Kaedah dua titik kumpulan tak tersirat bagi masalah nilai sempadan dua titik linear peringkat kedua menerusi interpolasi lagrange

KEADAH DUA 11TIK KUMPULAN TAK TERSIRAT BAGI MASALAH NILAI SEMPADAN DUA 11TIK UNEAR PERINGKAT KEDUA MENERUSI INTERPOLASI LAGRANGE. TOH MOAU SAN. l t. .. i' J:Thi~J\:\;"t. \JtU':E~Sm. !:i{\LAYSJA SABA r. DISERTASI INI DIKEMUKAKAN UNTUK MEMENUHI SEBAHAGIAN DARIPADA SYARAT MEMPEROLEHI DAZAH SARJANA MUDA SAINS DENGAN KEPUJIAN. PROGRAM MATEMATIK DENGAN EKONOMI FAKULTI SAINS DAN SUMBER ALAM UNIVERsm MALAYSIA SABAH. 2015. ' UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

?<,\oY 0 UNIVERSm MALAYSlA SABAH BORANG PENGESAHAN STArus TESIS. ''%. SAY A:. '!\~~\J.. . @\~ (HURUF BESAR). Meuplaa _dlu.kat tesis -<LPSMISIrjIDaIDokto Fa1sa&h) iN disimpu eli PapusIWan UnM:tsiti Malaysia s.t.h daIpn I)'WU.y.r1Il ~ sepwti beritut:-. 1, 2.. 3. 4.. Taa IdUIh bltmiJik UaM:niti M*ysia Sabab. I'apIaIabm Uoiwniti Malaysia SaW! cIibemrbn DIaDbuIl saliMn WIIUIt tujuan pengajiaft ~ Pap...... dibeMrbn membual aliDID esis irri Iehapi W- pertubnD ....... instilUSi pensaj_ tingi Sila tIIIdabn (I) {Ma1pndunai mKJwnat YII'I bcrdIrjah ~ -Itcpc:ampa ~ -,a1i JIIII. 1IInIIIk1Ubdi AKTA RAHStA IlASMl 1972). ,"-_...1 TERHAD I:';C. •. ~ u.kJumal TERHADYIII&tr:1Ih dile:nlubnolcb ~di_. hnydidibn dijllulam}. .. .. IllDAK TERRAD. T~.___\~~\_~_I~_\~=-_____. TIIrikb:._'_Io__ f b_f_~O_\5______. ea....:- - Pwqyq tidat~. -Jib tI:sis ini suur ItIU TERHAD. 1l1alaJnpirbn sura cIariJ*Ia piIak ~ ba"""-,. denpD meoyatlbJi ldaoIi ...., dan llcnlpob tesis iN pertu dikdasbn .a.gu SUUT dan TEllHAD. • -Tesis dimabdDn . . . II:sis begi Ijazah DokIor Falsafah dan SaIjIna Secam paoydidibn . . . dDr:nai. bIIsi pcnpjim sean kaja Qrsus dan I..apcnn Projdt s.jana Muda (LPSM). PERPUSTAKAAN UMS. \III~IIIIIIIIIIIIIIIII\I *1000368614*. UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

PENGAKUAN Saya akul karya ini adalah hasil kerja saya sendiri kecuali nukilan dan ringkasan yang setiap satunya telah dijelaskan sumbernya.. TOH MOAU SAN. (6512110677) 18 Mei 2015. t· t.l~~~ U~TA:~h~.. Art. lJNl'Jm:1TI. P,~·.1 ~.YSL' S~El.S:. ii. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

OIPERAKUKAN OLEH Tandatangan. PENYELIA (PROF. MADYA DR. JUMAT BIN SULAIMAN). iii. UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

PENGHARGAAN Usaha untuk menghasilkan tesis ini tidak mungkin tercapai tanpa sumbangan pelbagai pihak. Pertama sekali saya ingin merakamkan setinggi-tinggi dan ribuan terima kasih kepada penyelia saya, Prof. Madya Dr. Jumat bin Sulaiman atas segala sokongan dan bimbingan beliau dari segi ilmu dan motivasi sepanjang masa ini. Ribuan terima kasih juga saya ingin sampaikan kepada En. Yong Enn Lun selaku penasihat saya serta semua pensyarah program Matematik dengan Ekonomi yang sedikit sebanyak memberi galakan dan tunjuk ajar kepada saya dalam penulisan disertasi ini.. Selain itu, saya juga ingin mengucapkan ribuan terima kasih kepada ibu bapa saya, Toh King Sooi dan Tan Chin Luan yang sentiasa memberi dorongan, semangat dan bantuan dari segi material dan spirituala. Ucapan setinggi-tinggi terima kasih juga saya ucapkan kepada rakan sekursus serta rakan serumah saya kerana telah banyak membantu dari segi i1mu dan emosi sepanjang pengajian saya di sini. Jasa kesemua kalian yang terlibat dalam menjayakan penulisan sidertasi ini amatlah dihargai.. iv. 'UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

ABSTRAK Kajian ini mempertimbangkan kaedah interpolasi lagrange dalam mendiskretkan masalah nilai sempadan dua titik linear peringkat kedua. Selanjutnya, penyelesaian hampiran ke atas sistem persamaan linear diperolehi dengan menggunakan kaedah lelaran Dua litik Kumpulan Tak Tersirat (2EG) dengan parameter berpemberat w. kaedah lelaran 2EG ini dibahagi lagi kepada kaedah lelaran Dua Titik Kumpulan Tak Tersirat Gauss-Seidel (2EG-GS) dan kaedah lelaran Dua Titik Kumpulan Tak Tersirat Pengenduran. Berlebihan. Berturut-turut. (2EG-SOR).. Berdasarkan. eksperimen. berangka ke atas satu contoh permasalahan dipertimbangkan, dapatan kajian menunjukkan bahawa 2EG-SOR adalah lebih berkesan dari segi bilangan lelaran, masa lelaran (saat) dan ralat maksimum berbanding dengan kaedah lelaran GaussSeidel (GS), kaedah lelaran Pengenduran Berlebihan Berturut-turut (SOR) dan kaedah lelaran 2EG-GS. Selain itu, hasil kajian ini menunjukkan bahawa kaedah interpolasi lagrange memberi kejituan yang tinggi.. v. 'UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

THE TWO-POINT EXPLICIT GROUP METHOOD FOR SECOND-ORDER LINEAR TWO-POINT BOUNDARY VALUE PROBLEM VIA LAGRANGE INTERPOLASION. ABSTRACT This study deals with the Lagrange interpolation method in discretizing a second order linear two-point boundary value problem. Therefore, approximate solution on the system of linear equations was determined by using the Two-point ExpliCit Group iterative method (2EG) together with the weighted parameter. UJ.. The 2EG iterative. method is divided into Two-Point Explicit Group-Gauss-Seidel iterative method (2EGGS) and Two-Point Explicit Group-Successive Over-Relaxation iterative method (2EGSOR). Based on numerical experiments on one example was considered, the numerical results showed that 2EG-SOR was superior in term of number of iterations, time taken for iteration (seconds) and maximum error compared to Gauss-Seidel iterative method (GS), Successive Over-Relaxation iterative method (SOR) and 2EGGS iterative method. The results also showed that Lagrange interpolation method gives a high accuracy.. vi. 'UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

KANDUNGAN Muka Surat PENGAKUAN. ii. PENGESAHAN. iii. PENGHARGAAN. iv. ABSTRAK. v. ABSTRACT. vi. SENARAI KANDUNGAN. vii. SENARAI AlGORITMA. ix. SENARAI ISTILAH. x. SENARAI JADUAL. xi. SENARAI RAJAH. xii. SENARAI SIMBOL. xiii. BAB 1. 1. PENDAHULUAN. 1.1. Pengenalan. 1. 1.2. Konsep Asas Dalam Interpolasi Polinomial. 1. 1.2.1. Interpolasi Polinomial. 2. 1.2.2. Interpolasi Splin. 3. 1.2.4. Interpolasi Lagrange. 4. ,. ... ]a. 1.3. Perihalan Masalah Nilai Sempadan. 5. 1.4. Sistem Persamaan Linear. 8. 1.4.1 Perihalan Kaedah Terus. 9. 1.4.2 Perihalan Kaedah Lelaran. 10. 1.5. Penyataan Masalah. 12. 1.6. Objektif Kajian. 12. 1.7. Skop Kajian. 12. BAB2. ULASAN LITERATUR. 13. 2.1. Pengenalan. 2.2. Kepelbagaian Kaedah Penyelesaian bagi Masalah Nilai Sempadan. 13. Dua T1tik. 13. 2.2.1 Famili Kaedah Analitikal Berangka. 13. 2.2.2 Famili Kaedah Pendiskretan. 15. UMS. UNIVEASITI MAtAYSIA SABAH. vii.

2.3. Pengaplikasian Interpolasi Lagrange dalam Menyelesaikan 18. Kepelbagaian Permasalahan 2.4. Perkembangan Kaedah Lelaran. 19. 2.4.1 Aplikasi Skema Lelaran Gauss-Seidel. 20. 2.4.2 Aplikasi Skema Lelaran Pengenduran Berlebihan 21. Berturut-turut 2.4.3 Aplikasi Skema Lelaran Kumpulan Tak Tersirat. 22. PERUMUSAN PENGHAMPIRAN INTERPOLASI LAGRANGE. BAB3. KE ATAS PERMASALAHAN KAlIAN. 24. 3.1. Pengenalan. 24. 3.2. Terbitan Pertama dan Kedua bagi Pendarab Lagrange. 24. 3.3. Terbitan Interpolasi Lagrange bagi Peringkat ke-m. 26. 3.4. Persamaan Penghampiran Lagrange bagi Masalah Nilai Sempadan Dua Titik. 3.5. 26. Pembentukan Sistem Persamaan Linear bagi Persamaan Penghampiran Lagrange. 28. 3.6. Perumusan Kaedah Lelaran GS. 31. 3.7. Perumusan Kaedah Lelaran SOR. 33. 3.8. Perumusan Kaedah Lelaran 2EG. 35. BAB4. KEPUTUSAN DAN PERBINCANGAN. 41. 4.1. Pengenalan. 41. 4.2. Penyelesaian Ke Atas Permasalahan Kajian. 41. 4.3. Keputusan Berangka. 42. 4.4. Perumusan Keputusan. 48. BABS. KESIMPULAN DAN CADANGAN. 49. 5.1. Kesimpulan. 49. 5.2. Cadangan Kajian Lanjut. 50. RUJUKAN. 52. UMS viii. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

SENARAIALGORITMA Muka Surat. No. Algoritma. 3.1. Kaedah lelaran GS. 32. 3.2. Kaedah lelaran SOR. 34. 3.3. Kaedah lelaran 2EG-GS. 38. 3.4. Kaedah lelaran 2EG-SOR. 39. ix. UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

SENARAIISTlLAH Singkatan. Istilah Bahasa Melayu. Istilah Bahasa Inggeris. GS. Kaedah lelaran Gauss-Seidel. Gauss-Seidel iterative method. Kaedah Pengenduran Berlebihan. Successive Over-Relaxation. Bertu rut-tu rut. iterative method. 2EG. Dua Titik Kumpulan Tak Tersirat. Two-Point Explicit Group. MNS. Masalah nilai sempadan. Boundary value problem. LSFEM. Kaedah Unsur Terhingga. Least-Square Finite Element. Kurangnya Persegi. Method. Kaedah Anaitikal Berangka. Numerical Analytical method. Kaedah pendiskretan. Discretization method. Kaedah Splin. Spline method. Kaedah Unsur Terhingga. Finite Element method. Kaedah Kolokasi. Collocation method. Kaedah Beza Terhingga. Rnite Difference method. Kaedah perluasan Asimptot. Asymptotic expansion. SOR. NAM. FEM FDM. method ADM. Interpolasi Lagrange. Lagrange interpolation. Kaedah Penguralan Adomian. Adomian Decomposition method. Analisis Homotopi. Homotopy analysis. POE. Persamaan Terbitan Separa. Partial Differential equation. Pm. Persamaan Terbitan Biasa. Ordinary Differential equation. GMRES. Algoritma Sisa Minimum Teritdahi. Generalized Minimal Residual algorithm. GSSOR. Kaedah SOR Simetris Teritdah. Generalized Symmetric SOR method. x. 'UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

SENARAI lADUAL Muka Surat. No. Jadual 4.1. Perbandingan bilangan lelaran, masa lelaran dan ralat maksimum bagi kaedah lelaran GS dan SOR.. 4.2. 43. Perbandingan bilangan lelaran, masa lelaran dan ralat maksimum bagi kaedah lelaran 2EG-GS dan 2EG-SOR.. xi. 44. UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

SENARAI RAJAH Muka Surat. No. Rajah. 1.1. Proses lelaran bagi penyelesaian masalah nilai sempadan.. 11. 2.1. Kaedah-kaedah lelaran satu langkah yang dipertimbangkan.. 20. 3.1. Taburan seragam titik-titik XL dalam domain penyelesaian.. 28. 3.2. Kaedah-kaedah lelaran yang dipertimbangkan.. 31. 3.3. Carta aliran penggunaan kaedah lelaran GS.. 33. 3.4. Carta aliran penggunaan kaedah lelaran SOR.. 35. 3.5. Carta aliran penggunaan famili kaedah lelaran 2EG.. 40. 4.1. Pelaksanaan kaedah lelaran ke atas sistem persamaan penghampiran Lagrange.. 42. 4.2. Perbandingan bilangan lelaran bagi kaedah lelaran GS dan SOR.. 45. 4.3. Perbandingan masa lela ran bagi kaedah lela ran GS dan SOR.. 45. 4.4. Perbandingan ralat maksimum bagi kaedah lelaran GS dan SOR.. 46. 4.5. Perbandingan bilangan lelaran bagi kaedah lelaran 2EG-GS dan 2EG-SOR.. 46. Perbandingan masa lelaran bagi kaedah lelaran 2EG-GS dan 2EG-SOR.. 47. Perbandingan ralat maksimum bagi kaedah lelaran 2EG-GS dan 2EG-SOR.. 47. 4.6. 4.7. xii. UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

SENARAI SIMBOL. +. tambah tolak. x. darab. + atau/. bahagi. =. sama dengan. E. elemen / unsur daripada. >. lebih besar daripada. <. lebih keeil daripada. ~. lebih besar atau sama. s. lebih keeil atau sarna. a. alfa. p. beta. y. gama. L. penjurnlahan. n. pendaraban. xiii. UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

BABi PENDAHULUAN 1.1. Pengenalan. Sejak akhir tahun 1940-an, penggunaan komputer digital secara meluas telah mendorong kepada perkembangan kaedah berangka. Kaedah berangka merupakan teknik untuk mengolah masalah matematik supaya permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan operasi aritmetik. Kaedah berangka melibatkan proses pengiraan aritmetik yang panjang dan membosankan. Kebelakangan Ini, peranan kaedah berangka dalam penyelesaian masalah kejuruteraan semakin penting dan meningkat serentak dengan perkembangan komputer digital. Dalam musim dingin tahun 1946-47, John von Neumann (1903-1957) membuktikan bahawa komputer yang dibina oleh beliau dapat menyongsang matriks yang lebih besar daripada apa yang dijangkakan di Princeton. Beliau telah mengambil penghapusan Gaussian sebagai contoh penyelidikannya. Hasil kajian tersebut diterbit dalam kertas beliau bersama dengan Goldstie. Kertas tersebut diakui sebagai kertas pertama dalam analisis berangka "moden" (Bultheel &. Cools, 2008). Kaedah berangka amat berkesan dalam menyelesaikan masalah matematik. Kaedah ini dapat mengendali sistem persamaan yang besar, parameter tak linear dan geometri yang rumit serta mustahil untuk diselesaikan secara analitikal. Proses mendapatkan penyelesaian bagi persamaan terbitan adalah sangat susah dan kadangkala adalah mustahil, namun penyelesaian tersebut masih dapat didekati dengan menggunakan kaedah berangka.. 1.2. Konsep Asas dalam Interpolasi Polinomial. Interpolasi merupakan kaedah membina titik data baru dalam julat satu set diskret titik data yang diketahui. Interpolasi yang stabil dan lancar tak terhingga dalarn sebarang nod bukanlah satu tugas yang remeh, bahkan perkara yang perlu dipertimbangkan dalam situasi penting lalah titik sarna jarak yang tidak jelas..

Interpolasi polinomial adalah penghampiran paling senang, tetapi ia tidak stabil dan mengalami fenomena Runge. Jika disoroti kepada. perkembangan pembinaan fungsi. penghampiran. menerusi penghampiran interpolasi, terdapat pelbagai fungsi penghampiran yang dipertimbangkan seperti dijelaskan pada subseksyen berikut. Pertama sekali, Teorem. 1.1 dan Teorem 1.2 perlu dipertimbangkan. Dalam kajian disertasi ini, penghampiran Lagrange akan digunakan kerana penghampiran Lagrange memberi penghampiran yang lebih baik dan stabil berbanding dengan polinomial biasa.. Teorem 1.1: Teorem Penghampiran Weierstrass (Perez & Quintana, 2008) Andaikan satu fungsi selanjar {(x) pad a [a,b] dan satu nombor yang keeil e(> 0). Satu polinomial P(x) wujud dengan. I{(x) - P(x)1. <e. (1.1). bagi semua x dalam [a,b].. Teorem 1.2: Teorem kewujudan dan keunikan bagi interpolasi polinomial (Davis, 1975) Andaikan (n + 1) titik berbeza:. XO,Xl, ". ,Xn,. dan nilai fungsi berkaitan {O,{lI'". ,In. sebagai fungsi {ex) di titik tersebut, iaitu:. l(xD =/i,. i = 0,1,··· ,n. (1.2). Satu polinomial Pnex) yang unik dengan darjah lebih keeil atau sarna dengan n wujud, iaitu:. i = 0, 1, ·" ,n.. (1.3). 1.2.1 Interpolasi Polinomial Interpolasi polinomial merupakan salah satu kaedah untuk menganggar nilai antara titik data yang diketahui. Mengikut Teorem 1.1, fungsi selanjar {ex) pada selang 2. UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

[a,b] boleh dihampiri sedekat mungkin dengan satu polinomial yang unik. Teorem 1.2 membawa kepada kaedah interpolasi polinomial dalam bentuk umum (Wen. et al.,. 2011): n. Pn(x). =. I. ai xl = ao. + alx + a2 x2 + ... + anxn. (1.4). i=O. Jika Pn (x) interpolasi pad a Xo, xv"', Xn , sistem persamaan linear akan dibentuk.. =. Pn(xo) = ao + alxO + a2x~ + ... + ~x~ fo Pn(Xl) = ao + alxl + a2 x l + ... + ~xr = fl. 1.2.2 Interpolasi Splin Interpolasi polinomial yang berdarjah tinggi biasanya mempunyai osilasi berlebihan. Interpolasi Splin boleh dibahagl kepada:. I.. Splin Linear Splin Linear jarang digunakan kerana kaedah ini mempunyai kejituan yang rendah dan tidak memberi keselanjaran dalam terbitan pertama. Namun demikian, dalam beberapa kes, penghampiran Splin linear mungkin memberi penghampiran lebih baik daripada penghampiran darjah tinggi. Hal ini disebabkan Splin Linear dapat mengekalkan kekurangan variasi bagi satu set titik (ALGUB, 1999).. ii.. Splin Kubik Hermite Splin Kubik Hermite merupakan Splin darjah ketiga. Bagi setiap nod, bukan sahaja nilai fungsi diberi, tetapi juga nilai terbitan pertama. Splin Kubik Hermite mempunyai terbitan pertama yang selanjar, tetapi terbitan kedua adalah tak selanjar. Kejituan Interpolasi Splin Kubik Hermite adalah lebih baik berbanding dengan Splin linear (Farin, 2002).. 3. UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

iii.. Splin Kubik Splin Kubik selalu digunakan kerana kaedah ini merupakan interpolasi yang cepat, cekap dan stabil. Tujuan interpolasi Splin Kubik adalah untuk mendapatkan rumus interpolasi yang selanjar dalam terbitan pertama dan kedua, selang dan pada nod interpolasi. Rumus ini akan menghasilkan fungsi interpolasi yang lancar. Andaikan Pn adalah interpolasi Splin Kubik yang menunjukkan keselanjaran sehingga terbitan kedua dan mempunyai bentuk berikut (Ferrer-Arnau et al., 2013):. (1.6). dengan b n" en dan d n adalah pekali.. 1.2.3 Interpolasi Lagrange Selain daripada interpolasi polinomial, interpolasi lagrange juga selalu dikaji oleh para penyelidik. Rumus lagrange diterbitkan oleh lagrange pada tahun 1795 dan diubahsuai oleh penyelidik lain selepas itu. Andaikan. XO,Xl'''' 'Xn. adalah n + 1. nombor yang berbeza dalam selang [a, b] dan f (x): [a, b] -. R. Andaikan Pn mewakili polinomial pada darjah n yang berinterpolasi dengan. f pada titik diberi. Interpolasi. Lagrange boleh ditakrifkan sebagai (Theresa & Raj, 2013): n. Pn(x). = If(xt) it(x). (1.7). t=o dengan it merupakan polinomial pekali lagrange yang boleh diwakili dengan rumus berikut:. TIj=o(X - Xi) it (x) = =-:;.l_*t_ __ TIj=o(Xt - Xj). (1.8). l*t. Andaikan Pn (Xk) adalah polinomial Lagrange yang unik dengan darjah n.. k = O,l,···,n. 4. (1.9). (!) 1!lYl~.

Sistem persamaan linear (1.10) dapat dibentuk dengan memasukkan k = 0,1, ... , n dalam persamaan (1.9). Andaikan 'i(xk). = lik dan !(Xk) =A, (1.10). 1.3. Perihalan Masalah Nilai Sempadan. Masalah nilai sempadan (MNS) sering wujud dalam matematik gunaan, teori fizik, kejuruteraan, sains, teori kawalan dan pengoptimuman. Antara permasalahan yang sering wujud adalah termasuk pembentukan model tindak balas kimia, pemindahan haba, dan resapan masalah kawalan optimum. Oleh sebab permasalahan Ini adalah mustahil untuk diselesaikan dalam bentuk tertutup, permasalahan ini mesti dikaitkan dengan pelbagai jenis kaedah penghampiran. Penyelesaian berangka yang jitu dan pantas bagi MNS dua titik amat penting disebabkan oleh penggunaannya yang meluas. Terdapat empat jenis syarat sempadan dalam MNS mengikut David Evans (1997). Empatjenis syarat sempadan itu adalah:. I.. Syarat sempadan Dirichlet Bagi permasaiahan Dirichlet, penyelesaian u perlu memenuhi nilai diberi,. Ulx. =0. pada sempadan s. Permasalahan ini dinamakan permasalahan. Dirichlet homogen jika 0 = O. Permasalahan Ini biasanya dapat dijumpai dalam permasalahan pengedaran suhu keadaan mantap dengan suhu diberi pada sempadan sesuatu pepejal.. ii.. Syarat sempadan Neumann Bagi permasalahan Neumann, penyelesaian u akan memenuhi terbitan biasa. [:~L = tp. pada rantau sempadan tersebut, di mana 4J diberi. Berlainan. dengan syarat sempadan Dirichlet, kehilangan atau penambahan haba melalul sempadan akan diberi.. 5.

iii.. Syarat sempadan Robin Bagi permasalahan Robin, penyelesaian u akan memenuhi penggabungan u. [auov + hU] x = IJ' pada sempadan s. Permasalahan. dan terbitannya, dinamakan. ini mengendali dengan penukaran haba dengan suhu sebagai pengantaraan.. iv.. Syarat sempadan berkala Bagi permasalahan dengan syarat sempadan berkala, penyelesaian yang didapatkan memenuhi syarat berkala.. Terdapat dua jenis MNS, iaitu MNS dua titik dan MNS tiga titik. Persamaan (1.11) menunjukkan contoh MNS dua titik (Xiong & Chen, 2007), manakala persamaan (1.12) dan (1.13) menunjukkan contoh MNS tiga titik peringkat kedua (Bognar. et al., 2008) dan MNS tiga titik peringkat ketiga (Wei, 2009).. -:x (p ::) + qu + feu) = g,. x E (a, b),. + g(x) = h,. = 0,. x(TJ). (0 (u"(t)))' + a(t)d(u(t)) = 0,. 0<t. x" + Ax. u(O) =. pu(O,. x(O). u'(l) = 0,. u(a). = x(rr). =0,. u(b). =0. (1.11). (1.12). < 1, (1.13). MNS boleh dibahagi kepada dua jenis lagi, iaitu MNS linear dan MNS tak linear. Terdapat pelbagai jenis kaedah berangka yang pernah digunakan oleh para penyelidik lain untuk menyelesaikan permasalahan ini (Keenan, 1992). Walau bagaimanapun, kajian disertasi ini hanya akan fokus kepada MNS dua titik linear sahaja. MNS dua titik boleh dibahagi selanjutnya mengikut peringkat. Peringkat bagi MNS merujuk kepada terbitan tertinggi yang wujud dalam sesuatu permasalahan. Persamaan (1.14) sehingga persamaan (1.18) menunjukkan contoh bagi beberapa peringkat.. 6.

i.. Peringkat kedua (Lin & Zhang, 2012): -au" + bu' + eu. ii.. =t. dalam!l. as t. S b,. =u(l) =0. (1.14). = x '(a) = x '(b) = 0. x(a). (1.15 ). Peringkat keempat (Berghe et al., 1992):. y(4) _ [Aq(t) - r(t)]y(t) = 0, yea). iv.. u(O). Peringkat ketiga (Liu et al., 2008):. x"'(t) + t(t,x(t)) = 0,. iii.. = (0,1),. a S t S b,. =y(b) = y'(a) =y'(b) = 0. (1.16). Peringkat kelima (Doha et al., 2014):. -u(S) (x). + azu(4) (x) + (JZU(3)(X) -. Y2U(2) (x). - 8ZU(1) (x) + 1l2U(X). = {(x). x E (-1,1) (1.17). v.. Peringkat tinggi (Liu, 2006):. X(2n)(t). ={(t, x(t), x' (t), .. ·, x(2n-2)(t)) + ret),. 0< t < 1,. (1.18). Dalam kajian ini, algoritma yang teguh dan sesuai untuk penyelesaian MNS dua titik peringkat kedua akan diterangkan.. Secara umumnya, MNS dua titik. peringkat kedua boleh ditulis dalam bentuk (Baltensperger et al., 2003):. u"(x). +. p(x)u'(x). + q(x)u(x) ={(x),. x E (a, b). (1.19). dengan syarat sempadan. u(a) = a, u(b) = {J. (1.20). 7. UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

sementara a dan. f3 adalah pemalar. Diberikan bahawa q.{ adalah selanjar, p adalah. terbitan selanjar dan q ex) S q S 0. x E (a. b). Penggunaan kaedah pendiskretan dalam MNS akan membentuk satu sistem persamaan linear.. 1.4. Sistem Persamaan Linear. Kebanyakan situasi dunia nyata dapat diselesai dan dihampiri dengan penggunaan sistem persamaan linear. Namun, sistem persamaan linear bukan sesuatu yang mudah untuk diselesaikan, tetapi sangat berguna. Persamaan (1.21) menunjukkan persamaan linear dalam pembolehubah. Xl' X2 ... • .Xn ,. iaitu:. (1.21) dengan al' a2, •...• ~ dan b merupakan pemalar nombor nyata atau nombor kompleks. Sistem persamaan linear adalah kumpulan persamaan linear yang terbatas dalam pembolehubah yang sama. mempunyai. Contohnya, satu sistem. n persamaan dengan n pembolehubah. persamaan. linear yang. Xli X2 ... •• Xn. seperti yang. ditunjukkan dalam persamaan (1.22).. + a12 x 2 + ... + aln X n =bl aZl x l + azzxz + ... + a2n X n = b2. all Xl. (1.22) Sistem persamaan linear (1.22) boleh ditulis dalam bentuk matriks sebagai (Ho et aI.,. 2007): Ax = b. (1.23). dengan. alnl. .. a2n : .. ann. 8.

Selepas sistem persamaan linear dibentukkan, sistem tersebut dapat diselesaikan secara umumnya dengan famili kaedah terus atau famili kaedah lelaran. Walau bagaimanapun, perbincangan lanjut tentang kedua-dua famili tersebut akan diperihalkan selanjutnya dalam subseksyen berikut.. 1.4.1 Perihalan Kaedah Terus Kaedah terus boleh diperihalkan lagi kepada dua variasi utama, iaitu kaedah penghapusan Gauss dan kaedah penguraian LU. Hakikatnya, kaedah penghapusan Gauss boleh dikelaskan kepada kaedah penghapusan Gauss k1asik dan kaedah Gauss-Jordan (GJ). Kaedah penghapusan GJ merupakan teknik. panghapusan. menggunakan satu operasi asas atau lebih supaya matriks A menjadi matriks identiti 1 Pada masa yang sama, matriks di sebelah kanan, laitu matriks b akan menjadi jawapan siri bagi sistem persamaan linear tersebut. Kaedah penguraian LU pula ialah salah satu kaedah menghuraikan matriks segi empat sama A kepada hasil darab dua matriks segi tiga (segi tiga bawah L dan segi tiga atas U). Kaedah pendekatan Gauss, Doolittle, Crout dan Cholesky adalah dikelaskan dalam famili kaedah penguraian LU (Ho. 1=. et a/.,. 2007).. 0. [t. 1. . ... 0. u. r. tLn. (1.24). 0. L = l~l. 122. lnl. 'n2. '.. ,!J. (1.25). 9. UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

Ul1. u=.o. [ o. U1Z U22. ••• •••. 0. .... ulnl. U2n . ... .. (1.26). U nn. Kaedah terus bagi sistem persamaan linear akan memberi penyelesaian jitu mengikut teori dalam beberapa langkah. Namum begitu, penyelesaian ini menjadi kurang tepat kerana kaedah terus adalah sangat sensitif kepada ralat pembundaran. Justeru. itu,. penghalusan. lelaran. menawarkan. cara. meningkatkan. kejituan. penyelesaian kaedah terus, kecuali jika sistem matriks A adalah berkeadaan tidak sihat ataupun singular.. 1.4.2 Perihalan Kaedah Lelaran Berbeza dengan kaedah terus, kaedah lelaran digunakan untuk membina satu siri penyelesaian anggaran yang menumpu kepada penyelesaian sistem. Kadangkala, matriks terlalu besar untuk disimpan dalam memori komputer dan menjadikan kaedah terus sukar untuk diguna. Kaedah lelaran adalah lebih berkesan dan praktikal berbanding dengan kaedah terus bagi matriks A yang bersaiz besar dan bersifat jarang. Kaedah lelaran boleh dibahagi kepada tiga kategori, iaitu:. I.. Kaedah lelaran titik. ii.. Kaedah lelaran blok. iii.. Kaedah lelaran garis. Terdapat pelbagai kaedah untuk mengubah sistem persamaan linear Ax = b kepada bentuk lelaran titik tetap. Antaranya terrnasuk kaedah lelaran Gauss-Seidel (GS) dan Pengenduran Berlebihan Berturut-turut (SOR).. Pemerihalan kedua-dua. kaedah lelaran titik tersebut akan dibincangkan lebih lanjut dalam Bab 2 dan Bab 3. Kaedah lelaran blok pula boleh dibahagikan kepada kaedah blok-GS (Gander. et al.,. 2012) dan kaedah lelaran blok-SOR (Niethammer. et al.,. 1984). Kaedah lelaran. blok atau garis biasanya digunakan semasa matriks A dalam sistem persamaan linear adalah bentuk pepenjuru. Pendiskretan Beza Terhingga atau Unsur Terhingga biasanya akan menghasilkan matriks blok tiga pepenjuru dan matriks blok lima pepenjuru. Kaedah lelaran blok klasik merupakan penyelesaian sistem persamaan. 10.

RU1UKAN ALGUB, 1999.Spline interpolation. Di: http://www.alglib.net/interpolationjspline3.php. Diperoleh pada 11 Mei 2015.. Ali, N. H. M. & Kew, L. M. 2012. New explicit group iterative methods in the solution of two dimensional hyperbolic equations. Journal of Computer Physics, 231: 6953-6968. Ali, N. H. M. & Kew, L. M. 2015. New explicit group iterative methods in the solution of three dimensional hyperbolic telegraph equations. Journal of Computer Physics, 294: 382-404.. AI-Mdal\al, Q.M. & Syam, M.l. 2012. An efficient method for solving non-linear singularly perturbed two points boundary-value problems of fractional order. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulatation, 17 (6):. 2299-2308.. Aly, E.H., Ebaid, A. & Rach, R. 2012. Advances in the Adomian decomposition method for solving two-pOint nonlinear boundary value problems with Neumann boundary conditions. Computers and Mathematics with Applications, 63: 1056-1065.. Babolian, E., Hosseini, S.M. & Heydari, M. 2012. Improving homotopy pertubation method with optimal Lagrange interpolation polynomials.. Ain Shams. Engineering Journal, 3: 305-311.. Baltensperger, R., Berrut, J.P. & Dubey, Y. 2003. The linear rational pseudospectral method with preassigned poles. Numerical Algorithms, 33: 53-63.. Berghe, G.V., Daele, M.V. & Meyer, H.D. 1992. A five-diagonal finite-difference method based on mixed-type interpolation for computing eigenvalues of fourth-order two-point boundary-value-problem. Journal of Computational and Applied Mathematics, 41: 359-372.. 52. UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

Berrut, l.P. & Mittelmann, H.D. 1997. Lebesgue constant minimizing linear rational interpolation of continuous functions over the interval. Computers and Mathematics with Applications, 33 (6): 77-86.. Berrut, l.P & Trefethen, L.N. 2004. Barycentric Lagrange Interpolation. SIAM review, 46 (3): 501-517.. Brill, S.H. & Pinder, G. F. 2002. Parallel implementation of the Bi-CGSTAB method with block red-black Gauss-Seidel preconditioner applied to the Hermite collocation discretiation of partial differential equations. Parallel Computing,. 28: 299-414. Bultheel, A. & Cools R, 2008. Numerical Analysis Turns Sixty: Birthday Celebration Held At K.U. Leuven. Dalam Siam Society for Industrial and Applied Mathematics. Di: http://www.siam.org/news/news.php?id=1287 . Diperoleh. pada Oktober 14, 2014.. Chao, Z., Zhang, N. & Lu, Y. 2014. Optimal parameters of the generalized symmetric SOR method for augmented systems. Journal of Computational and Applied Mathematics, 266: 52-60.. .. !,. 1. :. J. bo. Chao, Z. & Chen, G. 2014. Semi-convergence analysis of the Uzawa-SOR methods for singular saddle pOint problems. Applied Mathematics Letters, 35: 52-57.. Chun, C. & Sakthivel, R. 2010. Homotopy perturbation technique for solving twopoint boundary value problems-comparison with other methods. Computer Physics Communication, 181: 1021-1024.. Cuomo, S. & Marasco, A. 2008. A numerical approach to nonlinear two-point boundary value problems for ODEs. Computers and Mathematics with Application, 55: 2476-2489.. Davis, P.J. 1975. Interpolation and Approximation. Courier Corporation, United States.. S3.

Doha, E.H., Bhrawy, A.H., Baleanu, D. & Hafez, R.M. 2014. A new Jacobi rationalGauss collocation method for numerical solutionn of generalized pantograph equatins. Applied Numerical Mathematics, 77: 43-54.. EI-Ajou, A., Arqub, O.A. & Momani, S. 2013. Solving fractional two-point boundary value problems using continuous analytic method. Ain Shams Engineering. Journal, 4: 539-547. Evans, D. 1997. Group Explicit Methods For The Numerical Solution Of Partial. Differential Equations.. Gordon. and. Breach. Science. Publishers,. The. Netherlands.. Farin, G. E. 2002. Curves And Surfacess For CAGD: A Practical Guide. Morgan Kaufmann, San Francisco.. Ferrer-Amau, L., Reig-Bolaiio, R., Marti-Puig, P., Manjabacas, A. & Parisi-Baradad, V.. 2013. Efficient cubic spline interpolation implemented with FIR filters. International Journal of Computer Information Systems and Industrial Management Application, 5: 098-105.. Gander, MJ., Loisel, S. & Szyld, D.B. 2012. An optimal block iterative method and preconditioner for banded matrices with applications to PDEs on irregular domains. Society for Industrial and Applied Mathematics, 33 (2): 653-680.. Geng, F. & Cui, M. 2011. A novel method for nonlinear two-point boundary value problems: Combination of ADM and RKM. Applied Mathematics and. Computation, 217: 4676-4681.. Goh, J. , Majid, A.A. & Ismail, A.I.M. 2012. A quartic S-spline for second-order singular boundary value problems.. Application, 64: 115-120.. S4. Computers and Mathematics with.

He, W.M. 2007. Asymtotic expansion method for some nonlinear two point boundary value problems with rapidly oscillating coefficients. Nonlinear Analysis: Real World Application,. 8: 1390-1397.. Ho, C.M., Toh, K.H. & Amran Ahmed. 2007. linear Algebra. Universiti Malaysia Sabah, Kota Kinabalu. Jakli~, G., Kozak, J., Vitrih, V.. & Zagar, E. 2012. Lagrange geometric interpolation by. rational spatial cubic Bezier curves. Computer Aided Geometric Design. 29:. 175-188. Jang, B. 2008. Two-point boundary value problems by the extended Adomian decomposition method. Journal of Computational and Applied Mathematics, 219: 253-262.. Jator, S. & Sinkala, Z. 2007. A high order B-spline collocation method for linear boundary value problems. Applied Mathematics and Computation, 191: 100116.. Jha, N. 2013. A fifth order accurate geometric mesh finite difference method for general nonlinear two point boundary value problems. Applied Mathematics and Computation, 219: 8425-8434.. Jiang, Y. & Zou, L. 2011. Convergence of the Gauss-Seidel iterative method, Procedia Engineering, 15: 1647-1650.. Joumil, A. 2008. Kaedah kecerunan konjugat berprasyarat bagi menyelesaikan sistem persamaan linear kabur penuh. Disertasi Ijazah Sarjana Muda Sains dan. Kepujian. Universiti Malaysia Sabah.. Karaa, S. & Zhang, J. 2004. High order ADI method for solving unsteady convectiondiffusion problems. Journal of Computational Physics, 198 (1): 1-9.. ss.

Khandelwel, P. & Sultana, T. 2013. Parametric septic splines approach for the solution of linear sixth-order two-point boundary value problems. Applied. Mathematics and Computation, 219: 6856-6867. Keenan, P. 1992. The solution of two-point boundary value problems in the parallel. environment. Disertasi Master Sains. Dublin City University, Ireland. U, W. 2005. A note on the preconditioned Gauss-Seidel (GS) method for linear systems. Journal of Computational and Applied Mathematics, 182: 81-90.. U, W. & Sun, W. 2000. Modified Gauss-Seidel type method and Jacobi type methods for Z-matrices. Linear Algebra and its Applications, 317: 227-240.. Un, R. & Zhang, Z. 2012. Convergence analysis for least-squares finite element approximations of second-order two-point boundary value problems. Journal. of Computational and Applied Mathematics, 236: 4436-4447.. Uu, Y. 2006. Solutions of two-point boundary value problems for even-order differential equation. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 323: 721-740.. Uu, Z., Debnath, L. & Kang, S.M. 2008. Existence of monotone positive solutions to a third order two-point generalized right focal boundary value problem.. Computers and Mathematics with Application, 55: 356-367.. Luo, Y. 2008. A nearest-nodes finite element method with local multivariate Lagrange interpolation. Rnite elements in Analysis and DeSign, 44: 797-803.. Marcotie, P., Marquis, G. & Zubieta, L. 1992. A Newton-SOR method for spatial price equilibrium. Transportation Science, 26 (1): 36-47.. Mohsen, A. & EI-Gamel, M. 2008. On the Galerkin and collocation methods for twopoint boundary value problems using sine bases. Computers and Mathematics. with Applications, 56: 930-941. 56. UMS. UNIVEASITI MALAYSIA SABAH.

Niethammer, W., Pillis, J.D. & Varga, R.S. 1984. Convergence of block iterative methods applied to sparse least-squares problems. Linear Algebra and Its Application, 58: 327-341. Noor, M.A., Ahmad, F. & Javeed, S. 2006. Two-step iterative methods for nonlinear equations. Applied Mathematics and Computation, 181: 1068-1075.. Perez, D. & Quintana, Y. 2008. A survey on the Weierstrass approximation theorem. Divulgaciones Matematicas, 16 (1): 231-247.. Rashed, M. T. 2004. Lagrange interpolation to compute the derivatives of a function. Applied Mathematics and Computation, 156: 499-505.. Shen, J. & Han, M. 2014. Canard solution and its asymptotic approximation in a second-order nonlinear singularly perturbed boundary value problem with a turning. point.. Communication. in. Nonlinear Science. and Numerical. Simulatation, 19: 2632-2643.. Shen, Y.Q., Wang, B.Y. & Zha G.C. 2007. Comparison study of ImpliCit Gauss-Seidel line iterative method for transonic flows. AL4A Paper, 4332: 2007.. Shivanian, E. & Abbasbandy, S. 2014. Predictor homotopy analysis method: Two points second order boundary value problems. Nonlinear Analysis: Real World Application, 15: 89-99.. Smoktunowicz, A. & Smoktunowicz, A. 2013. Iterative refinement techniques for solving block linear system of equations. Applied Numerical Mathematics, 67: 220-229. Theresa, A.AJ. & Raj, V.J. 2013. Fuzzy based genetic neural networks for the classification of murder cases using trapezoidal and Lagrange interpolation membership functions. Applied Soft Computing, 13: 643-754.. 57. UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

wang, Y.M., Wu, J.W. & Agarwal, R.P. 2011. A fourth-order compact finite difference method for nonlinear higher-order multi-point boundary value problems. Computers and Mathematics with Application, 61: 3226-3245.. Wei, Y. 2009. Triple positive solutions to third order three-point BVP with increasing homeomorphism and positive homomorphism. Journal of Computational and Applied Mathematics, 231: 134-142.. Wen, J.H., Zhang, M. & Xiao, W. 2011. Building, application and Realization of quadratic interpolation. polynomial. with. Lagrange. substrate.. Procedia. Engineering, 15: 1732-1736.. WoZnicki, Z.1. 2001. On performance of SOR method for solving nonsymmetric linear systems. Journal of Computational and Applied Mathematics, 137: 145-176.. Wu, X., Kong, W. & U, C. 2006. Sine collocation method with boundary treatment for two-point boundary value problems. Journal of Computational and Applied Mathematics, 196: 229-240.. Xiong, Z. & Chen, Y. 2007. Rnite volume element method with interpolated coefficients for two-point bouandary vaue problem of semilinear difference equations. Computer Method in Applied Mechanics and Engineering, 196:. 3798-3804. Yokoyama, M. & Umehara, Y. 2003. A p-adaptive three dimensional boundary element method for elastostatic problems using quasi-Lagrange interpolation. Advances in Engineering Software, 34: 577-585.. Young, D. M. 1955. ORDVAC solutions of the Dirichlet problem. Journal of the ACM (JACM), 2 (3): 137-161.. Yuan, J.Y. & Zontini, D.O. 2012. Comparison theorems of preconditioned GaussSeidel method for M-matrices. Applied Mathematics and Computation, 219:. 1947-1957. 58.

Zheng, B. & Miao, S.X. 2009. Two new modified Gauss-Seidel methods for \inear systems with M-matrices. Joumal of Computational and Applied Mathematics,. 233: 922-930.. S9. UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.