Electronic copy available at: http://ssrn.com/abstract=2165513
1 | P a g e W P - 2 0 1 2 . Y D W
Formula Penyederhanaan Penjumlahan Angka Berurutan
(Formula Simplification of Sequential Numbers Addition)
Oleh (By): Yudi Wahyudin
ABSTRAK
Penjumlahan angka berurutan tidak lagi menjadi masalah, karena dapat disederhanakan, yaitu bilamana i merupakan sebuah angka berurutan dari mulai j sampai k, dimana i, j, dan k merupakan angka numerik, maka perhitungan penjumlahannya dapat dihitung dengan cara mengalikan k dengan hasil pertambahan k dengan 1 kemudian hasilnya dikurangi dengan hasil perkalian dari j yang dikalikan dengan hasil pertambahan j dikurangi 1, hasil keseluruhannya kemudian dibagi dengan angka 2.
Kata Kunci: angka berurutan, formula, penjumlahan angka berurutan
ABSTRACT
The sum of sequentially numbers is no longer a problem, because it can be simplified, i.e. when i is a sequentially number starting from j to k, where i, j, and k is a numerical digit, then the sum calculation can be calculated by multiplying k with k-added results with 1 then the result is reduced to the multiplication of j are multiplied by yield increment j minus 1, the overall result is then divided by the number 2.
Keywords: sequentially numbers, formulas, sum sequentially numbers
Terinspirasi oleh tayangan Metro TV “Penantang Terakhir” yang dimoderatori oleh Helmi Yahya pada Episode 5 (19 Oktober 2012). Pada pertanyaan terakhir yang disampaikan kepada Kontestan Terbaik adalah :
“Bilamana angka 1 sampai dengan 100 dijumlahkan jumlahnya akan sama
dengan 5050 (Benar atau Salah)?”
Setelah diberikan waktu selama 1 menit (60 detik), kontestan menjawab Salah, pendekatan yang dilakukan adalah : dia menghitung dari mulai 1 + 100, 2 + 99, demikian seterusnya sampai dengan 49, dan dia bilang bahwa angka 50 sebagai angka terakhir dan dia yakin bahwa angkanya tidak akan sama dengan 5050, sehingga kontestan tidak dapat memberikan jawaban yang tepat, karena dia menjawab salah.
Inspired by impressions Metro TV "Challenger Last" which was moderated by Helmi Yahya in Episode 5 (October 19, 2012). In the last question submitted to Best Contestants are:
"When the numbers 1 to 100 add up the amount will be equal to 5050 (True or
False)?"
After being given time for 1 minute (60 seconds), contestants answered False, the approach taken was: he counted ranging from 1 + 100, 2 + 99, and so on up to 49, and he said that the number 50 as the last digit, and he believed that the numbers might not be the same as 5050, so that the contestants could not gave an exact answer, because he answered incorrectly.
Dengan, pendekatan yang sama, Helmi Yahya, menerangkan bahwa dengan pendekatan yang sama tetapi beda cara, seharusnya perhitungannya dimulai dengan angka 1 + 99, 2 + 98, demikian seterusnya hingga 49 + 51, sehingga 49 x 100 sama dengan 4900 + 100 + 50 dan hasilnya adalah 5050.
With, the same approach, Helmi Yahya, explained that with the same approach but different way, the calculation should started with the numbers 1 + 99, 2 + 98, and so on up to 49 + 51, so 49 x 100 was equal to 4900 + 100 + 50 and the result was to be 5050.
Rumusan perhitungan penjumlahan tersebut dapat dikembangkan menjadi sebuah rumus yang lebih integratif dan dapat dilakukan secara universal terhadap perhitungan angka berurutan.
The sum calculation formula can be developed into a more integrative formula and can be made to the universal calculation of sequentially numbers.
Sebenarnya apa yang dipikirkan oleh kontestan tersebut tidaklah salah, kontestan telah melakukan pendekatan yang benar, karena dengan menjumlahkan 1 + 100 = 101 dan seterusnya jangan berhenti sampai angka 49, melainkan diteruskan hingga mencapai angka 50 + 51, sehingga hasilnya adalah 50 dikali dengan 101 yang tak lain adalah sebesar 5050.
Actually, it was nothing wrong with what was thought by the contestant. He has used the right way to have the answer due to by adding 1 + 100 = 101 and did not stop at 49, but continued till to 50 + 51, then we had 50 times 101 and would be valued as 5050.
Dari sinilah perlu dilakukan penyederhanaan formula atau pendekatan perhitungan, sehingga bilamana kita tentukan bahwa angka 100 itu sama dengan k, maka untuk mendapatkan hasil sama dengan 50, angka k harus dibagi dengan angka 2, sedangkan untuk mendapatkan hasil sama dengan 101, maka angka k harus ditambah dengan nilai 1, sehingga secara sederhana dapat ditulis dengan rumus sebagai berikut:
From this situation, we can simplify the formula or counting approaches, so that if we define 100 is equal to k, then to have the result is equal to 50, we have to divide k by 2, meanwhile to have the result is equal to 101, then we should add 100 with 1, so that as a simple way, the formula could be denoted as the following equation:
(
)
(
)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
∑
=2
1
...
1
1k
k
k
k i ... (1a)3 | P a g e W P - 2 0 1 2 . Y D W
Lalu bagaimana bila angkanya tidak dimulai dari angka 1? Bilamana i merupakan angka berurutan dari mulai j sampai k, dimana i, j,
dan k merupakan angka numerik,
perhitungan penjumlahannya dapat dihitung dengan cara mengalikan k dengan hasil pertambahan k dengan 1 kemudian
hasilnya dikurangi dengan hasil perkalian dari j yang dikalikan dengan hasil
pertambahan j dikurangi 1, hasil
keseluruhannya kemudian dibagi dengan angka 2.
Then, is the approach used to add all sequential numbers that not be begun with number 1? When i was the sequentially numbers starting from j to k, where i, j, and
k was a numerical digit, then the sum
calculation could be calculated by multiplying k with k-added results with 1 then the result was reduced to the multiplication of j were multiplied by yield increment j minus 1, the overall result was then divided by the number of 2.
Perhitungan angka berurutan dari j hingga k secara matematis dapat dinotasikan dengan persamaan sebagai berikut:
Calculation of the sequentially numbers of j to k can be denoted mathematically by the following equation:
(
)
(
) (
)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
=
∑
=2
1
1
...
k
k
k
j
j
j
k j i ... (1b) Tes dilakukan dengan menghitung angkaberurutan dari penjumlahan angka 1 sampai dengan 100 yang jumlahnya harus sama dengan 5050, maka jika j=1 dan k=100, maka berikut adalah hasil tes dengan menggunakan formula seperti yang dapat dilihat pada persamaan (2):
The test is done by calculating the sum of the sequentially numbers from 1 through 100 that the numbers must be the same as the 5050, then if j = 1 and k = 100, then here are the results of tests using the formula as shown in equation (2):
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
( )
5050
2
0
10100
2
0
10100
2
)
0
(
1
101
100
2
)
1
1
(
1
1
100
100
100
...
1
2
1
1
...
100 1=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
=
∑
∑
= = i k j ij
j
k
k
k
j
... (2)Bagaimana bila j=0 dan k=100, maka dengan formula pada persamaan (1) dapat diperoleh hasil sebagai berikut:
What if j = 0 and k = 100, then the formula in equation (1) can be obtained the following results:
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
( )
5050
2
0
10100
2
0
10100
2
)
1
(
0
101
100
2
)
1
0
(
0
1
100
100
100
...
0
2
1
1
...
100 0=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
=
∑
∑
= = i k j ij
j
k
k
k
j
... (3)Persamaan (2) dan persamaan (3) membuktikan bahwa formula di atas dapat digunakan sebagai alat untuk menghitung penjumlahan angka berurutan dari 0 atau 1 sampai dengan 100.
Equation (2) and equation (3) to prove that the above formula can be used as a tool to calculate the sum of sequentially numbers from 0 or 1 to 100.
Untuk membuktikan bahwa formula tersebut berlaku universal, maka mari kita lakukan tes dengan menghitung jumlah angka mulai dari 20 sampai dengan 100. Untuk ini, perlu kiranya dilakukan penyederhanaan dengan melihat tabel berikut ini:
To prove that the formula is universally valid, then let's do a test by counting the number of digits ranging from 20 to 100. For this, we should bear in simplified by looking at the following table:
Sequence 1 20 + 80 = 100 40 + 100 = 140 Results 100 x 20 = 2000 2 21 + 79 = 100 41 + 99 = 140 140 x 20 = 2800 3 22 + 78 = 100 42 + 98 = 140 60 x 1 60 4 23 + 77 = 100 43 + 97 = 140 Number 4860 5 24 + 76 = 100 44 + 96 = 140 6 25 + 75 = 100 45 + 95 = 140 7 26 + 74 = 100 46 + 94 = 140 8 27 + 73 = 100 47 + 93 = 140 9 28 + 72 = 100 48 + 92 = 140 10 29 + 71 = 100 49 + 91 = 140 11 30 + 70 = 100 50 + 90 = 140 12 31 + 69 = 100 51 + 89 = 140 13 32 + 68 = 100 52 + 88 = 140 14 33 + 67 = 100 53 + 87 = 140 15 34 + 66 = 100 54 + 86 = 140 16 35 + 65 = 100 55 + 85 = 140 17 36 + 64 = 100 56 + 84 = 140 18 37 + 63 = 100 57 + 83 = 140 19 38 + 62 = 100 58 + 82 = 140 20 39 + 61 = 100 59 + 81 = 140
Dengan menggunakan formula pada persamaan (1), maka dapat diperoleh hasil sebagai berikut:
By using the formula in equation (1), it can be obtained the following results:
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
( )
0
486
2
9720
2
380
10100
2
)
19
(
20
101
100
2
)
1
20
(
20
1
100
100
100
...
20
2
1
1
...
100 20=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
=
∑
∑
= = i k j ij
j
k
k
k
j
... (4)5 | P a g e W P - 2 0 1 2 . Y D W
Mari kita tes sekali lagi dengan angka berurutan dari mulai 13 sampai dengan 213, maka dengan rumus pada persamaan (1) dapat diperoleh hasil penjumlahannya sebagai berikut:
Let us once again test the sequentially numbers from 13 up to 213, then the formula in equation (1) can be obtained sum the results as the follows:
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
( )
22713
2
45426
2
156
45582
2
)
12
(
13
214
213
2
)
1
13
(
13
1
3
1
2
213
100
...
20
2
1
1
...
213 13=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
=
∑
∑
= = i k j ij
j
k
k
k
j
... (5) Sequence 1 13 + 213 = 226 63 + 163 = 226 Results 226 x 100 = 22600 2 14 + 212 = 226 64 + 162 = 226 113 x 1 = 113 3 15 + 211 = 226 65 + 161 = 226 Number 22713 4 16 + 210 = 226 66 + 160 = 226 5 17 + 209 = 226 67 + 159 = 226 6 18 + 208 = 226 68 + 158 = 226 7 19 + 207 = 226 69 + 157 = 226 8 20 + 206 = 226 70 + 156 = 226 9 21 + 205 = 226 71 + 155 = 226 10 22 + 204 = 226 72 + 154 = 226 11 23 + 203 = 226 73 + 153 = 226 12 24 + 202 = 226 74 + 152 = 226 13 25 + 201 = 226 75 + 151 = 226 14 26 + 200 = 226 76 + 150 = 226 15 27 + 199 = 226 77 + 149 = 226 16 28 + 198 = 226 78 + 148 = 226 17 29 + 197 = 226 79 + 147 = 226 18 30 + 196 = 226 80 + 146 = 226 19 31 + 195 = 226 81 + 145 = 226 20 32 + 194 = 226 82 + 144 = 226 21 33 + 193 = 226 83 + 143 = 226 22 34 + 192 = 226 84 + 142 = 226 23 35 + 191 = 226 85 + 141 = 226 24 36 + 190 = 226 86 + 140 = 226 25 37 + 189 = 226 87 + 139 = 226 26 38 + 188 = 226 88 + 138 = 226 27 39 + 187 = 226 89 + 137 = 226 28 40 + 186 = 226 90 + 136 = 226 29 41 + 185 = 226 91 + 135 = 226 30 42 + 184 = 226 92 + 134 = 226 31 43 + 183 = 226 93 + 133 = 226 32 44 + 182 = 226 94 + 132 = 226 33 45 + 181 = 226 95 + 131 = 226 34 46 + 180 = 226 96 + 130 = 226 35 47 + 179 = 226 97 + 129 = 226 36 48 + 178 = 226 98 + 128 = 226 37 49 + 177 = 226 99 + 127 = 22638 50 + 176 = 226 100 + 126 = 226 39 51 + 175 = 226 101 + 125 = 226 40 52 + 174 = 226 102 + 124 = 226 41 53 + 173 = 226 103 + 123 = 226 42 54 + 172 = 226 104 + 122 = 226 43 55 + 171 = 226 105 + 121 = 226 44 56 + 170 = 226 106 + 120 = 226 45 57 + 169 = 226 107 + 119 = 226 46 58 + 168 = 226 108 + 118 = 226 47 59 + 167 = 226 109 + 117 = 226 48 60 + 166 = 226 110 + 116 = 226 49 61 + 165 = 226 111 + 115 = 226 50 62 + 164 = 226 112 + 114 = 226 Untuk terakhir kalinya, mari kita tes sekali
lagi dengan angka berurutan dari mulai -10 sampai dengan 190, maka dengan rumus pada persamaan (1) dapat diperoleh hasil penjumlahannya sebagai berikut:
For the last time, let us once again test the sequentially numbers from minus 10 up to 190, then the formula in equation (1) can be obtained sum the results as the follows:
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
( )
18090
2
36180
2
110
36290
2
)
11
(
10
191
190
2
)
1
10
)(
10
(
1
190
190
0
9
1
...
0
1
2
1
1
...
190 10=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
−
−
=
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
=
∑
∑
− = = i k j ij
j
k
k
k
j
... (6)Perhitungan angka berurutan dari j hingga k dapat lebih disederhanakan lagi dengan menggunakan notasi sebagai berikut:
Calculation of the sequentially numbers of j to k can be simplified by the following equation:
(
)
(
) (
)
(
)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
=
⇒
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
=
∑
∑
= =2
)
)(
1
(
...
2
)
(
)
)(
(
2
)
(
)
(
2
2
1
1
...
2 2 2 2j
k
j
k
k
j
j
k
j
k
j
k
j
k
j
k
j
j
k
k
j
j
k
k
k
j
k j i k j i ... (7)Tes formula pada persamaan (7) dilakukan terhadap persamaan (2), (3), (4), (5) dan (6), dimana masing-masing menunjukkan hasil secara berurutan: 5050, 5050, 4860, 22713, dan 18090. Hasil ditunjukkan oleh persamaan (8), (9), (10), (11), dan (12).
The test for the formula in the equation (7) will be applied to each equation (2), (3), (4), (5) and (6), which are each shows the results as the following numbers: 5050, 5050, 4860, 22713 and 18090. The result shows in the equation (8), (9), (10), (11), and (12).
7 | P a g e W P - 2 0 1 2 . Y D W