Kegiatan /
Persoalan
Pengambilan
Keputusan
Alternatif Metoda Penyelesaian: 1. Programa Linear
2. Programa Dinamis 3. Antrian
Pengambilan Keputusan
DAYA & DANATETAP MAKSIMASI PENERIMAAN Σ KEGIATAN TETAP MINIMASI
DAYA & DANA
HASIL YANG
• Berbasiskan pengembangan model persamaan matematika Æ
Pengambilan keputusan dapat dilakukan secara kuantitatif, memudahkan untuk mengambil keputusan.
– Metoda Grafis – Metoda Numeris
Programa Linier
Programa Dinamis
• Berbasiskan analisis pada keterkaitan dalam sistem kegiatan Æ Hubungan antar kegiatan digambarkan secara sistematis
Untuk menganalisis persoalan-persoalan antrian pada berbagai jenis kejadian Penggambaran besaran dan variable yang terlibat dalam persoalan antrian sehinggan perlakuan atau intervensi untuk memperbaiki kinerja dapat
dikerjakan secara sistematis.
Algoritma Lorong
Strategi penempatan orang/petugas secara optimal untuk memantau atau mengawasi beberapa daerah / lokasi, dengan bantuan model matematis.
Programa Linier / Linear Programming
• Prinsip Umum: – Asumsi Kelinieran : • Fungsi Pembatas • Fungsi Tujuan – Fungsi Tujuan: • Minimasi • Maksimasi– Fungsi Pembatas > 0 , atau = 0
Contoh 1:
Pabrik baja “Steel Forever" mempunyai persediaan bahan mentah besi baja untuk diproses sebanyak 18 ton. Kontrak produksi sekrup sebanyak 7,6 ton telah ditandatangani. Dalam proses produksi terjadi kehilangan bahan mentah sebesar 5%. Selain memproduksi sekrup, pabrik tersebut juga menjual besi baja sebagai bahan mentah kepada pabrik lain.
Pertanyaan:
Berapa banyak besi baja yang dapat dijual sebagai bahan mentah selagi kontrak masih berjalan?
Programa Linier: Metoda Numeris / Matematis
Jawab:
Asumsi:
Besi baja yang dapat dijual sebagai bahan mentah adalah x ton, Jumlah yang tersedia di pabrik adalah (18 - x) ton
Kehilangan dalam proses produksi 5% Æ (18 - x) – 5/100 (18 – x) = 7,6 ton
95/100 (18 - x) = 7,6 , sehingga x = 10
Contoh 2:
Suatu areal tanah pertanian seluas 40 ha terbagi atas lahan basah dan lahan kering. Seluruh lahan kering dan separuh lahan basah ditanami tanaman jagung. Penghasilan per-ha:
• Rp. 800.000,-/ ha untuk lahan kering dan • Rp. 1.200.000,-/ ha untuk lahan basah
Setelah panen, penghasilan total dari lahan kering dan basah adalah Rp. 27.000.000,-.
Pertanyaan:
Programa Linier: Metoda Numeris / Matematis
Jawab:
Asumsi Æ Luas lahan kering adalah X ha dan lahan basah Y ha, sehingga: (X + Y) = 40 ha .. ...(1)
8.000 X + 1.200.000 (Y/2) = 27.000.000, atau 800.000 X + 600.000 Y = 27.000.000....(2) Ini berarti, bahwa nilai X dan Y dapat dihitung sbb.:
(1) X + Y = 40 800.000 X + 800.000 Y = 32.000.000 (2) 800.000 X + 600.000 Y = 27.000.000 200.000 Y = 5.000.000 Diperoleh harga Y = 25 dan X = 15, sehingga luas lahan kering adalah 15
PADA SISTIM KOORDINAT X-Y (X & Y = VARIABEL)
PERSAMAAN LINIER Æ PEMBATAS JAWABAN YANG PALING MUNGKIN KETERBATASAN : JUMLAH VARIABEL Æ TERBATAS
Tentukan Fungsi Tujuan Identifikasi Batasan dalam Ketidaksamaan Gambar garis Pembatas dalam Sistem Koordinat
Cari titik yang paling
menguntungkan sesuai dengan Fungsi Tujuan.
Programa Linier: Metoda Grafis
Contoh 3:
Pabrik baja yang sebelum nya disebut, memprediksi keuntungan se-besar Rp.30/buah untuk sekrup panjang dan Rp. 15/buah untuk sekrup pendek. Kapasitas penuh harian untuk keseluruhan mesin adalah 40.000 sekrup panjang dan 60.000 sekrup pendek. Karena adanya perbedaan cara produksi, maka setiap jam dihasilkan 5.000 sekrup pendek dan 7.500 sekrup pendek. Dilain pihak bahan kimia khusus untuk memproduksi sekrup panjang hanya tersedia untuk mengolah 30.000 buah; dan bagian pengepakan hanya mampu mengepak 50.000 buah perhari.
Pertanyaan:
Apabila jam kerja adalah 8 jam perhari, berapa banyak sekrup dari masing-masing ukuran yang harus di produksi agar tercapai keuntungan maksimum?
Jawab:
Produksi harian adalah X sekrup panjang dan Y sekrup pendek Maksimasi (fungsi tujuan), Z = 30 X + 15 Y
Pembatas (1) X < 40.000dan Y<60.000 (2) (X / 5.000) + (Y/7.500) < 8 atau (3X + 2Y < 120.000) (3) X + Y <50.000 (4) X < 30.000 (5) X >0 dan Y>0
Dengan menggambarkan persamaan linier pada bidang X-Y maka akan didapat area yang memenuhi syarat pertidaksamaan di atas.
Programa Linier: Metoda Grafis
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 -20 0 20 40 60 Thous a nds X = 40. 000 X = 30. 000 Y = 60.000 X + Y = 50.000 A B C D ETitik X Y Z = 30 X + 15 Y A 0 0 0 B 0 50.000 750.000 C 20.000 30.000 1.050.000 D 30.000 15.000 1.125.000 E 30.000 0 900.000
Jadi keuntungan maksimum diperoleh dengan memproduksi 30.000 sekrup panjang dan 15.000 sekrup pendek, dengan keuntungan sebesar Rp. 1.125.000.
Pemeriksaan fungsi keuntungan (Z = 30X + 15Y) pada titik-titik ekstrim: A, B, C, D dan E:
Programa Linier: Metoda Grafis
Contoh 4:
Sebuah pabrik pipa memproduksi pipa berdiameter 2 dan 4 inci. Keuntungan dari pipa 2 dan 4 inci berturut-turut adalah Rp. 3000,- dan Rp. 5000,-. Mesin yang ada dapat memproduksi pipa 72 batang pipa 2 inci atau 48 batang pipa 4 inci dalam satu hari. Namun mesin ini hanya dioperasikan untuk menghasilkan pipa 2 inci sebanyak 8 batang/jam, dan pipa 4 inci sebanyak 5 batang/jam. Pabrik pipa ini beroperasi selama 8 jam/hari. Untuk membuat pipa berdiameter 2 inci tersedia bahan tambahan khusus yang hanya cukup untuk membuat 32 batang pipa/hari. Alat transportasi yang tersedia hanya mampu membawa 60 batang pipa dari pabrik ke gudang perharinya.
Jawab:
Produksi harian adalah X batang pipa 2 inci dan Y batang pipa 4 inci. Maksimasi (fungsi tujuan), Z = 3.000 X + 5.000 Y
Pembatas
(1) (X/8) + (Y/5) ≤ 8 atau (5X + 8Y ≤ 320) (2) X + Y ≤ 60
(3) X ≤ 32
(4) X ≥ 0 dan Y ≥ 0
Dengan menggambarkan persamaan linier pada bidang X-Y maka akan didapat area yang memenuhi syarat pertidaksamaan di atas.
Programa Linier: Metoda Grafis
0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60 70 X = 32 X + Y = 60 5X + 8Y = 320 A B C DTitik X Y Z = 3.000 X + 5.000 Y
A 0 0 0
B 0 40 200.000
C 32 20 196.000
D 32 0 96.000
Jadi keuntungan maksimum diperoleh dengan memproduksi 40 batang pipa 4 inci / hari, dengan keuntungan sebesar Rp. 200.000,-.
Pemeriksaan fungsi keuntungan (Z = 3.000X + 5.000Y) pada titik-titik ekstrim: A, B, C, D :
Programa Dinamik
Pendekatan masalah pengambilan keputusan dengan menetapkan urut-urutan keputusan.
Perhitungan akibat dan pengaruh secara optimal Æ strategi yang optimal. Contoh:
Pemilihan rute dengan rute terpendek: •Seseorang yang akan ke kantor •Pak Pos
•Loper Koran
•Pemasangan Kabel Transmisi Permasalahan produksi:
•Pemesanan ulang persediaan
Suatu kebijakan menyeluruh yang optimal harus dibentuk oleh beberapa sub-kebijakan yang optimal pula.
Keputusan Mendatang Keputusan Kini Keputusan Kini Keputusan Kemarin dipengaruhi
Programa Dinamik
Contoh:
Proyek penanaman kabel transmisi dari A ke B secara ekonomis. Rencana Anggaran Biaya (RAB) dalam satuan biaya/ruas dapat diperkirakan.
Perhatikan gambar berikut:
Prinsip untuk menentukan rute:
•Dari A menuju B selalu
mengarah ke Utara atau ke Timur.
•Bekerja dengan arah kebalikan (dari B)
Prosedur yang perlu diperhatikan:
1. Dari titik-titik K, F dan C hanya 1 route ke B (ke Timur) 2. Dari titik-titik E, J-dan P hanya 1 route ke B (ke Utara) 3. Pada titik-titik tersebut dapat dituliskan notasi 1.
4. Dari titik D ke B: 2 route (D-C-B atarr D-E-B) .
5. Dari titik G ke B: l route (G-D-C-B, G-D-E-B & G-F-C-B) 6. Pada titik-titik D & G dapat dituliskan notasi 2 & 3
7. Dengan cara yang sama, diperoleh 3 route dari titik I 8. Dari titik H ada 6 route (3 melalui I dan 3 melalui G) .
9. Pada gambar lV, terdapat notasi untuk semua titik; ada 20 route alternatif tersedia ciari A ke B, yang artinya 20 RAB harus dievaluasi dan
dibandingkan.
10.Bekerja dengan arah kebalikan. Jika kabel sudah sarnpai di C, kemana arah yang dipilih? (ke Timur & RAB Rp. 10 juta)
11.Catatan:
Jumlah Blok = set binary 3x3 4x4 5x5 6x6 20x20 Jumlah Rute 20 70 252 924 137.846.528.020
Prosedur yang perlu diperhatikan (lanjutan):
10. Bekerja dengan arah kebalikan. Jika kabel sudah sarnpai di C, kemana arah yang dipilih? (ke Timur & RAB Rp. 10 juta)
11. Jika sampai di E, arahkan ke Utara & RAB Rp. 11 juta
12. Selanjutnya, jika kabel sudah sampai di D: RAB D-C-B adalah Rp. 17 juta dan RAB D-E-B adalah Rp. 18 juta. Pllih route D-C-B senilai Rp. 17 juta (lengkapi dengatr arah panah)
13. Selanjutnya langkah yang sarna diambil untuk F, G, H, I & J
14. Dan terakhir untuk K, P, L, O, M, N & A. Arah panah ke Utara ke Timur menandakan route yang dipilih. RAB Rp. 44 juta.
Antrian: adalah suatu jalur menunggu (menantikan pelayanan).
Contoh antrian:
• Antrian take-off pesawat
• Antrian membayar SPP di bank • Antrian di mesin ATM
• Antrian di gerbang tol
• Antrian di loket karcis bioskop • Antrian di kasir
• Antrian check-in di bandara
Faktor-faktor antrian:
1. Kedatangan pelanggan Æ acak (jumlah & waktu) 2. Pelayanan: waktu dan jumlah tempat pelayanan 3. Pelanggan:
– Sedang dilayani
– Sedang menunggu (dalam antrian) 4. Waktu pelayanan:
– Sama untuk tiap pelanggan
– Acak
Persoalan antrian dapat dipecahkan
bila
Waktu pelayanan rata-rata lebih kecil dari waktu kedatangan
Faktor Utilisasi Tempat Pelayanan:
β= (waktu pelayanan rata-rata / waktu kedatangan rata-rata) Jika β < maka tenlpat pelayanan mampu melayani.pelanggan; dan β > 1 berarti antrian semakin panjang.
Harga β merupakan ukuran (%) penggunaan fasilitas pelayanan, misal β = 75% berarti petugas pelayanan dan peralatannya bekerja selama 75% dari seluruh waktunya.
Faktor Utilisasi Tempat Pelayanan:
β= (waktu pelayanan rata-rata / waktu kedatangan rata-rata) Jika β < maka tenlpat pelayanan mampu melayani.pelanggan; dan β > 1 berarti antrian semakin panjang.
Harga β merupakan ukuran (%) penggunaan fasilitas pelayanan, misal β = 75% berarti petugas pelayanan dan peralatannya bekerja selama 75% dari seluruh waktunya.
Contoh Soal:
Kedatangan pelanggan di sebuah toko yang hanya mempunyai satu kasir pembayaran adalah sebagai berikut:
Kedatangan pelanggan tersebut adalah acak (random). Bila setiap pelanggan memerlukan waktu 3 menit untuk dilayani, maka pola pelayanannya adalah sebagai berikut:
Selama 1 jam dari jam 09:00 – 10:00 terjadi pengangguran selama 17 menit. Jadi sarana pelayanan hanya digunakan selama 43 menit.
Profil panjang antrian terhadap waktu: 0 1 2 3 4 5 09:01 09:05 09:09 09:1309:17 09:21 09:2509:29 09:33 09:37 09:4 1 09:45 09:49 09:53 09:57 P a nj a ng A n tr ia n
Untuk interval waktu yang panjang diperoleh:
β = waktu pelayanan rata-rata / waktu antara kedatangan rata-rata = 3 / (60/15)
= 75 %
Meskipun sarana pelayanan dipakai 75 % dari waktunya, ternyata pada suatu periode waktu tertentu terdapat 5 pelanggan dalam antrian.
Panjang antrian rata-rata (PA):
PA = (17x0 + 19x1 + 5x2 + 5x3 + 4x4 + 5x10) / 60 = 110 / 60
Rumus antrian pada interval waktu panjang:
Untuk waktu pelayanan tetap:
Untuk waktu pelayanan acak:
Untuk contoh soal pada slide sebelumnya:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
=
2
1
1
β
β
β
PA
β
β
−
=
1
PA
875
,
1
2
75
,
0
1
75
,
0
1
75
,
0
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
=
PA
Antrian / Queuing
MEMPELAJARI ANTRIAN Æ harus dilakukan berulang-ulang sehingga mendekati keadaan yang sebenarnya
SECARA EKONOMIS Æ antrian dikaitkan dengan prediksi keuntungan / kerugian
PRINSIP:
MENDAPATKAN JUMLAH ORANG YANG OPTIMAL PADA SUATU
TEMPAT YANG DAPAT MEMANTAU DAERAH-DAERAH YANG TELAH DITENTUKAN.
Misalnya : jumlah polisi yang diperlukan untuk memantau jalan atau daerah tertentu.
Jumlah polisi yang diperlukan untuk memantau jalan atau daerah tertentu.
a
b
c
a, b dan c : pos polisi
Lorong ab dan bc = 1 arah Lorong ac atau ca = 2 arah
(a+c)(a+b) =a2+ab+ca+cb, berarti:
a2 = pos a awasi a dari (a+c) dan awasi b dari (a+b)
ab = pos a awasi a dari (a+c) dan pos b awasi b dari (a+b) ca = pos c awasi a dari (a+c) dan pos a awasi b dari (a+b) cb = pos c awasi a dari (a+c) dan pos b awasi b dari (a+b) Atau
(a+c) (a+b) berarti semua cara untuk mengawasi a dan b. Sehingga untuk mengawasi a, b, dan c:
(a+c).(a+b).(a+b+c)
Yang akan memunculkan a3, yang artinya seorang pengawas di a dapat
PRINSIP :
SUATU KEADAAN DlMANA TERDAPAT 2 (DUA) PIHAK YANG BERKOMPETISI ATAU BERSAING. MASlNG-MASING AKAN MENENTUKAN STRATEGI UNTUK SALING MENGALAHKAN (BERSEPAKAT DALAM ATURAN MAIN).
Ada prinsip zero-sum yaitu akan selalu ada pihak yang menang dan yang kalah, seperti lazimnya pertandingan olah raga.
CONTOH :
Permainan 27 anak korek api pemain dengan jumlah terakhir genap berarti menang!
Algoritma :
Sederetan atau seiumlah langkah yang dapat diambil untuk memecahkan semua masalah dari jenis tertentu.
Algoritma untuk contoh permainan korek api pada slide sebelumnya:
Pemain A ambil 2 dan selanjutnya bila B mempunyai jumlah genap, sisa dibagi 6 dan ambil lebih kecil satu dari sisa pembagian tersebut; namun bila B mempunyai jumlah ganjil, ambil lebih besar satu dari sisa pembagian, kecuali jika sisa 4 maka ambil semua.
