BAB 7 DISAIN KONTROL BERUMPAN-BALIK LUP TUNGGAL KLASIK

BAB 7

DISAIN KONTROL BERUMPAN-BALIK LUP

TUNGGAL KLASIK

7. 1 Teknik Tempat Kedudukan Akar (Root Locus)

Root Locus : teknik secara grafik yang terdiri atas penggrafikan akar-akar pers.

karakteristik (eigenvalue), sebagai fungsi gain atau perubahan parameter lup lainnya.

Hasil grafik: pandangan sekilas apakah akar-akar pers. karakteristik memotong sumbu imajiner dari sisi kiri ke sisi kanan s plane. Ini mengindikasikan kemungkinan ketidakstabilan lup kontrol.

Contoh 7.1:

Perhatikan diagram blok lup kontrol pada Gambar 7.1. Pers. karakteristik untuk sistem tersebut: ) 1 )( 1 3 ( 1 + + + s s K_c = 0 atau 1 + OLTF = 0

Gambar 7.1 Diagram blok untuk contoh 7.1

)

1

)(

1

3

(

2

+

+

s

s

Kc 0.05 R(s) C(s)

OLTF (open-loop transfer function) = Pole: -1/3 dan 1

Zero: tidak ada

Pole dan zero

)

)(

(

)

(

)

(

2 1

s

p

p

s

z

s

K

s

G

+

+

+

=

Titik-titik pada bidang s (s plane) yang menyebabkan fungsi G(s) analitik disebut titik ordiner (ordinary), sedangkan titik-titik pada bidang s yang menyebabkan fungsi G(s) tidak analitik disebut titik singuler (singular). Titik-titik singuler yang menyebabkan fungsi G(s) atau turunan-turunannya mendekati tak terhingga disebut pole. Pada persamaan di atas pole-nya: s = -p1 dan

s = -p2.

Titik-titik yang menyebabkan fungsi G(s) sama dengan nol disebut zero. Pada persamaan di atas, zeronya: s = -z. 3s2 + 4s + (1 + Kc) = 0 c c K K r r 1 3 3 1 3 2 6 1 ( 12 16 4 , ₂ 1 =− ± − + − ± − =

Dengan memasukkan harga Kc dari 0 dst., maka didapat gambar:

) 1 )( 1 3 ( s+ s+ Kc

Gambar 7.2 Diagram root locus untuk Gambar 7.1 dengan menggunakan Matlab

Contoh 7.2:

Gambar 7.3 Diagram blok untuk contoh 7.2

Persamaan karakteristik : OLTF =

pole: -1/3, -1, -2; n (jumlah pole) = 3 zero: tidak ada; m (jumlah zero) = 0

(

0,5 1

)

0 ) 1 )( 1 3 ( 1 = + + + + s s s K_c

)

1

)(

1

3

(

2

+

+

s

s

Kc R(s) C(s)

1

5

,

0

5

,

0

+

s

cara menggambar:

• Tandai pole dengan silang dan zero dengan lingkaran kecil.

• Cek daerah di sebelah kiri titik paling kiri: jika selisih antara ganjil ⇒ tempat kedudukan, genap ⇒ bukan tempat kedudukan. Cek lagi daerah di sebelahj kanannya, dst.

• Untuk mencari titik potong dengan sumbu imajiner ⇒ direct susbtitution method • Jika di antara 2 pole merupakan tempat kedudukan, maka ada breakaway point

• Jika di antara pole dan zero atau zero dan ∞ merupakan tempat kedudukan ⇒ breakin point

• Jumlah pole ⇒ jumlah cabang (loci)

• Jumlah cabang menuju ∞ = jumlah jumlah zero • Garis selalu dari pole menuju zero atau ∞

ambarnya :

Contoh 7.3:

Gambar 7.5 Diagram blok untuk contoh 7.3

Persamaan karakteristik : 0 ) 1 )( 1 3 ( ) 2 , 0 1 ( 1 = + ++ + s s s Kc 3s2 + (4 + 0,2Kc)s + (1 + Kc) = 0 6 04 , 0 4 , 10 4 ) 2 , 0 4 ( , 2 2 1 c c c K K K r r = − + ± − + OLTF = ) 1 )( 1 3 ( ) 2 , 0 1 ( + + + s s s Kc

Pole: -1/3 dan 1 à n = 2; Zero: -5 à m = 1

Gambar 7.6 Root locus untuk Gambar 7.5 dengan Matlab

)

1

)(

1

3

(

2

+

+

s

s

Kc(1+0.2s) 0.05 R(s) C(s)

) 1 )( 1 3 ( 2 + + s s

•• Aturan Penggambaran Root Locus

1. Pada real axis tempat kedudukan berada pada titik di mana pole dikurangi zero berharga ganjil untuk sebelah kanan titik.

2. Loci akar selalu berasal, untuk total gain lup = 0, pada pole OLTF. 3. Jumlah loci atau cabang sama dengan jumlah pole OLTF (n).

4. Semakin naik total gain lup, loci atau cabang akan mendekati zero OLTF atau ∞. Jumlah loci menuju ∞

5. Loci yang menuju ∞ sepanjang garis asimtot. Semua garis asimtot harus melewati center of gravity (CG) dari pole dan zero OLTF.

m n z p CG n j m i i j − − =

∑

=1

∑

=1

Asimtot membuat sudut dengan sumbu real:

m n k − + =1800 (3600) φ dengan k = 0, 1 1

1. Titik-titik pada sumbu real di mana loci bertemu atau meninggalkan, atau masuk dari daerah kompleks pada bidang s, disebut breakaway point.

∑

∑

= = − = − n j j m i 1 s zi 1s p 1 1 Contoh 7.4

Gambar 7.7 Diagram blok untuk contoh 7.4

Persamaan karakteristik : 0 ) 1 3 )( 1 30 )( 1 10 ( 8 , 0 1 = + + + + s s s K_c OLTF =

1

3

016

.

0

+

s

Kc R(s) C(s)

1

10

1

+

s

1

30

50

+

s

Kc Toset(s) E(s) M(s) F(s)

(

)(

)(

3

)

1 30 1 10 1 ' + + + = s s s K OLTF pole: -1/10, -1/30, dan 1/3 ⇒ n = 3

zero: tidak ada ⇒ m = 0

c c K K K 0,000888 ) 3 )( 30 )( 10 ( 8 , 0 '= = 155 , 0 0 3 3 1 30 1 10 1 − = − − − = − CG 0 0 0 0 0 0 0 0 0 300 , 180 , 60 3 ) 2 ( 360 180 , 3 ) 1 ( 360 180 , 3 ) 0 ( 360 180 = + + + = φ φ Breakaway point: 1 1 1 0 3 1 10 1 30 1 + + + + = + s s s

Dengan menyamakan penyebut ⇒ pers. kuadrat

s = -0,247 (tidak mungkin, karena tidak di antara dua titik) dan s = -0.063 (valid)

ωu = ±0,22

Gambarnya :

Gambar 7.8 Root locus untuk Gambar 7.7 dengan Matlab

7.2 Teknik Respon Frekuensi (Bode Plots)

Gambar 7.9 Diagram blok gnerator variabel- frekuensi dan rekorder

Gambar 7.10 Rekaman tes sinusiodal

Sistem orde-satu: 1 ) ( + = s K s G τ substitusikan s = iω : 1 ) ( + = ωτ i K s G Dapat ditulis: 1 ) ( 1 + = = ωτ ω i K G G i G

R(s)

Gc

Valve

Generator variabel frekuensi

Proses

Rekorder

Transmitter

x(t)=Xo sinωtω y(t)=Yo sin(ωt+θω θ)

• Amplitudo ratio (AR) 2 1 masukan sinyal amplitudo keluaran sinyal amplitudo G G Xo Yo = = = • Magnitude ratio (MR) = K AR

• Sudut fasa (θ) = tan-1(-ωτ)

Untuk OLTF orde-satu yang umum:

(

)

(

)

∏

∏

= = − + + = _n j j k m i s t i s s e s K s OLTF 1 1 1 1 ) ( 0 τ τ , untuk (n + k) > m substitusikan s = iω :

(

)

( )

_∏

(

)

∏

= = − + + = _n j j k m i it i i i e i K i OLTF 1 1 1 1 ) ( 0 ω τ ω ω τ ω ω maka:

( )

_∏

∏

= = + + = n j j k m i i i i i K AR 1 1 1 1 ω τ ω ω τ atau

[

]

[

]

∏

∏

= = + + = n j j k m i i K AR 1 2 1 2 2 1 2 1 1 ) ( 1 ) ( ω τ ω ω τ dan

( )

( ) ( )

o m j j o m i i t tan k 90 180 tan 1 1 0 1 1 − −       − =

∑

∑

= − = − _{τ ω} π ω ω τ θ

Untuk OLTF orde-dua:

1 2 ) ( _{2 2} + + = s s K s G τξ τ τξω τ ω τξω τ ω ω 2 ) 1 ( 1 2 ) ( _{2 2 2 2} i K i K i G + − = + + − =

AR

=

K

−

+

(

1

ω τ

2 2

)

2

(

2

τξω

)

2

θ

τξω

ω τ

= −

−









−

tan

1

2

_{2 2}

1

• Bode Plot : penggambaran grafik fungsi AR (MR) dan sudut fasa (θ) yang paling umum.

⇒ terdiri dari 2 grafik:

(1) log AR (or log MR) vs. log ω (2) θ vs. Log ω

⇒ beberapa panduan penggambaran Bode: untuk OLTF yang terdiri atas beberapa fungsi orde-satu, maka digambar terlebih dahulu masing- masing fungsi orde-satu tersebut secara terpisah, setelah itu baru dibuat gambar gabungannya dengan menjumlahkan slope (gradien)-nya

(1) Garis pada MR, masukkan:

ω = 0 ë MR = 1 ë log MR = 0 (garis horisontal atau slope-nya nol); untuk sk slope-nya (-1)k

ω = ∞ ë log MR = ± log τ± log ω (slope = ±1)

ω =

_τ

1

(corner frequency/breakpoint frequency) untuk titik potong garis pertama (ω = 0) dan garis kedua (ω = ∞)

(2)

Garis pada θ, masukkan: ω = 0 didapatkan θ = 0 ω = ∞ didapatkan θ = ±90o ω =

_τ

1

didapatkan θ = ±45o

untuk sk hanya ada satu sudut : θ = -90o untuk deadtime: θ = (-57.3o)ω

Contoh:

Gambar Bode untuk fungsi alih

) 1 3 )( 1 2 ( ) 1 ( ) ( + + + = − s s s e s K s G s adalah 1 9 1 4 1 2 2 2 + + + = ω ω ω ω MR

log MR = log (ω2 + 1)1/2 - log (ω) - log (4ω2 + 1)1/2 - log (9ω2 + 1)1/2 dan θ = tan-1(ω) - (180o/π)ω - 90o - tan-1(2ω) - tan-1(3ω)

Gambar Bode- nya adalah:

Untuk fungsi alih yang umum:

(

)

(

.... 1

)

1 .... ) ( ₁ 1 1 1 + + + + + + = ₋ − − − n n n n k m m m m s a s a s s a s a K s G , (n + k)>m

⇒ slope asimtot frekuensi-rendah:

k

)

1

(

(MR)

AR

slope

0

→

−

→ ω dan sudutnya :

θ

_ω→0

→

(

−

90

o

)

k

⇒ slope asimtot frekuensi-tinggi:

)

1

)(

(

(MR)

AR

slope

_ω→∞

→

n

+

k

−

m

−

dan sudutnya :

θ

_ω→∞

→

(

n

+

k

−

m

)(

−

90

o

)

Sistem yang mengikuti slope dan sudut seperti aturan di atas disebut sistem fasa minimal (minimal phase systems). Ada 3 pengecualian (disebut sistem fasa nonminimal):

1. Sistem dengan deadtime: G(s) = e-to.s

2. Sistem yang menunjukkan respon kebalikan (zero-nya positif): G(s) = (1-τ1s)/ (1+τ2s)

3. Sistem tak-stabil lup terbuka (pole-nya positif), seperti reaktor eksotermik: G(s) = 1/(1-τs)

• Kreiteria Kestabilan Respon Frekuensi

Agar sistem kontrol stabil maka ratio amplitudo (AR) harus lebih kecil dari 1 (satu) pada sudut fasa -180o (-π radian). Kcu terjadi bila AR = 1 pada θ = -180o

Pada contoh di atas:

θ = -180o ë MR = 2 (ω = 0.4 rad/s) MR = AR/K ë K = AR/MR

AR = 1 ë Kcu