber maupun internet

4 Pengolahan Data

Setelah Mengumpulkan data dan informasi mengenai

Kombinasi siswa mengerjakan latihan soal yang terdapat pada LKS yang dibagikan di setiap kelompok diskusi

25

5 Verifikasi data

Setelah mengolah data siswa perlu

memverifikasi hasil diskusi dengan mencari sumber lain yang relevan baik dari buku-buku maupun dari internet

10

6 Menarik

Kesimpulan

Mengkomunikasikan

a. Peserta didik membuat presentasi tentang Kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi b. Peserta didik lain memberikan

tanggapan terhadap presentasi.

c. Peserta didik menerima tanggapan dari siswa lain dan guru.

d. Peserta didik memperbaiki hasil presentasi dan membuat simpulan.

45

Penutup

1. Guru memberikan kembali penguatan terhadap materi yang di pelajari

2. Siswa diberi lembaran soal untuk dikerjakan sebagai evaluasi pembelajaran hari ini

3. Guru mengakhiri kegiatan pembelajaran dengan tugas terstruktur

4. Siswa memberikan salam penutup

15 Menit

e. Media, Alat, Bahan, dan Sumber Belajar 1. Media : Laptop, LCD

2. Alat : pensil, penggaris, penghapus

3. Bahan : kertas gambar, lembar latihan, lembar penilaian

4. Sumber Belajar : Buku Guru Matematika kelas XII depdikbud,buku kls xii Erlangga 2018, ERLANGGA X-PRESS UN SMK/MAK 2018, Matematika Kelompok Teknologi, Kesehatan, Pertanian Untuk SMK/MAK Kelas XII Penerbit Erlangga KTSP 2006, Jakarta 2012

f. Penilaian Pembelajaran

1. Teknik Penilaian : Tes Sikap dan tes tertulis 2. Instrumen Penilaian :

a. Penilaian Pengetahuan

Kisi-kisi

(6)

Kompetensi Dasar Materi Indikator Soal No Soal

Bentuk Soal 3.25. Menganalisis

kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi pada masalah

kontekstual

KAIDAH PENCACAHA N,PERMUTASI ,KOMBINASI

Menggunakan Konsep kaidah pencacahan untuk menyelesaikan masalah kontekstual

1 Uraian

Menggunakan konsep permutasi n obyek dari n obyek yang berbeda untuk menyelesaikan masalah kontekstual

2 Uraian

Menggunakan konsep permutasi k obyek dari n obyek yang berbeda untuk menyelesaikan masalah kontekstual

3 Uraian

Menggunakan konsep permutasi dari beberapa obyek yang sama untuk menyelesaikan masalah kontekstual

4 Uraian

Menggunakan konsep permutasi siklis untuk menyelesaikan masalah kontekstual

5 Uraian

Menggunakan konsep kombinasi untuk menyelesaikan masalah kontekstual

6 Uraian

b. Penilaian Ketrampilan

(7)

Kompetensi Dasar Materi Indikator Soal No Soal

Bentuk Soal 4.25. Menyajikan

penyelesaian

masalah kontekstual berkaitan dengan kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi

KAIDAH PENCACAHA N,PERMUTASI

,KOMBINASI

4.25. 1.Menyajikan penyelesaian masalah kontekstual berkaitan dengan kaidah pencacahan

1 4.25. 2.Ketrampilan Menyajikan penyelesaian masalah kontekstual berkaitan dengan Permutasi

2 4.25.3. Ketrampilan Menyajikan

penyelesaian masalah kontekstual berkaitan Kombinasi

3 Butir Soal:

1. Banyaknya Mobil yang bernomor polisi dengan angka-angka1,2,3,4 dan 5 jika angkanya tdk boleh berulang adalah

2. Dalam sebuah ruang tunggu wawancara penerimaan karyawan baru sekelompok orang sedang membicarakan syarat-syarat yang harus dipenuhi calon karyawan diantaranya : surat keterangan berperilaku baik dari kepolisian,surat keterangan bebas narkoba,surat keterangan belum menikah,masing-masing mereka mendapatkan tugas tersebut dengan urutan yang berbeda-beda, berapakah banyaknya orang yang ada dalam kelompok tersebut?

3. SMK Negeri 1 Borong memiliki dua orang guru berusia 26 tahun, 3 orang guru berusia

28 tahun, 2 orang guru berusia 30 tahun dan 4 guru berusia 33 tahun. Demi

meningkatkan pengetahuan dan ketrampilan guru dalam mengajar, kepala sekolah

mengfasilitasi satu orang guru berusia dibawah 30 tahun untuk mengikuti seminar

pendidikan. Seminar akan diadakan setiap 6 bulan sekali dan seorang guru hanya

boleh mengikuti seminar 1 kali. Tentukan berapa cara yang mungkin agar guru

mengikuti seminar dalam 1 tahun

(8)

4. Kelas XII TKJ akan melakukan presentasi hasil diskusi kelompok mengenai modal usaha. Ari, Budi, Citra,Dina dan Elan akan mewakili kelompok masing-masing untuk presentasi. Tentukan berapa banyak susunan urutan presentasi berdasarkan jenis kelamin mereka(Pria/Wanita)

5. Sebuah Arena Taman bernain memyediakan wahana gajah terbang. Wahana tersebut memuat 5 tempat duduk berbentuk gajah dan setiap tempat duduk hanya boleh memuat 1 orang.Jika Ani,Ana, caca, Beni dan Delon akan menaiki wahana tersebut, tentukan susunan posisi duduk mereka sedemikian sehinngga Ani dan Ana duduk digajah yang berdekatan

6. Seorang Kepala petugas keamanan kantor administrasi sedang menyusun jaddwal jaga anggotanya untuk tanggal 1 April- 30 Mei 2018. Enam Petugas keamanan yang bekerja di kantor tersebut akan dibagi menjadi 2 shift yakni 3 orang untuk shift malam dan 3 orang untiuk shift pagi. Berapa banyak susunan atau jadwal petugas keamanan berbeda yang mungkin dibentuk

KUNCI JAWABAN

NO KUNCI JAWABAN INDIKATOR

PEMECAHAN MASALAH

SKOR

1 Diketahui:

▪ Angka-angka :1,2,3,4,5

▪ Syaratnya tdk ada angka yang berulang Ditanya : Banyaknya mobil bernomor polisi

Memahami dan

memprensetasikan masalah

3

Rencana Penyelesaian

Menggunakan konsep kaidah pencacahan

Merencanakan solusi 2

Penyelesaian 5x4x3x2=120

Jadi banyaknya mobil bernomor polisi adalah 120 mobil

Melaksanakan rencana 7

SKOR NOMOR 1 12

2 Diketahui :

▪ Terdapat 3 surat berbeda (Misal : A, B dan C

▪ Setiap orang mendapat surat dengan urutan berbeda Ditanya

Banyak orang dalam kelompok tersebut

Memahami dan

5

Rencana Penyelesaian

Menggunakan Rumus permutasi n obyek dari n obyek

Penyelesaian :

𝑃₃³= 3! = 3 𝑥 2 𝑥1 = 6 Jadi terdapat 6 orang didalam kelompok

Pengecekan Kembali

Susunan cara memperoleh surat yang mungkin adalah ABC,, ACB,BAC,BCA,CAB dan CBA

Karena setiap orang mendapatkan surat dengan urutan yang berbeda makan banyaknya urutan surat sama dengan banyaknya orang jadi, terdapat 6 orang didalamkelompok

Mengevaluasi Hasil 3

(9)

SKOR NOMOR 2 18 3 Diketahi :

▪ Terdapat 2 orang guru berusia 26 tahun

▪ 3 orang guru berusia 28 tahun

▪ 2 guru berusia 30tahun

▪ 4 guru berusia 33 tahun Ditanyakan :

▪ Banyaknya permutasi guru yang ikut seminar dalam 1 tahun

Memahami dan

5

Rencana Penyelesaian:

Menggunakan Rumus Permutasi

Penyelesaian:

𝑃₂⁵= 5!

(5 − 2)!=5𝑥4𝑥3!

3! = 20

Jadi, terdapat 20 permutasi guru yang mgkin mengikuti seminar

Pengecekan kembali :

Hanya terdapat 5 guru dengan usia dibawah 30 tahun yang mgkin ikut seminar yakni 2 guru berusia 26 tahun dan 3 guru berusia 28 tahun,karena hanya akan ada seminar setiap 6 bulan sekali maka hanya akan ada 2 guru yang ikut seminar dalam satu tahun sehingga susunan yang mgkn dibentuk adalah 𝑃₂⁵= 20

SKOR NOMOR 3 18

4 Diketahi :

▪ Terdapat 5 orang yg akan

persentase(n1(wanita)=3,n2(pria)=2

▪ Ditanyakan :

Banyaknya urutan persentase yang mgkin

Memahami dan

5

Menggunakan Rumus Permutasi beberap obyek yang sama

Penyelesaian:

𝑃(5: 3.2) = 5!

3! 2!= 5𝑥4𝑥3!

3! 𝑥2𝑥1=20 2 = 10 Jadi, terdapat 10 urutan yang mungkin

Karena setiap siswa dibedakan berdasarkan jenis kelaminnya maka masalh diatas merupakan contoh masalah permutasi 5 dengan 2 jenis obyek yang sama yakni 2 pria dan 3 wanita,sehingga urutan yang mgkn ada 10

SKOR NOMOR 4 18

5 Diketahi :

▪ Terdapat 5 orang yg akan menaiki wahan yakni: Ana,Ani, Caca,Beni dan Delon

▪ Ditanyakan :

Memahami dan

5

(10)

Banyaknya susunan posisi duduk yang mgkn Rencana Penyelesaian:

Menggunakan Rumus Permutasi sikilis

Penyelesaian:

Karena Ana dan Ani selalu duduk pada gajah yang berdekatan maka ada (2!=2) posisi yang mgkin sehingga

𝑃(𝑆𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠) = (4 − 1)! 𝑥2!=3!x2!= 3x2x1x2x1= 12 Jadi, terdapat 12 posisi duduk yang mgkin

Karena Ana dan Ani selalu duduk berdekatan maka, mereka dapat dianggap menjadi 1 obyek, sehingga terdapat permutasi siklis 4 obyek(P(siklis)=(4-1)!)

Sedangkan terdapat 2 posisi duduk Ana dan Ani , Jika di putar searah jarum jam yakni Ana sampai ani atau Ani sampai Ana Maka menurut Kaidah perkalian terdapat ((4-1)!x2=12) Posisi duudk yag mgkn dari kelima anak tersebut

SKOR NOMOR 5 18

6 Diketahi :

▪ Jadwal disusun untuk 10 hari kesepan

▪ Terdapat 6 petugas keamanan

▪ Terdapat 2 shift jaga, 3 orang untuk shift malam dan 2 orang untuk shift pagi

Ditanyakan :

Banyaknya susunan atayu jadwal petugas keamanan yang perlu dibentuk

Memahami dan

5

Menggunakan Rumus Kombinasi dan aturan perkalian untuk menyelesaikan masalah

Penyelesaian:

a. Banya cara untuk memillih 3 dari 6 petugas untuk shift malam:

𝐶₃⁶= 6!

3! (6 − 3)!= 6!

3! 3!= 20

b. Banyaknya cara untuk memilih 2 dari 3 petugas untuk shift siang:

𝐶23= 3!

2! (3 − 2)!= 3!

2! 1!= 3

Berdasarkan aturan perkalian maka banyak susunan atau jadwal tuga keamanan berbeda yang mgkn dibentu adalah 20 x 3 =60

Berdasarkan soal jadwal tersebut hanya akan digunakan untuk 1 April-30 Mei (60 hari) Hasil Penyelesaian menunjukan 60 susunan yang sama dengan rentang waktu penggunaan jadwal

(11)

SKOR NOMOR 6 16

TOTAL SKOR 100

3.Penilaian Ketrampilan

▪ Rubrik penilaian keterampilan

Isilah dengan tanda centang ( ) apabila seorang siswa melakukan aktifitas !

No Nama

Aspek Keterampilan *)

Nilai **)

Predikat

1 2 3 4 5

**) Keterangan

5 = Sangat terampil menyajikan Penyelesaian Kaidah Pencacahan Permutasi dan kombinasi

4 = Terampil menyajikan Penyelesaian Kaidah Pencacahan Permutasi dan kombinasi 3 = Cukup terampil menyajikan Penyelesaian Kaidah Pencacahan Permutasi dan kombinasi

2 = Kurang terampil menyajikan Penyelesaian Kaidah Pencacahan Permutasi dan kombinasi

1 = Tidak menyajikan Penyelesaian Kaidah Pencacahan Permutasi dan kombinasi

𝑵𝒊𝒍𝒂𝒊 𝒀𝒂𝒏𝒈 𝒅𝒊𝒑𝒆𝒓𝒐𝒍𝒆𝒉 = 𝑺𝒌𝒐𝒓 𝒚𝒂𝒏𝒈 𝒅𝒊𝒑𝒆𝒓𝒐𝒍𝒆𝒉

𝑺𝒌𝒐𝒓 𝑴𝒂𝒌𝒔𝒊𝒎𝒖𝒎 𝒙 𝟏𝟎𝟎 KKM = 70

INTERVAL Predikat

90-100 A

(12)

80-89 B

70-79 C

<70 D

Mengetahui

Kepala SMK N 1 Borong

Agustinus Galvan Daroly,S.Si NIP. 196512081995122003

Borong, 25 Juli 2022 Guru Mata Pelajaran,

Veronika Venkurnia,S.Pd

NIP.198107172009032012

(13)

PELUANG

A. Kaidah Pencacahan,Permutasi, dan Kombinasi 1. KaidahPencacahan

Kaidah pencacahan merupakan suatu cara untuk menghitung semua kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu percobaan tertentu.

a. KaidahPerkalian

Kaidah perkalian disebut juga aturan pengisian tempat.

Jika suatu kejadian terdiri dari k tahap, kejadian pertama dapat terjadi dengan 𝑛

₁

cara yang berbeda, kejadian kedua dapat terjadi dengan 𝑛

₂

cara yang berbeda, dan seterusnya, hingga kejadian ke k dapat terjadi denga cara 𝑛

_𝑘

yang berbedamaka seluruh kejadian tersebut dapat terjadi dengan kaidah perkalian berikut:

Contoh:

Hendra memiliki 5 Kemeja, 6 celana, dan 3 sepatu. Berapa banyak cara Hendra memasangkan pakaian yang dimilikinya?

Jawab:

𝑛

₁

=5, 𝑛

₂

=6, 𝑛

₃

=3 Aturan perkalian:

𝑘 = 𝑛

₁

𝑥𝑛

₂

𝑥𝑛

₃

𝑘 = 5𝑥6𝑥3 𝑘 = 90

Jadi, banyak cara Hendra memasangkan pakaian yang dimilikinya adalah 90 cara.

b. Notasi Faktorial

Misalkan n suatu bilangan positif (bilangan asli).

𝑛! dibaca 𝑛 faktorial.

n

k

n n

k =

₁



₂

 ... 

(14)

𝑛! merupakan hasil kali bilangan asli yang terurut dari 𝑛 sampai dengan 1.

0! = 1 Contoh:

Tentukan nilai dari:

a. 6!

b.

^10!_8!

Jawab:

a. 6! = 6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 Jadi, 6! = 720

b.

^10!_8!

=

10𝑥9𝑥8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1

=

^{10𝑥9𝑥8!}

8!

=10𝑥9 = 90 Jadi

^10!

8!

= 90

2. Permutasi

Permutasi merupakan susunan dari semua atau sebagian unsur suatu himpunan dengan memperhatikan urutan unsur.

a. Permutasi 𝑟 unsur dari 𝑛 unsur yang berbeda

Banyaknya permutasi 𝑟 unsur dari 𝑛 unsur yang berbeda dinotasikan 𝑃

_𝑟^𝑛

atau 𝑃

_(𝑛,𝑟)

(dibaca permutasi 𝑟 unsur dar 𝑛 unsur

Ditentukan dengan rumus:

𝑃

_𝑟^𝑛

=

^𝑛!

(𝑛−𝑟)!

, 𝑟 ≤ 𝑛 Contoh:

( 1 ) ( 2 ) ... 3 2 1

! = n  n −  n −    

n

(15)

Dalam suatu organisasi, akan dipilih 4 orang dari 8 orang calon pengurus kelas untuk menempati posisi ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara. Banyak cara pemilihan yang dapat terjadi adalah …

Jawab:

(Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus permutasi 8 objek yang diambil 4 objek yang berbeda)

Dik: n = 8 r = 4 Dit: 𝑃

_𝑟^𝑛

= ……….

Jwb:

𝑃

_𝑟^𝑛

=

^𝑛!

(𝑛−𝑟)!

, 𝑟 ≤ 𝑛 𝑃

₄⁸

=

^8!

(8−4)!

=

^8!

4!

=

^{8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4!}_4!

= 8𝑥7𝑥6𝑥5 = 1680

Jadi, terdapat 1.680 cara pemilihan yang dapat terjadi.

b. Permutasi yang memuat unsur yang sama

Banyaknya permutasi n unsur yang sama memuat 𝑟

₁

unsur yang sama, 𝑟

₂

unsur yang sama, 𝑟

₃

unsur yang sama, dan seterusnya hingga 𝑟

_𝑛

unsur yang sama, dengan 𝑟

₁

+ 𝑟

₂

+ 𝑟

₃

+ ⋯ + 𝑟

_𝑛

= 𝑛,

Ditentukan dengan rumus:

𝑛 (𝑟

𝑃

1𝑟2𝑟3…𝑟𝑛)=

𝑛!

𝑟

₁

! 𝑟

₂

! 𝑟

₃

! … 𝑟

_𝑛

!

Contoh:

Banyak kata berbeda yang dapat disusun dari huruf-huruf pada kata

“MATEMATIKA” adalah ...

(16)

Jawab:

Dik: n = 10 (banyak huruf pada kata MATEMATIKA) 𝑟

₁

=M =2

𝑟

₂

= A = 3 𝑟

₃

=T = 2 Dit:

𝑛 (𝑟

𝑃

1𝑟2𝑟3…𝑟𝑛)=

Jwb :

𝑛 (𝑟

𝑃

1𝑟2𝑟3…𝑟𝑛) =

𝑛!

𝑟

₁

! 𝑟

₂

! 𝑟

₃

! … 𝑟

_𝑛

! =

_2!3!2!^10!

=

10𝑥9𝑥8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3!

(2𝑥1)𝑥 3! 𝑥 (2𝑥1)

= 10𝑥9𝑥8𝑥7𝑥6𝑥5 = = 151.200

Jadi, Banyak kata berbeda yang dapat disusun dari huruf-huruf pada kata

“MATEMATIKA” adalah 151.200 susunan.

c. Permutasi siklis

Permutasi siklis merupakan susunan dari unsur-unsur yang diposisikan secara melingkar.

Banyaknya permutasi siklis ditentukan dengan rumus:

𝑛 (𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠)= 𝑛!

𝑃

𝑛=(𝑛−1)!

Contoh:

Pengurus kelas yang terdiri atas lima orang mengadakan diskusi dengan formasi

duduk melingkar. Posisi duduk ketua dan notulen selalu berdampingan. Banyak

formasi duduk yang mungkin terjadi adalah ...

(17)

Jawab:

(oleh karena formasi duduknya melingkar, maka permasalahan tersebut mengikuti permutasi siklis)

Posisi duduk ketua dan notulen selalu berdampingan sehingga dianggap satu kelompok. Jadi, banyaknya unsur ada 4, tetapi karena posisi ketua dan notulen dapat berpindah, maka banyak formasi tempat duduk adalah:

= (n-1)! . 2

= (4 - 1)! . 2

= 3! . 2

= 3 x 2 x 1 . 2

= 12

Jadi, banyak formasi duduk yang mungkin terjadi adalah 12 formasi.

d. Permutasi berulang

Banyaknya permutasi 𝑟 unsur yang diambil dari 𝑛 unsur yang tersedia (dengan tiap unsur yang tersedia boleh ditulis berulang),

Ditentukan dengan rumus:

𝑃

_{(𝑏𝑒𝑟𝑢𝑙𝑎𝑛𝑔)}

= 𝑛

^𝑟

, 𝑟 ≤ 𝑛 Contoh:

Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari 3 angka yang dapat dibentuk dari angka-angka 1,2,3,4 jika pemakaian angka boleh berulang.

Jawab:

karena pemakaian angka boleh berulang, maka banyak bilangan yang dapat dientuk adalah

3. Kombinasi

Kombinasi adalah susunan dari semua atau sebagian unsur dari suatu himpunan tanpa memperhatikan urutan unsur .

Banyaknya kombinasi dari 𝑟 unsur yang berbeda yang diambil dari n unsur yang

berbeda dinotasikan 𝐶

_{𝑛 𝑟}

atau 𝐶

_(𝑛,𝑟)

atau 𝐶

_𝑟^𝑛

(dibaca: kombinasi 𝑟 dari 𝑛 ).

(18)

Ditentukan dengan rumus:

𝑛 𝑟

𝐶 =

^𝑛!

𝑟!(𝑛−𝑟)!

, 𝑟 ≤ 𝑛 Contoh:

Banyak cara menyusun regu cerdas cermat yang terdiri atas 3 siswa dari 12 calon siswa yang dikandidatkan ikut serta dalam cerdas cermat adalah ...

Penyelesaian:

Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus kombinasi 12 objek yang diambil 3 objek yang berbeda.

𝐶

_𝑟^𝑛

= 𝑛!

𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

=

^12!

3!(12−3)!

=

^12!

3!9!

=

12𝑥11𝑥10𝑥9!

(3𝑥2𝑥1)𝑥9!