STUDI KASUS PENALARAN KOVARIASIONAL MAHASISWA PADA MATAKULIAH KALKULUS LANJUT

(1)

1

STUDI KASUS PENALARAN KOVARIASIONAL MAHASISWA

PADA MATAKULIAH KALKULUS LANJUT

Erry Hidayanto

Jurusan Matematika FMIPA UM

erryhidayantoum@gmail.com

Abstrak

Penalaran kovariasional, khususnya dalam mengkonstruksi grafik fungsi merupakan salah satu kajian yang dilakukan tentang penalaran pada mahasiswa. Ada dua macam cara yang dapat dilakukan dalam mengkonstruksi grafik, yaitu dilakukan dengan cara mengetahui terlebih dahulu rumus fungsi tersebut kemudian menggambarkannya dalam suatu grafik atau bisa juga mengetahui sifat-sifat analitisnya lebih dahulu, kemudian menggambar grafiknya. Pada penelitian ini dikaji bagaimana penalaran kovariasional mahasiswa pada matakuliah kalkulus lanjut dengan memberikan tugas tentang bentuk penalaran mahasiswa beserta pengkonstruksian grafiknya dengan mengikuti kerangka kerja penalaran kovariasional yang dikembangkan oleh Carlson dkk.

Dari hasil kajian yang telah dilakukan dapat diperoleh kesimpulanbahwa mahasiswa jurusan matematika FMIPA UM melakukan tindakan mental 1 (MA 1), yaitu pengkoordinasian nilai dari satu variabel terhadap perubahan variabel lain dengan cara melabeli sumbu dengan dua variable, tindakan mental 2 (MA 2) yaitu pengkoordinasian arah perubahan satu variabel terhadap perubahan variabel lain dengan cara menggambar titik-titik yang arahnya naik atau turun dan mampu menyatakannya secara lisan dengan suatu kesadaran arah perubahan output ketika mempertimbangkan perubahan input, dan tindakan mental 3 (MA 3) yaitu pengkoordinasian besarnya perubahan dari satu variabel terhadap perubahan variabel yang lain dengan cara mengkonstruksi kemiringan garis dan menyatakan secara lisan dengan suatu kesadaran dari besarnya perubahan output ketika mempertimbangkan perubahan input. Sedangkan untuk MA 4 dan MA 5 nampak belum dilakukan oleh mahasiswa pada pengkonstruksian gar. Kata KuncI: penalaran, kovariasional, kejadian dinamik.

Penalaran kovariasional, khususnya dalam mengkonstruksi grafik fungsi merupakan salah satu kajian yang dilakukan tentang penalaran pada mahasiswa. Ada dua macam cara yang dapat dilakukan dalam mengkonstruksi grafik, yaitu dilakukan dengan cara mengetahui terlebih dahulu rumus fungsi tersebut kemudian menggambarkannya dalam suatu grafik atau bisa juga mengetahui sifat-sifat analitisnya lebih dahulu, kemudian menggambar grafiknya.

Masalah penalaran mahasiswa dalam mengkonstruksi grafik telah banyak dikaji oleh para peneliti. Hal ini dapat dilihat diantaranya pada penelitian yang dilakukan oleh Saldanha, L., & Thompson, P.W. (1998), Stump (2001), Carlson dkk (2001, 2002, 2003),

(2)

2

Engelke (2004), Mejia & Hurtado (2006), Steinthorsdottir (2006), Kynigos, C. (2006), Strom (2006), Silverman (2006), Moore, KC & Bowling, SA. (2008), dan Thomson & Silverman (2008). Temuan-temuan yang diperoleh dari hasil kajian tersebut diantaranya: mahasiswa kesulitan mengkonstruksi grafik yang diberikan sifat-sifat analitisnya daripada mengkonstruksi grafik yang diberikan rumus fungsinya, mahasiswa kesulitan menginterpretasikan dan merepresentasikan kecekungan dan titik belok grafik fungsi, mahasiswa kesulitan untuk memahami bahwa suatu fungsi merupakan hubungan dua variabel, mahasiswa kesulitan memahami grafik dengan variabel yang bervariasi dan memberikan alasan mengapa grafik fungsi berperilaku seperti itu, kemampuan mahasiswa untuk menafsirkan informasi grafik fungsi lambat berkembang dan mahasiswa cenderung tidak melihat grafik fungsi merupakan penggambaran suatu kovariasi, mahasiswa mengalami kesulitan dalam mengkonstruksi grafik fungsi kejadian dinamik.

Kejadian dinamik merupakan suatu kejadian yang menggambarkan perubahan bentuk. Perubahan nilai pada suatu variabel menyebabkan perubahan nilai pada variabel yang lain. Contoh-contoh kejadian dinamik antara lain: mengisi botol dengan air, penurunan tinggi ujung tangga yang menempel pada dinding jika tangganya ditarik perlahan-lahan, gerakan kura-kura menyeberangi sungai dan lain-lain. Namun demikian masih cukup terbatas penelitian yang berkaitan dengan grafik dan fungsi untuk kejadian dinamik (Carlson, 2002, 2003; Cho, Kim & Song, 2004).

Krulick & Rudnick (1995) menyatakan bahwa penalaran merupakan tingkatan berpikir yang mencakup berpikir dasar, berpikir kritis, dan berpikir kreatif, tetapi tidak termasuk mengingat (recall). Dengan kata lain penalaran merupakan proses berpikir yang memiliki karakteristik tertentu, yaitu: pola berpikir logis dan bersifat analitis. Lebih lanjut Subanji (2007) menyatakan bahwa pola berpikir logis berarti menggunakan logika tertentu, sedangkan bersifat analitis merupakan konsekuensi dari pola berpikir tertentu

Menurut Carlson dkk (2002), kovariasional didefinisikan sebagai pengkoordinasian beberapa kuantitas, perubahan salah satu kuantitas mengakibatkan perubahan kuantitas lainnya. Sedangkan Slavit (1997) mendefinisikan kovariasional sebagai hubungan antar perubahan kuantitas. Dari pengertian penalaran dan kovariasional tersebut, penalaran kovariasional didefinisikan sebagai aktivitas mental yang berkaitan dengan pengkoordinasian dua kuantitas (variabel bebas dan variabel terikat) yang berkaitan dengan cara-cara perubahan satu kuantitas terhadap kuantitas yang lain. Menurut Subanji (2007), pengkoordinasian dua kuantitas ini sangat terkait

(3)

3

dengan konsep fungsi, yaitu salah satu kuantitas dapat dipandang sebagai input (variabel bebas) dan kuantitas yang lain dipandang sebagai output (variabel terikat).

Carlson, M. dkk (2002) menemukan bahwa kemampuan mahasiswa dalam meginterpretasikan grafik fungsi masih sangat kurang. Juga ditemukan bahwa dalam belajar Kalkulus, mahasiswa kesulitan menginterpretasikan dan merepresentasikan kecekungan dan titik belok pada sebuah grafik. Walaupun mahasiswa mampu membuat gambar laju perubahan untuk interval yang berdekatan dari domain fungsi tersebut, namun mahasiswa masih memiliki kesulitan untuk menggambar perubahan nilai kontinu dan tidak bisa secara tepat merepresentasikan dan menginterpretasikan laju peningkatan atau penurunan untuk fungsi dinamik. Kejadian dinamik yang diteliti oleh Carlson dkk ini adalah mengisi botol dengan air. Kemudian mahasiswa disuruh menggambarkan suatu grafik ketinggian air dalam botol terhadap banyaknya air yang dimasukkan ke dalam botol beserta alasannya.

Carlson, M., dkk (2002) telah menyusun kerangka kerja penerapan penalaran kovariasional mahasiswa dalam menggambar grafik masalah dinamik dengan mengidentifikasi level-level penalaran kovariasional. Level-level penalaran kovariasional ini didasarkan tindakan/aksi mental (mental action) dalam menyelesaikan masalah. Terdapat lima tindakan mental yang disusun oleh Carlson dkk ini. Kelima tindakan mental tersebut masing-masing mendeskripsikan suatu aksi atau tindakan beserta perilakunya.

Dari kerangka kerja kovariasional yang telah disusunnya, Carlson dkk (2002) telah menetapkan 5 level penalaran kovariasional yang dihasilkan dari 5 mental aksi/tindakan mental. Dikatakannya bahwa kemampuan penalaran kovariasional dicapai dari level penalaran kovariasional yang diberikan, yaitu adanya dukungan terhadap tindakan mental yang berkaitan dengan level-level penalaran kovariasionalnya. Menurut Carlson dkk, level-level penalaran kovariasional tersebut adalah: Level 1 (L1) Koordinasi (Coordination), Level 2 (L2) Arah (Direction), Level 3 (L3) Koordinasi Kuantitas (Quantitative Coordination), Level 4(L4) Tingkat rata-rata (Average rate), dan Level 5 (L5) Laju Sesaat (Instantaneous Rate).

Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui penalaran kovariasional mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA UM pada matakuliah Kalkulus Lanjut dalam mengkonstruksi grafik fungsi kejadian dinamik.

(4)

4

Berpikir diartikan menggunakan akal budi untuk mempertimbangkan dan memutuskan sesuatu atau menimbang-nimbang dalam ingatan (Subanji, 2011). Kita tidak bisa melihat apa yang dipikirkan oleh orang. Karena berpikir merupakan suatu proses yang ada di dalam otak. Namun begitu kita bisa melihat bentuk keluaran dari berpikir ini. Menurut Subanji (2011) bentuk keluaran dari berpikir ini bisa berupa proses atau langkah-langkah dalam memecahkan masalah.

Dalam tingkatan berpikir, Krulick & Rudnick (1995) membagi menjadi empat tingkatan, yaitu mengingat, berpikir dasar, berpikir kritis, dan berpikir kreatif. Tingkatan berpikir tersebut, oleh Krulick digambarkan pada gambar 1 sebagai berikut:

Gambar 1. Tingkatan Berpikir (diambil dari Krulick & Rudnick (1995))

Tahapan berpikir paling rendah adalah mengingat (recall). Pada tahapan ini proses berpikir sesorang belum menggunakan proses logis ataupun analitis. Pada tahapan ini berlangsung proses berpikir secara otomatis. Sebagai contoh, ketika seseorang diminta untuk berhitung, maka ia akan memulainya dengan 1, 2, 3, .. dan seterusnya. Atau ketika seorang siswa kelas VI Sekolah dasar ditanya, berapa 1 + 1, maka dia langsung menjawab 2. Ketika menjawab ini, siswa tidak benar-benar berpikir tetapi langsung otomatis menjawab 2.

Tingkatan berpikir berikutnya adalah berpikir dasar (basic). Tingkatan ini merupakan tingkatan yang lebih tinggi dari sekedar mengingat. Kebanyakan keputusan yang diambil oleh seseorang dilakukan pada tingkatan berpikir ini.

Mengingat (recall) Dasar (Basic)

Kritis Kreatif

(5)

5

Tingkatan berpikir yang ketiga adalah berpikir kritis. Pada tingkatan ini sudah dilakukan proses menganalisa masalah, menentukan kecukupan data untuk menyelesaikan masalah, memutuskan perlunya informasimtambahan dalam suatu masalah, dan menganalisa situasi. (Subanji, 2011).

Pengertian Penalaran Kovariasional

Mengkonstruksi grafik merupakan bagian yang penting dalam kegiatan matematika. Di mata kuliah kalkulus, cukup banyak materi matematika yang melibatkan konstruksi grafik fungsi. Grafik tidak hanya digunakan untuk mengkonstruksi fenomena tetapi juga digunakan untuk membuktikan keberadaan fenomena. Mengkonstruksi grafik fungsi merupakan salah satu kajian yang dilakukan tentang penalaran pada mahasiswa. Ada dua macam cara yang dapat dilakukan dalam mengkonstruksi grafik, yaitu dilakukan dengan cara mengetahui terlebih dahulu rumus fungsi tersebut kemudian menggambarkannya dalam suatu grafik atau bisa juga mengetahui sifat-sifat analitisnya lebih dahulu, kemudian menggambar grafiknya.

Jika mengacu pada penggambaran tingkatan berpikir menurut Krulick & Rudnick (1995), penalaran merupakan tingkatan berpikir yang meliputi berpikir dasar, berpikir kritis, dan berpikir kreatif. Kategori dari berpikir dasar adalah memahami konsep, dan mengenali suatu konsep ketika konsep itu muncul. Kategori berpikir kritis meliputi: menyelidiki, menghubungkan, dan mengevaluasi semua aspek dari situasi atau masalah, mengfokuskan pada bagian dari situasi atau masalah, mengumpulkan dan mengorganisasi informasi, memvalidasi dan menganalisa informasi, mengingat dan menggabungkan informasi yang telah dipelajari terdahulu, menentukan suatu jawaban yang masuk akal, menggambarkan kesimpulan yang valid, dan analitik dan refleksif secara alami. Sedangkan kategori dari berpikir kreatif adalah original/keaslian, efektif, dan menghasilkan produk yang kompleks, inovatif, mensintesiskan ide, menggeneralisasikan ide, dan mengaplikasikan ide. Menurut Subanji (2007) penalaran memiliki karakteristik tertentu, yaitu merupakan pola berpikir logis dan bersifat analitis. Pola berpikir logis berarti menggunakan logika tertentu, sedangkan bersifat analitis merupakan konsekuensi dari pola berpikir tertentu.

Sedangkan pengertian kovariasional, dapat dilihat dari para peneliti yang telah mendefinisikannya. Menurut Carlson (2002), kovariasional didefinisikan sebagai pengkoordinasian beberapa kuantitas, perubahan salah satu kuantitas mengakibatkan

(6)

6

perubahan kuantitas lainnya. Slavit (1997) mendefinisikan kovariasional sebagai hubungan antar perubahan kuantitas. Dari pengertian penalaran dan kovariasional tersebut, penalaran kovariasional didefinisikan sebagai aktivitas mental yang berkaitan dengan pengkoordinasian dua kuantitas (variabel bebas dan variabel terikat) yang berkaitan dengan cara-cara perubahan satu kuantitas terhadap kuantitas yang lain. Menurut Subanji (2007), pengkoordinasian dua kuantitas ini sangat terkait dengan konsep fungsi, yaitu salah satu kuantitas dapat dipandang sebagai input (variabel bebas) dan kuantitas yang lain dipandang sebagai output (variabel terikat).

Kerangka Kerja Penalaran Kovariasional

Carlson, M., dkk (2002) telah menyusun kerangka kerja penerapan penalaran kovariasional mahasiswa dalam menggambar grafik masalah dinamik dengan mengidentifikasi level-level penalaran kovariasional. Level-level penalaran kovariasional ini didasarkan tindakan/aksi mental (mental action) dalam menyelesaikan masalah. Terdapat lima tindakan mental yang disusun oleh Carlson dkk ini. Kelima tindakan mental tersebut masing-masing mendeskripsikan suatu aksi atau tindakan beserta perilakunya. Hal tersebut dapat dilihat pada tabel berikut.

Tabel 1: Tindakan Mental dari Kerangka Kerja Penalaran Kovariasional Tindakan Mental Deskripsi tindakan mental Perilaku Mental Action 1 (MA1) Pengkoordinasian nilai dari satu varia-bel dengan perubah-an variabel lain

- Melabeli sumbu dengan indikasi verbal/ lisan dari pengko-ordinasian dua variable (y berubah dengan perubahan x)

Mental Action 2 (MA2)

Pengkoordinasian arah perubahan satu variabel dengan pe-rubahan variabel lain

- Menggambar titik-titik yang arahnya naik

- Menyatakan secara lisan suatu kesadaran arah perubahan output ketika mempertimbangkan peru-bahan input. Mental Action 3 (MA3) Pengkoordinasian besarnya perubah-an dari satu variabel

- Mengkonstruksi kemiringan garis - Menyatakan secara lisan suatu kesadaran dari besarnya perubah-an

(7)

7 dengan perubahan variable yang lain

output ketika mempertim-bangkan perubahan input

Pengkoordinasian kecepatan rata-rata dari fungsi dengan kenaikan seragam dari perubahan da-lam variabel input

- Mengkonstruksi garis yang berdekatan untuk domain

- Menyatakan secara lisan suatu kesadaran terhadap kecepatan perubahan output (dengan ma-sing-masing ke input) ketika mem-pertimbangkan kenaikan seragam dari input.

Pengkoordinasian kecepatan sesaat dari

fungsi dengan

perubahan kontinu dalam variabel be-bas untuk keselu-ruhan domain dari fungsi

- Mengkonstruksi kurva mulus dengan tanda yang jelas dari perubahan kecekungan

- Menyatakan secara lisan suatu kesadaran terhadap kecepatan sesaat dalam kecepatan peru-bahan untuk keseluruhan domain dari fungsi (arah kecekungan dan titik belok adalah benar)

Level-level Penalaran Kovariasional

Dari kerangka kerja kovariasional yang telah disusunnya, Carlson dkk (2002) telah menetapkan 5 level penalaran kovariasional yang dihasilkan dari 5 mental aksi/tindakan mental. Menurut Carlson dkk, level-level penalaran kovariasional tersebut adalah: Level 1 (L1) Koordinasi (Coordination), Level 2 (L2) Arah (Direction), Level 3 (L3) Koordinasi Kuantitas (Quantitative Coordination), Level 4(L4) Tingkat rata-rata (Average rate), dan Level 5 (L5) Laju Sesaat (Instantaneous Rate). Hal tersebut dapat dilihat pada tabel berikut ini.

Tabel 2: Gambaran level-level kovariasional dan tindakan mental pendukungnya

Level Tindakan Mental

Level 1: Koordinasi (Coordi-nation) MA 1

(8)

8 Level 3 (L3) Koordinasi Kuantitas (Quantitative Coordi-nation)

Ma1, MA2, dan MA3

Level 4(L4) Tingkat rata-rata (Average rate)

MA1, MA2, MA3, dan MA4

Level 5 (L5) Laju Sesaat (Instantaneous Rate)

MA1, MA2, MA3, MA4, dan MA5

Pada tingkat koordinasi, Level 1, gambaran dari kovariasional dapat mendukung tindakan mental mengkoordinasikan perubahan satu variabel terhadap perubahan variabel lain (MA1). MA1 telah diidentifikasi dengan mengamati mahasiswa dalam melabelkan sumbu dan juga dengan mendengar mereka mengekspresikan perubahan satu variabel sebagai akibat perubahan variabel yang lain (misalnya: perubahan volume terhadap perubahan tinggi). Mahasiswa tidak memerlukan arah atau laju dari perubahan.

Pada tingkat arah, Level 2, gambaran dari kovariasional dapat mendukung tindakan mental dari koordinasi arah perubahan satu variabel terhadap perubahan variabel lain. Tindakan mental MA1 dan MA2 keduanya didukung oleh gambaran level 2. Pada tingkat koordinasi kuantitatif, Level 3, gambaran kovariasional dapat mendukung tindakan mental dari koordinasi jumlah perubahan dalam satu variabel terhadap perubahan variabel lain. Tindakan mental MA1, MA2, dan MA3, didukung oleh gambaran level 3.

Pada tingkat rata-rata, Level 4, gambaran dari kovariasional dapat mendukung tindakan mental dari koordinasi tingkat perubahan rata-rata terhadap perubahan seragam dalam variabel input. Tingkat perubahan rata-rata bisa diekstrak untuk mengkoordinasikan jumlah perubahan variabel output terhadap perubahan pada variabel input. Tindakan mental MA1 sampai MA4 didukung oleh gambaran level 4.

Pada tingkat laju sesaat, Level 5, gambaran kovariasional dapat mendukung tindakan mental dari koordinasi tingkat perubahan sesaat terhadap perubahan kontinu dalam variabel input. Tingkat ini mencakup perubahan laju sesaat yang dihasilkan dari perbaikan yang lebih kecil dari perubahan rata-rata. Ini juga mencakup titik infleksi yaitu keadaan dimana laju perubahan berubah dari meningkat menjadi menurun, atau dari menurun menjadi meningkat. Tindakan mental MA1 sampai MA5 didukung oleh gambaran level 5.

(9)

9

METODE PENELITIAN

Penelitian ini akan mengungkap penalaran kovariasional mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA UM dalam merepresentasikan grafik fungsi kejadian dinamik. Masalah kovariasional yang disajikan adalah mengkonstruksi grafik fungsi kejadian dinamik. Penalaran kovariasional dilihat dari perilaku mahasiswa dalam menyelesaikan tugas yang dapat menggambarkan aksi mentalnya. Kejadian dinamik yang dikaji adalah bentuk “konstan-dinamik”, perubahan dengan salah satu varibel tetap sedangkan variabel yang lain adalah berubah-ubah (dinamik). Selanjutnya dicari karakteristik berpikir mahasiswa dalam menyelesaikan masalah kovariasi berdasarkan kerangka kerja penalaran kovariasional. Menurut Moleong (2006) penelitian semacam ini tergolong penelitian kualitatif. Penelitian kualitatif menurut Moleong (2006) merupakan penelitian yang bermaksud untuk memahami fenomena tentang apa yang dialami subjek penelitian misalnya perilaku, persepsi, motivasi, tindakan, dll, secara holistik, dan dengan cara deskripsi dalam bentuk kata-kata dan bahasa,pada suatu konteks khusus yang alamiah dan dengan memanfaatkan berbagai metode ilmiah.

Penelitian ini dilaksanakan di Jurusan Matematika Universitas Negeri Malang, pada semester Gasal tahun 2011/2012 dengan subyek mahasiswa angkatan 2010 off H yang sedang menempuh matakuliah Kalkulus Lanjut. Dipilihnya mahasiswa angkatan 2010 ini dikarenakan mahasiswa tersebut sudah menempuh matakuliah Kalkulus I maupun Kalkulus II yang mana pada matakuliah tersebut sudah ada materi menggambar grafik beserta sifat-sifatnya (kecekungan, titik belok, titik balik, dan sebagainya).Kepada mahasiswa tersebut diberikan tugas mengkonstruksi grafik fungsi dari kejadian dinamik. Hasil dari tugas dianalisa untuk dikelompokkan ke masing-masing level penerapan penalaran kovariasional.

Instrumen :Penelitian

1. Peneliti sebagai Instrumen Penelitian

Instrumen penelitian ini adalah peneliti sendiri yang dipandu dengan instrumen lembar tugas representasi grafik kejadian dinamik. Peneliti sebagai instrumen sebab peneliti sebagai perencana, pengumpul data, penganalisa data, penafsir data, dan akhirnya menjadi pelapor hasil penelitian. Selain itu peneliti juga dipandu dengan lembar tugas. Adapun lembar tugas yang digunakan dalam penelitian ini merupakan pengembangan lembar tugas kovariasi dari Carlson.

(10)

10 2. Instrumen Lembar Tugas

Instrumen Lembar Tugas yang digunakan dalam penelitian ini merupakan pengembangan lembar tugas kovariasional dari Carlson (2002). Instrumen hasil pengembangan tersebut oleh peneliti dinamakan masalah “tangki bensin”. Adapun pengembangan instrumen lembar tugas tersebut disajikan pada tabel 1 berikut.

Tabel 1. Pengembangan Instrumen Lembar Tugas Instruyen Lembar Tugas

Carlson

Instrumen Lembar Tugas Penelitian ini

Perhatikan

gambar

dibawah ini

Bayangkan botol di atas

tersebut diisi dengan air.

Gambarkan suatu grafik

fungsi antara ketinggian

air dalam botol dan

banyaknya air yang

dimasukkan ke dalam

botol. Berikan alasan

terhadap jawaban saudara.

Perhatikan gambar jarum penunjuk bensin pada

suatu mobil berikut ini.

Ketika bensin diisi penuh, maka jarum menunjuk ke

arah F (

Full

) yang berarti bensin dalam kondisi

penuh. Seiring dengan berjalannya mobil, jarum

penunjuk mengalami pergerakan menuju arah E

(

Empty

) yang berarti kosong. Tetapi pergerakan

jarum tersebut tidaklah sama. Dari kondisi penuh

(F) ke setengahnya perjalanan jarum lambat.

Selanjutnya dari setengah ke seperempat, jarum

berjalan cepat, sementara dari seperempat ke E

berjalan

lambat

kembali.

Pergerakan

jarum

penunjuk tersebut dipengaruhi oleh ketinggian

bensin dalam tangki bensin yang ada pada mobil

tersebut.

1. Gambarkan bentuk tangki bensin yang

cocok untuk mobil tersebut. Berikan alasan

(11)

11

terhadap jawaban saudara.

2. Gambarkan

grafik

fungsi

yang

menggambarkan antara ketinggian bensin dalam

tangki dan banyaknya bensin yang tersisa dalam

tangki. Berikan alasan terhadap jawaban saudara.

Penelitian ini mengkaji proses berpikir mahasiswa dalam memecahkan masalah kovariasi, yang disebut penalaran kovariasional. Proses pengumpulan data dalam penelitian ini menggunakan interview berbasis tugas, dimana subyek diminta mengerjakan beberapa tugas untuk dikerjakan di kertas dengan pensil/pulpen, diminta menjelaskan secara rinci apa yang dikerjakan, mendiskusikan kenapa mengambil kesimpulan itu dan kemungkinan-kemungkinan lain. Selanjutnya dilakukan interview klinis, observasi, dan dokumentasi.

Proses analisis data dalam penelitian ini dilakukan dengan langkah-langkah: mentranskrip data verbal yang terkumpul, menelaah seluruh data yang tersedia dari berbagai sumber, wawancara, pengamatan yang sudah dituliskan dalam catatan lapangan, dan hasil konstruksi grafik kejadian dinamik, mengadakan reduksi data dengan membuat abstraksi. Abstraksi merupakan usaha membuat rangkuman yang inti, proses, dan pernyataan-pernyataan yang perlu dijaga untuk tetap berada di dalamnya, analisa proses berpikir, analisa hal-hal yang menarik, dan menarik kesimpulan.

HASIL PENELITIAN

Penelitian ini bertujuan memvalidasi penelitian Carlson, Larsen & Lesh (2002). Pemvalidasian dilakukan dengan mengkritisi tindakan mental yang telah ditetapkan. Penelitian ini berjudul “Penalaran Kovariasional Mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA UM dalam Mengkonstruksi Grafik Fungsi Kejadian Dinamik”. Dalam penelitian ini dikaji dan dideskripsikan secara kualitatif penalaran kovariasional mahasiswa dalam mengkonstruksi grafik fungsi kejadian dinamik.

Masalah Tangki Bensin

Masalah tangki bensin yang diberikan oleh peneliti mendorong mahasiswa untuk mengkonstruksi bentuk bensin yang mungkin sesuai dengan jarum penunjuk bensin. Jumlah mahasiswa yang menjadi subyek penelitian ini ada sebanyak 33

(12)

12

mahasiswa. Terhadap masalah tangki bensin yang diberikan, dari 33 jawaban mahasiswa, peneliti dapat mengelompokkan jawaban ini menjadi 4 kelompok..

Kelompok 1.

Jawaban yang mirip seperti berikut diberikan oleh 10 orang mahasiswa. Jawaban yang dibuat oleh kelompok 1 ini adalah:

Bentuk Tangki Bensin Alasan

Saat bensin penuh hingga setengahnya jarum penunjuk berjalan lambat,

sedangkan dari setengahnya ke seperempat jarum penunjuk berjalan cepat, sementara dari seperempat sampai habis jarum penunjuk berjalan lambat. Luas permukaan tangki berbeda. Saat bensin berjalan cepat laus

permukaan lebih kecil dari luas

permukaan saat berjalan lambat. Hal itu menggambarkan bentuk tangki bensin dari lebar ke sempit kemudian lebar lagi, seperti ditunjukkan pada gambar di samping.

Kelompok 2

(13)

13

Dinding sebelah kanan dibuat lurus sebagai tempat bandul tangki

Dinding sebelah kiri dibuat tidak lurus karena pada saat bensin mencapai setengah dari tangki sampai seperempat tangki bensin cepat habis karena luas permukaan tangki lebih sempit daripada luas permukaan di atasnya. Selanjutnya dari seperempat sampai kosong jarum akan melambat karena bandul tangki berjalan melambat (karena permukaan bensin lebih luas daripada di atasnya).

Kelompok 3

Pada saat tangki bensin terisi penuh, lebar tangki maksimal, karena jarum bensin bergerak lambat. Pada saat jarum menunjukkan posisi setengah ke

seperempat, jarum bergerak cepat, jadi lebar tangki lebih kecil dari lebar

maksimalnya. Sementara daris eperempat menuju E jarum bergerak lambat kembali, berarti tangki

dimaksimalkan lebarnya sama dengan lebar tangki saat dari F menuju

setengahnya.

Kelompok 4

Jawaban yang dibuat seperti berikut diberikan oleh seorang mahasiswa. Berikut gambar yang dibuat oleh mahasiswa tersebut.

(14)

14

Pada saat tangki bensin terisi penuh, lebar tangki maksimal, karena jarum bensin bergerak lambat. Pada saat jarum menunjukkan posisi setengah ke seperempat, jarum bergerak cepat, jadi lebar tangki lebih kecil dari lebar

maksimalnya. Sementara daris eperempat menuju E jarum bergerak lambat kembali, berarti tangki

dimaksimalkan lebarnya sama dengan lebar tangki saat dari F menuju

setengahnya.

Masalah mengkonstruksi grafik fungsi

Masalah tangki bensin yang diberikan oleh peneliti di atas dilanjutkan dengan mengkonstruksi grafik fungsi dari suatu kejadian yang dinamik dengan perubahan yang kontinu. Disebut kejadian dinamik dikarenakan kejadian ini berubah-berubah (dinamik) dan saling terkait satu sama lain. Dalam mengkonstruksi grafik fungsi kejadian dinamik ini, setelah dianalisa terdapat 7 grafik yang berbeda. Adapun gambar-gambar grafik tersebut adalah sebagai berikut.

Kelompok 1.

Gambar grafik fungsi yang dibuat oleh kelompok ini sebagai berikut.

Kelompok 2.

(15)

15 Kelompok 3.

Kelompok 4.

(16)

16 Kelompok 5.

Kelompok 6.

(17)

17 Kelompok7.

Pembahasan

Dari kelompok 1,dengan gambar tangki bensin yang mirip ternyata dalam mengkonstruksi grafik fungsinya ada 3 macam bentuk grafik fungsi yang berbeda. Bentuk ke-1:

(18)

18

Bentuk ke-2

Bentuk grafik

Bentuk ke-3 Bentuk grafiknya

(19)

19

Dari kelompok 2, dengan gambar tangki bensin yang mirip ternyata dalam mengkonstruksi grafik fungsinya ada 3 macam bentuk grafik fungsi yang berbeda. Bentuk ke-1

Bentuk ke-2

(20)

20

Dari kelompok 3, dengan gambar tangki bensin yang mirip dalam mengkonstruksi grafik fungsinya hanya ada 1 bentuk grafik fungsi, yaitu grafiknya berupa garis lurus seperti berikut

(21)

21

Jika diperhatikan kembali, tindakan mental yang dikemukakan oleh Carlson dkk, maka

semua jawaban yang dikemukakan oleh mahasiswa sudah memenuhi tindakan mental 1

(MA 1), yaitu pengkoordinasian nilai dari satu variabel terhadap perubahan variabel lain

dengan cara melabeli sumbu dengan dua variabel (

y

berubah dengan perubahan

x

).

Tindakan mental 2 juga telah dilakukan yaitu pengkoordinasian arah perubahan satu

variabel terhadap perubahan variabel lain dengan cara menggambar titik-titik yang

arahnya naik atau turun dan mampu menyatakannya secara lisan dengan suatu kesadaran

arah perubahan output ketika mempertimbangkan perubahan input. Tindakan mental 3

juga sudah dilakukan yaitu pengkoordinasian besarnya perubahan dari satu variabel

terhadap perubahan variabel yang lain dengan cara mengkonstruksi kemiringan garis

dan menyatakan secara lisan dengan suatu kesadaran dari besarnya perubahan output

ketika mempertimbangkan perubahan input. Sementara untuk MA 4 dan MA 5 nampak

belum dilakukan oleh mahasiswa.

KESIMPULAN

Dari hasil kajian yang telah dilakukan dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut. 1. Tindakan mental 1 (MA 1) telah dilakukan oleh mahasiswa, yaitu

pengkoordinasian nilai dari satu variabel terhadap perubahan variabel lain dengan cara melabeli sumbu dengan dua variable.

2. Tindakan mental 2 juga telah dilakukan yaitu pengkoordinasian arah perubahan satu variabel terhadap perubahan variabel lain dengan cara menggambar titik-titik yang arahnya naik atau turun dan mampu

(22)

22

menyatakannya secara lisan dengan suatu kesadaran arah perubahan output ketika mempertimbangkan perubahan input.

3. Tindakan mental 3 juga sudah dilakukan yaitu pengkoordinasian besarnya perubahan dari satu variabel terhadap perubahan variabel yang lain dengan cara mengkonstruksi kemiringan garis dan menyatakan secara lisan dengan suatu kesadaran dari besarnya perubahan output ketika mempertimbangkan perubahan input.

4. Untuk MA 4 dan MA 5 nampak belum dilakukan oleh mahasiswa.

DAFTAR RUJUKAN

Carlson, M., Larsen, S., Jacobs, S. 2001. An Investigation of Covariational Reasoning and Its Role in Learning the Concepts of Limit and Accumulation. Proceeding of the Twenty-Third Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psichology of Mathematics Education. Columbus, OH: Eric Clearinghouse.

Carlson, Marilyn P. 2002. A Study of Second Semester Calculus Students’ Function Conceptions.

Carlson, M., Jacobs, S., Larsen, S., & Hsu, E. 2002. Applying Covariational Reasoning While Modeling Dynamics Events: A Framework and a Study. Journal for Research in Mathematics Education. Vol. 33, No. 5, 352-378.

Carlson, Marilyn P. 2002. Physical Enactment: A Powerful Representational Tool for Understanding the Nature of Covarying Relationships.. In F. Hitt (Ed.), Representations and Mathematics Visualization (pp. 63-77). Special Issue of PME-NA and Cinvestav-IPN.

Carlson, M., Larsen, S., Lesh, R. 2003. Integrating a Models and Modeling Perpective With Existing Research and Practice. Beyond Constructivism in Mathematics Teaching and Learning: A Models & Modeling Perpective (pp. 465-478). Hillsade, NJ: Lawrence Erlbaum.

Cho, H., Kim, H., & Song, M. 2004. The Qualitative Approach to The Graphs of Function in a Microworld.

Krulick, S & Rudnick, J. 1995. The New Sourcebook for Teaching Reasoning and Problem Solving in Elementary School. Boston: Allyn and Bacon.

(23)

23

Kynigos, C. 2006. Constructing a Sinusioidal Periodic Covariation. Proceedings 30th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 4, pp. 9-16. Prague: PME.

Mejia & Hurtado. 2006. Geometrical Optimization Problems: A Covariational Approach. PME-NA Proceeding. Proceeding of the 28th annual meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psichology of Mathematics Education, Merida, Mexico: Universidad Pedagogica Nacional. Vol. 2-31.

Moleong, Lexy J. 2006. Metodologi Penelitian Kualitatif, Edisi Revisi. Bandung: Remaja Rosdakarya

Moore, KC & Bowling, SA. 2008. Covariational Reasoning and Quantification in a College Algebra Course. Sigma.maa.org/rume/crume 2008.

Saldanha, L., & Thompson, P.W. 1998. Re-Thinking Covariation from a Quantitative Perspective: Simultaneous Continous Variation. Proceeding of the Annual meeting of the Psychology of Mathematics Education – North America. Raleigh, NC: North Carolina State University.

Silverman, J. 2006. A Focus on Variables as Quantitative of Variable Measure in Covariational Reasoning. PME-NA Proceeding. Proceeding of the 28th annual meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psichology of Mathematics Education, Merida, Mexico: Universidad Pedagogica Nacional. Vol. 2-174.

Slavit, D. 1997. An Alternative Route to the Reification of Function. Educational Studies in Mathematics 33: 259-281. Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherland.

Steinthorsdottir, O. 2006. Proportional Reasoning: Variable Influencing the Problems Difficulty Level and One’s Use of Problem Solving Strategies. Proceeding 30th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 5,pp. 169-176. Prague: PME.

Strom, A. 2006. The Role of Covariational Reasoning in Learning and Understanding Exponential Functions. Proceeding of the 28th Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Merida, Mexico: Universidad Pedagogica Nacional.

Stump, Sheryl L. 2001. Developing preservice Teachers’ pedagogical content knowledge of slope. Journal Of Mathematics Behavior, Vol 20 (207-227).

(24)

24

Thompson, P. W., & Silverman, J. (2008). The concept of accumulation in calculus. In M. P. Carlson & C. Rasmussen (Eds.), Making the connection: Research and teaching in undergraduate mathematics (pp. 43-52). Washington, DC: Mathematical Association of America. Available at http://pat-thompson.net/