PENGEMBANGAN PROGRAM UJI KESTABILAN SISTEM DENGAN
METODE ROOT LOCUS
Suhariningsih
Politeknik Elektronika Negeri Surabaya, ITS, Surabaya Suharningsih2000@yahoo.com
ABSTRACT
Method usually used for System Stability Test is Root Locus(RL) method. This method is difficult from the theory point of view. To calculate and show the method in a graph, software package such as Matlab is usually used. However, the solution usually in the form of individual calculation, not one calculation for the whole system. In this paper, a program applying this method is discussed. The solution provided is the answer for the whole system, where users only need to input initial value once. This software is expected to help users in using the Root Locus method for testing the stability of a system. It is developed using Visual C++. Some parameters such as RL’s zero and pole, RL’s quantity, asimtot angle(
θ
) ,break away point and RL’s graphic are the ouput of the program.Keywords: System Stability Testing, Metode Root Locus , Visual C++
1. Pendahuluan
Saat ini sudah banyak dibuat dan dipasarkan program-program paket yang bertujuan untuk digunakan sebagai alat bantu mengatasi problem-problem dari berbagai disiplin ilmu termasuk Matlab, PSPICE dan PSIM. Di antara problem-problem dalam bidang Teknik Sistem Kontrol (utamanya untuk Uji Kestabilan Sistem) ada sebagian poblem yang dapat diselesaikan dengan Matlab. Tetapi solusi yang diberikan hanya sepotong-sepotong, bukan sebagai solusi yang bersifat sebagai satu kesatuan dan saling berkesinambungan. Melihat keadaan ini, diperlukan suatu program yang dapat membantu mengatasi problem di bidang Teknik Sistem Kontrol seperti yang diharapkan.
Tulisan ini melaporan pengembangan sebuah program yang dapat membantu menyelesaikan problem di bidang Teknik Sistem Kontrol (khususnya pada Uji Kestabilan Sistem). Untuk uji kestabilan sistem dalam bidang Teknik Sistem Kontrol terdapat beberapa metode: Routh Hurwitz, Root Locus, Nyquist dan Bode Plot. Program ini dikembangkan dengan berbasis kepada metode Root Locus. Root Locus program ini terdiri dari beberapa parameter yang saling terkait dan berkesinambungan untuk keperluan Uji Kestabilan Sistem berbasis Metode Root Locus termasuk Open Loop
Transfer Function (OLTF), Persamaan Karakteristik (PK) dan grafik Root Locus.
2. Metode Root Locus
Root Locus(RL) adalah gambar kedudukan akar-akar Persamaan Karakteristik (PK) dari sistem Open Loop Transfer Function (OLTF) dengan salah satu parameternya berfungsi sebagai variabel dan berdasarkan pada nilai pole dan zero
yang terdapat pada OLTF. Biasanya, parameter yang digunakan sebagai variabel adalah faktor penguatan k, dengan 0 < k <
∞
. Akar PK adalah harga dari s yang membuat fungsi transfer loop = -1Menggunakan metode RL ini, dapat diperoleh pole close loop dengan asumsi bahwa letak pole dan zero dari open loop diketahui dan faktor penguatan sebagai varibel
Gambar 1. Diagram blok sistem loop tertutup
Dari Gambar 1 diatas didapatkan Closed Loop Transfer Function (CLTF) sebagai berikut:
=
=
)
(
)
(
s
R
s
C
CLTF
)
(
)
(
1
)
(
s
H
s
G
s
G
+
(1)G(s)
H(s)
0 1 1 0 1 1
...
....
b
S
b
S
b
a
S
a
S
a
n n n n n n n n+
+
+
+
=
− − − − (3)Persamaan Karakteristik (PK) mempunyai bentuk:
1 + G(s) H(s) = 0 (4)
Akar-akar PK adalah harga-harga s (kompleks) yang memenuhi 2 syarat, yaitu: - syarat sudut:
∠
G(s)H(s) =±
1800(2k+1)- syarat magnitudo:|G(s)H(s)| =1
Jadi harga-harga s yang memenuhi syarat sudut dan syarat magnitude adalah akar-akar dari PK atau pole dari CLTF. Gambar dari semua titik yang memenuhi syarat sudut disebut disebut Root Locus. Akar PK yang berhubungan dengan satu harga faktor gain K ditentukan dengan syarat magnitudo. Dalam bentuk fungsi aljabar rasional, maka:
m
n
p
s
p
s
p
s
z
s
z
s
z
s
k
s
H
s
G
n m=
−
>
+
+
+
+
+
+
=
1
;
)
)..(
)(
(
)
)....(
)(
(
)
(
)
(
2 1 2 1 (5)1
)
(
)
(
)
(
)
(
1 1 1=
+
+
=
∏
∏
= − n j j m ip
s
z
s
k
s
H
s
G
(6)∑
∑
= =+
∠
−
+
∠
=
∠
m i n j j is
p
z
s
s
H
s
G
1 1)
(
)
(
)
(
)
(
=
±
(
2
k
+
1
)
180
0 (7)Cara menggambar Root Locus adalah dengan mengikuti rumus-rumus berikut ini: -
G
(
s
)
H
(
s
)
=
1
-
∠
G(s)H(s) =±
(2k+1)1800 k=0,1,2...(8) Langkah-langkahnya :1. Root Locus mempunyai cabang sebnyak orde persamaan karakteristik
2. Titik berangkat RL terjadi pada pole open loop dan berakhir di zero open loop atau di tak terhingga 3. RL selalu simetris terhadap sumbu real (artinya akar komplek selalu ada sekawan)
4. Jumlah RL sama dengan jumlah zero(#z) atau jumlah pole(#p) yang terbanyak 5. Mencari perpotongan RL dengan sumbu Imajiner dilakukan dari Kp-nya 6. RL pada sumbu nyata selalu di sebelah kiri dr jumlah pole dan zero yang ganjil 7. RL mengikuti garis lurus asimtotik untuk s menuju
∞
, dengan sudut asimtot :z
p
k
k#
#
)
1
2
(
−
+
±
=
π
α
(9)8. Perpotongan RL dengan sumbu nyata pada titik :
z
p
z
p
#
#
=
−
=
∑ ∑
σ
(10)9.Menetukan Break Away Poin(BAP) :
0
=
ds
dk
3.
Flowchart
Gambar 2. Flowchart Fungsi KOEF_G ( ) Gambar 3. Flowchart Fungsi KOEF_H ( ) Dimana a[ ] dan b[ ] adalah koeffisien dari G(s) sedang c[ ] dan d[ ] adalah koefisien dari H(s).
Gambar 4. Flowchart Fungsi OLAH--DATA ( )
Gambar 6. Flowchart Fungsi PKar( )
y y INPUT
a
[++i ],b
[ i ] RETURN ( ) KOEF-G KOEF-H INPUTc
[++i ],d
[ i ] RETURN ( ) RETURN ( ) OLAH DATA( )Output Yang Dikehendaki 1. O L T F 2. Persm Karakteristik 3. Root Locus 4 Exit INPUT PilihA PilihA = 1 PilihA = 3 PilihA = 2 O L T F O L T F O L T F P K R L P K BERIKUTNYA( ) Cetak “ Keluar “ BERIKUTNYA ( ) Pilihan Selanjutnya :
1. Ulang Input Data 2. Output Lain 3 Exit INPUT PilihB PilihA = 1 PilihB = 2 KOEF -G OLAH DATA ( ) KOEF-H RETURN ( ) Cetak pk[i] i=nk ; i<=0 ; i -PKar ( ) pk(4) = Z (4) P (4) pk(3) = Z (3) P (3) pk(2) = Z (2) P (2) pk(1) = Z (1) P (1) nk = m - 1 pk[m] = 0 && pk[m 1]=0 ? nk = m - 2 pks[i] = pk[i] pk[m] = 0? O L T F Z(4) = a (2) c (2) Z(3) = a (2) c (1) + a (1) c (2) Z(2) = a (2) c (o) + a (1) c (1)+a (0) c (2) Z(1) = a (1) c (o) + a (o) c (1) Z(0) = a (o ) c (o) P(4) = b (2) b (2) P(3) = b (2) d (1) + b (1) d (2) P(2) = b (2) d (o) + b (1) d (1)+b (o) d (2) P(1) = b (1) d (o) + b (o) d (1) P(0) = b (o ) d (o)
Cetak Z[i] , P[i]
Gambar 8. Flowchart Fungsi BAP( )
Gambar 9. Flowchart Fungsi R Locus( ) BAP ( ) a[2]=0 or a[1] =0? BAP1 BAP1 RETURN ( ) Jumrl = jz R Locus ( ) OLTF () PKar () Z[2] = 0 ? ABC() Z[1] = 0 ? Cetak Zero1 Cetak Z[i] = “ – “ i=1 ; i<= 2 ; i++
P[1] = 0 ? Cetak pole1
Cetak pole[i] = “ – i=1 ; i<= 2 ; i++
P[2] = 0 ? ABC( ) jz > jp ? Jumrl = jp Cetak jumrl i = n Selpz = jp - jz Cetak “ – “ selpz=0 ?
i=1 ; i<=2 ; i++ teta[i] = selpz i 1) * 2 ( 180 + Cetak “RL tidak memotong sb khayal Cetak teta[i] teta[i] = (i+1)*90 ? A Cetakapotk”i ootk< 0 det[o]= o ? datk[1]< 0&& dat[o] < 0 ? apotk = potk datk[i] = - pk[i] datk[o] = - pk[o] / z[o]
datk[1] = nilk
pkk[2] = nilk*z[2]+ p[2] pkk[o] = nilk*z[o]+ p[o]
potk = ] 2 [ ] [ pkk o pkk datk[1] = nilk pkk[2] = nilk*z[2]+ p[2] pkk[o] = nilk*z[o]+ p[o]
apotk = potk Cetak “RL tidak memotong sb khayal BAP ( ) RETURN ( ) GAMBAR( ) A
Gambar 10. Tampilan Root Locus Program
4.
Uji Coba
Program dicoba untuk sistem dengan G(s) dan H(s) sebagai berikut:
6
1
)
(
2
)
7
(
)
(
+
=
+
+
=
s
s
danH
s
s
k
s
G
(12)Tampilan Root Locus program dapat dilihat pada Gambar 10. Rumus OLTF dapat diturunkan sebagai berikut: OLTF=
0
.
12
]
0
[
0
.
8
]
1
[
0
.
1
]
2
[
0
.
7
]
0
[
0
.
1
]
1
[
0
.
0
]
2
[
+
+
=
+
+
=
p
p
p
z
z
z
(13) OLTF =12
8
7
2+
+
+
s
s
s
(14) Persamaan Karakteristik (PK) yang didapat adalah sebagai berikut:pk[2]=1.0 pk[1]=9.0 pk[0]=19.0
artinya:
PK : S2+ 9s + 19 (15)
Beberapa hasil yang didapat, diuraikan dalam beberapa poin berikut. Nilai pole dan zero adalah sebagai berikut: * zero = -7.0, * pole 1 = -6.0, pole2 = -2.0
sehingga #zero = 1, #pole = 2. Kemudian, jumlah RL = 2, Break Away Point : BreakIn = -9.236 dan BreakOut = -4.764. Sudut Asimtot (
θ
) yang dihasilkan:. Untuk k = 0 Æ
θ
=±
180.00 . Untuk k = 1 Æθ
=±
540.00Uji Kestabilan Sistem dengan Metode Root Locus
Entry data : Masukkan koeff G(s) : 7 Masukkan koeff H(s) : a[i] = b[i]= 2 C[i] = 1 d[i] = 6
Output yang Diinginkan :
KOEF G KOEF H 1. O L T F 3. Root Locus
.
2. P K 4. Exit BERIKUTNYA5. Kesimpulan
Berdasarkan uji coba dan evaluasi yang telah dilakukan dapat disimpulkan bahwa:
1. Program sangat membantu untuk analisa Uji Kestabilan Sistem. Root Locus program telah teruji kebenarannya secara teoritis.
2. Keluaran/Root Locus program mem beri banyak informasi yang sa ling berkaitan, yang diperlukan dalam Uji Kestabilan Sistem.
Gambar 11. Sketsa Root Locus Yang Didapatkan Saran untuk pengembangan program ini:
1. Program ini hanya untuk orde
≤
2 disarankan dapat dikembangkan ordenya (>2)2. Root Locusnya dapat lebih diperluas untuk metode yang lain (misalnya: Routh Hurwitz,Bode Plot dll).
Daftar Pustaka
[1] Greg Perry & Ian Spencer, Visual C++ in 12 Easy Lessons, Pearson Education Asia Pte. Ltd, 1999 [2] Ogata Katsuhiko, Teknik Kotrol Automatik, Erlangga , 1991, Jakarta,
[3] Ogata Katsuhiko, Modern Control Engineering, Prentice Hall, 1997
