Perkalian Dot Dan Cross

(1)

PERKALIAN SKALAR (DOT PRODUCT) DUA VEKTOR

Perkalian dua vektor dapat diedakan !en"adi perkalian titik (dot produ#t) $an% ia&a

di&eut perkalian &kalar' dan perkalian &ilan% (#ro&& produ#t) $an% ia&a di&eut

perkalian vektor Perkalian &kalar atau perkalian

perkalian vektor Perkalian &kalar atau perkalian titik antara dua vektor !en%a&ilkan

titik antara dua vektor !en%a&ilkan

nilai &kalar &edan%kan perkalian &ilan% antara dua vektor !en%a&ilkan vektor pula

Perkalian titik dua vektor dide*eni&ikan &ea%ai &uatu &akalar $an% nilain$a &a!a

den%an a&il kali antara e&ar kedua vektor den%an #o&inu& &udut apitn$a Perkalian

&kalar dua vektor dapat dika"i &e#ara %eo!etri& ataupun &e#ara al"aar +a&il $an%

diperole erda&arkan dua !etode ter&eut

diperole erda&arkan dua !etode ter&eut adala &a!a e&ar

adala &a!a e&ar

,erikut ru!u& perkalian &kalar

-Perkalian Skalar Se#ara .eo!etri& Se#ara %eo!etri&' perkalian &kalar antara dua

Perkalian Skalar Se#ara .eo!etri& Se#ara %eo!etri&' perkalian &kalar antara dua vektor

vektor

adala a&il kali antara e&ar vektor perta!a den%an pro$ek&i vektor kedua Untuk

lei "ela&n$a peratikan %a!ar di a/a ini

Se#ara !ate!ati& perkalian &kalar dua vektor dapat ditentukan den%an ru!u&

-a   0 1-a111 #o&-amp; 2

a   0 1a111 #o& 2

Den%an

-1a1 0 e&ar vektor a 1

1a1 0 e&ar vektor a 1

1 0 e&ar vektor 

2 0 &udut antara vektor a dan 

3i&al

3i&al dua v

dua vekto

ektor A dan

r A dan , din$a

, din$ataka

takan den%a

n den%an - A 0

n - A 0 a4 5 6

a4 5 6 5 #

5 # , 0 k4



k

, 0 k4 5 !6

5 !6

5 5 n

n 3



k

3a

ak

ka

a

perkalian &kalar antara A dan , adala

-⇒

⇒

A.B = |A|.|B| cos θ

⇒

A.B = √a2 + b2 + c2.√k2 +

A.B = √a2 + b2 + c2.√k2 + m2 + n2 cos θ

m2 + n2 cos θ

Rumus perkalian skalar di atas biasanya digunakan untuk menentukan besar sudut antara

Rumus perkalian skalar di atas biasanya digunakan untuk menentukan besar sudut antara dua vektor

dua vektor

dengan menggunakan hasil

kali erda&arkan peritun%an al"aar Selain itu' ru!u& ini "u%a

di%unakan untuk !enentukan nilai variael dala! vektor "ika &udut apitn$a diketaui

Conto

-Diket

Diketaui

aui vekto

vektor A 0

r A 0 74 5

74 5 86

86 5 9

5 9 dan ,



k

dan , 0 4 5

0 4 5 76

76 : ;

: ;  Su



k

 Sudut

dut antar

antara A

a A dan

dan , a

, adala

dala 

 A

A

<=o D 98o , >=o E

<=o D 98o , >=o E ;=o C 8;o

;=o C 8;o

Pe!aa&an ,erda&arkan ru!u& perkalian &kalar

-⇒

(2)

⇒

2(% + "2% + $%)'% = |A|.|B| cos θ

⇒

2 + (* & (2 = |A|.|B| cos θ

⇒

* = |A|.|B| cos θ

⇒

cos θ = *

⇒

θ = *o

,a-aban  A

/iketahui vektor a = 2! + $# & n dan B = ! + 2#



k

+ 2 . ,ika kedua vektor tersebut saling tegak lurus0



k

maka nilai n adalah ...

A. (** m

D ??8 ! , ?=8 ! E ?78 ! C ??= !

Pe!aa&an

,erda&arkan kon&ep perkalian &kalar &e#ara %eo!etri&

-⇒

a.b = |a|.|b| cos θ

⇒

a.b = |a|.|b| cos *o

⇒

2! + $# & n %.! + 2#



k

+ 2 % = |a|.|b| *%



k

⇒

2(% + $2% + )n%2% = *

⇒

2 + 1 & 2n = *

⇒

(* & 2n = *

⇒

)2n = )(*

⇒

n = " erkalian 3kalar

3ecara Al4abar 5isal dua vektor

A dan , din$atakan den%an

-A 0 a4 5 6 5 # , 0 k4 5 !6



k

5 n



k

3aka perkalian &kalar antara A dan , adala

-⇒

A.B = ak% + bm% + cn%

6ontoh 

7ektor a dan b diberikan sebagai berikut  a =

7 dan  0 9 @? 7 @; @?

Tentukan a&il perkalian &kalar antara a dan 

Pe!aa&an

-⇒

a.b = ak% + bm% + cn%

⇒

a.b = 2! & # & ' %$! + 2# & %



k



k

⇒

a.b = 2$% + )(%2% + )'%)(%

(3)

⇒

a.b = 1 & 2 + '

⇒

a.b =

<

Su!er- ttp-aanela"ar&ekolalo%&pot#oid7=?8=8perkalian@&kalar@dot@

produ#t@dua@vektort!lBen

(4)

Perkalian Vektor Dan Contoh Soal

Saturday, November 8th 2014. | rumu !iika

Perkalian Vektor " #emarin kita telah bela$ar tentan% &en$umlahan dan &en%uran%an vektor . 'uk kita beran$ak ke &erkalian vektor. (earan vektor bia dikalikan den%an bearan vektor mau&un bearan kalar. )da * ma+am &erkalian vektor. (erikut ulaan len%ka&nya.

1. Perkalian Skalar dengan Vektor

Skalar bia dikalikan den%an ebuah vektor. ial obat &unya nih vektor ( yan% meru&akan hail &erkalian dari kalar k den%an vektor ) maka

B = kA

k adalah bilan%an -kalar. /adi vektor ( adalah vektor yan% bearnya 4 kali vektor ) dan arahnya earah den%an vektor ).

Perkalian kalar den%an vektor &unya i!at ditributi!

k (A+B) = k A + kB

ni $u%a berlaku untuk untuk bentuk vektor kom&onen 2 dimeni atau ti%a dimeni.

r

=

xi

+

yj

kr = kx i + ky j

2. Perkalian Titik (Dot Product)

Perkalian titik antara dua vektor ).( dide!iniikan eba%ai uatu kalar yan% ama den%an hail kali dari bear kedua vektor den%an +oinu udut a&itnya. /ika obat maih bin%un% ederhananya e+ara %eometri &erkalian titik dari 2 buah vektor adalah hail kali vektor 1 den%an &royeki vektor 2 den%an den%an vektor 1. Contoh

(5)

Perhatikan %ambar vektor ) dan ( di ata. Pan%kal keduanya membentuk udut ebear  maka

Simbol dari &erkalian titik adalah -. yan% erin% diebut &erkalian titik - dot product . #arenan &erkalian titik ini men%hailkan kalar maka erin% diebut $u%a den%an scalar product.

(6)

Perkalian itik mem&unyai i!at ditributi! ehin%%a

A.(B+C) = A.B + A.C

Pada &erkalian titik $u%a berlaku i!at komutati!

A.B = B.A

(erikut bebera&a hal yan% &entin% dalam &erkalian titik

a. Pada &erkalian titik dua vektor berlaku i!at ditributi! eba%aimana di$elakan di ata.

b. /ika kedua vektor ) dan ( saling tegak lurus -udut a&it teta 3 05 maka

).( 3 0

+. /ika kedua vektor searah ) dan ( -udut a&it teta 3 05 maka

).( 3 )(

d. /ika kedua vektor ) dan ( berlawan arah -udut a&it teta 3 1805 maka

).( 3 6)(

Perkalian Titik Menggunakan Vektor Satuan

7ntuk melakukan &erkalian titik dari vektor atuan terlebih dahulu kita nyatakan vektor ) dan ( dalam kom&onen6kom&onennya. vektor ) dan ( kita uraikan dulu

A –> A x   Ay j  Az k�

( "9 B x   By j  Bz k�

Sekaran% kita +ari tahu hail &erkalian vektor kom&onen dari ) dot ( kemudian kita uraikan &erkaliannya.

karena vektor kom&onen i,� , dan �k�adalah vektor kom&onen yan% alin% te%ak luru den%an

membentuk udut 05 maka &erkalian titiknya

i x i = j x j = k x k = (1) . (1) cos ! = 1 ("er#i$%it) i x j = i x k = j x k = (1).(1) cos &! =  (tegak lurus)

).( 3 (A x  , Ay j , Az k� -B x   By j  Bz k�)

).( 3 ): ; < (: ;  ): ; < (y =  ): ; < (>k�_{ )y = < (: ;  )y = < (y = )y = <(>}k�_{ )>}k�_{< (: ;  )>}k�_{< (y = }

).( 3 ): ; < (: ;  0 0  0  )y = < (y = 0 0�_{ 0  )>} k�_{< (>}k�

(7)

3 ): ; < (: ;  )y = < (y =  )>k�_{< (>}k�

"9 karena i : i 3 $ : $ 3 k : k 3 -1 . -1 +o 05 3 1 maka

A.B

= AB !

x� A"B# ! A$B$

%. Perkalian Silang (&ro'' Product)

Perkalian ilan%a ) : ( &ada vektor dide!iniikan eba%ai uatu vektor yan% arahnya te%ak luru &ada bidan% dimana vektor ) dan ( berada dan men%ikuti aturan tan%an kanan, ementara bearnya vketor terebut ama den%an hail kali dari bear kedua vektor den%an inu udut a&it antara kedua vektor terebut. Se+ara matemati dirumukan

A x B = A sin '

(erikut adalah hal6hal &entin% dalam &erkalian ilan% dua buah vektor

a. Nilia 05 Pada &erkalian titik dua vektor berlaku 'iat di'triuti eba%aimana di$elakan di

ata.

b. Perkalian ilan% beri!at anti ko*utati

A  B = +B  A

+. /ika kedua vektor ) dan ( alin% tegak lurus yaitu udut a&it teta 3 05 maka

A  B = AB

d. /ika kedua vektoe ) dan ( e%ari -teta 3 05 da&at earah atau verla?anan maka

A  B =

-7ntuk lebih memahami &erkalian vektor dan $u%a &enentuan arah men%%unakan kaidah tan%an kanan ilahkan &erhatikan ilutrai berikut

ialnya &erkalian ilan% dua vektor ) dan vektor ( kita tulikan eba%ai ) : ( -) ilan% (. Perkalian ilan% ini hailnya adalah beru&a vektor C. #arena beru&a vektor maka ia &unya bear dan $u%a arah.

Be'ar Vektor a'il Perkalian Silang

Seuai rumu di ata, kita da&at menyim&ulkan bearnya hail &erkalian ilan% vektor ) dan ( -) : ( adalah hail kali vektor ) den%an kom&onen vektor ( yan% te%ak luru dan ebidan% den%an vektor ).

(8)

A x B = A (B sin ') = AB sin '

(a%iaman kalau kita balik men$adi &erkalian ilan% vektor ( den%an vektor )@ #ita buat ilutrainya terlebih dahulu e&erti %ambar di ba?ah ini

Dari %ambar di ata &erkalian ilan% antara vektor ( dan vektor ) adalah hail kali bear vektor ( den%an kom&onen vektor ) yan% te%ak luru dan ebidan% den%an vektor (.

B x A = B (A sin ') = BA sin '

Ara# Vektor asil Perkalian Silang

Sekaran% ba%aimana menetukan arah dari hail &erkalian ilan% vektor ) : ( dan ( : )@

Ara/ a'il Perkalian Silang A  B

Se&erti diebutkan ebelumnya &erkalian ilan% hailnya adalah vektor bukan kalar. /adi ia $u%a &unya arah. (earnya hail &erkalian udah kita temukan rumunya di ata, ekaran% kita akan bela$ar ba%aimana menentukan arahnya. #ita %ambar dulu kedua vektor ) dan ( -vektor ) dan ( ada bidan% datar yan% ama

(9)

#ita mialkan hail &erkalian ilan% ) : ( adalah vektor C. )rah vektor C nih te%ak luru den%an bidan% vektor ) dan (. 7ntuk menentukan arahnya kita bia men%%unakan kaida tan%an kanan. #ita men%%unakan tan%an den%an em&at $ari di%en%%amkan dan ibu $ari yan% dia+un%kan. #ita %en%%amkan $ari earah den%an arah dari ) ke ( -karena &erkalian ilan% ) : ( ehin%%a arahnya akan berla?anan den%an arah $arum $am. #ita te%akkan ibu $ari dan arah yan% ditun$ukkan oleh ibu $ari terebut adalah arah vektor C. bu $ari menun$uk ke ata.

Ara/ a'il Perkalian Silang B  A

Caranya e&erti ebelumnya karena ( : ) maka arah %en%%aman $ari -elain ibu $ari euai arah ( ke ). )rahnya adalah earah den%an arah $arum $am. aka ibu $ari menun$uk keba?ah. Simak ilutrai berikut.

Perkalian Silang dengan Vektor Satuan

#ita da&at men%hitun% &erkalian ilan% $ika kita men%etahui kom&onen vektor yan% diketahui. Cara dan urutannya miri& &ada &erkalian titik.

Perta*a

#ita lakukan &erkalian ilan% vektor atuan i, $, dan k. -in%ar &erkalian ilan% ) : ( 3 )( in . #arena keti%a vektor atuan alin% te%ak luru maka

i : i 3 ii in 05 3 0 $ : $ 3 $$ in 05 3 0

(10)

maka i : i 3 $ : $ 3 k : k 3 0

untuk &erkalian ilan% vektor atuan yan% berbeda men%%unakan atura iklu erikut

Aturann"a

$ika &erkalian menurut urutan i 69 $ 69 k maka hailnya &oiti! -euai iklu $ika &erkalian berkebalikan k69 $ 69 i maka hailnya adalah ne%ati! -berla?anan iklu

0edua

#ita nyatakan vektor ) dan ( dalam kom&onen6kom&onennya, men%uraikan &erkaliannya dan men%%unakan &erkalian dari vektor6vektor atuannya.

A < B 3 - A x   Ay j  Az k� < -B x   By j  Bz k�

A < B 3 A x  < B x   A x  < By j  A x  < Bz k�

+Ay j < B x   Ay j < By j  Ay j < Bz k�

+Az k� < B x   Az k� < By j  Az k� < Bz k�

nah etelah ini obat bia &akai aturan iklu &ada %ambar ebelumnya.

A < B 3 A x By k� A A x Bz j

A Ay B x k�  Ay Bz 

 Az B x j A Az By 

dan taraaaa ketemu deh rumu &erkalian ilan% untuk vektor atuan

(11)

Sekian dulu materi ba%aimana ih &erkalian vektor. /ika ada yan% belum $ela $an%an ra%u6ra%u untuk menanyakannya le?at kolom komentar di ba?ah ya.

(12)

Contoh Soal Vetor dan Pembahasannya

Soal No. 10

Diberikan dua buah vektor masing-masing vektor dan besarnya adalah A = 8 satuan, B = 10 satuan.

Kedua vektor ini membentuk sudut 37°. entukan hasil dari! a" A⋅ B

b" A # B Pembahasan

a" A⋅ B adalah $erkalian titik %dot" antara vektor & dan vektor ' (ntuk $erkalian titik berlaku

A⋅ B = A B )os *

+ehingga

A⋅ B = A B )os 37° = %8"%10"%0,8" =  satuan

b" A # B adalah $erkalian silang %)ross" vektor & dan vektor '

(ntuk $erkalian silang berlaku

A #B = A B sin *

+ehingga

A #B = A B sin 37° = %8"%10"%0," = 8 satuan

Soal No. 11

+ebuah gaya F = %i / 3 j"  melakukan usaha dengan titik tangka$nya ber$indah menurut r = %i /

a j" m dan vektor i dan j berturut-turut adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu  dan

sumbu y $ada koordinat kartesian. 'ila u saha itu bernilai  2, maka nilai a sama den gan... &. 

'.  4. 7 D. 8 5. 1

+umber! +oal (6 ahun 11

Pembahasan

+oal ini adalah soal $enera$an $erkalian titik %dot product " antara vektor gaya F dan vektor

$er$indahan r dengan kedua vektor dalam bentuk i dan 9 atau vektor satuan. 'esaran yang

dihasilkan nantinya adalah skalar %usaha termasuk besaran skalar, hanya memiliki besar, tan$a arah". (saha dilambangkan dengan : dari kata work.

: = F ⋅ r

 = %i / 39"⋅ %i / a9"

4ara $erkalian titik dua vektor dalam bentuk i,9 adalah yang i kalikan i, yang 9 kalikan 9, hingga se$erti berikut

 = 8 / 3a 3a =  ; 8 a = 18<3 = 

i dan 9 nya 9adi hilang karena i kali i atau 9 kali 9 hasilnya adalah satu.

'agaimana )ara $erkalian silang dua vektor dalam bentuk i dan 9  ntar kita tambahkan,...>&

Soal No. 12

Diberikan dua buah vektor masing-masing! & = i / 3 j ; k

' = 7i /  j / k

(13)

Pembahasan

erkalian silang, A × B

Cara pertama:

6isal !

A = %&i / &y j / &? k" dan B = %'i / 'y j / '? k"

maka !

A × B = (A

y

B

z

− A

z

B

y

) i + (A

z

B

x

− A

x

B

z

) j + (A

x

B

y

− A

y

B

x

) k



@umus erkalian +ilang Dua Aektor %cross product " dalam i, 9, k Data ! A = i / 3 j ; k B = 7i /  j / k

A

x

= 4

A

y

= 3

A

z

= − 2

B

x

= 7

B

y

= 2

B

z

= 5

maka

A × B = %&y '? ; &? 'y"i / %&? ' ; & '?" j / %& 'y ; &y '"k

A × B = B%3"%" ; %;"%"C i / B%;"%7" ; %"%"C j / B%"%" ; %3"%7"C k A × B = %1 / "i / %;1 ; 0" j / %8 ; 1"k

A × B = 1 i ;3 j ; 13k

umayan re$ot kalau mau dihaEal rumus $erkalian di atas, alternatiEnya dengan )ara yang kedua,

Cara Kedua: A = i / 3 j ; k B = 7i /  j / k

+usun dua vektor di atas hingga se$erti bentuk berikut!

7ntuk mem&ermudah &erkalian, tambahkan dua kolom di ebelah kanan uunan yan% telah dibuat tadi hin%%a e&erti berikutB

(14)

(eri tanda &lu dan minu, ikuti +ontoh berikutB

Kalikan menyilang ke baFah terlebih dahulu dengan mem$erhatikan tanda $lus minus yang telah dibuat, lan9utkan dengan menyilang ke atas,

A × B = %3"%" i / %;"%7" j / %"%"k ; %7"%3"k ; %"%;" i ; %"%" j A × B = 1 i ;1 j / 8 k ; 1k /  i ; 0 j

A × B = %1 / " i / %; 1 ; 0" j / %8 ; 1" k A × B = 1 i ; 3 j ; 13 k