POLINOMIAL KOMBINATORIK
DISERTASI
Oleh
MARDININGSIH 098110007/Ilmu Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
POLINOMIAL KOMBINATORIK
DISERTASI
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Doktor dalam Program Studi Doktor Ilmu Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
MARDININGSIH 098110007/Ilmu Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Judul Disertasi : POLINOMIAL KOMBINATORIK Nama Mahasiswa : Mardiningsih
Nomor Pokok : 098110007
Program Studi : Doktor Ilmu Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc) Promotor
(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc) (Prof. Dr. Tulus, M.Si)
Co-Promotor Co-Promotor
Ketua Program Studi Dekan
Telah diuji pada Tanggal 24 Juli 2013
PANITIA PENGUJI DISERTASI
Ketua : Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
2. Prof. Dr. Tulus, M.Si
3. Prof. Dr. Herman Mawengkang 4. Dr. Sutarman, M.Sc
PERNYATAAN
Saya menyatakan dengan sebenar-benarnya bahwa segala pernyataan dalam di-sertasi saya yang berjudul:
POLINOMIAL KOMBINATORIK
Merupakan gagasan atau hasil penelitian disertasi saya sendiri dengan pem-bimbingan para komisi pembimbing, kecuali yang dengan ditunjukkan rujukan-nya. Disertasi ini belum pernah diajukan untuk memperoleh gelar pada program sejenis di perguruan tinggi lainnya.
Semua data dan informasi yang digunakan telah dinyatakan secara jelas dan dapat diperiksa kebenarannya.
Medan, Juli 2013 Penulis,
ABSTRAK
Polinomial kombinatorik merupakan masalah optimisasi yang berasal dari masalah kombinatorial yang berbentuk pemrograman polinomial dan integer. Penelitian ini menyajikan syarat agar suatu polinomial kombinatorik mempunyai penyelesaian. Syarat eksistensi (adanya) nilai optimum dapat diperoleh dengan memberikan batasan pada variabel keputusan dan menggunakan sifat-sifat him-punan penyelesaian (polihedra) dari model yang diberikan, dan menggunakan definisi kekonvekan fungsi pada bilangan bulat.
Kata kunci: Polinomial kombinatorik, Polihedra, Nilai optimum
ABSTRACT
The combinatoric polynomial comes from optimization problem combinato-rial in form the nonlinear and integer programming. This reasearch present a condition such that the combinatoric polynomial has solution. Existence of op-timum value will be found by restriction of decision variable and properties of feasible solution set and definition convexity at integer. Through this condition, the optimum value could be known.
KATA PENGANTAR
Assalamualaikum Wr. Wb. Syukur Alhamdulilah, segala puji bagi Allah
atas segala limpahan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat
menyele-saikan disertasi yang berjudul Polinomial Kombinatorik.
Dalam meyelesaikan disertasi ini penulis telah banyak mendapat bantuan
dan bimbingan, baik moril maupun material dari berbagai pihak. Pada
kesem-patan ini juga dengan segala kerendahan hati, penulis sampaikan ucapan terima
kasih kepada:
1. Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, MSc(CTM). Sp.A(K)
selaku Rektor Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan
kesem-patan dan bantuan dana kepada penulis untuk mengikuti Program Studi
Doktor Ilmu Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Sumatera Utara.
2. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, dan komisi penguji yang
telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menjadi peserta
Pro-gram Doktor Ilmu Matematika angkatan 2009, dan telah memberikan
ma-sukan dan saran hingga selesainya disertasi ini.
3. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi S3 Ilmu
Matematika, dan selaku komisi penguji. Atas keiklasan dan kesabaran serta
ketulusan hati dalam memberi bimbingan dan dorongan dari awal hingga
selesainya disertasi ini.
4. Bapak, Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc selaku Promotor, atas
ke-tulusan hati dan keiklasan dalam membimbing dan mendukung dan
men-garahkan penulis pada pembahasan isi dan penulisan hingga selesainya
di-sertasi ini.
5. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Co-Promotor dengan ketulusan hati
dan memberi motivasi, mendukung dan mengarahkan penulis untuk
masa-lah penulisan karya ilmiah serta membimbing penulis dalam menyelesaikan
disertasi ini.
6. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Co-Promotor yang atas
keik-lasan dan ketulusan hati dalam memberi masukan dan arahan, mengenai isi
disertasi ini.
7. Bapak Dr. Marwan Ramli, M.Si selaku komisi penguji yang atas keiklasan
dan ketulusan hati dalam memberi masukan dan arahan, mengenai isi
di-sertasi ini.
8. Seluruh Staf Pengajar Program Studi S3 Ilmu Matematika dan staf pengajar
Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara.
9. Buat sahabat-sahabatku, dan seluruh teman-teman S-3 Ilmu Matematika
yang tidak disebutkan satu persatu, yang memberi semangat dan dorongan
dan doanya kepada penulis.
Matema-tika serta Staf Administrasi Fakultas MatemaMatema-tika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Sumatera Utara.
Secara khusus penulis menyampaikan terimakasih kepada Alm. Ayahanda
dan Almh. Ibunda tercinta, yang telah tak terhingga banyaknya mendidik tentang
arti hidup dan mendoakan agar penulis berhasil dan manjadi orang yang
berman-faat. Penulis turut menyampaikan penghargaan dan terimakasih tak terhingga
yang sangat mendalam kepada suamiku tercinta dan anak-anakku tersayang,
ju-ga buat semua kakak-kakak dan adik-adikku yang sanju-gat menyayangiku yang telah
memberikan support luar biasa demi keberhasilan pendidikan ini.
Akhir kata penulis, semoga pendidikan yang saya peroleh ini bermanfaat
untuk kebaikan umat manusia. Sekian maaf dan terimakasih.
Medan, Juli 2013
Penulis,
Mardiningsih
RIWAYAT HIDUP
Mardiningsih dilahirkan di Medan pada tanggal 5 april 1963, dari Ayah yang
bernama Wiryamiharja (Alm) dan Ibu bernama Markonah (almh) sebagai anak
bungsu dari delapan bersaudara. Pada tahun 1975 lulus SD Swasta Budisatrya
Medan. Pada tahun 1978 lulus SMP Swasta PAB Sampali. Pada tahun 1981
Lulus SMA swasta Josua Medan. Pada tahun 1986 Lulus Sarjana Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Pada tahun 1999 memperoleh gelar Master Science pada Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung. Selanjutnya pada tahun
2009 penulis mengikuti pendidikan S3 program studi Ilmu Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Pada tahun 1988, penulis diterima sebagai staf pengajar di FMIPA USU,
dan sampai saat ini penulis memperoleh pangkat Lektor Kepala golongan IV/c di
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Penulis menikah tanggal 1 Maret 1986, dan sampai saat ini telah dikaruniai
DAFTAR SINGKATAN DAN NOTASI
a. R= Himpunan semua bilangan real
b. Z= Himpunan bilangan bulat
c. Z[x1, x2, x3, . . . , xn] = Z[x] adalah himpunan semua polinomial dengan n
variabel x1, . . . , xn dan koefisien bilangan bulat
d. K[x1, x2, x3, . . . , xn] = K[x] adalah himpunan semua polinomial dengan n
variabel x1, . . . , xn dan koefisien field K
e. Misalkan suatu field K dan bilangan bulat positif n, didefinisikan suatu
ruang Eucledian atas K berdimensi n adalah himpunan
Kn
h. Conv (K) = Konveks hull dariK memuat titik-titik interior bilangan bulat
yang bukan elemenK
i. Kn= Graph komplit dengan n verteks
j. Himpunan tutup [a, b] ={x∈R|a≥x≥b}
k. ∅= Himpunan kosong
l. ⊆ adalah himpunan bagian (subset)
DAFTAR ISI
DAFTAR SINGKATAN DAN NOTASI viii
DAFTAR ISI ix
DAFTAR TABEL xi
DAFTAR GAMBAR xii
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Tujuan penelitian 11
1.3 Manfaat Penelitian 11
1.4 Metodologi Penelitian 12
BAB 2 OPTIMISASI KOMBINATORIAL 14
2.1 Masalah Model Optimisasi Kombinatorial 14
2.2 Beberapa Masalah Optimisasi Kombinatorial 16
2.2.1 Himpunan stabil dan bilangan stabil 16
2.3 Hubungan Masalah Kombinatorial dengan Optimisasi
Kombi-natorial 18
2.5 Definisi dan Notasi 20
BAB 3 KRITERIA KEOPTIMALAN DARI MASALAH OPTIMISASI
POLI-NOMIAL 22
3.1 Eksistensi Optimisasi Polinomial 22
3.2 Pengali Lagrange 25
3.3 Syarat Keoptimalan KARUSH-KUHN-TUCKER 25
3.4 Kekonvekan 27
3.5 Pendekatan Optimisasi Berkendala 28
3.5.1 Metode dasar 30
3.5.2 Variabel superbasic 32
3.5.3 Metode derivatif 34
3.5.4 Arah pencarian 37
3.5.5 Implementasi 39
3.5.6 Ringkasan prosedur 39
BAB 4 POLINOMIAL KOMBINATORIK 44
4.1 Definisi dan Notasi 44
4.2 Kekonvekan pada Bilangan Bulat 47
BAB 5 EKSISTENSI NILAI OPTIMUM POLINOMIAL KOMBINATORIK 52
5.1 Masalah Polinomial Kombinatorik 53
5.2 Himpunan Layak (Polihedra) 54
5.3 Eksistensi (keberadaan) Nilai Optimum 59
BAB 6 KESIMPULAN DAN PENELITIAN LANJUTAN 61
6.1 Kesimpulan 61
6.2 Penelitian Lanjutan 62
DAFTAR PUSTAKA 63
DAFTAR TABEL
Nomor Judul Halaman
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Halaman
3.1 Masalah partisi pada konstrain dan konsep variabel super basic 33
